अध्याय 04 डेटा हैंडलिंग
4.1 सूचना की खोज
अपने दिन-प्रतिदिन के जीवन में, आप ऐसी सूचनाओं के संपर्क में आए होंगे, जैसे:
(a) पिछले 10 टेस्ट मैचों में एक बल्लेबाज द्वारा बनाए गए रन।
(b) पिछले 10 वनडे में एक गेंदबाज द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या।
(c) आपकी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा गणित की इकाई परीक्षा में प्राप्त किए गए अंक।
(d) आपके प्रत्येक मित्र द्वारा पढ़ी गई कहानी पुस्तकों की संख्या आदि।
उपरोक्त सभी स्थितियों में एकत्र की गई सूचना को आँकड़ा (डेटा) कहा जाता है। आँकड़े सामान्यतः किसी ऐसी स्थिति के संदर्भ में एकत्र किए जाते हैं जिसे हम अध्ययन करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, एक शिक्षिका अपनी कक्षा के विद्यार्थियों की औसत ऊँचाई जानना चाह सकती है। यह ज्ञात करने के लिए वह अपनी कक्षा के सभी विद्यार्थियों की ऊँचाइयाँ लिखेगी, आँकड़ों को एक व्यवस्थित तरीके से व्यवस्थित करेगी और फिर उसकी व्याख्या करेगी।
कभी-कभी आँकड़ों को चित्रात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता है ताकि यह स्पष्ट हो सके कि वे क्या दर्शाते हैं। क्या आपको पिछली कक्षाओं में सीखे गए विभिन्न प्रकार के ग्राफ याद हैं?
1. चित्रलेख (पिक्टोग्राफ): प्रतीकों का प्रयोग कर आँकड़ों की चित्रात्मक प्रस्तुति।
(i) जुलाई महीने में कितनी कारों का उत्पादन हुआ?
(ii) किस महीने में कारों की अधिकतम संख्या का उत्पादन हुआ?
2. एक दंड आलेख: समान चौड़ाई की दंडों का उपयोग करके सूचना का प्रदर्शन, उनकी ऊँचाइयाँ क्रमशः मानों के अनुपात में होती हैं।
(i) दंड आलेख द्वारा दी गई सूचना क्या है?
(ii) किस वर्ष में छात्रों की संख्या में अधिकतम वृद्धि हुई है?
(iii) किस वर्ष में छात्रों की संख्या अधिकतम है?
(iv) सत्य या असत्य बताइए:
‘वर्ष 2005-06 के दौरान छात्रों की संख्या 2003-04 की दोगुनी है।’
3. द्वि-दंड आलेख: एक दंड आलेख जो एक साथ दो डेटा सेट दिखाता है। यह डेटा की तुलना के लिए उपयोगी है।
(i) द्वि-दंड आलेख द्वारा दी गई सूचना क्या है?
(ii) किस विषय में प्रदर्शन सबसे अधिक सुधरा है?
(iii) किस विषय में प्रदर्शन बिगड़ा है?
(iv) किस विषय में प्रदर्शन समान है?
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
यदि हम किसी दंड आलेख के किसी भी दंड की स्थिति बदल दें, क्या इससे प्रेषित सूचना बदल जाएगी? क्यों?
इन्हें आजमाइए
दी गई सूचना को दर्शाने के लिए उपयुक्त आलेख बनाइए।
| महीना | जुलाई | अगस्त | सितंबर | अक्टूबर | नवंबर | दिसंबर |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बेची गई घड़ियों की संख्या |
1000 | 1500 | 1500 | 2000 | 2500 | 1500 |
2.
| बच्चे जो पसंद करते हैं | स्कूल A | स्कूल B | स्कूल C |
|---|---|---|---|
| पैदल चलना | 40 | 55 | 15 |
| साइकिल चलाना | 45 | 25 | 35 |
3. 8 शीर्ष क्रिकेट टीमों द्वारा ODI में प्रतिशत जीत।
| टीमें | चैंपियंस ट्रॉफी से विश्व कप-06 तक |
07 में अंतिम 10 ODI |
|---|---|---|
| साउथ अफ्रीका | $75 %$ | $78 %$ |
| ऑस्ट्रेलिया | $61 %$ | $40 %$ |
| श्रीलंका | $54 %$ | $38 %$ |
| न्यूजीलैंड | $47 %$ | $50 %$ |
| इंग्लैंड | $46 %$ | $50 %$ |
| पाकिस्तान | $45 %$ | $44 %$ |
| वेस्ट इंडीज़ | $44 %$ | $30 %$ |
| भारत | $43 %$ | $56 %$ |
4.2 वृत्त आलेख या पाई चार्ट
क्या आपने कभी आँकड़ों को वृत्ताकार रूप में प्रस्तुत हुआ देखा है जैसा कि दिखाया गया है (चित्र 4.1)?
एक बच्चे द्वारा दिनभर में बिताया गया समय एक कस्बे में लोगों की आयु वर्ग
(i) चित्र 4.1
(ii)
इन्हें वृत्त ग्राफ कहा जाता है। एक वृत्त ग्राफ पूरे और उसके भागों के बीच संबंध दिखाता है। यहाँ, पूरे वृत्त को सेक्टरों में बाँटा गया है। प्रत्येक सेक्टर का आकार उस गतिविधि या सूचना के अनुपात में होता है जिसे वह दर्शाता है।
उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए ग्राफ में, सोने में बिताए गए घंटों के लिए सेक्टर का अनुपात
$ =\frac{\text{ सोने के घंटों की संख्या }}{\text{ पूरा दिन }}=\frac{8 \text{ घंटे }}{24 \text{ घंटे }}=\frac{1}{3} $
इसलिए, इस सेक्टर को वृत्त के $\frac{1}{3}$ भाग के रूप में खींचा गया है। इसी प्रकार, स्कूल में बिताए गए घंटों के लिए सेक्टर का अनुपात $=\frac{\text{ स्कूल के घंटों की संख्या }}{\text{ पूरा दिन }}=\frac{6 \text{ घंटे }}{24 \text{ घंटे }}=\frac{1}{4}$
इसलिए इस सेक्टर को वृत्त का $\frac{1}{4}$ भाग खींचा गया है। इसी प्रकार, अन्य सेक्टरों का आकार भी निकाला जा सकता है।
सभी गतिविधियों के लिए भिन्नों को जोड़ें। क्या आपको कुल एक के बराबर मिलता है?
एक वृत्त ग्राफ को पाई चार्ट भी कहा जाता है।
इन्हें आज़माएँ
1. निम्नलिखित प्रत्येक पाई चार्ट (चित्र 4.2) आपको आपकी कक्षा के बारे में एक भिन्न सूचना देता है। इनमें से प्रत्येक सूचना का प्रतिनिधित्व करने वाले वृत्त के भाग का अंश ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
लड़कियाँ या लड़के $\hspace{13 mm}$ स्कूल जाने का परिवहन $\hspace{10 mm}$ गणित से प्यार/नफरत
चित्र 4.2
2. नीचे दिए गए पाई चार्ट (चित्र 4.3) के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?
(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों के दर्शकों की संख्या खेल चैनल देखने वालों के बराबर है?
4.2.1 पाई चार्ट बनाना
एक स्कूल के विद्यार्थियों के लिए आइसक्रीम की पसंदीदा स्वाद निम्नलिखित प्रतिशत के रूप में दिए गए हैं।
टीवी पर विभिन्न प्रकार के चैनल देखने वाले दर्शक।
चित्र 4.3
| स्वाद | विद्यार्थियों का प्रतिशत जिन्हें यह स्वाद पसंद है |
|---|---|
| चॉकलेट | $50 %$ |
| वेनिला | $25 %$ |
| अन्य स्वाद | $25 %$ |
आइए इन आँकड़ों को एक पाई चार्ट में दर्शाएँ।
एक वृत्त के केंद्र पर कुल कोण $360^{\circ}$ होता है। सectors का केंद्रीय कोण $360^{\circ}$ का एक भाग होगा। हम sectors के केंद्रीय कोण ज्ञात करने के लिए एक सारणी बनाते हैं (सारणी 4.1)।
सारणी 4.1
| स्वाद | विद्यार्थियों का प्रतिशत जिन्हें यह स्वाद पसंद है |
भिन्न के रूप में | $\mathbf{3 6 0}^{\circ}$ का भाग |
|---|---|---|---|
| चॉकलेट | $50 %$ | $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{2}=180^{\circ}$ |
| वेनिला | $25 %$ | $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{4}=90^{\circ}$ |
| अन्य स्वाद | $25 %$ | $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ | $360^{\circ}$ का $\frac{1}{4}=90^{\circ}$ |
1. किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचिए। इसका केंद्र $(O)$ और एक त्रिज्या $(OA)$ अंकित कीजिए।
2. चॉकलेट के लिए sector का कोण $180^{\circ}$ है। प्रोट्रैक्टर का प्रयोग कर $\angle AOB=180^{\circ}$ खींचिए।
3. शेष सेक्टरों को चिह्नित करना जारी रखें।
उदाहरण 1 : संलग्न पाई चार्ट (चित्र 4.4) एक माह के दौरान विभिन्न मदों पर व्यय और एक परिवार की बचत (प्रतिशत में) देता है।
(i) किस मद पर व्यय अधिकतम था?
(ii) किस मद पर व्यय परिवार की कुल बचत के बराबर है?
(iii) यदि परिवार की मासिक बचत ₹ 3000 है, तो कपड़ों पर मासिक व्यय क्या है?
हल:
(i) व्यय अधिकतम भोजन पर है।
(ii) बच्चों की शिक्षा पर व्यय उसी प्रकार (अर्थात् $15 %$ ) है जैसे परिवार की बचत है।
चित्र 4.4 (iii) $15 %$ का प्रतिनिधित्व ₹ 3000 करता है
इसलिए, $10 %$ का प्रतिनिधित्व ₹ $\frac{3000}{15} \times 10=₹ 2000$ करता है
उदाहरण 2 : किसी विशेष दिन, एक बेकर की दुकान की विभिन्न वस्तुओं की बिक्री (रुपयों में) नीचे दी गई है।
$ \begin{array}{|l|l|} \hline \hspace{3.3 mm} \text{साधारण ब्रेड} : 320 \\ \hspace{9.7 mm} \text{फल ब्रेड} : 80 \\ \text{केक और पेस्ट्री} : 160 \\ \hspace{14.3 mm} \text{बिस्कुट} : 160 \\ \hspace{18.3 mm} \text{अन्य} : 40 \\ \hline \hspace{18.3 mm}\text{कुल}: 720 \\ \hline \end{array} $
इस डेटा के लिए एक पाई चार्ट बनाइए।
हल: हम प्रत्येक सेक्टर का केंद्रीय कोण निकालते हैं। यहाँ कुल बिक्री $=₹ 720$। इस प्रकार हमारे पास यह सारणी है।
| वस्तु | बिक्री (₹ में) | भिन्न के रूप में | केंद्रीय कोण |
|---|---|---|---|
| साधारण ब्रेड | 320 | $\frac{320}{720}=\frac{4}{9}$ | $\frac{4}{9} \times 360^{\circ}=160^{\circ}$ |
| बिस्कुट | 120 | $\frac{120}{720}=\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$ |
| केक और पेस्ट्री | 160 | $\frac{160}{720}=\frac{2}{9}$ | $\frac{2}{9} \times 360^{\circ}=80^{\circ}$ |
| फल ब्रेड | 80 | $\frac{80}{720}=\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{9} \times 360^{\circ}=40^{\circ}$ |
| अन्य | 40 | $\frac{40}{720}=\frac{1}{18}$ | $\frac{1}{18} \times 360^{\circ}=20^{\circ}$ |
अब, हम पाई चार्ट बनाते हैं (चित्र 4.5):
इन्हें आज़माइए
नीचे दिए गए डेटा का पाई चार्ट बनाइए।
एक दिन के दौरान एक बच्चे द्वारा बिताया गया समय।
$ \begin{matrix} \text{ नींद }-8 \text{ घंटे } \\ \text{ विद्यालय }-6 \text{ घंटे } \\ \text{ गृहकार्य }-4 \text{ घंटे } \\ \text{ खेल }-4 \text{ घंटे } \\ \text{ अन्य }-2 \text{ घंटे } \end{matrix} $
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
निम्नलिखित आँकड़ों को प्रदर्शित करने के लिए किस रूप का ग्राफ उपयुक्त होगा।
1. एक राज्य के खाद्यान्नों का उत्पादन।
| वर्ष | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| उत्पादन (लाख टन में) |
60 | 50 | 70 | 55 | 80 | 85 |
2. लोगों के एक समूह के लिए भोजन की पसंद।
| पसंदीदा भोजन | लोगों की संख्या |
|---|---|
| उत्तर भारतीय | 30 |
| दक्षिण भारतीय | 40 |
| चीनी | 25 |
| अन्य | 25 |
| कुल | $\mathbf{1 2 0}$ |
3. एक कारखाने के श्रमिकों के समूह की दैनिक आय।
| दैनिक आय (रुपयों में) |
श्रमिकों की संख्या (एक कारखाने में) |
|---|---|
| $75-100$ | 45 |
| $100-125$ | 35 |
| $125-150$ | 55 |
| $150-175$ | 30 |
| $175-200$ | 50 |
| $200-225$ | 125 |
| $225-250$ | 140 |
| कुल | $\mathbf{4 8 0}$ |
अभ्यास 4.1
1. एक शहर में युवाओं के एक निश्चित समूह द्वारा पसंद किए जाने वाले संगीत के प्रकार का पता लगाने के लिए एक सर्वेक्षण किया गया। संलग्न पाई चार्ट इस सर्वेक्षण के निष्कर्षों को दर्शाता है।
इस पाई चार्ट से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) यदि 20 लोगों को शास्त्रीय संगीत पसंद है, तो कितने युवाओं का सर्वेक्षण किया गया?
(ii) किस प्रकार का संगीत अधिकतम संख्या में लोगों को पसंद है?
(iii) यदि एक कैसेट कंपनी 1000 सीडी बनाने वाली हो, तो वह प्रत्येक प्रकार की कितनी सीडी बनाएगी?
2. 360 लोगों के एक समूह से तीन मौसमों—वर्षा, सर्दी और गर्मी—में से अपना पसंदीदा मौसम चुनने के लिए कहा गया।
(i) किस मौसम को सबसे अधिक वोट मिले?
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण ज्ञात कीजिए।
(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए एक पाई चार्ट बनाइए।
(ii) विद्यार्थी ने गणित में हिंदी की तुलना में कितने अधिक अंक प्राप्त किए?
(iii) क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त अंकों का योग विज्ञान और हिंदी में प्राप्त अंकों की तुलना में अधिक है?
(संकेत: केवल केंद्रीय कोणों का अध्ययन करें)।
5. एक छात्रावास में विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले विद्यार्थियों की संख्या नीचे दी गई है। आँकड़ों को पाई चार्ट में दिखाइए।
| भाषा | हिंदी | अंग्रेज़ी | मराठी | तमिल | बंगाली | कुल |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या |
40 | 12 | 9 | 7 | 4 | 72 |
4.3 संयोग और प्रायिकता
कभी-कभी वर्षा ऋतु में ऐसा होता है कि आप रोज़ रेनकोट ले जाते हैं और कई दिनों तक वर्षा नहीं होती। हालाँकि, संयोगवश एक दिन आप रेनकोट ले जाना भूल जाते हैं और उस दिन भारी वर्षा हो जाती है।
कभी-कभी ऐसा होता है कि कोई विद्यार्थी 5 में से 4 अध्याय बहुत अच्छी तरह तैयार करता है, परीक्षा के लिए। परंतु एक बड़ा प्रश्न उसी अध्याय से पूछा जाता है जिसे उसने छोड़ दिया था।
सभी जानते हैं कि एक विशेष ट्रेन समय पर चलती है, परंतु जिस दिन आप समय से पहुँचते हैं वह देर से चलती है!
आप ऐसी कई स्थितियों का सामना करते हैं जहाँ आप मौका लेते हैं और वह आपके मनचाहे ढंग से नहीं जाता। क्या आप कुछ और उदाहरण दे सकते हैं? ये उदाहरण ऐसे हैं जहाँ किसी चीज़ के होने या न होने की संभावनाएँ बराबर नहीं होतीं। ट्रेन के समय पर आने या देर से आने की संभावनाएँ समान नहीं होतीं। जब आप एक वेटलिस्ट टिकट खरीदते हैं, तो आप मौका लेते हैं। आप उम्मीद करते हैं कि यात्रा के समय तक यह कन्फर्म हो जाएगा।
हम यहाँ, हालाँकि, ऐसे प्रयोगों पर विचार कर रहे हैं जिनके परिणामों की आने की संभावना बराबर होती है।
4.3.1 परिणाम प्राप्त करना
आपने देखा होगा कि क्रिकेट मैच शुरू होने से पहले दोनों टीमों के कप्तान बल्लेबाज़ी का फैसला करने के लिए सिक्का उछालने जाते हैं।
जब सिक्का उछाला जाता है तो आपको कौन-से संभावित परिणाम मिलते हैं? बेशक, चित्त या पट्ट।
कल्पना कीजिए कि आप एक टीम के कप्तान हैं और आपका मित्र दूसरी टीम का कप्तान है। आप सिक्का उछालते हैं और अपने मित्र से कॉल करने को कहते हैं। क्या आप टॉस के परिणाम को नियंत्रित कर सकते हैं? क्या आप चाहें तो चित्त ला सकते हैं? या चाहें तो पट्ट? नहीं, यह संभव नहीं है। ऐसे प्रयोग को यादृच्छिक प्रयोग कहा जाता है। चित्त या पट्ट इस प्रयोग के दो परिणाम हैं।
इन्हें आज़माइए
1. यदि आप एक स्कूटर स्टार्ट करने की कोशिश करें, तो संभावित परिणाम क्या हैं?
2. जब एक पासा फेंका जाता है, तो छह संभावित परिणाम क्या हैं?
3. जब आप चित्र में दिखाए गए पहिए को घुमाते हैं, तो संभावित परिणाम क्या हैं? (चित्र 4.6) इन्हें सूचीबद्ध कीजिए।
(यहाँ परिणाम का अर्थ है वह सेक्टर जहाँ सूचक रुकता है)।
चित्र 4.6
चित्र 4.7
4. आपके पास पाँच समरूप गेंदें हैं जिनका रंग अलग-अलग है और आपको बिना देखे एक गेंद निकालनी है; परिणामों की सूची बनाइए जो आपको प्राप्त होंगे (चित्र 4.7)।
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए
पासा फेंकने में:
- क्या पहले खिलाड़ी को छह आने की अधिक संभावना होती है?
- क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी को छह आने की कम संभावना होगी?
- मान लीजिए दूसरे खिलाड़ी को छह आ गया। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी को छह आने की कोई संभावना नहीं होगी?
4.3.2 समसंभावित परिणाम:
एक सिक्के को कई बार उछाला जाता है और यह दर्ज किया जाता है कि कितनी बार हमें चित्त या पट प्राप्त होता है। आइए परिणाम-पत्रक को देखें जहाँ हम टॉसों की संख्या बढ़ाते जाते हैं:
| टॉस की संख्या | टैली चिह्न (H) | सिरों की संख्या | टैली चिह्न (T) | पूंछों की संख्या |
|---|---|---|---|---|
| 50 |  |
27 |  |
23 |
| 60 |  |
28 |  |
32 |
| 70 | $\ldots$ | 33 | … | 37 |
| 80 | $\ldots$ | 38 | $\ldots$ | 42 |
| 90 | $\ldots$ | 44 | $\ldots$ | 46 |
| 100 | $\ldots$ | 48 | $\ldots$ | 52 |
ध्यान दीजिए कि जैसे-जैसे आप टॉस की संख्या को और अधिक बढ़ाते हैं, सिरों की संख्या और पूंछों की संख्या एक-दूसरे के और अधिक निकट आती जाती हैं।
यह काम एक पासे के साथ भी किया जा सकता है, जब उसे बड़ी संख्या में फेंका जाए। छह में से प्रत्येक परिणाम की संख्या लगभग एक-दूसरे के बराबर हो जाती है।
ऐसे मामलों में, हम कह सकते हैं कि प्रयोग के विभिन्न परिणाम समान रूप से संभावित हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परिणाम के घटित होने की समान संभावना है।
4.3.3 संभावनाओं को प्रायिकता से जोड़ना
एक बार सिक्का उछालने के प्रयोग पर विचार करें। परिणाम क्या हैं? केवल दो परिणाम हैं – चित्त या पट्ट। दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं। चित्त आने की संभावना दो परिणामों में से एक है, अर्थात् $\frac{1}{2}$। दूसरे शब्दों में, हम कहते हैं कि चित्त आने की प्रायिकता $=\frac{1}{2}$ है। पट्ट आने की प्रायिकता क्या है?
अब एक पासे को उछालने के उदाहरण को लीजिए जिसके फलकों पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकित हैं (एक फलक पर एक संख्या)। यदि आप इसे एक बार उछालें तो परिणाम क्या हैं?
परिणाम हैं: $1,2,3,4,5,6$। इस प्रकार, छह समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
परिणाम ‘2’ आने की प्रायिकता क्या है?
यह $\frac{1}{6} \to$ है 2 देने वाले परिणामों की संख्या
संख्या 5 आने की प्रायिकता क्या है? संख्या 7 आने की प्रायिकता क्या है? 1 से 6 के बीच कोई संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
4.3.4 परिणामों को घटनाएँ
प्रयोग का प्रत्येक परिणाम या परिणामों का एक समूह एक घटना बनाता है।
उदाहरण के लिए सिक्का उछालने के प्रयोग में चित्त आना एक घटना है और पट्ट आना भी एक घटना है।
पासा उछालने के मामले में, प्रत्येक परिणाम $1,2,3,4,5$ या 6 आना एक-एक घटना है।
क्या सम संख्या आना एक घटना है? चूँकि सम संख्या 2, 4 या 6 हो सकती है, इसलिए सम संख्या आना भी एक घटना है। सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?
यह $\frac{3}{6} \to$ घटना बनाने वाले परिणामों की संख्या है
उदाहरण 3 : एक थैले में 4 लाल गेंदें और 2 पीली गेंदें हैं। (गेंदें रंग के अलावा सभी पहलुओं में समान हैं)। थैले से बिना थैले में देखे एक गेंद निकाली जाती है। लाल गेंद आने की प्रायिकता क्या है? क्या यह पीली गेंद आने से अधिक है या कम?
हल : इस घटना के कुल $(4+2=) 6$ परिणाम हैं। लाल गेंद आने के 4 परिणाम हैं। (क्यों?)
इसलिए, लाल गेंद आने की प्रायिकता $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ है। इसी प्रकार पीली गेंद आने की प्रायिकता $=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ है (क्यों?)। इसलिए, लाल गेंद आने की प्रायिकता पीली गेंद आने की प्रायिकता से अधिक है।
इन्हें आज़माइए
मान लीजिए आप पहिया घुमाते हैं
1. (i) इस पहिए पर हरा सेक्टर आने और हरा सेक्टर न आने के परिणामों की संख्या सूचीबद्ध कीजिए (चित्र 4.8)।
(ii) हरा सेक्टर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) हरा सेक्टर न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
चित्र 4.8
4.3.5 वास्तविक जीवन से संबंधित अवसर और प्रायिकता
हमने इस बात की सम्भावना के बारे में बात की कि वर्षा ठीक उस दिन हो जाए जब हम रेनकोट नहीं ले जाते।
आप इस सम्भावना के बारे में प्रायिकता के सन्दर्भ में क्या कह सकते हैं? क्या यह वर्षा ऋतु में 10 दिनों में एक बार हो सकती है? तब वर्षा होने की प्रायिकता $\frac{1}{10}$ है। वर्षा न होने की प्रायिकता $=\frac{9}{10}$। (यह मानते हुए कि किसी दिन वर्षा होना या न होना समान रूप से सम्भावित है) प्रायिकता का उपयोग वास्तविक जीवन में विभिन्न स्थितियों में किया जाता है।
1. किसी बड़े समूह के गुणधर्म जानने के लिए उस समूह के एक छोटे भाग का उपयोग करना।
उदाहरण के लिए, चुनावों के दौरान ‘एग्जिट पोल’ लिया जाता है। इसमें मतदान केन्द्रों से बाहर आते हुए लोगों से पूछा जाता है कि उन्होंने किसे वोट दिया है, ये केन्द्र बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं और पूरे क्षेत्र में फैले होते हैं। इससे प्रत्येक उम्मीदवार की जीत की सम्भावना का अनुमान लगाया जाता है और इसके आधार पर भविष्यवाणियाँ की जाती हैं।
2. मौसम विभाग अतीत के कई वर्षों के आँकड़ों में प्रवृत्तियों को देखकर मौसम की भविष्यवाणी करता है।
प्रश्नावली 4.2
1. इन प्रयोगों में आप कौन-कौन से परिणाम देख सकते हैं?
(a) एक पहिया घुमाना
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना
2. जब एक पासा फेंका जाता है, तब एक घटना के परिणामों की सूची बनाइए
(i) (a) एक अभाज्य संख्या
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं।
(ii) (a) 5 से बड़ी संख्या
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं।
3. ज्ञात कीजिए।
(a) सूचक (pointer) के प्रश्न 1-(a) में D पर रुकने की प्रायिकता?
(b) 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी से एक ईंस (ace) पाने की प्रायिकता?
(c) एक लाल सेब पाने की प्रायिकता। (नीचे चित्र देखिए)
4. संख्याएँ 1 से 10 तक दस अलग-अलग पर्चियों पर (एक पर्ची पर एक संख्या) लिखी गई हैं, जिन्हें एक डिब्बे में रखकर अच्छी तरह मिलाया गया है। डिब्बे से एक पर्ची बिना देखे चुनी जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है—
(i) संख्या 6 पाने की?
(ii) 6 से कम संख्या पाने की?
(iii) 6 से अधिक संख्या पाने की?
(iv) एक अंकीय संख्या पाने की?
5. यदि आपके पास 3 हरे, 1 नीले और 1 लाल क्षेत्रों वाला एक घूमने वाला पहिया है, तो हरा क्षेत्र पाने की प्रायिकता क्या है? गैर-नीला क्षेत्र पाने की प्रायिकता क्या है?
6. प्रश्न 2 में दी गई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हमने क्या चर्चा की है?
1. किसी भी आँकड़े से सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए हमें आँकड़े को व्यवस्थित रूप से संगठित करने की आवश्यकता होती है।
२. आँकड़ों को वृत्त आलेख या पाई चार्ट का प्रयोग करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है। एक वृत्त आलेख पूरे और उसके अंशों के बीच संबंध दिखाता है।
३. कुछ प्रयोग ऐसे होते हैं जिनके परिणामों के घटने की समान संभावना होती है।
४. एक यादृच्छिक प्रयोग वह होता है जिसका परिणाम पहले से ठीक-ठीक नहीं बताया जा सकता।
५. किसी प्रयोग के परिणाम समसंभावी होते हैं यदि प्रत्येक के घटने की समान संभावना हो।
६. किसी घटना की प्रायिकता $=\frac{\text{ परिणामों की संख्या जो घटना बनाते हैं }}{\text{ प्रयोग के कुल परिणामों की संख्या }}$, जब परिणाम समसंभावी हों।
७. प्रयोग के एक या अधिक परिणाम एक घटना बनाते हैं।
८. संभावनाएँ और प्रायिकता वास्तविक जीवन से संबंधित होती हैं।
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