১. ভূমিকা

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে, আপনি তথ্যের সারণীবদ্ধ ও চিত্রগত উপস্থাপনা সম্পর্কে পড়েছেন। এই অধ্যায়ে, আপনি কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলি নিয়ে অধ্যয়ন করবেন যা সংক্ষেপে তথ্য ব্যাখ্যা করার একটি সংখ্যাগত পদ্ধতি। দৈনন্দিন জীবনে আপনি একটি বৃহৎ তথ্যসমষ্টিকে সংক্ষিপ্ত করার উদাহরণ দেখতে পারেন, যেমন একটি শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের একটি পরীক্ষায় প্রাপ্ত গড় নম্বর, একটি এলাকায় গড় বৃষ্টিপাত, একটি কারখানায় গড় উৎপাদন, একটি এলাকায় বসবাসকারী বা একটি প্রতিষ্ঠানে কর্মরত ব্যক্তিদের গড় আয় ইত্যাদি।

বৈজু একজন কৃষক। তিনি বিহারের বক্সার জেলার বালাপুর নামক একটি গ্রামে তার জমিতে খাদ্যশস্য চাষ করেন। গ্রামটি ৫০ জন ক্ষুদ্র কৃষক নিয়ে গঠিত। বৈজুর ১ একর জমি আছে। আপনি বালাপুরের ক্ষুদ্র কৃষকদের অর্থনৈতিক অবস্থা জানতে আগ্রহী। আপনি বালাপুর গ্রামে বৈজুর অর্থনৈতিক অবস্থার তুলনা করতে চান। এর জন্য, আপনাকে বালাপুরের অন্যান্য কৃষকদের জমির মালিকানার আকারের সাথে তুলনা করে তার জমির মালিকানার আকার মূল্যায়ন করতে হতে পারে। আপনি দেখতে চাইতে পারেন বৈজুর মালিকানাধীন জমি -

১. সাধারণ অর্থে গড়ের উপরে কি না (গাণিতিক গড় দেখুন) ২. অর্ধেক কৃষক যা মালিকানাধীন তার আকারের উপরে কি না (মধ্যমা দেখুন) ৩. অধিকাংশ কৃষক যা মালিকানাধীন তার উপরে কি না (প্রথা দেখুন)

বৈজুর আপেক্ষিক অর্থনৈতিক অবস্থা মূল্যায়ন করার জন্য, আপনাকে বালাপুরের কৃষকদের জমির মালিকানার সম্পূর্ণ তথ্যসমষ্টি সংক্ষিপ্ত করতে হবে। এটি কেন্দ্রীয় প্রবণতা ব্যবহার করে করা যেতে পারে, যা তথ্যসমষ্টিকে একটি একক মানে এমনভাবে সংক্ষিপ্ত করে যে এই একক মানটি সম্পূর্ণ তথ্যসমষ্টিকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হল একটি সাধারণ বা প্রতিনিধিত্বমূলক মানের আকারে তথ্য সংক্ষিপ্ত করার একটি উপায়।

কেন্দ্রীয় প্রবণতা বা “গড়” এর বেশ কয়েকটি পরিসংখ্যানগত পরিমাপ রয়েছে। সর্বাধিক ব্যবহৃত তিনটি গড় হল:

• গাণিতিক গড়
• মধ্যমা
• প্রথা

আপনি লক্ষ্য রাখবেন যে আরও দুই ধরনের গড় রয়েছে যথা জ্যামিতিক গড় এবং হারমোনিক গড়, যা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে উপযুক্ত। তবে, বর্তমান আলোচনা উপরে উল্লিখিত তিন ধরনের গড়ের মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকবে।

২. গাণিতিক গড়

ধরুন ছয়টি পরিবারের মাসিক আয় (টাকায়) দেওয়া আছে: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

গড় পরিবার আয় পাওয়া যায় আয়গুলি যোগ করে এবং পরিবারের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= টাকা 1,547

এটি বোঝায় যে গড়ে, একটি পরিবার টাকা 1,547 আয় করে।

গাণিতিক গড় হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার সর্বাধিক ব্যবহৃত পরিমাপ। এটি সংজ্ঞায়িত করা হয় সকল পর্যবেক্ষণের মানের সমষ্টিকে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে এবং সাধারণত $\overline{\mathrm{X}}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সাধারণভাবে, যদি $\mathrm{N}$ টি পর্যবেক্ষণ $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ হিসাবে থাকে, তবে গাণিতিক গড় দেওয়া হয়

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

ডান দিকটি $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এখানে, $\mathrm{i}$ একটি সূচক যা ক্রমিক মান 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ গ্রহণ করে।

সুবিধার জন্য, এটি i সূচক ছাড়াই সরল আকারে লেখা হবে। সুতরাং $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, যেখানে, $\Sigma \mathrm{X}=$ সকল পর্যবেক্ষণের সমষ্টি এবং $\mathrm{N}=$ মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

গাণিতিক গড় কীভাবে গণনা করা হয়

গাণিতিক গড়ের গণনা দুটি বৃহৎ বিভাগের অধীনে অধ্যয়ন করা যেতে পারে:

১. অগোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের জন্য গাণিতিক গড়। ২. গোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের জন্য গাণিতিক গড়।

অগোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের শ্রেণীর জন্য গাণিতিক গড়

প্রত্যক্ষ পদ্ধতি

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গাণিতিক গড় হল একটি শ্রেণীর সকল পর্যবেক্ষণের সমষ্টিকে মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা।

উদাহরণ ১

একটি অর্থনীতি পরীক্ষায় একটি শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের নম্বর দেখানো তথ্য থেকে গাণিতিক গড় গণনা করুন: $40,50,55$, $78,58$।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

অর্থনীতি পরীক্ষায় শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর হল 56.2।

কল্পিত গড় পদ্ধতি

যদি তথ্যে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বেশি হয় এবং/অথবা সংখ্যাগুলি বড় হয়, তবে প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে গাণিতিক গড় গণনা করা কঠিন। কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা সহজ করা যেতে পারে।

বৃহৎ সংখ্যক পর্যবেক্ষণ এবং বৃহৎ সংখ্যাসূচক মান সম্বলিত একটি তথ্যসমষ্টি থেকে গড় গণনা করতে সময় বাঁচানোর জন্য, আপনি কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। এখানে আপনি যুক্তি/অভিজ্ঞতার ভিত্তিতে তথ্যের একটি নির্দিষ্ট মানকে গাণিতিক গড় হিসাবে ধরে নেন। তারপর আপনি উক্ত কল্পিত গড় থেকে প্রতিটি পর্যবেক্ষণের বিচ্যুতি নিতে পারেন। আপনি তারপর, এই বিচ্যুতিগুলির সমষ্টি নিতে পারেন এবং এটি তথ্যের পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে পারেন। প্রকৃত গাণিতিক গড় অনুমান করা হয় কল্পিত গড় এবং বিচ্যুতির সমষ্টির অনুপাতকে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে যোগ করে। প্রতীকীভাবে,

ধরুন, $\mathrm{A}=$ কল্পিত গড়

$\mathrm{X}=$ স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণ

$\mathrm{N}=$ মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা

$d=$ স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণ থেকে কল্পিত গড়ের বিচ্যুতি, অর্থাৎ $d=X-A$

তারপর সকল বিচ্যুতির সমষ্টি নেওয়া হয় $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ হিসাবে

তারপর $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ নির্ণয় করুন

তারপর $\mathrm{A}$ এবং $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ যোগ করুন $\overline{\mathrm{X}}$ পেতে

অতএব, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

আপনার মনে রাখা উচিত যে যেকোনো মান, তথ্যে বিদ্যমান থাকুক বা না থাকুক, কল্পিত গড় হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। তবে, গণনা সহজ করার জন্য, তথ্যের কেন্দ্রীয়ভাবে অবস্থিত মানকে কল্পিত গড় হিসাবে নির্বাচন করা যেতে পারে।

উদাহরণ ২

নিম্নলিখিত তথ্যটি ১০টি পরিবারের সাপ্তাহিক আয় দেখায়।

পরিবার

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

সাপ্তাহিক আয় (টাকায়)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

গড় পরিবার আয় গণনা করুন।

সারণী ৫.১ কল্পিত গড় পদ্ধতি দ্বারা গাণিতিক গড়ের গণনা

কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে গাণিতিক গড়

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

সুতরাং, উভয় পদ্ধতি দ্বারা একটি পরিবারের গড় সাপ্তাহিক আয় হল টাকা 1,116। আপনি প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি যাচাই করতে পারেন।

পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি

কল্পিত গড় থেকে নেওয়া সকল বিচ্যুতিকে সাধারণ উৎপাদক ‘c’ দিয়ে ভাগ করে গণনাগুলি আরও সরলীকরণ করা যেতে পারে। উদ্দেশ্য হল বড় সংখ্যাসূচক মান এড়ানো, অর্থাৎ, যদি $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ খুব বড় হয়, তবে $\mathrm{d}^{\prime}$ নির্ণয় করুন। এটি নিম্নরূপে করা যেতে পারে:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

সূত্রটি নীচে দেওয়া হল:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

যেখানে $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ সাধারণ উৎপাদক, $\mathrm{N}=$ পর্যবেক্ষণের সংখ্যা, $\mathrm{A}=$ কল্পিত গড়।

সুতরাং, আপনি পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি দ্বারা উদাহরণ ২-এ গাণিতিক গড় গণনা করতে পারেন,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$।

গোষ্ঠীবদ্ধ তথ্যের জন্য গাণিতিক গড়ের গণনা

বিচ্ছিন্ন শ্রেণী

প্রত্যক্ষ পদ্ধতি

বিচ্ছিন্ন শ্রেণীর ক্ষেত্রে, প্রতিটি পর্যবেক্ষণের বিপরীতে কম্পাঙ্ককে পর্যবেক্ষণের মান দ্বারা গুণ করা হয়। প্রাপ্ত মানগুলি সমষ্টি করা হয় এবং মোট কম্পাঙ্কের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়। প্রতীকীভাবে,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

যেখানে, $\Sigma \mathrm{fX}=$ চলক এবং কম্পাঙ্কের গুণফলের সমষ্টি।

$\Sigma f=$ কম্পাঙ্কের সমষ্টি।

উদাহরণ ৩

একটি আবাসন কলোনিতে প্লট শুধুমাত্র তিনটি আকারের হয়: 100 বর্গ মিটার, 200 বর্গ মিটার এবং 300 বর্গ মিটার এবং প্লটের সংখ্যা যথাক্রমে 200 50 এবং 10।

সারণী ৫.২ প্রত্যক্ষ পদ্ধতি দ্বারা গাণিতিক গড়ের গণনা

প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যবহার করে গাণিতিক গড়,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ বর্গ মিটার

অতএব, আবাসন কলোনিতে গড় প্লটের আকার হল 126.92 বর্গ মিটার।

কল্পিত গড় পদ্ধতি

স্বতন্ত্র শ্রেণীর ক্ষেত্রে হিসাবে, পূর্বে বর্ণিত হিসাবে, একটি সরল পরিবর্তনের সাথে, কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনাগুলি সরলীকরণ করা যেতে পারে। যেহেতু এখানে প্রতিটি পদটির কম্পাঙ্ক (f) দেওয়া আছে, আমরা প্রতিটি বিচ্যুতি (d) কে কম্পাঙ্ক দ্বারা গুণ করে fd পাই। তারপর আমরা $\Sigma \mathrm{fd}$ পাই। পরবর্তী ধাপ হল সকল কম্পাঙ্কের সমষ্টি পাওয়া অর্থাৎ $\Sigma \mathrm{f}$। তারপর $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ নির্ণয় করুন। অবশেষে, গাণিতিক গড় গণনা করা হয় $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে।

পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি

এই ক্ষেত্রে, বিচ্যুতিগুলিকে সাধারণ উৎপাদক ‘c’ দিয়ে ভাগ করা হয় যা গণনা সহজ করে। এখানে আমরা $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ অনুমান করি যাতে সহজ গণনার জন্য সংখ্যাসূচক মানের আকার হ্রাস করা যায়। তারপর $\mathrm{fd}^{\prime}$ এবং $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ পান। পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে গাণিতিক গড়ের সূত্র দেওয়া হল,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

কার্যকলাপ

• উদাহরণ ৩-এ দেওয়া তথ্যের জন্য, পদ-বিচ্যুতি এবং কল্পিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে গড় প্লটের আকার নির্ণয় করুন।

অবিচ্ছিন্ন শ্রেণী

এখানে, শ্রেণী ব্যবধান দেওয়া আছে। অবিচ্ছিন্ন শ্রেণীর ক্ষেত্রে গাণিতিক গড় গণনার প্রক্রিয়া বিচ্ছিন্ন শ্রেণীর মতোই। একমাত্র পার্থক্য হল বিভিন্ন শ্রেণী ব্যবধানের মধ্যবিন্দু নেওয়া হয়। আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে শ্রেণী ব্যবধান একচেটিয়া বা অন্তর্ভুক্তিমূলক বা অসম আকারের হতে পারে। একচেটিয়া শ্রেণী ব্যবধানের উদাহরণ হল, বলুন, 0-10, 10-20 ইত্যাদি। অন্তর্ভুক্তিমূলক শ্রেণী ব্যবধানের উদাহরণ হল, বলুন, 0-9, 10-19 ইত্যাদি। অসম শ্রেণী ব্যবধানের উদাহরণ হল, বলুন, 0-20, 20-50 ইত্যাদি। এই সকল ক্ষেত্রে, গাণিতিক গড়ের গণনা একই রকমভাবে করা হয়।

উদাহরণ ৪

নিম্নলিখিত শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর গণনা করুন (ক) প্রত্যক্ষ পদ্ধতি (খ) পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি ব্যবহার করে।

প্রত্যক্ষ পদ্ধতি

নম্বর

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

শিক্ষার্থীর সংখ্যা

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

সারণী ৫.৩ প্রত্যক্ষ পদ্ধতি দ্বারা একচেটিয়া শ্রেণী ব্যবধানের জন্য গড় নম্বরের গণনা

ধাপসমূহ:

১. প্রতিটি শ্রেণীর জন্য মধ্যবিন্দু $\mathrm{m}$ দ্বারা চিহ্নিত করে নির্ণয় করুন। ২. $\Sigma \mathrm{fm}$ নির্ণয় করুন এবং প্রত্যক্ষ পদ্ধতির সূত্র প্রয়োগ করুন:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

পদ-বিচ্যুতি পদ্ধতি

১. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ নির্ণয় করুন ২. $\mathrm{A}=35$ নিন, (যেকোনো নির্বিচারে মান), $\mathrm{c}=$ সাধারণ উৎপাদক।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

গাণিতিক গড়ের দুটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য

(i) গাণিতিক গড় সম্পর্কে পদগুলির বিচ্যুতির সমষ্টি সর্বদা শূন্যের সমান। প্রতীকীভাবে, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) গাণিতিক গড় চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয়। যেকোনো বড় মান, যেকোনো প্রান্তে, এটি বাড়াতে বা কমাতে পারে।

ওজনযুক্ত গাণিতিক গড়

কখনও কখনও গাণিতিক গড় গণনা করার সময় বিভিন্ন পদকে তাদের গুরুত্ব অনুযায়ী ওজন নির্ধারণ করা গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, দুটি পণ্য রয়েছে, আম এবং আলু। আপনি আম $P_1$ এবং আলুর $P_2$ গড় মূল্য নির্ণয় করতে আগ্রহী। গাণিতিক গড় হবে $\frac{p_1+p_2}{2}$। তবে, আপনি আলুর মূল্য বৃদ্ধি $P_2$-কে বেশি গুরুত্ব দিতে চাইতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনি ভোক্তার বাজেটে আমের অংশ $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ এবং বাজেটে আলুর অংশ $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$-কে ‘ওজন’ হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন। এখন বাজেটের অংশ দ্বারা ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় হবে $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

সাধারণভাবে ওজনযুক্ত গাণিতিক গড় দেওয়া হয়,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

যখন মূল্য বৃদ্ধি পায়, আপনি আপনার জন্য বেশি গুরুত্বপূর্ণ পণ্যগুলির মূল্য বৃদ্ধিতে আগ্রহী হতে পারেন। আপনি অধ্যায় ৮-এ সূচক সংখ্যার আলোচনায় এ সম্পর্কে আরও পড়বেন।

কার্যকলাপ

• নিম্নলিখিত উদাহরণের জন্য গাণিতিক গড়ের বৈশিষ্ট্য যাচাই করুন:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• উপরের উদাহরণে যদি গড় ২ দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তবে স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণগুলির কী হয়।
• যদি প্রথম তিনটি পদ ২ দ্বারা বৃদ্ধি পায়, তবে শেষ দুটি পদের মান কী হওয়া উচিত, যাতে গড় একই থাকে।
• ১২ মানটিকে ৯৬ দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন। গাণিতিক গড়ের কী হয়? মন্তব্য করুন।

৩. মধ্যমা

মধ্যমা হল চলকের সেই অবস্থানগত মান যা বণ্টনকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে, একটি অংশ মধ্যমা মানের সমান বা তার চেয়ে বড় সকল মান ধারণ করে এবং অন্যটি এর সমান বা তার চেয়ে কম সকল মান ধারণ করে। মধ্যমা হল “মধ্যম” উপাদান যখন তথ্যসমষ্টি পরিমাণের ক্রমে সাজানো হয়। যেহেতু মধ্যমা বিভিন্ন মানের অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয়, এটি অপ্রভাবিত থাকে যদি, বলুন, বৃহত্তম মানের আকার বৃদ্ধি পায়।

মধ্যমার গণনা

তথ্যসমষ্টিকে ক্ষুদ্রতম থেকে বৃহত্তমে সাজিয়ে এবং মধ্যবর্তী মান বের করে মধ্যমা সহজেই গণনা করা যেতে পারে।

উদাহরণ ৫

ধরুন আমাদের একটি তথ্যসমষ্টিতে নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণ রয়েছে: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, এবং 3।

তথ্যসমষ্টিকে আরোহী ক্রমে সাজালে আপনি পাবেন:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$।

“মধ্যম নম্বর” হল 6, সুতরাং মধ্যমা হল 6। অর্ধেক নম্বর 6-এর চেয়ে বড় এবং অর্ধেক নম্বর ছোট।

যদি তথ্যে জোড় সংখ্যা থাকে, তবে দুটি পর্যবেক্ষণ মধ্যমে পড়বে। এই ক্ষেত্রে মধ্যমা গণনা করা হয় দুটি মধ্যবর্তী মানের গাণিতিক গড় হিসাবে।

কার্যকলাপ

• শ্রেণীর চারটি মানের জন্য গড় এবং মধ্যমা নির্ণয় করুন। আপনি কী পর্যবেক্ষণ করেন?

সারণী ৫.৪ বিভিন্ন শ্রেণীর গড় এবং মধ্যমা

শ্রেণী	X (চলকের মান)	গড়	মধ্যমা
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• মধ্যমা কি চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয়? আউটলায়ার কী?
• মধ্যমা কি গড়ের চেয়ে একটি ভাল পদ্ধতি?

উদাহরণ ৬

নিম্নলিখিত তথ্যটি ২০ জন শিক্ষার্থীর নম্বর প্রদান করে। আপনাকে মধ্যমা নম্বর গণনা করতে বলা হয়েছে।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33।

তথ্যসমষ্টিকে আরোহী ক্রমে সাজালে আপনি পাবেন

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে মধ্যমে দুটি পর্যবেক্ষণ রয়েছে, 45 এবং 46। মধ্যমা পাওয়া যেতে পারে দুটি পর্যবেক্ষণের গড় নিয়ে:

মধ্যমা $=\frac{45+46}{2}=45.5$ নম্বর

মধ্যমা গণনা করার জন্য মধ্যমার অবস্থান জানা গুরুত্বপূর্ণ অর্থাৎ যে পদ/পদগুলিতে মধ্যমা অবস্থিত। মধ্যমার অবস্থান নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা যেতে পারে:

মধ্যমার অবস্থান $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ পদ

যেখানে $\mathrm{N}=$ পদের সংখ্যা।

আপনি লক্ষ্য করতে পারেন যে উপরের সূত্রটি আপনাকে একটি ক্রমবদ্ধ অ্যারে মধ্যে মধ্যমার অবস্থান দেয়, মধ্যমা নিজে নয়। মধ্যমা গণনা করা হয় সূত্র দ্বারা:

মধ্যমা $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ পদের আকার

বিচ্ছিন্ন শ্রেণী

বিচ্ছিন্ন শ্রেণীর ক্ষেত্রে মধ্যমার অবস্থান অর্থাৎ $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ পদ সঞ্চিত কম্পাঙ্কের মাধ্যমে অবস্থান করা যেতে পারে। এই অবস্থানে সংশ্লিষ্ট মান হল মধ্যমার মান।

উদাহরণ ৭

ব্যক্তির সংখ্যা এবং তাদের respective আয়ের ($\mathrm{Rs}$-এ) কম্পাঙ্ক বণ্টন নীচে দেওয়া হয়েছে। মধ্যমা আয় গণনা করুন।

$\begin{array}{lllll}\text { Income (in Rs): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

ব্যক্তির সংখ্যা: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

মধ্যমা আয় গণনা করার জন্য, আপনি নীচে দেওয়া হিসাবে কম্পাঙ্ক বণ্টন প্রস্তুত করতে পারেন।

সারণী ৫.৫ বিচ্ছিন্ন শ্রেণীর জন্য মধ্যমার গণনা

মধ্যমা অবস্থিত $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {th }}$ পর্যবেক্ষণে। এটি সহজেই সঞ্চিত কম্পাঙ্কের মাধ্যমে অবস্থান করা যেতে পারে। $10.5^{\text {th }}$ পর্যবেক্ষণটি 16-এর c.f.-এ অবস্থিত। এর সাথে সংশ্লিষ্ট আয় হল টাকা 30, সুতরাং মধ্যমা আয় হল $\mathrm{Rs} 30$।

অবিচ্ছিন্ন শ্রেণী

অবিচ্ছিন্ন শ্রেণীর ক্ষেত্রে আপনাকে মধ্যমা শ্রেণী অবস্থান করতে হবে যেখানে $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ পদ $\left[\right.$ নয় $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ পদ] অবস্থিত। তারপর মধ্যমা নিম্নরূপে পাওয়া যেতে পারে:

মধ্যমা $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

যেখানে, $\mathrm{L}=$ মধ্যমা শ্রেণীর নিম্ন সীমা,

c.f. $=$ মধ্যমা শ্রেণীর পূর্ববর্তী শ্রেণীর সঞ্চিত কম্পাঙ্ক,

$\mathrm{f}=$ মধ্যমা শ্রেণীর কম্পাঙ্ক,

$\mathrm{h}=$ মধ্যমা শ্রেণী ব্যবধানের মাত্রা।

যদি কম্পাঙ্ক অসম আকার বা মাত্রার হয় তবে কোন সমন্বয়ের প্রয়োজন নেই।

উদাহরণ ৮

নিম্নলিখিত তথ্যটি একটি কারখানায় কাজ করা ব্যক্তিদের দৈনিক মজুরির সাথে সম্পর্কিত। মধ্যমা দৈনিক মজুরি গণনা করুন।

দৈনিক মজুরি ($R s$-এ):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

শ্রমিকের সংখ্যা:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

এখানে তথ্যটি অবরোহী ক্রমে সাজানো হয়েছে।

উপরের উদাহরণে মধ্যমা শ্রেণী হল $(\mathrm{N} / 2)^{\text {th }}$ পদের মান (অর্থাৎ 160/2) $=80^{\text {th }}$ শ্রেণীর পদ, যা 35-40 শ্রেণী ব্যবধানে অবস্থিত। মধ্যমার সূত্র প্রয়োগ করে:

সারণী ৫.৬ অবিচ্ছিন্ন শ্রেণীর জন্য মধ্যমার গণনা

$$ \begin{aligned} \text { Median } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f. })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \\ & =\frac{35+(80-75)}{30} \times(40-35) \\ & =\operatorname{Rs} 35.83 \end{aligned} $$

সুতরাং, মধ্যমা দৈনিক মজুরি হল টাকা 35.83। এর অর্থ হল $50 %$ শ্রমিক টাকা 35.83-এর সমান বা কম পাচ্ছেন এবং $50 %$ শ্রমিক এই মজুরির সমান বা বেশি পাচ্ছেন।

আপনার মনে রাখা উচিত যে মধ্যমা, কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ হিসাবে, শ্রেণীর সকল মানের প্রতি সংবেদনশীল নয়। এটি তথ্যের কেন্দ্রীয় পদগুলির মানের উপর কেন্দ্রীভূত করে।

চতুর্থক

চতুর্থক হল সেই পরিমাপ যা তথ্যসমষ্টিকে চারটি সমান অংশে বিভক্ত করে, প্রতিটি অংশে সমান সংখ্যক পর্যবেক্ষণ থাকে। তিনটি চতুর্থক রয়েছে। প্রথম চতুর্থক ($\mathrm{Q} _{1}$ দ্বারা চিহ্নিত) বা নিম্ন চতুর্থকের নীচে বণ্টনের $25 %$ পদ রয়েছে এবং $75 %$ পদ এর চেয়ে বড়। দ্বিতীয় চতুর্থক ($\mathrm{Q} _{2}$ দ্বারা চিহ্নিত) বা মধ্যমার নীচে $50 %$ পদ রয়েছে এবং $50 %$ পর্যবেক্ষণ এর উপরে রয়েছে। তৃতীয় চতুর্থক ($\mathrm{Q} _{3}$ দ্বারা চিহ্নিত) বা উচ্চ চতুর্থকের নীচে বণ্টনের $75 %$ পদ রয়েছে এবং $25 %$ পদ এর উপরে রয়েছে। সুতরাং, $\mathrm{Q} _{1}$ এবং $\mathrm{Q} _{3}$ সেই সীমা নির্দেশ করে যার মধ্যে তথ্যের কেন্দ্রীয় $50 %$ অবস্থিত।

শতকরা

শতকরা বণ্টনকে শত সমান অংশে বিভক্ত করে, তাই আপনি ৯৯টি বিভাজক অবস্থান পেতে পারেন $\mathrm{P} _{1}, \mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}, \ldots, \mathrm{P} _{99} \cdot \mathrm{P} _{50}$ দ্বারা চিহ্নিত। $\mathrm{P} _{3}, \ldots, \mathrm{P} _{99} \cdot \mathrm{P} _{50}$ হল মধ্যমা মান। যদি আপনি একটি ব্যবস্থাপনা প্রবেশিকা পরীক্ষায় ৮২ শতকরা অর্জন করেন, এর অর্থ হল আপনার অবস্থান পরীক্ষায় অংশগ্রহণকারী মোট প্রার্থীর ১৮ শতাংশের নীচে। যদি মোট এক লক্ষ শিক্ষার্থী অংশগ্রহণ করে, আপনি কোথায় দাঁড়িয়ে আছেন?

চতুর্থকের গণনা

স্বতন্ত্র এবং বিচ্ছিন্ন শ্রেণীর ক্ষেত্রে চতুর্থক অবস্থান করার পদ্ধতি মধ্যমার মতোই। একটি ক্রমবদ্ধ শ্রেণীর $\mathrm{Q} _{1}$ এবং $\mathrm{S} _{3}$ এর মান নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা পাওয়া যেতে পারে যেখানে $\mathrm{N}$ হল পর্যবেক্ষণের সংখ্যা।

$Q _{1}=\operatorname{size}$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ পদের

$Q _{3}=$ $\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ পদের আকার।

উদাহরণ ৯

দশজন শিক্ষার্থীর একটি পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের তথ্য থেকে নিম্ন চতুর্থকের মান গণনা করুন।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

তথ্যসমষ্টিকে আরোহী ক্রমে সাজালে,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ পদের আকার $=$ $\frac{(10+1)^{\text {th }}}{4}$ পদের আকার $=$ $2.75^{\text {th }}$ পদের আকার $=2$ তম পদ +.75 (3য় পদ -2 য় পদ) $=12+.75(14-12)=13.5$ নম্বর।

কার্যকলাপ

• নিজে $\mathrm{B} _{3}$ নির্ণয় করুন।

৫. প্রথা

কখনও কখনও, আপনি একটি শ্রেণীর সবচেয়ে সাধারণ মান বা যে মানের চারপাশে পদগুলির সর্বাধিক ঘনত্ব ঘটে তা জানতে আগ্রহী হতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একজন প্রস্তুতকারক সর্বাধিক চাহিদাসম্পন্ন জুতার আকার বা আরও ঘন ঘন চাহিদাসম্পন্ন শার্টের স্টাইল জানতে চাইতে পারেন। এখানে, প্রথা হল সবচেয়ে উপযুক্ত পরিমাপ। প্রথা শব্দটি ফরাসি শব্দ “লা মোড” থেকে উদ্ভূত হয়েছে যা একটি বণ্টনের সবচেয়ে ফ্যাশনেবল মান নির্দেশ করে, কারণ এটি শ্রেণীতে সর্বাধিক সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি হয়। প্রথা হল সর্বাধিক ঘন ঘন পর্যবেক্ষিত তথ্য মান। এটি $\mathrm{M} _{\text {o }}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

প্রথার গণনা

বিচ্ছিন্ন শ্রেণী

তথ্যসমষ্টি $1,2,3,4,4,5$ বিবেচনা করুন। এই তথ্যের জন্য প্রথা হল 4 কারণ 4 তথ্যে সর্বাধিক ঘন ঘন (দুইবার) ঘটে।

উদাহরণ ১০

নিম্নলিখিত বিচ্ছিন্ন শ্রেণী দেখুন:

চলক $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

কম্পাঙ্ক $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

এখানে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন সর্বাধিক কম্পাঙ্ক হল 20, প্রথার মান হল 30। এই ক্ষেত্রে, যেহেতু প্রথার একটি অনন্য মান রয়েছে, তথ্যটি একপ্রথিক। কিন্তু, প্রথা অগত্যা অনন্য নয়, গাণিতিক গড় এবং মধ্যমার মতো নয়। আপনার দুটি প্রথাসম্পন্ন (দ্বিপ্রথিক) বা দুইটির বেশি প্রথাসম্পন্ন (বহুপ্রথিক) তথ্য থাকতে পারে। এটি সম্ভব যে বণ্টনে অন্য যেকোনো মানের চেয়ে বেশি ঘন ঘন কোন মান না দেখা দিলে কোন প্রথা নাও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি শ্রেণী $1,1,2,2,3,3,4$, 4-এ, কোন প্রথা নেই।

**