આપણે પદાર્થોની ગતિ અને ગતિનું કારણ બળ વિશે શીખ્યા છીએ. આપણે શીખ્યા છીએ કે પદાર્થની ઝડપ અથવા ગતિની દિશા બદલવા માટે બળની જરૂર પડે છે. આપણે હંમેશા જોયું છે કે ઊંચાઈથી છોડવામાં આવેલ પદાર્થ પૃથ્વી તરફ પડે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બધા ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ફરે છે. ચંદ્ર પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે. આ બધા કિસ્સાઓમાં, પદાર્થો, ગ્રહો અને ચંદ્ર પર કોઈક બળ કાર્યરત હોવું જોઈએ. આઇઝેક ન્યૂટને સમજી શક્યા કે આ બધા માટે એ જ બળ જવાબદાર છે. આ બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.

આ પ્રકરણમાં આપણે ગુરુત્વાકર્ષણ અને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ વિશે શીખીશું. આપણે પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પદાર્થોની ગતિની ચર્ચા કરીશું. આપણે અભ્યાસ કરીશું કે પદાર્થનું વજન સ્થળે સ્થળે કેવી રીતે બદલાય છે. આપણે પ્રવાહીમાં પદાર્થો તરવા માટેની શરતોની પણ ચર્ચા કરીશું.

9.1 ગુરુત્વાકર્ષણ

આપણે જાણીએ છીએ કે ચંદ્ર પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે. જ્યારે પદાર્થને ઉપર તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ચોક્કસ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે અને પછી નીચે તરફ પડે છે. એવું કહેવાય છે કે જ્યારે ન્યૂટન વૃક્ષ નીચે બેઠા હતા, ત્યારે એક સફરજન તેમના પર પડ્યું. સફરજનના પડવાથી ન્યૂટન વિચારવાનું શરૂ કર્યું. તેમણે વિચાર્યું કે: જો પૃથ્વી સફરજનને આકર્ષી શકે છે, તો શું તે ચંદ્રને આકર્ષી શકતી નથી? શું બંને કિસ્સાઓમાં બળ સમાન છે? તેમણે અનુમાન લગાવ્યું કે બંને કિસ્સાઓમાં એ જ પ્રકારનું બળ જવાબદાર છે. તેમણે દલીલ કરી કે તેની કક્ષાના દરેક બિંદુએ, ચંદ્ર સીધી રેખામાં જતો ન રહીને પૃથ્વી તરફ પડે છે. તેથી, તે પૃથ્વી દ્વારા આકર્ષાયો હોવો જોઈએ. પરંતુ આપણે ખરેખર ચંદ્ર પૃથ્વી તરફ પડતો જોતા નથી.

ચાલો, પ્રવૃત્તિ 7.11 યાદ કરીને ચંદ્રની ગતિ સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

પ્રવૃત્તિ 9.1

• દોરાનો એક ટુકડો લો.

• એક છેડે એક નાનો પથ્થર બાંધો. દોરાનો બીજો છેડો પકડો અને તેને ફિગ. 9.1 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ગોળ ફેરવો.

• પથ્થરની ગતિ નોંધો.

• દોરો છોડો.

• ફરીથી, પથ્થરની ગતિની દિશા નોંધો.

ફિગ. 9.1: સ્થિર મૂલ્યના વેગ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ બનાવતો પથ્થર.

દોરો છોડાય તે પહેલાં, પથ્થર ચોક્કસ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે અને દરેક બિંદુએ દિશા બદલે છે. દિશામાં ફેરફારમાં વેગ અથવા પ્રવેગનો ફેરફાર સમાવેશ થાય છે. આ પ્રવેગનું કારણ બનતું બળ અને પદાર્થને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવતું રાખે છે તે કેન્દ્ર તરફ કાર્ય કરે છે. આ બળને અભિકેન્દ્ર બળ (અર્થાત્ ‘કેન્દ્ર-શોધી’) કહેવામાં આવે છે.

આ બળની ગેરહાજરીમાં, પથ્થર સીધી રેખામાં ઉડી જાય છે. આ સીધી રેખા વર્તુળાકાર માર્ગની સ્પર્શક હશે.

એક સીધી રેખા જે વર્તુળને એક અને માત્ર એક બિંદુ પર મળે છે તેને વર્તુળની સ્પર્શક કહેવામાં આવે છે. સીધી રેખા $ABC$ બિંદુ B પર વર્તુળની સ્પર્શક છે.

પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ અભિકેન્દ્ર બળને કારણે છે. અભિકેન્દ્ર બળ પૃથ્વીના આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. જો આવું કોઈ બળ ન હોત, તો ચંદ્ર એકસમાન સીધી રેખાની ગતિ કરત.

એક પડતું સફરજન પૃથ્વી તરફ આકર્ષાય છે તે જોવા મળે છે. શું સફરજન પૃથ્વીને આકર્ષે છે? જો એમ હોય, તો આપણે પૃથ્વીને સફરજન તરફ જતી જોતા નથી. શા માટે?

ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, સફરજન પૃથ્વીને આકર્ષે છે. પરંતુ ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, આપેલ બળ માટે, પ્રવેગ પદાર્થના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે [સમીકરણ (8.4)]. સફરજનનું દળ પૃથ્વીના દળની તુલનામાં નગણ્ય રીતે નાનું છે. તેથી, આપણે પૃથ્વી સફરજન તરફ જતી જોતા નથી. પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ શા માટે નથી જતી તે માટે એ જ દલીલ વિસ્તૃત કરો.

આપણા સૂર્યમંડળમાં, બધા ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ફરે છે. એ જ રીતે દલીલ કરીને, આપણે કહી શકીએ કે સૂર્ય અને ગ્રહો વચ્ચે એક બળ અસ્તિત્વમાં છે. ઉપરોક્ત તથ્યો પરથી ન્યૂટને નિષ્કર્ષ કાઢ્યો કે માત્ર પૃથ્વી સફરજન અને ચંદ્રને જ આકર્ષતી નથી, પરંતુ વિશ્વના બધા પદાર્થો એકબીજાને આકર્ષે છે. પદાર્થો વચ્ચેના આ આકર્ષણ બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.

9.1.1 ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ

વિશ્વનો દરેક પદાર્થ દરેક બીજા પદાર્થને એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. બળ બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સાથે હોય છે.

ફિગ. 9.2: બે સમાન પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સાથે નિર્દેશિત હોય છે.

બે પદાર્થો A અને B નું દળ $M$ અને $m$ એકબીજાથી $d$ અંતરે હોય છે જેમ કે ફિગ. 9.2 માં બતાવ્યા છે. બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F$ થવા દો. ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ, બે પદાર્થો વચ્ચેનું બળ તેમના દળના ગુણાકારના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે,

$$F \propto M \times m \tag{9.1}$$

અને બે પદાર્થો વચ્ચેનું બળ તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે,

$$ F \propto \frac{1}{d^{2}} \tag{9.2} $$

સમીકરણો (10.1) અને (10.2) ને જોડતાં, આપણને મળે છે

$$ F \propto \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.3} $$

અથવા, $$F=G \frac{M \times m}{d^{2}} \tag{9.4}$$

જ્યાં $G$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે અને તેને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે. ક્રોસવાઇઝ ગુણાકાર કરીને, સમીકરણ (9.4) આપે છે

$$ \begin{align*} & F \times d^{2}=\mathrm{G} M \times m \\ & \text { or } \mathrm{G}=\frac{F d^{2}}{M \times m} \tag{9.5} \end{align*} $$

$G$ નો SI એકમ સમીકરણ (9.5) માં બળ, અંતર અને દળના એકમો મૂકીને મેળવી શકાય છે $N m^{2} kg^{-2}$.

$G$ ની કિંમત હેનરી કેવેન્ડિશ (1731 - 1810) દ્વારા સંવેદનશીલ તુલાનો ઉપયોગ કરીને શોધી કાઢવામાં આવી હતી. $G$ ની સ્વીકૃત કિંમત $6.673 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે પદાર્થો વચ્ચે આકર્ષણ બળ અસ્તિત્વમાં છે. તમારા અને નજીક બેઠા તમારા મિત્ર વચ્ચે આ બળની કિંમત ગણો. તમે આ બળનો અનુભવ કેમ કરતા નથી તે નિષ્કર્ષ કાઢો!

આ નિયમ સાર્વત્રિક છે એ અર્થમાં કે તે બધા પદાર્થો પર લાગુ પડે છે, ભલે પદાર્થો મોટા હોય કે નાના, ભલે તે ખગોળીય હોય કે ભૌમિતિક.

વ્યસ્ત-વર્ગ

$F$ એ $d$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે એમ કહેવાનો અર્થ છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો $d$ $6, F$ ના પરિબળથી મોટું થાય, તો $\frac{1}{36}$ ગણું નાનું બને છે.

ઉદાહરણ 9.1 પૃથ્વીનું દળ $6 \times 10^{24} kg$ છે અને ચંદ્રનું દળ $7.4 \quad 10^{22} kg$ છે. જો પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર $3.8410^{5} km$ હોય, તો પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગુ પડતા બળની ગણતરી કરો. ($G=6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}$ લો)

ઉકેલ:

પૃથ્વીનું દળ, $M=6 \quad 10^{24} kg$

ચંદ્રનું દળ, $m=7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}$

પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર,

$$ \begin{aligned} d & =3.84 \quad 10^{5} km \\ & =3.84 \quad 10^{5} \quad 1000 m \\ & =3.84 \quad 10^{8} m \\ G & =6.7 \quad 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \end{aligned} $$

સમીકરણ (9.4) પરથી, પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગુ પડતું બળ છે

$F=G \frac{M \times m}{d^{2}}$

$$ =\frac{6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \times 7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}}{\left(3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}\right)^{2}} $$

$=2.02 \times 10^{20} N$.

આમ, પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગુ પડતું બળ $2.02 \times 10^{20} N$ છે.

9.1.2 ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમનું મહત્વ

ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમે સફળતાપૂર્વક અનેક ઘટનાઓની સમજૂતી આપી જે એકબીજાથી અસંબંધિત માનવામાં આવતી હતી:

(i) આપણને પૃથ્વી સાથે બાંધી રાખતું બળ;

(ii) પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ;

(iii) સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિ; અને

(iv) ચંદ્ર અને સૂર્યને કારણે ભરતી-ઓટ.

9.2 મુક્ત પતન

ચાલો આ પ્રવૃત્તિ કરીને મુક્ત પતનનો અર્થ સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

પ્રવૃત્તિ 9.2

• એક પથ્થર લો.

• તેને ઉપર તરફ ફેંકો.

• તે ચોક્કસ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે અને પછી તે નીચે તરફ પડવાનું શરૂ કરે છે.

આપણે શીખ્યા છીએ કે પૃથ્વી પદાર્થોને તેની તરફ આકર્ષે છે. આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે છે. જ્યારે પણ પદાર્થો આ બળ હેઠળ એકલા પૃથ્વી તરફ પડે છે, ત્યારે આપણે કહીએ છીએ કે પદાર્થો મુક્ત પતનમાં છે. શું પડતા પદાર્થોના વેગમાં કોઈ ફેરફાર થાય છે? પડતી વખતે, પદાર્થોની ગતિની દિશામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. પરંતુ પૃથ્વીના આકર્ષણને કારણે, વેગના મૂલ્યમાં ફેરફાર થશે. વેગમાં કોઈપણ ફેરફારમાં પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે પણ પદાર્થ પૃથ્વી તરફ પડે છે, ત્યારે પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રવેગ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે છે. તેથી, આ પ્રવેગને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પ્રવેગ (અથવા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ) કહેવામાં આવે છે. તેને $g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $g$ નો એકમ પ્રવેગના એકમ જેવો જ છે, એટલે કે, $m s^{-2}$.

આપણે ગતિના બીજા નિયમ પરથી જાણીએ છીએ કે બળ એ દળ અને પ્રવેગનો ગુણાકાર છે. પ્રવૃત્તિ 9.2 માં પથ્થરનું દળ $m$ થવા દો. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પડતા પદાર્થોમાં પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે અને તેને $g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નું મૂલ્ય દળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હશે, એટલે કે,

$$ \begin{equation*} F=m g \tag{9.6} \end{equation*} $$

સમીકરણો (9.4) અને (9.6) પરથી આપણી પાસે છે

$$ \begin{aligned} & m g=G \frac{M \times m}{d^{2}} \\ & \text{ or } g=G \frac{M}{d^{2}} \end{aligned} $$

જ્યાં $M$ પૃથ્વીનું દળ છે, અને $d$ પદાર્થ અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર છે.

એક પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી પર અથવા નજીક હોય. સમીકરણ (9.7) માં અંતર $d$ $R$, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલું હશે. આમ, પૃથ્વીની સપાટી પર અથવા નજીકના પદાર્થો માટે,

$$ \begin{aligned} m g & =G \frac{M \times m}{R^{2}} \\ g & =G \frac{M}{R^{2}} \end{aligned} $$

પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળો નથી. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો પરથી વિષુવવૃત્ત સુધી વધતી હોવાથી, $g$ ની કિંમત વિષુવવૃત્ત કરતાં ધ્રુવો પર વધુ હોય છે. મોટાભાગની ગણતરીઓ માટે, આપણે $g$ ને પૃથ્વી પર અથવા નજીક લગભગ અચળ લઈ શકીએ છીએ. પરંતુ પૃથ્વીથી દૂરના પદાર્થો માટે, પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પ્રવેગ સમીકરણ (9.7) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

9.2.1 $g$ ની કિંમત ગણવી

$g$ ની કિંમત ગણવા માટે, આપણે સમીકરણ (9.9) માં G, $M$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકવી જોઈએ, એટલે કે, સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક, $G=6.7 \times 10^{-}$ ${ }^{11} N m^{2} kg^{-2}$, પૃથ્વીનું દળ, $M=6 \times 10^{24} kg$, અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા, $R=6.4 \times 10^{6} m$.

$$ \begin{aligned} g & =G \frac{M}{R^{2}} \\ & =\frac{6.7 \times 10^{-11} N m^{2} kg^{-2} \times 6 \times 10^{24} kg}{(6.4 \times 10^{6} m)^{2}} \\ & =9.8 m s^{-2} . \end{aligned} $$

આમ, પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગની કિંમત, $g=9.8 m s^{-2}$.

9.2.2 પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પદાર્થોની ગતિ

ચાલો એ સમજવા માટે એક પ્રવૃત્તિ કરીએ કે શું બધા પદાર્થો પોલા અથવા ઘન, મોટા અથવા નાના, સમાન દરે ઊંચાઈથી પડશે.

પ્રવૃત્તિ 9.3

• કાગળનો એક શીટ અને એક પથ્થર લો. તેમને એક બિલ્ડિંગની પ્રથમ મજલા પરથી એકસાથે છોડો. જુઓ કે શું બંને એકસાથે જમીન પર પહોંચે છે.

• આપણે જોઈએ છીએ કે કાગળ પથ્થર કરતાં થોડો મોડો જમીન પર પહોંચે છે. આ હવાના પ્રતિકારને કારણે થાય છે. હવા પડતા પદાર્થોની ગતિને ઘર્ષણને કારણે પ્રતિકાર આપે છે. કાગળને હવા દ્વારા આપવામાં આવતો પ્રતિકાર પથ્થરને આપવામાં આવતા પ્રતિકાર કરતાં વધુ હોય છે. જો આપણે કાચના જારમાં પ્રયોગ કરીએ જેમાંથી હવા બહાર કાઢવામાં આવી હોય, તો કાગળ અને પથ્થર સમાન દરે પડશે.

આપણે જાણીએ છીએ કે પદાર્થ મુક્ત પતન દરમિયાન પ્રવેગનો અનુભવ કરે છે. સમીકરણ (9.9) પરથી, પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતો આ પ્રવેગ તેના દળથી સ્વતંત્ર છે. આનો અર્થ એ છે કે બધા પદાર્થો પોલા અથવા ઘન, મોટા અથવા નાના, સમાન દરે પડવા જોઈએ. એક વાર્તા મુજબ, ગેલિલિયોએ એ જ સાબિત કરવા માટે ઇટાલીમાં લીનિંગ ટાવર ઓફ પિસાની ટોચ પરથી વિવિધ પદાર્થો છોડ્યા હતા.

$g$ પૃથ્વી નજીક અચળ હોવાથી, પદાર્થોની એકસમાન પ્રવેગિત ગતિ માટેના બધા સમીકરણો પ્રવેગ a ને $g$ વડે બદલીને માન્ય બને છે. સમીકરણો છે:

$$ \begin{aligned} & v=u+a t \\ & s=u t+\frac{1}{2} a t^{2} \\ & v^{2}=u^{2}+2 a s \end{aligned} $$

જ્યાં $u$ અને $v$ પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ છે અને $s$ એ સમય $t$ માં કાપેલું અંતર છે.

આ સમીકરણો લાગુ કરવામાં, આપણે પ્રવેગ, a ને ધન લઈશું જ્યારે તે વેગની દિશામાં હોય, એટલે કે, ગતિની દિશામાં. પ્રવેગ, a ને ઋણ લેવામાં આવશે જ્યારે તે ગતિનો વિરોધ કરે છે.

ઉદાહરણ 9.2 એક કાર લેજ પરથી પડે છે અને $0.5 s$ માં જમીન પર પડે છે. $g=10 m s^{-2}$ લો (ગણતરીઓ સરળ બનાવવા માટે).

(i) જમીન પર અથડાતી વખતે તેની ઝડપ કેટલી છે?

(ii) $0.5 s$ દરમિયાન તેની સરેરાશ ઝડપ કેટલી છે?

(iii) જમીનથી લેજ કેટલી ઊંચી છે?

ઉકેલ:

સમય, $t=1 / 2$ સેકન્ડ

પ્રારંભિક વેગ, $u=0 m s^{-1}$

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g=10 m s^{-2}$

કારનો પ્રવેગ, $a=+10 m s^{-2}$

(નીચે તરફ)

(i) ઝડપ

$$ \begin{aligned} V & =a t \\ V & =10 m s^{-2} \times 0.5 s \\ & =5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(ii) સરેરાશ ઝડપ $=\frac{u+v}{2}$

$$ \begin{aligned} & =(0 m s^{-1}+5 m s^{-1}) / 2 \\ & =2.5 m s^{-1} \end{aligned} $$

(iii) કપાયેલું અંતર, $s=1 / 2 a t^{2}$

$$ \begin{aligned} & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times(0.5 s)^{2} \\ & =1 / 2 \times 10 m s^{-2} \times 0.25 s^{2} \\ & =1.25 m \end{aligned} $$

આમ,

(i) જમીન પર અથડાતી વખતે તેની ઝડપ

$ =5 m s^{-1} $

(ii) $0.5 s$ દરમિયાન તેની સરેરાશ ઝડપ

$ =2.5 m s^{-1} $

(iii) જમીનથી લેજની ઊંચાઈ $=1.25 m$.

ઉદાહરણ 9.3 એક પદાર્થને ઊભી રીતે ઉપર તરફ ફેંકવામાં આવે છે અને $10 m$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. ગણતરી કરો (i) પદાર્થને કયા વેગ સાથે ઉપર ત