വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തെയും ചലനത്തിന് കാരണമായ ബലത്തെയും കുറിച്ച് നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗതയോ ചലനദിശയോ മാറ്റാൻ ഒരു ബലം ആവശ്യമാണെന്ന് നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉയരത്തിൽ നിന്ന് താഴെ വീഴുന്ന ഒരു വസ്തു ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുന്നതായി നാം എപ്പോഴും നിരീക്ഷിക്കുന്നു. എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങളും സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. ചന്ദ്രൻ ഭൂമിയെ ചുറ്റുന്നു. ഈ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, വസ്തുക്കളിൽ, ഗ്രഹങ്ങളിൽ, ചന്ദ്രനിൽ ചില ബലങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ട്. ഇവയ്ക്കെല്ലാം ഒരേ ബലമാണ് കാരണമെന്ന് ഐസക് ന്യൂട്ടൻ മനസ്സിലാക്കി. ഈ ബലത്തെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ഗുരുത്വാകർഷണത്തെയും സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമത്തെയും കുറിച്ച് പഠിക്കും. ഭൂമിയിലെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലത്തിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും. ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഭാരം സ്ഥലം തോറും എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. ദ്രാവകങ്ങളിൽ വസ്തുക്കൾ പൊങ്ങിനിൽക്കാനുള്ള വ്യവസ്ഥകളെക്കുറിച്ചും നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

9.1 ഗുരുത്വാകർഷണം

ചന്ദ്രൻ ഭൂമിയെ ചുറ്റുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. മുകളിലേക്ക് എറിയുമ്പോൾ ഒരു വസ്തു ഒരു നിശ്ചിത ഉയരത്തിൽ എത്തുകയും തുടർന്ന് താഴേക്ക് വീഴുകയും ചെയ്യുന്നു. ന്യൂട്ടൻ ഒരു മരത്തിനടിയിൽ ഇരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ആപ്പിൾ അദ്ദേഹത്തിന്മേൽ വീണുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ആപ്പിളിന്റെ വീഴ്ച ന്യൂട്ടനെ ചിന്തിക്കാൻ തുടങ്ങിവിട്ടു. അദ്ദേഹം ചിന്തിച്ചു: ഭൂമിക്ക് ഒരു ആപ്പിളിനെ ആകർഷിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതിന് ചന്ദ്രനെ ആകർഷിക്കാൻ കഴിയില്ലേ? രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും ബലം ഒന്നുതന്നെയാണോ? രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒരേ തരത്തിലുള്ള ബലമാണ് കാരണമെന്ന് അദ്ദേഹം അനുമാനിച്ചു. അതിന്റെ ഭ്രമണപഥത്തിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും, ചന്ദ്രൻ ഒരു നേർരേഖയിൽ പോകുന്നതിനുപകരം ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുന്നുവെന്ന് അദ്ദേഹം വാദിച്ചു. അതിനാൽ, അത് ഭൂമിയാൽ ആകർഷിക്കപ്പെടുന്നതാണ്. എന്നാൽ ചന്ദ്രൻ ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുന്നത് നമ്മൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ കാണുന്നില്ല.

പ്രവർത്തനം 7.11 ഓർമ്മിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ചന്ദ്രന്റെ ചലനം മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

പ്രവർത്തനം 9.1

• ഒരു ത്രെഡ് കഷണം എടുക്കുക.

• ഒരറ്റത്ത് ഒരു ചെറിയ കല്ല് കെട്ടുക. ത്രെഡിന്റെ മറ്റേ അറ്റം പിടിച്ച് ചിറ്റും, ചിത്രം 9.1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

• കല്ലിന്റെ ചലനം ശ്രദ്ധിക്കുക.

• ത്രെഡ് വിടുക.

• വീണ്ടും, കല്ലിന്റെ ചലനദിശ ശ്രദ്ധിക്കുക.

ചിത്രം 9.1: സ്ഥിരമായ പരിമാണമുള്ള പ്രവേഗത്തോടെ ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പഥം വിവരിക്കുന്ന ഒരു കല്ല്.

ത്രെഡ് വിടുന്നതിന് മുമ്പ്, കല്ല് ഒരു നിശ്ചിത വേഗതയോടെ ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പഥത്തിൽ നീങ്ങുകയും ഓരോ ബിന്ദുവിലും ദിശ മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു. ദിശയിലെ മാറ്റത്തിൽ പ്രവേഗത്തിലോ ത്വരണത്തിലോ മാറ്റം ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ ത്വരണത്തിന് കാരണമാകുകയും ശരീരം വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പഥത്തിൽ നീങ്ങുന്നത് തുടരുകയും ചെയ്യുന്ന ബലം കേന്ദ്രത്തിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ ബലത്തെ അഭികേന്ദ്ര ബലം (അർത്ഥം ‘കേന്ദ്രാഭിമുഖം’) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ ബലം ഇല്ലാത്തപ്പോൾ, കല്ല് ഒരു നേർരേഖയിൽ പറന്നുപോകുന്നു. ഈ നേർരേഖ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പഥത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖയായിരിക്കും.

ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം കണ്ടുമുട്ടുന്ന ഒരു നേർരേഖയെ വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നേർരേഖ $ABC$ B ബിന്ദുവിൽ വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖയാണ്.

ഭൂമിയെ ചുറ്റുന്ന ചന്ദ്രന്റെ ചലനം അഭികേന്ദ്ര ബലം മൂലമാണ്. അഭികേന്ദ്ര ബലം ഭൂമിയുടെ ആകർഷണ ബലം നൽകുന്നു. അത്തരമൊരു ബലം ഇല്ലായിരുന്നെങ്കിൽ, ചന്ദ്രൻ ഒരു സമനേർരേഖാ ചലനം തുടരുമായിരുന്നു.

വീഴുന്ന ഒരു ആപ്പിൾ ഭൂമിയിലേക്ക് ആകർഷിക്കപ്പെടുന്നതായി കാണാം. ആപ്പിൾ ഭൂമിയെ ആകർഷിക്കുമോ? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഭൂമി ഒരു ആപ്പിളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നത് നാം കാണുന്നില്ല. എന്തുകൊണ്ട്?

ചലനത്തിന്റെ മൂന്നാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ആപ്പിൾ ഭൂമിയെ ആകർഷിക്കുന്നു. എന്നാൽ ചലനത്തിന്റെ രണ്ടാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത ബലത്തിന്, ത്വരണം ഒരു വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ് [സമവാക്യം (8.4)]. ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു ആപ്പിളിന്റെ പിണ്ഡം അത്യൽപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ഭൂമി ആപ്പിളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നത് നാം കാണുന്നില്ല. ഭൂമി ചന്ദ്രനിലേക്ക് എന്തുകൊണ്ട് നീങ്ങുന്നില്ല എന്നതിനായി അതേ വാദം വിപുലീകരിക്കുക.

നമ്മുടെ സൗരയൂഥത്തിൽ, എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങളും സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നു. അതേ രീതിയിൽ വാദിച്ചുകൊണ്ട്, സൂര്യനും ഗ്രഹങ്ങൾക്കും ഇടയിൽ ഒരു ബലം നിലനിൽക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും. മേൽപ്പറഞ്ഞ വസ്തുതകളിൽ നിന്ന് ഭൂമി ഒരു ആപ്പിളിനെയും ചന്ദ്രനെയും മാത്രമല്ല, പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാ വസ്തുക്കളും പരസ്പരം ആകർഷിക്കുന്നുവെന്ന് ന്യൂട്ടൻ നിഗമനം ചെയ്തു. വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ഈ ആകർഷണ ബലത്തെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

9.1.1 സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം

പ്രപഞ്ചത്തിലെ ഓരോ വസ്തുവും മറ്റെല്ലാ വസ്തുക്കളെയും അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലും അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലുമുള്ള ഒരു ബലം കൊണ്ട് ആകർഷിക്കുന്നു. ബലം രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെ കേന്ദ്രങ്ങളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന രേഖയിലാണ്.

ചിത്രം 9.2: രണ്ട് സമവസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം അവയുടെ കേന്ദ്രങ്ങളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന രേഖയിലൂടെയാണ്.

$M$, $m$ പിണ്ഡമുള്ള A, B എന്നീ രണ്ട് വസ്തുക്കൾ ചിത്രം 9.2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പരസ്പരം $d$ ദൂരത്തിൽ കിടക്കട്ടെ. രണ്ട് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ആകർഷണ ബലം $F$ ആയിരിക്കട്ടെ. സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം അനുസരിച്ച്, രണ്ട് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബലം അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളുടെ ഗുണനഫലത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലാണ്. അതായത്,

$$F \propto M \times m \tag{9.1}$$

കൂടാതെ രണ്ട് വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ബലം അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണ്, അതായത്,

$$ F \propto \frac{1}{d^{2}} \tag{9.2} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (10.1), (10.2) എന്നിവ സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$$ F \propto \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.3} $$

അല്ലെങ്കിൽ, $$F=G \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.4}$$

ഇവിടെ $G$ ആനുപാതികതാ സ്ഥിരാങ്കമാണ്, ഇതിനെ സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ സ്ഥിരാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ക്രോസ്വൈസ് ഗുണിച്ചാൽ, സമവാക്യം (9.4) നൽകുന്നത്

$$ \begin{align*} & F \times d^{2}=\mathrm{G} M \times m \\ & \text { or } \mathrm{G}=\frac{F d^{2}}{M \times m} \tag{9.5} \end{align*} $$

$G$ ന്റെ SI യൂണിറ്റ് സമവാക്യത്തിൽ (9.5) ബലം, ദൂരം, പിണ്ഡം എന്നിവയുടെ യൂണിറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് $N m^{2} kg^{-2}$ ആയി ലഭിക്കും.

$G$ ന്റെ മൂല്യം ഹെൻറി കാവെൻഡിഷ് (1731 - 1810) ഒരു സെൻസിറ്റീവ് ബാലൻസ് ഉപയോഗിച്ചാണ് കണ്ടെത്തിയത്. $G$ ന്റെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യം $6.673 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ ആണ്.

ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വസ്തുക്കൾ തമ്മിൽ ഒരു ആകർഷണ ബലം നിലനിൽക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. നിങ്ങളും അടുത്തിരിക്കുന്ന നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തും തമ്മിലുള്ള ഈ ബലത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക. ഈ ബലം നിങ്ങൾക്ക് അനുഭവപ്പെടാത്തത് എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുക!

ഈ നിയമം സാർവത്രികമാണ്, കാരണം ഇത് എല്ലാ വസ്തുക്കൾക്കും ബാധകമാണ്, വസ്തുക്കൾ വലുതോ ചെറുതോ ആകട്ടെ, അവ ഖഗോള വസ്തുക്കളോ ഭൗമിക വസ്തുക്കളോ ആകട്ടെ.

വിപരീത-വർഗ്ഗം

$F$ $d$ ന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് വിപരീത അനുപാതത്തിലാണെന്ന് പറയുന്നതിനർത്ഥം, ഉദാഹരണത്തിന്, $d$ $6, F$ എന്ന ഘടകം കൊണ്ട് വലുതാകുകയാണെങ്കിൽ, $\frac{1}{36}$ മടങ്ങ് ചെറുതാകുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 9.1 ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം $6 \times 10^{24} kg$ ഉം ചന്ദ്രന്റെ പിണ്ഡം $7.4 \quad 10^{22} kg$ ഉം ആണ്. ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം $3.8410^{5} km$ ആണെങ്കിൽ, ഭൂമി ചന്ദ്രനിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലം കണക്കാക്കുക. ($G=6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ എടുക്കുക)

പരിഹാരം:

ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം, $M=6 \quad 10^{24} kg$

ചന്ദ്രന്റെ പിണ്ഡം, $m=7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}$

ഭൂമിക്കും ചന്ദ്രനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം,

$$ \begin{aligned} d & =3.84 \quad 10^{5} km \\ & =3.84 \quad 10^{5} \quad 1000 m \\ & =3.84 \quad 10^{8} m \\ G & =6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \end{aligned} $$

സമവാക്യം (9.4) ൽ നിന്ന്, ഭൂമി ചന്ദ്രനിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലം

$F=G \frac{M \times m}{d^{2}}$

$$ =\frac{6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \times 7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}}{\left(3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}\right)^{2}} $$

$=2.02 \times 10^{20} N$.

അങ്ങനെ, ഭൂമി ചന്ദ്രനിൽ ചെലുത്തുന്ന ബലം $2.02 \times 10^{20} N$ ആണ്.

9.1.2 സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം

സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ നിയമം തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലാത്തതായി വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടിരുന്ന നിരവധി പ്രതിഭാസങ്ങൾ വിജയകരമായി വിശദീകരിച്ചു:

(i) നമ്മെ ഭൂമിയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ബലം;

(ii) ഭൂമിയെ ചുറ്റുന്ന ചന്ദ്രന്റെ ചലനം;

(iii) സൂര്യനെ ചുറ്റുന്ന ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനം; കൂടാതെ

(iv) ചന്ദ്രനും സൂര്യനും കാരണമായുണ്ടാകുന്ന വേലിയേറ്റങ്ങൾ.

9.2 സ്വതന്ത്ര വീഴ്ച

ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തി സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

പ്രവർത്തനം 9.2

• ഒരു കല്ല് എടുക്കുക.

• അത് മുകളിലേക്ക് എറിയുക.

• അത് ഒരു നിശ്ചിത ഉയരത്തിൽ എത്തുകയും തുടർന്ന് താഴേക്ക് വീഴാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഭൂമി വസ്തുക്കളെ അതിലേക്ക് ആകർഷിക്കുന്നുവെന്ന് നാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇത് ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലമാണ്. ഈ ബലം മാത്രമുപയോഗിച്ച് വസ്തുക്കൾ ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുമ്പോൾ, വസ്തുക്കൾ സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയിലാണെന്ന് നാം പറയുന്നു. വീഴുന്ന വസ്തുക്കളുടെ പ്രവേഗത്തിൽ എന്തെങ്കിലും മാറ്റമുണ്ടോ? വീഴുമ്പോൾ, വസ്തുക്കളുടെ ചലനദിശയിൽ മാറ്റമില്ല. എന്നാൽ ഭൂമിയുടെ ആകർഷണം മൂലം പ്രവേഗത്തിന്റെ പരിമാണത്തിൽ മാറ്റം ഉണ്ടാകും. പ്രവേഗത്തിലെ ഏതെങ്കിലും മാറ്റത്തിൽ ത്വരണം ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വസ്തു ഭൂമിയിലേക്ക് വീഴുമ്പോൾ, ഒരു ത്വരണം ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ ത്വരണം ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലമാണ്. അതിനാൽ, ഈ ത്വരണത്തെ ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലമുള്ള ത്വരണം (അല്ലെങ്കിൽ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് $g$ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $g$ ന്റെ യൂണിറ്റ് ത്വരണത്തിന്റേതിന് സമാനമാണ്, അതായത്, $m s^{-2}$.

ബലം പിണ്ഡത്തിന്റെയും ത്വരണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണെന്ന് ചലനത്തിന്റെ രണ്ടാം നിയമത്തിൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം. പ്രവർത്തനം 9.2 ലെ കല്ലിന്റെ പിണ്ഡം $m$ ആയിരിക്കട്ടെ. ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലം വീഴുന്ന വസ്തുക്കളിൽ ത്വരണം ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്നും അത് $g$ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്നും നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലത്തിന്റെ പരിമാണം $F$ പിണ്ഡത്തിന്റെയും ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലമുള്ള ത്വരണത്തിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത്,

$$ \begin{equation*} F=m g \tag{9.6} \end{equation*} $$

സമവാക്യങ്ങൾ (9.4), (9.6) എന്നിവയിൽ നിന്ന് നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{aligned} & m g=G \frac{M \times m}{d^{2}} \\ & \text{ or } g=G \frac{M}{d^{2}} \end{aligned} $$

ഇവിടെ $M$ ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡമാണ്, $d$ വസ്തുവിനും ഭൂമിക്കും ഇടയിലുള്ള ദൂരമാണ്.

ഒരു വസ്തു ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലോ അതിനടുത്തോ ആയിരിക്കട്ടെ. സമവാക്യത്തിലെ (9.7) ദൂരം $d$ ഭൂമിയുടെ ആരമായ $R$ ന് തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലോ അതിനടുത്തോ ഉള്ള വസ്തുക്കൾക്ക്,

$$ \begin{aligned} m g & =G \frac{M \times m}{R^{2}} \\ g & =G \frac{M}{R^{2}} \end{aligned} $$

ഭൂമി ഒരു തികഞ്ഞ ഗോളമല്ല. ഭൂമിയുടെ ആരം ധ്രുവങ്ങളിൽ നിന്ന് ഭൂമധ്യരേഖയിലേക്ക് വർദ്ധിക്കുന്നതിനാൽ, $g$ ന്റെ മൂല്യം ധ്രുവങ്ങളിൽ ഭൂമധ്യരേഖയേക്കാൾ കൂടുതലായി മാറുന്നു. മിക്ക കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കും, ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലോ അടുത്തോ $g$ കൂടുതലോ കുറവോ സ്ഥിരമായി എടുക്കാം. എന്നാൽ ഭൂമിയിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയുള്ള വസ്തുക്കൾക്ക്, ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലം മൂലമുള്ള ത്വരണം സമവാക്യം (9.7) നൽകുന്നു.

9.2.1 $g$ ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ

$g$ ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, നമ്മൾ G, $M$, $R$ എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ (9.9) ഇടണം, അതായത്, സാർവത്രിക ഗുരുത്വാകർഷണ സ്ഥിരാങ്കം, $G=6.7 \times 10^{-}$ ${ }^{11} N m^{2} kg^{-2}$, ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം, $M=6 \times 10^{24} kg$, ഭൂമിയുടെ ആരം, $R=6.4 \times 10^{6} m$.

$$ \begin{aligned} g & =G \frac{M}{R^{2}} \\ & =\frac{6.7 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \times 6 \times 10^{24} kg}{(6.4 \times 10^{6} m)^{2}} \\ & =9.8 m s^{-2} . \end{aligned} $$

അങ്ങനെ, ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ത്വരണത്തിന്റെ മൂല്യം, $g=9.8 m s^{-2}$.

9.2.2 ഭൂമിയുടെ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലത്തിന്റെ സ്വാധീനത്തിൽ വസ്തുക്കളുടെ ചലനം

എല്ലാ വസ്തുക്കളും, പൊള്ളയായതോ ഖരമായതോ, വലുതോ ചെറുതോ, ഒരേ നിരക്കിൽ ഉയരത്തിൽ നിന്ന് വീഴുമോ എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു പ്രവർത്തനം നടത്താം.

പ്രവർത്തനം 9.3

• ഒരു കടലാസ് ഷീറ്റും ഒരു കല്ലും എടുക്കുക. ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ ഒന്നാം നിലയിൽ നിന്ന് ഒരേസമയം അവ താഴെ വിടുക. രണ്ടും ഒരേസമയം നിലത്ത് എത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക.

• കല്ലിനേക്കാൾ കടലാസ് അല്പം പിന്നീടാണ് നിലത്ത് എത്തുന്നതായി നാം കാണുന്നു. വായു പ്രതിരോധം മൂലമാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. വീഴുന്ന വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തിന് ഘർഷണം മൂലം വായു പ്രതിരോധം നൽകുന്നു. കടലാസിന് വായു നൽകുന്ന പ്രതിരോധം കല്ലിന് നൽകുന്ന പ്രതിരോധത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. വായു പുറന്തള്ളപ്പെട്ട ഒരു ഗ്ലാസ് ജാറിൽ നാം പരീക്ഷണം നടത്തിയാൽ, കടലാസും കല്ലും ഒരേ നിരക്കിൽ വീഴും.

സ്വതന്ത്ര വീഴ്ചയിൽ ഒരു വസ്തു ത്വരണം അനുഭവിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം. സമവാക്യം (9.9) ൽ നിന്ന്, ഒരു വസ്തു അനുഭവിക്കുന്ന ഈ ത്വരണം അതിന്റെ പിണ്ഡത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. ഇതിനർത്ഥം എല്ലാ വസ്തുക്കളും, പൊള്ളയായതോ ഖരമായതോ, വലുതോ ചെറുതോ, ഒരേ നിരക്കിൽ വീഴണം എന്നാണ്. ഇറ്റലിയിലെ പിസ ടവറിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ഗലീലിയോ വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കൾ വീഴ്ത്തി അതേ കാര്യം തെളിയിച്ചുവെന്ന് ഒരു കഥ പറയുന്നു.

$g$ ഭൂമിക്ക് സമീപം സ്ഥിരമായതിനാൽ, വസ്തുക്കളുടെ ഏകതാനമായി ത്വരണപ്പെട്ട ചലനത്തിനുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ത്വരണം a യെ $g$ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ സാധുവാകും. സമവാക്യങ്ങൾ:

$$ \begin{aligned} & v=u+a t \\ & s=u t+\frac{1}{2} a t^{2} \\ & v^{2}=u^{2}+2 a s \end{aligned} $$

ഇവിടെ