1. പരിചയം

മുമ്പത്തെ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയുടെ പട്ടികാത്മകവും ഗ്രാഫിക് പ്രാതിനിധ്യവും നിങ്ങൾ വായിച്ചു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, ഡാറ്റയെ ചുരുക്കത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാപരമായ രീതിയായ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. ഒരു ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഒരു പരീക്ഷയിൽ നേടിയ ശരാശരി മാർക്കുകൾ, ഒരു പ്രദേശത്തെ ശരാശരി മഴ, ഒരു ഫാക്ടറിയിലെ ശരാശരി ഉൽപാദനം, ഒരു പ്രദേശത്ത് താമസിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫർമ്മിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന വ്യക്തികളുടെ ശരാശരി വരുമാനം തുടങ്ങി ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ ഒരു വലിയ ഡാറ്റ സെറ്റ് സംഗ്രഹിക്കുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

ബൈജു ഒരു കർഷകനാണ്. അദ്ദേഹം ബിഹാറിലെ ബുക്സർ ജില്ലയിലെ ബാലാപൂർ എന്ന ഗ്രാമത്തിൽ തന്റെ നിലത്ത് ധാന്യങ്ങൾ വളർത്തുന്നു. ഗ്രാമത്തിൽ 50 ചെറുകർഷകരുണ്ട്. ബൈജുവിന് 1 ഏക്കർ നിലമുണ്ട്. ബാലാപൂരിലെ ചെറുകർഷകരുടെ സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി അറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ബാലാപൂർ ഗ്രാമത്തിലെ ബൈജുവിന്റെ സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇതിനായി, ബാലാപൂരിലെ മറ്റ് കർഷകരുടെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ വലുപ്പവുമായി താരതമ്യം ചെയ്ത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ വലുപ്പം നിങ്ങൾ വിലയിരുത്തേണ്ടിവരും. ബൈജു ഉടമയായ ഭൂമി ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏതാണെന്ന് നോക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചേക്കാം -

1. സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ ശരാശരിക്ക് മുകളിൽ (അങ്കഗണിത മാധ്യം കാണുക)
2. പകുതി കർഷകർ ഉടമയായ വലുപ്പത്തിന് മുകളിൽ (മധ്യമം കാണുക)
3. മിക്ക കർഷകരും ഉടമയായ വലുപ്പത്തിന് മുകളിൽ (ബഹുതമാവർത്തിതം കാണുക)

ബൈജുവിന്റെ ആപേക്ഷിക സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ബാലാപൂരിലെ കർഷകരുടെ ഭൂവുടമസ്ഥതയുടെ മുഴുവൻ ഡാറ്റ സെറ്റും നിങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ഒറ്റ മൂല്യം മുഴുവൻ ഡാറ്റയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതിയിൽ ഡാറ്റയെ ഒരൊറ്റ മൂല്യത്തിൽ സംഗ്രഹിക്കുന്ന കേന്ദ്രീയ പ്രവണത ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. കേന്ദ്രീയ പ്രവണത അളക്കുക എന്നത് ഒരു സാധാരണമായ അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിനിധി മൂല്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഡാറ്റ സംഗ്രഹിക്കുന്ന ഒരു മാർഗമാണ്.

കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അല്ലെങ്കിൽ “ശരാശരി"യുടെ നിരവധി സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അളവുകളുണ്ട്. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് ശരാശരികൾ ഇവയാണ്:

• അങ്കഗണിത മാധ്യം
• മധ്യമം
• ബഹുതമാവർത്തിതം

ജ്യാമിതീയ മാധ്യവും ഹാര്മോണിക് മാധ്യവും ഉൾപ്പെടെ രണ്ട് തരം ശരാശരികൾ കൂടിയുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം, അവ ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ അനുയോജ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോഴത്തെ ചർച്ച മുകളിൽ പരാമർശിച്ച മൂന്ന് തരം ശരാശരികളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തും.

2. അങ്കഗണിത മാധ്യം

ആറ് കുടുംബങ്ങളുടെ പ്രതിമാസ വരുമാനം (രൂപയിൽ) ഇങ്ങനെയാണെന്ന് കരുതുക: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

വരുമാനങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് കുടുംബങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം ലഭിക്കുന്നത്.

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= Rs 1,547

ഇതിനർത്ഥം ശരാശരിയായി, ഒരു കുടുംബത്തിന് 1,547 രൂപ സമ്പാദിക്കാനാകും എന്നാണ്.

അങ്കഗണിത മാധ്യം ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവാണ്. എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നതായി ഇത് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് സാധാരണയായി $\overline{\mathrm{X}}$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പൊതുവേ, $\mathrm{N}$ നിരീക്ഷണങ്ങൾ $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ ആണെങ്കിൽ, അങ്കഗണിത മാധ്യം നൽകുന്നത്

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

വലതുവശത്തെ $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ എന്ന് എഴുതാം. ഇവിടെ, $\mathrm{i}$ ഒരു സൂചികയാണ്, അത് തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങൾ 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ എടുക്കുന്നു.

സൗകര്യത്തിനായി, ഇത് i എന്ന സൂചിക ഇല്ലാതെ ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതും. അങ്ങനെ $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, ഇവിടെ, $\Sigma \mathrm{X}=$ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക, $\mathrm{N}=$ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

അങ്കഗണിത മാധ്യം എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നു

അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ രണ്ട് വിശാലമായ വിഭാഗങ്ങളിൽ പഠിക്കാം:

1. അസംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം.
2. സംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം.

അസംഘടിത ഡാറ്റയുടെ ശ്രേണിക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം

നേരിട്ടുള്ള രീതി

നേരിട്ടുള്ള രീതി വഴിയുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം എന്നത് ഒരു ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയെ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്.

ഉദാഹരണം 1

ഒരു സാമ്പത്തികശാസ്ത്ര പരീക്ഷയിൽ ഒരു ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്കുകൾ കാണിക്കുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുക: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

സാമ്പത്തികശാസ്ത്ര പരീക്ഷയിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി മാർക്ക് 56.2 ആണ്.

അനുമാനിത മാധ്യ രീതി

ഡാറ്റയിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിലും / അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യകൾ വലുതാണെങ്കിൽ, നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കാം.

വലിയ എണ്ണം നിരീക്ഷണങ്ങളും വലിയ സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയ ഒരു ഡാറ്റ സെറ്റിൽ നിന്ന് മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നതിൽ സമയം ലാഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഇവിടെ ലോജിക്/അനുഭവത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഡാറ്റയിലെ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയെ അങ്കഗണിത മാധ്യമായി നിങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറഞ്ഞ അനുമാനിത മാധ്യത്തിൽ നിന്ന് ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നുമുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ എടുക്കാം. തുടർന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് ഈ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എടുത്ത് ഡാറ്റയിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെയും അനുപാതം അനുമാനിത മാധ്യത്തോട് ചേർത്താണ് യഥാർത്ഥ അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത്. പ്രതീകാത്മകമായി,

അനുമാനിത മാധ്യം $\mathrm{A}=$ ആയിരിക്കട്ടെ

$\mathrm{X}=$ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണങ്ങൾ

$\mathrm{N}=$ ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം

$d=$ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നുള്ള അനുമാനിത മാധ്യത്തിന്റെ വ്യതിയാനം, അതായത് $d=X-A$

എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ ആയി എടുക്കുന്നു

തുടർന്ന് $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ കണ്ടെത്തുക

തുടർന്ന് $\mathrm{A}$, $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ എന്നിവ ചേർത്ത് $\overline{\mathrm{X}}$ നേടുക

അതിനാൽ, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

ഡാറ്റയിലുള്ളതോ ഇല്ലാത്തതോ ആയ ഏത് മൂല്യവും അനുമാനിത മാധ്യമായി എടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടൽ ലളിതമാക്കുന്നതിന്, ഡാറ്റയിലെ കേന്ദ്രീയമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മൂല്യം അനുമാനിത മാധ്യമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

10 കുടുംബങ്ങളുടെ പ്രതിവാര വരുമാനം ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ കാണിക്കുന്നു.

കുടുംബം

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

പ്രതിവാര വരുമാനം (രൂപയിൽ)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

ശരാശരി കുടുംബ വരുമാനം കണക്കാക്കുക.

പട്ടിക 5.1 അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

അങ്ങനെ, രണ്ട് രീതികളിലും ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ ശരാശരി പ്രതിവാര വരുമാനം 1,116 രൂപയാണ്. നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം.

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

അനുമാനിത മാധ്യത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളെയും പൊതുഘടകം ‘c’ കൊണ്ട് ഹരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൂടുതൽ ലളിതമാക്കാം. വലിയ സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം, അതായത് $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ, $\mathrm{d}^{\prime}$ കണ്ടെത്തുക. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യാം:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

ഫോർമുല ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

ഇവിടെ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ പൊതുഘടകം, $\mathrm{N}=$ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം, $\mathrm{A}=$ അനുമാനിത മാധ്യം.

അങ്ങനെ, ഉദാഹരണം 2 ൽ സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കാം,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

സംഘടിത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

വിവേചനാത്മക ശ്രേണി

നേരിട്ടുള്ള രീതി

വിവേചനാത്മക ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും എതിരായ ആവൃത്തി നിരീക്ഷണത്തിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിച്ച് ആകെ ആവൃത്തികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. പ്രതീകാത്മകമായി,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

ഇവിടെ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ ചരങ്ങളുടെയും ആവൃത്തികളുടെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ ആകെത്തുക.

$\Sigma f=$ ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുക.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ഹൗസിംഗ് കോളനിയിലെ പ്ലോട്ടുകൾ മൂന്ന് വലുപ്പങ്ങളിൽ മാത്രമേ വരുന്നുള്ളൂ: 100 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, 200 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, 300 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, പ്ലോട്ടുകളുടെ എണ്ണം യഥാക്രമം 200 50 10 എന്നിവയാണ്.

പട്ടിക 5.2 നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

നേരിട്ടുള്ള രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യം,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ ചതുരശ്ര മീറ്റർ

അതിനാൽ, ഹൗസിംഗ് കോളനിയിലെ ശരാശരി പ്ലോട്ട് വലുപ്പം 126.92 ചതുരശ്ര മീറ്ററാണ്.

അനുമാനിത മാധ്യ രീതി

വ്യക്തിഗത ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഓരോ ഇനത്തിന്റെയും ആവൃത്തി (f) ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഓരോ വ്യതിയാനവും (d) ആവൃത്തി കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് fd ലഭിക്കുന്ന ഒരു ലളിതമായ പരിഷ്കാരത്തോടെ, നേരത്തെ വിവരിച്ചതുപോലെ, അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാം. അടുത്ത ഘട്ടം എല്ലാ ആവൃത്തികളുടെയും ആകെത്തുക ലഭിക്കുകയാണ്, അതായത് $\Sigma \mathrm{f}$. തുടർന്ന് $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ കണ്ടെത്തുക. അവസാനമായി, അനുമാനിത മാധ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ച് $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ വഴി അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നു.

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ ലളിതമാക്കുന്നതിന് വ്യതിയാനങ്ങളെ പൊതുഘടകം ‘c’ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന് സംഖ്യാപരമായ സംഖ്യകളുടെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കുന്നതിനായി നമ്മൾ $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ കണക്കാക്കുന്നു. തുടർന്ന് $\mathrm{fd}^{\prime}$, $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ എന്നിവ ലഭിക്കുന്നു. സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

പ്രവർത്തനം

• ഉദാഹരണം 3 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക്, സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ, അനുമാനിത മാധ്യ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരി പ്ലോട്ട് വലുപ്പം കണ്ടെത്തുക.

തുടർച്ചയായ ശ്രേണി

ഇവിടെ, ക്ലാസ് ഇന്റർവെലുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. തുടർച്ചയായ ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിൽ അങ്കഗണിത മാധ്യം കണക്കാക്കുന്ന പ്രക്രിയ വിവേചനാത്മക ശ്രേണിയുടേതിന് സമാനമാണ്. വിവിധ ക്ലാസ് ഇന്റർവെലുകളുടെ മധ്യ ബിന്ദുക്കൾ എടുക്കുന്നു എന്നതാണ് ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം. ക്ലാസ് ഇന്റർവെലുകൾ എക്സ്ക്ലൂസീവ് അല്ലെങ്കിൽ ഇൻക്ലൂസീവ് അല്ലെങ്കിൽ അസമമായ വലുപ്പമുള്ളതാകാമെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. എക്സ്ക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇന്റർവെലിന്റെ ഉദാഹരണം, 0-10, 10-20 തുടങ്ങിയവയാണ്. ഇൻക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇന്റർവെലിന്റെ ഉദാഹരണം, 0-9, 10-19 തുടങ്ങിയവയാണ്. അസമമായ ക്ലാസ് ഇന്റർവെലിന്റെ ഉദാഹരണം, 0-20, 20-50 തുടങ്ങിയവയാണ്. ഈ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, അങ്കഗണിത മാധ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സമാനമായ രീതിയിലാണ് ചെയ്യുന്നത്.

ഉദാഹരണം 4

ഇനിപ്പറയുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി മാർക്കുകൾ (a) നേരിട്ടുള്ള രീതി (b) സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക.

നേരിട്ടുള്ള രീതി

മാർക്കുകൾ

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

പട്ടിക 5.3 എക്സ്ക്ലൂസീവ് ക്ലാസ് ഇന്റർവെൽ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ടുള്ള രീതി വഴി ശരാശരി മാർക്കുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഘട്ടങ്ങൾ:

1. $\mathrm{m}$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഓരോ ക്ലാസിനും മധ്യ മൂല്യങ്ങൾ നേടുക.
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ നേടുക, നേരിട്ടുള്ള രീതി ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

സ്റ്റെപ്പ് ഡീവിയേഷൻ രീതി

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ നേടുക
2. $\mathrm{A}=35$ എടുക്കുക, (ഏതെങ്കിലും