४.१ माहितीचा शोध

तुमच्या दैनंदिन जीवनात, तुम्ही अशी माहिती पाहिली असेल, जसे की:

(अ) गेल्या १० कसोटी सामन्यांमध्ये फलंदाजाने केलेली धावा.

(ब) गेल्या १० एकदिवसीय आंतरराष्ट्रीय सामन्यांमध्ये गोलंदाजाने घेतलेली बळी.

(क) तुमच्या वर्गातील विद्यार्थ्यांनी गणिताच्या एकक चाचणीत मिळवलेले गुण.

(ड) तुमच्या प्रत्येक मित्राने वाचलेल्या कथा पुस्तकांची संख्या इ.

अशा सर्व प्रकरणांमध्ये गोळा केलेल्या माहितीला डेटा म्हणतात. डेटा सहसा आपण अभ्यास करू इच्छित असलेल्या परिस्थितीच्या संदर्भात गोळा केला जातो. उदाहरणार्थ, एका शिक्षिकेला तिच्या वर्गातील विद्यार्थ्यांची सरासरी उंची जाणून घ्यायची असू शकते. हे शोधण्यासाठी, ती तिच्या वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांची उंची लिहून घेईल, डेटाची पद्धतशीर रीतीने व्यवस्था करेल आणि नंतर त्याचा अर्थ लावेल.

काहीवेळा, डेटाचे काय प्रतिनिधित्व करतो हे स्पष्ट करण्यासाठी त्याचे ग्राफिकल प्रतिनिधित्व केले जाते. आपण आधीच्या वर्गांमध्ये शिकलेल्या विविध प्रकारच्या आलेखांची आठवण आहे का?

१. चित्रालेख: चिन्हे वापरून डेटाचे चित्रमय प्रतिनिधित्व.

(i) जुलै महिन्यात किती कार तयार झाल्या?

(ii) कोणत्या महिन्यात सर्वाधिक कार तयार झाल्या?

२. स्तंभालेख: एकसमान रुंदीच्या स्तंभांचा वापर करून माहितीचे प्रदर्शन, त्यांची उंची संबंधित मूल्यांच्या प्रमाणात असते.

(i) स्तंभालेखाद्वारे कोणती माहिती दिली आहे?

(ii) कोणत्या वर्षात विद्यार्थ्यांच्या संख्येतील वाढ सर्वाधिक आहे?

(iii) कोणत्या वर्षात विद्यार्थ्यांची संख्या सर्वाधिक आहे?

(iv) खरे की खोटे ते सांगा:

‘२००५-०६ दरम्यानच्या विद्यार्थ्यांची संख्या ही २००३-०४ च्या दुप्पट आहे.’

३. दुहेरी स्तंभालेख: एकाच वेळी दोन संचांचा डेटा दर्शविणारा स्तंभालेख. डेटाची तुलना करण्यासाठी तो उपयुक्त आहे.

(i) दुहेरी स्तंभालेखाद्वारे कोणती माहिती दिली आहे?

(ii) कोणत्या विषयात कामगिरीत सर्वाधिक सुधारणा झाली आहे?

(iii) कोणत्या विषयात कामगिरी खालावली आहे?

(iv) कोणत्या विषयात कामगिरी सारखीच आहे?

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

जर आपण स्तंभालेखातील कोणत्याही स्तंभाची स्थिती बदलली, तर त्यामुळे दर्शविली जाणारी माहिती बदलेल का? का?

प्रयत्न करा

दिलेली माहिती दर्शविण्यासाठी योग्य आलेख काढा.

२.

३. ८ प्रमुख क्रिकेट संघांद्वारे एकदिवसीय सामन्यांमध्ये मिळवलेल्या विजयांची टक्केवारी.

४.२ वृत्तालेख किंवा पाई चार्ट

तुम्ही कधीही खालीलप्रमाणे (आकृती ४.१) वर्तुळाकार स्वरूपात दर्शविलेला डेटा पाहिला आहे का?

एका दिवसात मुलाने घालवलेला वेळ एका शहरातील लोकांचे वयोगट

(i) आकृती ४.१

(ii)

यांना वृत्तालेख म्हणतात. एक वृत्तालेख संपूर्ण आणि त्याच्या भागांमधील संबंध दर्शवितो. येथे, संपूर्ण वर्तुळ क्षेत्रांमध्ये विभागले गेले आहे. प्रत्येक क्षेत्राचा आकार त्याद्वारे दर्शविल्या जाणाऱ्या क्रियाकलाप किंवा माहितीच्या प्रमाणात असतो.

उदाहरणार्थ, वरील आलेखात, झोपेत घालवलेल्या तासांसाठीच्या क्षेत्राचे प्रमाण

$ =\frac{\text{ झोपेच्या तासांची संख्या }}{\text{ संपूर्ण दिवस }}=\frac{८ \text{ तास }}{२४ \text{ तास }}=\frac{१}{३} $

म्हणून, हे क्षेत्र वर्तुळाचा $\frac{1}{3} rd$ भाग म्हणून काढले आहे. त्याचप्रमाणे, शाळेत घालवलेल्या तासांसाठीच्या क्षेत्राचे प्रमाण $=\frac{\text{ number of school hours }}{\text{ whole day }}=\frac{6 \text{ hours }}{24 \text{ hours }}=\frac{1}{4}$

म्हणून हे क्षेत्र वर्तुळाचा $\frac{1}{4}$ वा भाग म्हणून काढले आहे. त्याचप्रमाणे, इतर क्षेत्रांचा आकार शोधता येईल.

सर्व क्रियाकलापांसाठी अपूर्णांकांची बेरीज करा. तुम्हाला एकूण एक मिळते का?

वृत्तालेखाला पाई चार्ट असेही म्हणतात.

प्रयत्न करा

१. खालीलपैकी प्रत्येक पाई चार्ट (आकृती ४.२) तुम्हाला तुमच्या वर्गाबद्दल वेगवेगळी माहिती देतो. यापैकी प्रत्येक माहितीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या वर्तुळाचा अपूर्णांक शोधा.

(i)

(ii)

(iii)

मुली किंवा मुले $\hspace{13 mm}$ शाळेत जाण्याचा वाहतूक मार्ग $\hspace{10 mm}$ गणितावर प्रेम/द्वेष

आकृती ४.२

२. दिलेल्या पाई चार्टच्या (आकृती ४.३) आधारे खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.

(i) कोणत्या प्रकारच्या कार्यक्रमांना सर्वाधिक प्रेक्षक आहेत?

(ii) कोणत्या दोन प्रकारच्या कार्यक्रमांच्या प्रेक्षकांची संख्या क्रीडा वाहिनी पाहणाऱ्यांच्या बरोबरीची आहे?

४.२.१ पाई चार्ट काढणे

एका शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी आइस्क्रीमचे आवडते स्वाद टक्केवारीत खालीलप्रमाणे दिले आहेत.

टी.व्ही. वर वेगवेगळ्या प्रकारच्या वाहिन्या पाहणारे प्रेक्षक

आकृती ४.३

चला हा डेटा पाई चार्टमध्ये दर्शवू.

वर्तुळाच्या केंद्रस्थानी एकूण कोन $360^{\circ}$ आहे. क्षेत्रांचा केंद्रीय कोन $360^{\circ}$ चा एक अपूर्णांक असेल. आम्ही क्षेत्रांचा केंद्रीय कोन शोधण्यासाठी एक सारणी बनवतो (सारणी ४.१).

सारणी ४.१

१. कोणत्याही सोयीस्कर त्रिज्येसह एक वर्तुळ काढा. त्याचे केंद्र $(O)$ आणि त्रिज्या $(OA)$ चिन्हांकित करा.

२. चॉकलेटसाठी क्षेत्राचा कोन $180^{\circ}$ आहे. $\angle AOB=180^{\circ}$ काढण्यासाठी कोनमापक वापरा.

३. उर्वरित क्षेत्रे चिन्हांकित करणे सुरू ठेवा.

उदाहरण १ : लगतचा पाई चार्ट (आकृती ४.४) एका महिन्यात विविध वस्तूंवरील खर्च (टक्केवारीत) आणि कुटुंबाची बचत दर्शवितो.

(i) कोणत्या वस्तूवर खर्च सर्वाधिक होता?

(ii) कोणत्या वस्तूवरील खर्च कुटुंबाच्या एकूण बचतीइतका आहे?

(iii) जर कुटुंबाची मासिक बचत ₹ ३००० असेल, तर कपड्यांवर मासिक खर्च किती?

उकल:

(i) अन्नावर खर्च सर्वाधिक आहे.

(ii) मुलांच्या शिक्षणावरील खर्च हा कुटुंबाच्या बचतीइतकाच (म्हणजेच, $15 %$) आहे.

आकृती ४.४ (iii) $15 %$ हे ₹ ३००० दर्शवते

म्हणून, $10 %$ हे ₹ $\frac{3000}{15} \times 10=₹ 2000$ दर्शवते

उदाहरण २ : एका विशिष्ट दिवशी, बेकरीच्या दुकानातील विविध वस्तूंची विक्री (रुपयांमध्ये) खालीलप्रमाणे आहे.

$ \begin{array}{|l|l|} \hline \hspace{3.3 mm} \text{साधी ब्रेड} : ३२० \\ \hspace{9.7 mm} \text{फळांची ब्रेड} : ८० \\ \text{केक आणि पेस्ट्री} : १६० \\ \hspace{14.3 mm} \text{बिस्किटे} : १६० \\ \hspace{18.3 mm} \text{इतर} : ४० \\ \hline \hspace{18.3 mm}\text{एकूण}: ७२० \\ \hline \end{array} $

या डेटासाठी पाई चार्ट काढा.

उकल: आम्ही प्रत्येक क्षेत्राचा केंद्रीय कोन शोधतो. येथे एकूण विक्री $=₹ 720$ आहे. अशाप्रकारे आमच्याकडे ही सारणी आहे.

आता, आम्ही पाई चार्ट तयार करतो (आकृती ४.५):

प्रयत्न करा

खाली दिलेल्या डेटाचा पाई चार्ट काढा.

एका दिवसात मुलाने घालवलेला वेळ.

$ \begin{matrix} \text{ झोप }-८ \text{ तास } \\ \text{ शाळा }-६ \text{ तास } \\ \text{ गृहपाठ }-४ \text{ तास } \\ \text{ खेळ }-४ \text{ तास } \\ \text{ इतर }-२ \text{ तास } \end{matrix} $

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

खालील डेटा प्रदर्शित करण्यासाठी कोणत्या प्रकारचा आलेख योग्य असेल.

१. एका राज्यातील अन्नधान्य उत्पादन.

२. लोकांच्या एका गटासाठी अन्नाची निवड.

३. एका कारखान्यातील कामगारांच्या गटाचे दैनंदिन उत्पन्न.

प्रश्नसंच ४.१

१. एका शहरातील तरुणांच्या एका विशिष्ट गटाला कोणत्या प्रकारचे संगीत आवडते हे शोधण्यासाठी एक सर्वेक्षण केले गेले. लगतचा पाई चार्ट या सर्वेक्षणाचे निष्कर्ष दर्शवितो.

या पाई चार्टवरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या:

(i) जर २० जणांना शास्त्रीय संगीत आवडले, तर किती तरुणांचा सर्वेक्षण केला गेला?

(ii) कोणत्या प्रकारचे संगीत सर्वाधिक लोकांना आवडते?

(iii) जर कॅसेट कंपनीने १००० सीडी तयार केल्या, तर ते प्रत्येक प्रकारच्या किती सीडी तयार करतील?

२. ३६० लोकांच्या एका गटाला तीन ऋतूंपैकी पावसाळा, हिवाळा आणि उन्हाळा यापैकी त्यांचा आवडता ऋतू निवडण्यासाठी मतदान करण्यास सांगितले गेले.

(i) कोणत्या ऋतूला सर्वाधिक मते मिळाली?

(ii) प्रत्येक क्षेत्राचा केंद्रीय कोन शोधा.

(iii) ही माहिती दर्शविण्यासाठी पाई चार्ट काढा.

३. खालील माहिती दर्शविणारा पाई चार्ट काढा. सारणी लोकांच्या एका गटाला आवडलेले रंग दर्शवते.

४. लगतचा पाई चार्ट एका विद्यार्थ्याने हिंदी, इंग्रजी, गणित, सामाजिक विज्ञान आणि विज्ञान या विषयांत परीक्षेत मिळवलेले गुण दर्शवितो. जर विद्यार्थ्याला मिळालेले एकूण गुण ५४० असतील, तर खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.

(i) विद्यार्थ्याने १०५ गुण कोणत्या विषयात मिळवले?

(सूचना: ५४० गुणांसाठी, केंद्रीय कोन $=360^{\circ}$. म्हणून, १०५ गुणांसाठी, केंद्रीय कोन किती?)

(ii) विद्यार्थ्याला गणितात हिंदीपेक्षा किती अधिक गुण मिळाले?

(iii) सामाजिक विज्ञान आणि गणितात मिळालेल्या गुणांची बेरीज विज्ञान आणि हिंदीतील गुणांच्या बेरजेपेक्षा अधिक आहे का ते तपासा.

(सूचना: फक्त केंद्रीय कोनांचा अभ्यास करा).

५. एका छात्रावासातील विविध भाषा बोलणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या खाली दिली आहे. डेटा पाई चार्टमध्ये दर्शवा.

४.३ संधी आणि संभाव्यता

काहीवेळा असे घडते की पावसाळ्यात, तुम्ही दररोज रेनकोट घेऊन जाता आणि अनेक दिवस पाऊस पडत नाही. तथापि, संधीने, एक दिवस तुम्ही रेनकोट घेणे विसरता आणि त्या दिवशी जोरदार पाऊस पडतो.

काहीवेळा असे घडते की एक विद्यार्थी चाचणीसाठी ५ पैकी ४ प्रकरणे खूप चांगल्या प्रकारे तयार करतो. पण तिने तयार न केलेल्या प्रकरणातून एक मोठा प्रश्न विचारला जातो.

एक विशिष्ट गाडी वेळेवर धावते हे सर्वांना माहीत आहे पण ज्या दिवशी तुम्ही वेळेवर पोहोचता त्या दिवशी ती उशीरा असते!

तुम्ही अशा अनेक परिस्थितींना सामोरे जाता जिथे तुम्ही संधी घेता आणि ती तुम्हाला पाहिजे तशी जात नाही. तुम्ही आणखी काही उदाहरणे देऊ शकता का? ही अशी उदाहरणे आहेत जिथे एखादी गोष्ट घडण्याची किंवा न घडण्याची संधी समान नसते. गाडी वेळेवर असण्याची किंवा उशीरा होण्याची संधी समान नसते. जेव्हा तुम्ही वेट लिस्टेड तिकीट खरेदी करता, तेव्हा तुम्ही एक संधी घेता. तुम्हाला आशा असते की तुम्ही प्रवास करेपर्यंत ते कन्फर्म होईल.

तथापि, आम्ही येथे काही प्रयोगांचा विचार करतो ज्यांच्या निकालांच्या घडण्याची समान संधी असते.

४.३.१ निकाल मिळवणे

तुम्ही पाहिले असेल की क्रिकेट सामन्यापूर्वी, दोन्ही संघांचे कर्णधार नाणेफेक करण्यासाठी बाहेर जातात जेणेकरून कोणता संघ प्रथम फलंदाजी करेल हे ठरवता येईल.

नाणेफेक केली तेव्हा तुम्हाला कोणते संभाव्य निकाल मिळू शकतात? नक्कीच, डोके किंवा शेपटी.

कल्पना करा की तुम्ही एका संघाचे कर्णधार आहात आणि तुमचा मित्र दुसऱ्या संघाचा कर्णधार आहे. तुम्ही नाणेफेक करता आणि तुमच्या मित्राला कॉल करण्यास सांगता. तुम्ही नाणेफेकीचा निकाल नियंत्रित करू शकता का? तुम्हाला हवे असल्यास तुम्हाला डोके मिळू शकते का? किंवा तुम्हाला हवे असल्यास शेपटी मिळू शकते का? नाही, ते शक्य नाही. अशा प्रयोगाला यादृच्छिक प्रयोग म्हणतात. डोके किंवा शेपटी हे या प्रयोगाचे दोन निकाल आहेत.

प्रयत्न करा

१. जर तुम्ही स्कूटर सुरू करण्याचा प्रयत्न केला, तर संभाव्य निकाल काय आहेत?

२. जेव्हा फासा टाकला जातो, तेव्हा सहा संभाव्य निकाल काय आहेत?

३. जेव्हा तुम्ही दर्शविलेले चाक फिरवता, तेव्हा संभाव्य निकाल काय आहेत? (आकृती ४.६) त्यांची यादी करा.

(येथे निकाल म्हणजे सूचक ज्या क्षेत्रावर थांबते ते).

आकृती ४.६

आकृती ४.७

४. तुमच्याकडे वेगवेगळ्या रंगांचे पाच एकसारखे चेंडू असलेली एक पिशवी आहे आणि तुम्हाला ते न पाहता एक चेंडू बाहेर काढायचा आहे; तुम्हाला मिळालेल्या निकालांची यादी करा (आकृती ४.७).

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

फासा टाकताना:

• पहिल्या खेळाडूला सहा मिळण्याची अधिक संधी आहे का?
• त्यानंतर खेळणाऱ्या खेळाडूला सहा मिळण्याची कमी संधी असेल का?
• समजा दुसऱ्या खेळाडूला सहा मिळाला. याचा अर्थ तिसऱ्या खेळाडूला सहा मिळण्याची संधी नसेल का?

४.३.२ समसंभाव्य निकाल:

एक नाणे अनेक वेळा टाकले जाते आणि आपल्याला डोके किंवा शेपटी मिळालेल्या वेळांची संख्या नोंदवली जाते. चला आपण निकाल पत्रकाकडे पाहू जिथे आपण टॉस वाढवत राहतो:

टॉसची संख्या	ताळ्याच्या खुणा (डोके)	डोक्यांची संख्या	ताळ्याच्या खुणा (शेपटी)	शेपट्यांची संख्या
५०		२७		२३
६०		२८		३२
७०	$\ldots$	३३	…	३७
८०	$\ldots$	३८	$\ldots$	४२
९०	$\ldots$	४४	$\ldots$	४६
१००	$\ldots$	४८	$\ldots$	५२

लक्षात घ्या की जसजशी तुम्ही टॉसची संख्या वाढवत जाल तसतशी, डोक्यांची संख्या आणि शेपट्यांची संख्या एकमेकांच्या जवळ येत जाते.

हे फास्यासह देखील केले जाऊ शकते, जेव्हा मोठ्या संख्येने वेळा टाकला जातो. सहा निकालांपैकी प्रत्येकाची संख्या जवळजवळ एकमेकांच्या बरोबरीची होते.

अशा प्रकरणांमध्ये, आपण असे म्हणू शकतो की प्रयोगाचे विविध निकाल समसंभाव्य आहेत. याचा अर्थ असा की प्रत्येक निकाल घडण्याची समान संधी आहे.

४.३.३ संधीचा संभाव्यतेशी संबंध

एकदा नाणे टाकण्याच्या प्रयोगाचा विचार करा. निकाल काय आहेत? फक्त दोन निकाल आहेत - डोके किंवा शेपटी. दोन्ही निकाल समसंभाव्य आहेत. डोके मिळण्याची शक्यता ही दोन निकालांपैकी एक आहे, म्हणजेच, $\frac{1}{2}$. दुसऱ्या शब्दांत, आपण असे म्हणतो की डोके मिळण्याची संभाव्यता $=\frac{1}{2}$ आहे. शेपटी मिळण्याची संभाव्यता किती आहे?

आता १,