1. પ્રસ્તાવના

પાછલા પ્રકરણમાં, તમે માહિતીના કોષ્ટકીય અને ગ્રાફિક રજૂઆત વિશે વાંચ્યું છે. આ પ્રકરણમાં, તમે કેન્દ્રીય વલણના માપનો અભ્યાસ કરશો, જે સંક્ષિપ્તમાં માહિતીને સમજાવવાની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ છે. તમે રોજબરોજના જીવનમાં મોટા માહિતી સમૂહનો સારાંશ આપવાના ઉદાહરણો જોઈ શકો છો, જેમ કે વર્ગના વિદ્યાર્થીઓએ કોઈ પરીક્ષામાં મેળવેલ સરેરાશ ગુણ, કોઈ વિસ્તારમાં સરેરાશ વરસાદ, કારખાનામાં સરેરાશ ઉત્પાદન, સ્થાનિક વિસ્તારમાં રહેતા અથવા ફર્મમાં કામ કરતા લોકોની સરેરાશ આવક, વગેરે.

બૈજુ એક ખેડૂત છે. તે બિહારના બક્સર જિલ્લાના બલાપુર નામના ગામમાં તેની જમીનમાં ખાદ્યધાન્ય ઉગાડે છે. ગામમાં 50 નાના ખેડૂતો છે. બૈજુ પાસે 1 એકર જમીન છે. તમે બલાપુરના નાના ખેડૂતોની આર્થિક સ્થિતિ જાણવામાં રસ ધરાવો છો. તમે બલાપુર ગામમાં બૈજુની આર્થિક સ્થિતિની તુલના કરવા માંગો છો. આ માટે, તમારે બલાપુરના અન્ય ખેડૂતોની જમીનના હોલ્ડિંગના કદ સાથે તુલના કરીને તેના જમીનના હોલ્ડિંગના કદનું મૂલ્યાંકન કરવું પડશે. તમે જોવા માંગો છો કે બૈજુની માલિકીની જમીન -

1. સામાન્ય અર્થમાં સરેરાશથી ઉપર છે કે નહીં (સમાંતર મધ્યક જુઓ)
2. અડધા ખેડૂતો જેટલી જમીનના કદથી ઉપર છે કે નહીં (મધ્યસ્થ જુઓ)
3. મોટાભાગના ખેડૂતો જેટલી જમીનના કદથી ઉપર છે કે નહીં (બહુલક જુઓ)

બૈજુની સાપેક્ષ આર્થિક સ્થિતિનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, તમારે બલાપુરના ખેડૂતોની જમીનના હોલ્ડિંગની સમગ્ર માહિતીનો સારાંશ આપવો પડશે. આ કેન્દ્રીય વલણના ઉપયોગથી કરી શકાય છે, જે માહિતીને એક જ મૂલ્યમાં એવી રીતે સારાંશ આપે છે કે આ એક મૂલ્ય સમગ્ર માહિતીનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે. કેન્દ્રીય વલણનું માપ એ એક લાક્ષણિક અથવા પ્રતિનિધિ મૂલ્યના રૂપમાં માહિતીનો સારાંશ આપવાની એક રીત છે.

કેન્દ્રીય વલણ અથવા “સરેરાશ"ના અનેક આંકડાકીય માપ છે. સૌથી વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા ત્રણ સરેરાશ છે:

• સમાંતર મધ્યક
• મધ્યસ્થ
• બહુલક

તમારે નોંધવું જોઈએ કે બીજા બે પ્રકારના સરેરાશ પણ છે, જેમ કે ભૌમિતિક મધ્યક અને હાર્મોનિક મધ્યક, જે ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં યોગ્ય છે. જો કે, વર્તમાન ચર્ચા ઉપર ઉલ્લેખિત ત્રણ પ્રકારના સરેરાશ સુધી મર્યાદિત રહેશે.

2. સમાંતર મધ્યક

માની લો કે છ પરિવારોની માસિક આવક (રૂ. માં) આપેલ છે: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

સરેરાશ પરિવારની આવક આવકોનો સરવાળો કરીને અને પરિવારોની સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= રૂ 1,547

આનો અર્થ એ થાય છે કે સરેરાશ રીતે, એક પરિવાર રૂ 1,547 કમાય છે.

સમાંતર મધ્યક એ કેન્દ્રીય વલણનું સૌથી વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું માપ છે. તેને તમામ અવલોકનોના મૂલ્યોના સરવાળાને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે $\overline{\mathrm{X}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, જો ત્યાં $\mathrm{N}$ અવલોકનો $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ તરીકે હોય, તો સમાંતર મધ્યક આ રીતે આપવામાં આવે છે

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

જમણી બાજુ $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ તરીકે લખી શકાય. અહીં, $\mathrm{i}$ એક અનુક્રમણિકા છે જે ક્રમિક મૂલ્યો 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ લે છે.

સગવડ માટે, આને અનુક્રમણિકા i વગર સરળ સ્વરૂપમાં લખવામાં આવશે. આમ $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, જ્યાં, $\Sigma \mathrm{X}=$ તમામ અવલોકનોનો સરવાળો અને $\mathrm{N}=$ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા.

સમાંતર મધ્યકની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે

સમાંતર મધ્યકની ગણતરીનો અભ્યાસ બે વ્યાપક શ્રેણીઓ હેઠળ કરી શકાય છે:

1. અવર્ગીકૃત માહિતી માટે સમાંતર મધ્યક.
2. વર્ગીકૃત માહિતી માટે સમાંતર મધ્યક.

અવર્ગીકૃત માહિતીની શ્રેણી માટે સમાંતર મધ્યક

પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ

પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ દ્વારા સમાંતર મધ્યક એ શ્રેણીમાં તમામ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગ્યા બરાબર હોય છે.

ઉદાહરણ 1

એક વર્ગના વિદ્યાર્થીઓના અર્થશાસ્ત્રની પરીક્ષાના ગુણ દર્શાવતી માહિતીમાંથી સમાંતર મધ્યકની ગણતરી કરો: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

અર્થશાસ્ત્રની પરીક્ષામાં વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ ગુણ 56.2 છે.

કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિ

જો માહિતીમાં અવલોકનોની સંખ્યા વધુ હોય અને/અથવા આંકડા મોટા હોય, તો પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ દ્વારા સમાંતર મધ્યકની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોય છે. કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળ બનાવી શકાય છે.

મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો તેમજ મોટા આંકડાકીય આંકડાઓ ધરાવતા માહિતી સમૂહમાંથી સરેરાશની ગણતરીમાં સમય બચાવવા માટે, તમે કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અહીં તમે તર્ક/અનુભવના આધારે માહિતીમાં એક ચોક્કસ આકૃતિને સમાંતર મધ્યક તરીકે ધારો છો. પછી તમે દરેક અવલોકનમાંથી ઉલ્લેખિત કલ્પિત મધ્યકના વિચલનો લઈ શકો છો. પછી, તમે આ વિચલનોનો સરવાળો લઈ શકો છો અને તેને માહિતીમાં અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગી શકો છો. વાસ્તવિક સમાંતર મધ્યકનો અંદાજ કલ્પિત મધ્યક અને વિચલનોના સરવાળાનો અવલોકનોની સંખ્યા સાથેના ગુણોત્તરનો સરવાળો લઈને કરવામાં આવે છે. પ્રતીકાત્મક રીતે,

ચાલો, $\mathrm{A}=$ કલ્પિત મધ્યક

$\mathrm{X}=$ વ્યક્તિગત અવલોકનો

$\mathrm{N}=$ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા

$d=$ વ્યક્તિગત અવલોકનમાંથી કલ્પિત મધ્યકનું વિચલન, એટલે કે $d=X-A$

પછી તમામ વિચલનોનો સરવાળો $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ તરીકે લેવામાં આવે છે

પછી $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ શોધો

પછી $\mathrm{A}$ અને $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ નો સરવાળો કરીને $\overline{\mathrm{X}}$ મેળવો

તેથી, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે કોઈપણ મૂલ્ય, ભલે તે માહિતીમાં હાજર હોય અથવા ન હોય, તેને કલ્પિત મધ્યક તરીકે લઈ શકાય છે. જો કે, ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે, માહિતીમાં કેન્દ્રસ્થાને આવેલા મૂલ્યને કલ્પિત મધ્યક તરીકે પસંદ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2

નીચેની માહિતી 10 પરિવારોની સાપ્તાહિક આવક દર્શાવે છે.

પરિવાર

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

સાપ્તાહિક આવક (રૂ. માં)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

સરેરાશ પરિવાર આવકની ગણતરી કરો.

કોષ્ટક 5.1 કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિ દ્વારા સમાંતર મધ્યકની ગણતરી

કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર મધ્યક

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

આમ, બંને પદ્ધતિઓ દ્વારા પરિવારની સરેરાશ સાપ્તાહિક આવક રૂ 1,116 છે. તમે પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ તપાસી શકો છો.

પગલું વિચલન પદ્ધતિ

કલ્પિત મધ્યકમાંથી લેવાયેલા તમામ વિચલનોને સામાન્ય અવયવ ‘c’ વડે ભાગીને ગણતરીઓને વધુ સરળ બનાવી શકાય છે. ધ્યેય મોટા આંકડાકીય આંકડાઓથી બચવાનો છે, એટલે કે, જો $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ ખૂબ મોટો હોય, તો $\mathrm{d}^{\prime}$ શોધો. આ નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

સૂત્ર નીચે આપેલ છે:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

જ્યાં $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ સામાન્ય અવયવ, $\mathrm{N}=$ અવલોકનોની સંખ્યા, $\mathrm{A}=$ કલ્પિત મધ્યક.

આમ, તમે ઉદાહરણ 2 માં સમાંતર મધ્યકની ગણતરી પગલું વિચલન પદ્ધતિ દ્વારા કરી શકો છો,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

વર્ગીકૃત માહિતી માટે સમાંતર મધ્યકની ગણતરી

અસતત શ્રેણી

પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ

અસતત શ્રેણીના કિસ્સામાં, દરેક અવલોકન સામેની આવૃત્તિને અવલોકનના મૂલ્ય વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. આ રીતે મેળવેલા મૂલ્યોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે અને કુલ આવૃત્તિઓ વડે ભાગવામાં આવે છે. પ્રતીકાત્મક રીતે,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

જ્યાં, $\Sigma \mathrm{fX}=$ ચલો અને આવૃત્તિઓના ગુણાકારનો સરવાળો.

$\Sigma f=$ આવૃત્તિઓનો સરવાળો.

ઉદાહરણ 3

હાઉસિંગ કોલોનીમાં પ્લોટ માત્ર ત્રણ કદમાં આવે છે: 100 ચો. મીટર, 200 ચો. મીટર અને 300 ચો. મીટર અને પ્લોટની સંખ્યા અનુક્રમે 200, 50 અને 10 છે.

કોષ્ટક 5.2 પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ દ્વારા સમાંતર મધ્યકની ગણતરી

પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર મધ્યક,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ ચો. મીટર

તેથી, હાઉસિંગ કોલોનીમાં સરેરાશ પ્લોટનું કદ 126.92 ચો. મીટર છે.

કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિ

વ્યક્તિગત શ્રેણીના કિસ્સામાં, અગાઉ વર્ણવ્યા પ્રમાણે, એક સરળ ફેરફાર સાથે, કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકાય છે. કારણ કે અહીં દરેક વસ્તુની આવૃત્તિ (f) આપવામાં આવી છે, અમે દરેક વિચલન (d) ને આવૃત્તિ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ જેથી fd મળે. પછી આપણને $\Sigma \mathrm{fd}$ મળે છે. આગળનું પગલું તમામ આવૃત્તિઓનો કુલ સરવાળો મેળવવાનું છે એટલે કે $\Sigma \mathrm{f}$. પછી $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ શોધો. છેલ્લે, સમાંતર મધ્યકની ગણતરી $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ દ્વારા કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

પગલું વિચલન પદ્ધતિ

આ કિસ્સામાં, વિચલનોને સામાન્ય અવયવ ‘c’ વડે ભાગવામાં આવે છે જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે. અહીં આપણે સરળ ગણતરી માટે આંકડાકીય આંકડાઓના કદને ઘટાડવા માટે $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ નો અંદાજ કાઢીએ છીએ. પછી $\mathrm{fd}^{\prime}$ અને $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ મેળવો. પગલું વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર મધ્યક માટેનું સૂત્ર આ રીતે આપવામાં આવ્યું છે,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

પ્રવૃત્તિ

• ઉદાહરણ 3 માં આપેલ માહિતી માટે, પગલું વિચલન અને કલ્પિત મધ્યક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ પ્લોટ કદ શોધો.

સતત શ્રેણી

અહીં, વર્ગ અંતરાલો આપવામાં આવ્યા છે. સતત શ્રેણીના કિસ્સામાં સમાંતર મધ્યકની ગણતરીની પ્રક્રિયા અસતત શ્રેણી જેવી જ છે. એકમાત્ર તફાવત એ છે કે વિવિધ વર્ગ અંતરાલોના મધ્યબિંદુઓ લેવામાં આવે છે. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે વર્ગ અંતરાલો વિશિષ્ટ અથવા સમાવિષ્ટ અથવા અસમાન કદના હોઈ શકે છે. વિશિષ્ટ વર્ગ અંતરાલનું ઉદાહરણ છે, ધારો કે, 0-10, 10-20 અને તેથી આગળ. સમાવિષ્ટ વર્ગ અંતરાલનું ઉદાહરણ છે, ધારો કે, 0-9, 10-19 અને તેથી આગળ. અસમાન વર્ગ અંતરાલનું ઉદાહરણ છે, ધારો કે, 0-20, 20-50 અને તેથી આગળ. આ બધા કિસ્સાઓમાં, સમાંતર મધ્યકની ગણતરી સમાન રીતે કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4

નીચેના વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ ગુણની ગણતરી કરો (a) પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ (b) પગલું વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ

ગુણ

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

કોષ્ટક 5.3 વિશિષ્ટ વર્ગ અંતરાલ માટે પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ દ્વારા સરેરાશ ગુણની ગણતરી

પગલાઓ:

1. દરેક વર્ગ માટે મધ્ય મૂલ્યો મેળવો જેને $\mathrm{m}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ મેળવો અને પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ સૂત્ર લાગુ કરો:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

પગલું વિચલન પદ્ધતિ

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ મેળવો
2. $\mathrm{A}=35$ લો, (કોઈપણ મનસ્વી આકૃતિ), $\mathrm{c}=$ સામાન્ય અવયવ.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

સમાંતર મધ્યકના બે રસપ્રદ ગુણધર્મો

(i) સમાંતર મધ્યકની આસપાસની વસ્તુઓના વિચલનોનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય બરાબર હોય છે. પ્રતીકાત્મક રીતે, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$.

(ii) સમાંતર મધ્યક અત્યંત મૂલ્યો દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે. કોઈપણ મોટું મૂલ્ય, કોઈપણ છેડે, તેને ઉપર અથવા નીચે ધકેલી શકે છે.

ભારિત સમાંતર મધ્યક

કેટલીકવાર, જ્યારે તમે સમાંતર મધ્યકની ગણતરી કરો છો, ત્યારે તેમની મહત્ત્વપૂર્ણતા અનુસાર વિવિધ વસ્તુઓને વજન સોંપવું મહત્વપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે વસ્તુઓ છે, કેરી અને બટાટા. તમે કેરી $P_1$ અને બટાટા $P_2$ ની સરેરાશ કિંમત શોધવામાં રસ ધરાવો છો. સમાંતર મધ્યક $\frac{p_1+p_2}{2}$ હશે. જો કે, તમે બટાટા $P_2$ ની કિંમતમાં વધારાને વધુ મહત્વ આપવા માંગતા હોઈ શકો છો. આ કરવા માટે, તમે ગ્રાહકના બજેટમાં કેરીનો હિસ્સો $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ અને બજેટમાં બટાટાનો હિસ્સો $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ તરીકે ‘વજન’ તરીકે ઉપયોગ કરી શકો છો. હવે બજેટમાં હિસ્સા દ્વારા ભારિત સમાંતર મધ્યક $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$ હશે

સામાન્ય રીતે ભારિત સમાંતર મધ્યક આ રીતે આપવામાં આવે છે,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

જ્યારે કિંમતો વધે છે, ત્યારે તમે તમારા માટે વધુ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુઓની કિંમતોમાં વધારામાં રસ ધરાવી શકો છો. તમે પ્રકરણ 8 માં ઇન્ડેક્સ નંબરોની ચર્ચામાં તે વિશે વધુ વાંચશો.

પ્રવૃત્તિઓ

• નીચેના ઉદાહરણ માટે સમાંતર મધ્યકની મિલકત તપાસો:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8