1. भूमिका

पिछले अध्याय में आपने आँकड़ों की सारणीबद्ध और आलेखीय प्रस्तुति के बारे में पढ़ा है। इस अध्याय में आप केंद्रीय प्रवृत्ति के माप सीखेंगे जो आँकड़ों को संक्षेप में समझाने का एक संख्यात्मक तरीका है। आप दैनंदिन जीवन में बड़े आँकड़ों के संक्षेप के उदाहरण देख सकते हैं, जैसे किसी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा परीक्षा में प्राप्त औसत अंक, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा, किसी कारखाने की औसत उत्पादन, किसी मोहल्ले या फर्म में कार्यरत व्यक्तियों की औसत आय आदि।

बैजू एक किसान है। वह बिहार के बक्सर जिले के बालापुर नामक गाँव में अपनी ज़मीन पर खाद्यान्न उगाता है। गाँव में 50 छोटे किसान हैं। बैजू के पास 1 एकड़ ज़मीन है। आप बालापुर के छोटे किसानों की आर्थिक स्थिति जानने में रुचि रखते हैं। आप बालापुर गाँव में बैजू की आर्थिक स्थिति की तुलना करना चाहते हैं। इसके लिए आपको उसकी ज़मीन के आकार का मूल्यांकन करना होगा, बालापुर के अन्य किसानों की ज़मीन के आकार से तुलना करके। आप यह देखना चाहेंगे कि बैजू की ज़मीन –

1. सामान्य अर्थों में औसत से ऊपर है (अंकगणितीय माध्य देखें)
2. आधे किसानों की ज़मीन के आकार से ऊपर है (माध्यिका देखें)
3. अधिकांश किसानों की ज़मीन से ऊपर है (बहुलक देखें)

बैजू की सापेक्ष आर्थिक स्थिति का मूल्यांकन करने के लिए, आपको बालापुर के किसानों की भूमि धारणा के संपूर्ण आंकड़ों का सारांश करना होगा। यह केंद्रीय प्रवृत्ति के उपयोग से किया जा सकता है, जो आंकड़ों को एकल मान में इस प्रकार संक्षेपित करता है कि यह एकल मान संपूर्ण आंकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सके। केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आंकड़ों को एक विशिष्ट या प्रतिनिधि मान के रूप में संक्षेपित करने की विधि है।

केंद्रीय प्रवृत्ति या “औसत” के कई सांख्यिकीय मापक हैं। सबसे अधिक प्रयुक्त तीन औसत हैं:

• अंकगणितीय माध्य
• माध्यिका
• बहुलक

आपको ध्यान देना चाहिए कि दो और प्रकार के औसत हैं अर्थात् ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य, जो कुछ विशेष परिस्थितियों में उपयुक्त हैं। हालांकि, वर्तमान चर्चा उपरोक्त तीन प्रकार के औसतों तक सीमित रहेगी।

2. अंकगणितीय माध्य

मान लीजिए छह परिवारों की मासिक आय (रुपयों में) इस प्रकार दी गई है: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

माध्य परिवार आय प्राप्त की जाती है आयों को जोड़कर और परिवारों की संख्या से भाग देकर।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= रु 1,547

इसका तात्पर्य है कि औसतन एक परिवार रु 1,547 कमाता है।

अंकगणितीय माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक प्रयुक्त मापक है। इसे सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर परिभाषित किया गया है और इसे सामान्यतः $\overline{\mathrm{X}}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्यतः, यदि $\mathrm{N}$ प्रेक्षण हैं $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ के रूप में, तो अंकगणितीय माध्य इस प्रकार दिया जाता है

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

दाहिने हाथ का पक्ष $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ, $\mathrm{i}$ एक सूचकांक है जो क्रमिक मान 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ लेता है।

सुविधा के लिए, इसे सूचकांक i के बिना सरल रूप में लिखा जाएगा। इस प्रकार $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, जहाँ, $\Sigma \mathrm{X}=$ सभी प्रेक्षणों का योग और $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या।

समांतर माध्य की गणना कैसे की जाती है

समांतर माध्य की गणना को दो व्यापक श्रेणियों के अंतर्गत अध्ययन किया जा सकता है:

1. असमूहीकृत आँकड़ों के लिए समांतर माध्य।
2. समूहीकृत आँकड़ों के लिए समांतर माध्य।

असमूहीकृत आँकड़ों की श्रृंखला के लिए समांतर माध्य

प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य एक श्रृंखला में सभी प्रेक्षणों का योग है जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण 1

एक वर्ग में छात्रों के अर्थशास्त्र परीक्षा में अंकों को दर्शाने वाले आँकड़ों से समांतर माध्य की गणना करें: $40,50,55$, $78,58$।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

अर्थशास्त्र परीक्षा में छात्रों का औसत अंक 56.2 है।

अनुमानित माध्य विधि

यदि आँकड़ों में प्रेक्षणों की संख्या अधिक है और/या आंकड़े बड़े हैं, तो प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना करना कठिन होता है। अनुमानित माध्य विधि का उपयोग करके गणना को आसान बनाया जा सकता है।

एक बड़ी संख्या में प्रेक्षणों और बड़े संख्यात्मक आंकड़ों वाले डेटा सेट से माध्य निकालने में समय बचाने के लिए, आप माना हुआ माध्य विधि का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ आप तर्क/अनुभव के आधार पर डेटा में किसी विशेष आकड़े को अंकगणितीय माध्य मान लेते हैं। फिर आप प्रत्येक प्रेक्षण से इस माना हुए माध्य के विचलन निकाल सकते हैं। फिर आप इन विचलनों का योग निकाल सकते हैं और उसे डेटा में प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर सकते हैं। वास्तविक अंकगणितीय माध्य का अनुमान माना हुआ माध्य और विचलनों के योग तथा प्रेक्षणों की संख्या के अनुपात के योग से लगाया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

मान लीजिए, $\mathrm{A}=$ माना हुआ माध्य

$\mathrm{X}=$ व्यक्तिगत प्रेक्षण

$\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या

$d=$ व्यक्तिगत प्रेक्षण से माना हुए माध्य का विचलन, अर्थात् $d=X-A$

फिर सभी विचलनों का योग $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ लिया जाता है

फिर $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ निकालिए

फिर $\overline{\mathrm{X}}$ पाने के लिए $\mathrm{A}$ और $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ को जोड़िए

इसलिए, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

आपको याद रखना चाहिए कि कोई भी मान, चाहे वह आँकड़ों में मौजूद हो या नहीं, माना गया माध्य (assumed mean) लिया जा सकता है। हालाँकि, गणना को सरल बनाने के लिए आँकड़ों में केंद्र में स्थित मान को माना गया माध्य चुना जा सकता है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित आँकड़े 10 परिवारों की साप्ताहिक आय दिखाते हैं।

परिवार

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H}$

$\text { I } \text{ J }$

साप्ताहिक आय (रुपये में)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

परिवार की औसत आय की गणना करें।

तालिका 5.1 माना गया माध्य विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना

माना गया माध्य विधि का उपयोग करते हुए अंकगणितीय माध्य

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

इस प्रकार, दोनों विधियों द्वारा एक परिवार की औसत साप्ताहिक आय रु. 1,116 है। आप इसकी जाँच प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके कर सकते हैं।

चरण विचलन विधि

गणनाओं को और भी सरल बनाया जा सकता है यदि माना गया माध्य से लिए गए सभी विचलनों को एक सामान्य गुणनखंड ‘c’ से विभाजित कर दिया जाए। उद्देश्य बड़ी संख्यात्मक संख्याओं से बचना है, अर्थात् यदि $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ बहुत बड़ा है, तो $\mathrm{d}^{\prime}$ ज्ञात कीजिए। यह निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

सूत्र नीचे दिया गया है:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

जहाँ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ सामान्य गुणनखंड, $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या, $\mathrm{A}=$ माना गया माध्य।

इस प्रकार, आप उदाहरण 2 में पद विचलन विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना कर सकते हैं,

$X=850+(266 / 10) \times 10=₹1,116$.

समूहीकृत आंकड़ों के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना

विवृत श्रेणी

प्रत्यक्ष विधि

विवृत श्रेणी के मामले में, प्रत्येक प्रेक्षण के विरुद्ध आवृत्ति को प्रेक्षण के मान से गुणा किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त मानों को योग दिया जाता है और कुल आवृत्तियों की संख्या से विभाजित किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

जहाँ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ चर और आवृत्तियों के गुणनफल का योग।

$\Sigma f=$ आवृत्तियों का योग।

उदाहरण 3

एक आवास कॉलोनी में प्लॉट केवल तीन आकारों में आते हैं: 100 वर्ग मीटर, 200 वर्ग मीटर और 300 वर्ग मीटर और प्लॉटों की संख्या क्रमशः 200, 50 और 10 है।

तालिका 5.2 प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना

प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करते हुए समांतर माध्य,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ वर्ग मीटर

इसलिए, आवासीय कॉलोनी में औसत प्लॉट आकार 126.92 वर्ग मीटर है।

कल्पित माध्य विधि

जैसा कि व्यक्तिगत श्रेणी के मामले में गणना को सरल बनाया जा सकता है कल्पित माध्य विधि का प्रयोग करके, जैसा पहले वर्णित किया गया है, एक सरल संशोधन के साथ। चूँकि प्रत्येक मद की आवृत्ति (f) यहाँ दी गई है, हम प्रत्येक विचलन (d) को आवृत्ति से गुणा करते हैं fd प्राप्त करने के लिए। फिर हम $\Sigma \mathrm{fd}$ प्राप्त करते हैं। अगला चरण सभी आवृत्तियों का योग प्राप्त करना है अर्थात् $\Sigma \mathrm{f}$। फिर $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ ज्ञात कीजिए। अंत में, समांतर माध्य की गणना की जाती है $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ कल्पित माध्य विधि का प्रयोग करते हुए।

चरण विचलन विधि

इस स्थिति में, विचलनों को सामान्य गुणनखंड ‘c’ से विभाजित किया जाता है जिससे गणना सरल हो जाती है। यहाँ हम $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ का आकलन करते हैं ताकि गणना को आसान बनाने के लिए संख्यात्मक अंकों का आकार घटाया जा सके। फिर $\mathrm{fd}^{\prime}$ और $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ प्राप्त करें। पद विचलन विधि का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य का सूत्र इस प्रकार दिया गया है,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

गतिविधि

• उदाहरण 3 में दिए गए आँकड़ों के लिए पद विचलन और कल्पित माध्य विधियों का उपयोग करके भूखंड का माध्य आकार ज्ञात कीजिए।

सतत श्रेणी

यहाँ, वर्ग अंतराल दिए गए हैं। सतत श्रेणी के मामले में अंकगणितीय माध्य की गणना करने की प्रक्रिया विविक्त श्रेणी के समान ही होती है। एकमात्र अंतर यह है कि विभिन्न वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदु लिए जाते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि वर्ग अंतराल विशिष्ट हो सकते हैं, समावेशी हो सकते हैं या असमान आकार के हो सकते हैं। विशिष्ट वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-10, 10-20 इत्यादि। समावेशी वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-9, 10-19 इत्यादि। असमान वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-20, 20-50 इत्यादि। इन सभी स्थितियों में, अंकगणितीय माध्य की गणना समान तरीके से की जाती है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित छात्रों के औसत अंक (a) प्रत्यक्ष विधि (b) पद विचलन विधि का उपयोग करके गणना कीजिए।

प्रत्यक्ष विधि

अंक

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

छात्रों की संख्या

५ $\quad$ १२ $\quad$ १५ $\quad$ २५ $\quad$ ८

३ $\quad$ २

TABLE 5.3 विशिष्ट वर्ग अंतराल के लिए प्रत्यक्ष विधि द्वारा औसत अंकों की गणना

चरण:

१. प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान प्राप्त करें जिसे $\mathrm{m}$ द्वारा दर्शाया गया है। २. $\Sigma \mathrm{fm}$ प्राप्त करें और प्रत्यक्ष विधि का सूत्र लगाएँ:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{२११०}{७०}=३०.१४ \text{ अंक} $$

चरण विचलन विधि

१. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ प्राप्त करें २. $\mathrm{A}=३५$ लें, (कोई भी मनमाना मान), $\mathrm{c}=$ सामान्य गुणनफल।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=३५+\frac{(-३४)}{७०} \times १० \\ & =३०.१४ \text{ अंक} \end{aligned} $$

A.M. के दो रोचक गुणधर्म

(i) माध्य के सापेक्ष विचलनों का योग सदैव शून्य के बराबर होता है। प्रतीकात्मक रूप से, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) अंकगणितीय माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है। किसी भी बड़े मान, चाहे वह किसी भी छोर पर हो, इसे ऊपर या नीचे धकेल सकता है।

भारित अंकगणितीय माध्य

कभी-कभी अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है। उदाहरण के लिए, दो वस्तुएँ हैं, आम और आलू। आप आम के मूल्य $P_1$ और आलू के मूल्य $P_2$ का औसत मूल्य ज्ञात करने में रुचि रखते हैं। अंकगणितीय माध्य होगा $\frac{p_1+p_2}{2}$। हालाँकि, आप आलू के मूल्य में वृद्धि को अधिक महत्व देना चाह सकते हैं $P_2$। ऐसा करने के लिए, आप भार के रूप में उपभोक्ता के बजट में आम के हिस्से का उपयोग कर सकते हैं $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ और बजट में आलू के हिस्से का $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$। अब बजट में हिस्सों से भारित अंकगणितीय माध्य होगा $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

सामान्य रूप से भारित अंकगणितीय माध्य इस प्रकार दिया जाता है,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

जब मूल्य बढ़ते हैं, तो आप उन वस्तुओं के मूल्यों में वृद्धि में रुचि रख सकते हैं जो आपके लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। आप इसके बारे में अधिक अध्याय 8 में सूचकांक संख्याओं की चर्चा में पढ़ेंगे।

गतिविधियाँ

• निम्नलिखित उदाहरण के लिए समांतर माध्य के गुण की जाँच करें:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• उपरोक्त उदाहरण में यदि माध्य 2 बढ़ जाए, तो व्यक्तिगत प्रेक्षणों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
• यदि पहले तीन मान 2 बढ़ जाएँ, तो अंतिम दो मान क्या होने चाहिए ताकि माध्य वही रहे।
• मान 12 को 96 से प्रतिस्थापित करें। समांतर माध्य पर क्या प्रभाव पड़ता है? टिप्पणी करें।

3. माध्यिका

माध्यिका चर का वह स्थिति मान है जो बंटन को दो समान भागों में विभाजित करता है, एक भाग में सभी मान माध्यिका मान से बड़े या बराबर होते हैं और दूसरे भाग में सभी मान माध्यिका मान से छोटे या बराबर होते हैं। माध्यिका तब “मध्य” तत्व होता है जब डेटा सेट को परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। चूँकि माध्यिका विभिन्न मानों की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है, इसलिए यदि सबसे बड़े मान का आकार बढ़ भी जाए तो यह अप्रभावित रहती है।

माध्यिका की गणना

माध्यिका को आसानी से गणना करने के लिए डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करें और मध्य मान निकालें।

उदाहरण 5

मान लीजिए हमारे पास डेटा सेट में निम्नलिखित प्रेक्षण हैं: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, और 3।

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आपके पास है:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$।

“मध्य स्कोर” 6 है, इसलिए माध्यिका 6 है। आधे स्कोर 6 से बड़े हैं और आधे स्कोर 6 से छोटे हैं।

यदि डेटा में सम संख्या में प्रेक्षण हों, तो दो मध्य प्रेक्षण होंगे। इस स्थिति में माध्यिका दोनों मध्य मानों का समांतर माध्य (arithmetic mean) होती है।

गतिविधियाँ

• श्रृंखला के सभी चार मानों के लिए माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

तालिका 5.4 विभिन्न श्रृंखलाओं का माध्य और माध्यिका

श्रृंखला	X (चर मान)	माध्य	माध्यिका
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• क्या माध्यिका चरम मानों से प्रभावित होती है? आउटलायर क्या होते हैं?
• क्या माध्यिका, माध्य से बेहतर विधि है?

उदाहरण 6

निम्नलिखित डेटा 20 विद्यार्थियों के अंक देता है। आपको माध्यिका अंक की गणना करनी है।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, आपको प्राप्त होता है

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72 .

आप देख सकते हैं कि दो प्रेक्षण मध्य में हैं, 45 और 46। माध्यिका दोनों प्रेक्षणों का माध्य लेकर प्राप्त की जा सकती है:

माध्यिका $=\frac{45+46}{2}=45.5$ अंक

माध्यिका की गणना करने के लिए यह जानना आवश्यक है कि माध्यिका की स्थिति क्या है, अर्थात् माध्यिका किस मद/मदों पर स्थित है। माध्यिका की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

माध्यिका की स्थिति $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ वस्तु

जहाँ $\mathrm{N}=$ वस्तुओं की संख्या है।

आप ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र आपको क्रमबद्ध सरणी में माध्यिका की स्थिति देता है, न कि माध्यिका स्वयं। माध्यिका इस सूत्र द्वारा परिकलित की जाती है:

माध्यिका $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ वस्तु का आकार

विकृत श्रेणी

विकृत श्रेणी के मामले में माध्यिका की स्थिति अर्थात् $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ वस्तु को संचयी बारंबारता के माध्यम से स्थित किया जा सकता है। इस स्थिति पर संगत मान माध्यिका का मान होता है।

उदाहरण 7

व्यक्तियों की संख्या और उनकी संगत आय (₹ में) की बारंबारता वितरण नीचे दी गई है। माध्यिका आय की गणना कीजिए।

$\begin{array}{lllll}\text { आय (₹ में): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

व्यक्तियों की संख्या: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

माध्यिका आय की गणना करने के लिए, आप बारंबारता वितरण नीचे दी गई तरह तैयार कर सकते हैं।

तालिका 5.5 विकृत श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

माध्यिका $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {वें}}$ प्रेक्षण पर स्थित है। इसे सरलता से संचयी बारंबारता द्वारा स्थित किया जा सकता है। $10.5^{\text {वां}}$ प्रेक्षण 16 की संचयी बारंबारता में पड़ता है। इससे संगत आय Rs 30 है, इसलिए माध्यिका आय $\mathrm{Rs} 30$ है।

सतत् श्रेणी

सतत् श्रेणी की स्थिति में आपको वह माध्यिका वर्ग स्थित करना होता है जहाँ $\mathrm{N} / 2^{\text {वां}}$ मद [न कि $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {वां}}$ मद] पड़ता है। फिर माध्यिका इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

Median $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { सं.बा. })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

जहाँ, $\mathrm{L}=$ माध्यिका वर्ग की निचली सीमा,

सं.बा. $=$ माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता,

$\mathrm{f}=$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता,

$\mathrm{h}=$ माध्यिका वर्ग अंतराल का परिमाण।

यदि बारंबारताएँ असमान परिमाण की हों तो कोई समायोजन आवश्यक नहीं।

उदाहरण 8

निम्नलिखित आँकड़े एक कारखाने में कार्यरत व्यक्तियों की दैनिक मजदूरी से संबंधित हैं। माध्यिका दैनिक मजदूरी की गणना कीजिए।

दैनिक मजदूरी (Rs में):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

कार्यकर्ताओं की संख्या:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

उपरोक्त आँकड़े अवरोही क्रम में व्यवस्थित हैं।

उपरोक्त चित्रण में माध्यिका वर्ग $(\mathrm{N} / 2)^{\text {वें}}$ मद (अर्थात् 160/2) $=80^{\text {वें}}$ मद का मान है, जो 35-40 वर्ग अंतराल में पड़ता है। माध्यिका के सूत्र को लागू करने पर:

टेबल 5.6 सतत श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

$$ \begin{aligned} \text { माध्यिका } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2 - \text{ c.f.})}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \ & =35 + \frac{(80 - 75)}{30} \times (40 - 35) \ & =₹ 35.83 \end{aligned} $$

इस प्रकार, माध्यिका दैनिक वेतन ₹ 35.83 है। इसका अर्थ है कि 50% श्रमिक ₹ 35.83 से कम या बराबर वेतन प्राप्त कर रहे हैं और 50% श्रमिक इस वेतन से अधिक या बराबर वेतन प्राप्त कर रहे हैं।

आपको याद रखना चाहिए कि माध्यिका, केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में, श्रेणी के सभी मानों के प्रति संवेदनशील नहीं होती है। यह आंकड़ों के केंद्रीय मदों के मानों पर केंद्रित होती है।

चतुर्थांक

चतुर्थक (Quartiles) ऐसे मापक हैं जो आँकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, प्रत्येक भाग में समान संख्या में प्रेक्षण होते हैं। तीन चतुर्थक होते हैं। प्रथम चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{1}$ से दर्शाया जाता है) या निम्न चतुर्थक के नीचे बंटन के 25% प्रमाण होते हैं और 75% प्रमाण इससे बड़े होते हैं। द्वितीय चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{2}$ से दर्शाया जाता है) या माध्यिका के नीचे 50% प्रमाण होते हैं और 50% प्रेक्षण इससे ऊपर होते हैं। तृतीय चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{3}$ से दर्शाया जाता है) या उच्च चतुर्थक के नीचे बंटन के 75% प्रमाण होते हैं और 25% प्रमाण इससे ऊपर होते हैं। इस प्रकार, $\mathrm{Q}{1}$ और $\mathrm{Q}_{3}$ वे दो सीमाएँ दर्शाते हैं जिनके भीतर केंद्रीय 50% आँकड़े स्थित होते हैं।

प्रतिशतांक (Percentiles)

प्रतिशतांक बंटन को सौ बराबर भागों में बाँटते हैं, इसलिए आप 99 विभाजन स्थान प्राप्त कर सकते हैं जिन्हें $\mathrm{P}{1}, \mathrm{P}{2}$, $\mathrm{P}{3}, \ldots, \mathrm{P}{99}$ से दर्शाया जाता है। $\mathrm{P}_{50}$ माध्यिका मान है। यदि आपने किसी प्रबंधन प्रवेश परीक्षा में 82 प्रतिशतांक प्राप्त किया है, तो इसका अर्थ है कि आपकी स्थिति परीक्षा में उपस्थित कुल अभ्यर्थियों के 18 प्रतिशत से नीचे है। यदि कुल एक लाख विद्यार्थी उपस्थित हुए, तो आप कहाँ खड़े हैं?

चतुर्थकों की गणना

क्वार्टाइल को खोजने की विधि व्यक्तिगत और विच्छिन्न श्रृंखला की स्थिति में माध्यिका की तरह ही है। एक क्रमबद्ध श्रृंखला के $\mathrm{Q} _{1}$ और $\mathrm{S} _{3}$ का मान निम्न सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $\mathrm{N}$ प्रेक्षणों की संख्या है।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ वें पद का आकार

$Q _{3}=\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार।

उदाहरण 9

किसी परीक्षा में दस विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के आँकड़ों से निम्न चतुर्थांश का मान गणना कीजिए।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=\frac{(10+1)^{\text {th }}}{4}$ वें पद का आकार $=2.75^{\text {वें}}$ पद का आकार $=2$ वाँ पद +.75 (3 वाँ पद -2 वाँ पद) $=12+.75(14-12)=13.5$ अंक।

गतिविधि

• $\mathrm{B} _{3}$ स्वयं ज्ञात कीजिए।

5. बहुलक

कभी-कभी, आप किसी श्रेणी के सबसे प्रतिनिधित्व वाले मान या वह मान जानने में रुचि रखते हैं जिसके आसपास सर्वाधिक संख्या में आइटमों की सांद्रता होती है। उदाहरण के लिए, एक निर्माता यह जानना चाहेगा कि जूतों का कौन-सा आकार सर्वाधिक मांग में है या कमीज़ का कौन-सा स्टाइल सबसे अधिक बार माँगा जाता है। यहाँ, बहुलक (Mode) सबसे उपयुक्त मापक है। ‘Mode’ शब्द फ्रेंच शब्द “la Mode” से लिया गया है जो किसी बंटन के सबसे फैशनेबल मान को दर्शाता है, क्योंकि यह श्रेणी में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है। बहुलक वह आँकड़ा मान है जो सबसे अधिक बार प्रेक्षित होता है। इसे $\mathrm{M} _{\text {o }}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

बहुलक की गणना

विविक्त श्रेणी (Discrete Series)

आँकड़ा समुच्चय $1,2,3,4,4,5$ पर विचार करें। इस आँकड़े का बहुलक 4 है क्योंकि 4 सबसे अधिक बार (दो बार) आता है।

उदाहरण 10

निम्नलिखित विविक्त श्रेणी को देखें:

चर (Variable) $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

बारंबारता (Frequency) $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

यहाँ, जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकतम बारंबारता 20 है, इसलिए बहुलक का मान 30 है। इस स्थिति में, चूँकि बहुलक का एक अद्वितीय मान है, आँकड़े को एक-बहुलकीय (unimodal) कहा जाता है। परंतु बहुलक का मान अनिवार्यतः अद्वितीय नहीं होता, जैसे कि समांतर माध्य (arithmetic mean) और माध्यिका (median) होते हैं। आपके पास दो बहुलकों वाले आँकड़े (द्वि-बहुलकीय, bi-modal) या दो से अधिक बहुलकों वाले आँकड़े (बहु-बहुलकीय, multi-modal) हो सकते हैं। यह भी संभव है कि कोई बहुलक न हो, यदि कोई भी मान बंटन में किसी अन्य मान की तुलना में अधिक बार न आता हो। उदाहरण के लिए, श्रेणी $1,1,2,2,3,3,4$, 4 में कोई बहुलक नहीं है।

सतत श्रेणी

सतत बारंबारता बंटन के मामले में, बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी सबसे अधिक बारंबारता होती है। बहुलक को निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ \mathrm{M} _{\mathrm{o}}=\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}} \times \mathrm{h} $$

जहाँ $\mathrm{L}=$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा $\mathrm{D} _{1}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिन्हों को नजरअंदाज करते हुए)।

$\mathrm{D} _{2}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिन्हों को नजरअंदाज करते हुए)।

$h=$ बंटन की वर्ग अंतराल।

आप ध्यान दें कि सतत श्रेणी के मामले में, वर्ग अंतराल समान होने चाहिए और बहुलक परिकलित करने के लिए श्रेणी विशिष्ट होनी चाहिए। यदि मध्य बिंदु दिए गए हैं, तो वर्ग अंतराल प्राप्त किए जाने चाहिए।

उदाहरण 11

निम्न आंकड़ों से बहुलक श्रमिक परिवार की मासिक आय का मान परिकलित कीजिए:

मासिक आय प्रति माह (हजार रुपये में) की कम से क संचयी बारंबारता बंटन

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह संचयी बारंबारता बंटन का एक उदाहरण है। मोड निकालने के लिए आपको इसे विशिष्ट श्रेणी में बदलना होगा। इस उदाहरण में श्रेणी अवरोही क्रम में है। मोडल वर्ग ज्ञात करने के लिए इस सारणी को सामान्य बारंबारता सारणी (सारणी 5.7) में बदलना चाहिए।

मोड का मान 25-30 वर्ग अंतराल में है। निरीक्षण से भी यह स्पष्ट है कि यही मोडल वर्ग है।

अब $\mathrm{L}=25, \mathrm{D} _{1}=(30-18)=12, \mathrm{D} _{2}=$ $(30-20)=10, h=5$

सूत्र का प्रयोग करके आप मोड का मान प्राप्त कर सकते हैं:

$\mathrm{M} _{\mathrm{O}}$ (‘000 रु में)

$$ \begin{aligned} \mathrm{M} _{\mathrm{o}} & =\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}} \times \mathrm{h} \ & =25+\frac{12}{12+10} \times 5=27.273 \end{aligned} $$

इस प्रकार मोडल श्रमिक परिवार की मासिक आय रु 27.273 है।

गतिविधियाँ

• एक जूता कंपनी, जो केवल वयस्कों के लिए जूते बनाती है, यह जानना चाहती है कि सबसे लोकप्रिय जूते का आकार कौन-सा है। इसके लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा?
• निम्नलिखित वस्तुओं का उत्पादन करने वाली कंपनियों के लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त होगा? क्यों?

(i) डायरियाँ और नोटबुकें

(ii) स्कूल बैग

(iii) जींस और टी-शर्ट्स

• अपनी कक्षा में एक छोटा-सा सर्वेक्षण करें ताकि केंद्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप का उपयोग करके छात्रों की चीनी भोजन के प्रति पसंद का पता लगाया जा सके।
• क्या मोड को आलेखीय रूप से स्थित किया जा सकता है?

6. समांतर माध्य, माध्यिका और मोड की सापेक्ष स्थिति

मान लीजिए हम व्यक्त करते हैं,

समांतर माध्य $=\mathrm{M} _{\mathrm{e}}$

माध्यिका $=\mathrm{M} _{\mathrm{i}}$

मोड $=\mathrm{M} _{\mathrm{o}}$

तीनों की सापेक्ष परिमाण $M _{e}>M _{i}>M _{o}$ या $M _{e}<M _{i}<M _{o}$ होती है (प्रत्यय वर्णानुक्रम में आते हैं)। माध्यिका हमेशा समांतर माध्य और मोड के बीच में होती है।

7. निष्कर्ष

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप या औसत आंकड़ों का सारांश प्रस्तुत करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं। यह डेटा सेट का वर्णन करने के लिए एक एकल सबसे प्रतिनिधित्व करने वाला मान निर्दिष्ट करता है। अंकगणितीय माध्य सबसे अधिक प्रयोग में आने वाला औसत है। इसकी गणना सरल है और यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित है। लेकिन यह चरम मदों की उपस्थिति से अनुचित रूप से प्रभावित होता है। ऐसे डेटा के लिए माध्यिका एक बेहतर सारांश है। मोड आमतौर पर गुणात्मक डेटा का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। माध्यिका और मोड को आलेखीय रूप से आसानी से परिकलित किया जा सकता है। खुले सिरे वाले वितरण के मामले में भी इन्हें आसानी से परिकलित किया जा सकता है। इस प्रकार, विश्लेषण के उद्देश्य और वितरण की प्रकृति के अनुसार उपयुक्त औसत चयनित करना महत्वपूर्ण है।

सारांश

• केंद्रीय प्रवृत्ति का माप डेटा को एक एकल मान के साथ संक्षेपित करता है, जो संपूर्ण डेटा का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• अंकगणितीय माध्य को सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर परिभाषित किया गया है।
• मदों के अंकगणितीय माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य के बराबर होता है।
• कभी-कभी, विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना महत्वपूर्ण होता है।
• माध्यिका वितरण का केंद्रीय मान है इस अर्थ में कि माध्यिका से कम मानों की संख्या माध्यिका से अधिक मानों की संख्या के बराबर होती है।
• चतुर्थांक कुल मानों के समुच्चय को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
• मोड वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है।

अभ्यास

1. निम्नलिखित मामलों में कौन-सा औसत उपयुक्त होगा?

(i) तैयार कपड़ों का औसत आकार।

(ii) किसी कक्षा में विद्यार्थियों की औसत बुद्धि।

(iii) एक कारखाने में प्रति पाली औसत उत्पादन।

(iv) किसी औद्योगिक संस्था में औसत मजदूरी।

(v) जब औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम हो।

(vi) जब चर की मात्राएँ अनुपातों में हों।

(vii) खुले सिरे की बारंबारता बंटन के मामले में।

2. प्रत्येक प्रश्न के सामने दिए गए बहुविकल्पी विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त विकल्प चुनिए।

(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधिक उपयुक्त औसत है

(a) समांतर माध्य

(b) माध्यिका

(c) बहुलक

(d) गुणोत्तर माध्य

(e) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(ii) कौन-सा औसत चरम मानों की उपस्थिति से सर्वाधिक प्रभावित होता है?

(a) माध्यिका

(b) बहुलक

(c) समांतर माध्य

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iii) $n$ मानों के एक समूह का A.M. से विचलनों का बीजगणितीय योग होता है

(a) $\mathrm{n}$

(b) 0

(c) 1

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

[उत्तर: (i) b (ii) c (iii) b]

3. निम्नलिखित कथनों की सत्यता या असत्यता पर टिप्पणी कीजिए।

(i) माध्यिका से मानों के विचलन का योग शून्य होता है।

(ii) किसी श्रेणी की तुलना के लिए केवल औसत पर्याप्त नहीं होता।

(iii) समांतर माध्य एक स्थितीय मान होता है।

(iv) ऊपरी चतुर्थक शीर्ष $25 %$ मानों का न्यूनतम मान होता है।

(v) माध्यिका चरम प्रेक्षणों से अत्यधिक प्रभावित होती है।

[उत्तर: (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य]

4. यदि नीचे दिए गए आँकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (a) लुप्त बारंबारता ज्ञात कीजिए, और (b) श्रेणी की माध्यिका ज्ञात कीजिए:

प्रति खुदरा दुकान लाभ (रुपये में) $\quad$ 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50 $\quad$ 50-60

खुदरा दुकानों की संख्या $\qquad \quad$ 12 $\qquad$ 18 $\qquad$ 27 $\qquad$ - $\qquad$ 17 $\qquad$ 6

(उत्तर: लुप्त बारंबारता का मान 20 है और माध्यक का मान रु 27.41 है)

5. निम्नलिखित सारणी एक कारखाने के दस श्रमिकों की दैनिक आय देती है। समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

श्रमिक $\quad$ A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ E $\quad$ F $\quad$ G $\quad$ H $\quad$ I

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 120 \quad 150 \quad 180 \quad 200 \quad 250 \quad 300 \quad 220 \quad 350 \quad 370 \quad 260$ (उत्तर: रु 240)

6. 150 परिवारों की दैनिक आय से संबंधित निम्नलिखित जानकारी है। समांतर माध्य की गणना कीजिए।

7. एक गाँव के 380 परिवारों की भूमि-धारण का आकार नीचे दिया गया है। भूमि-धारण का माध्यक आकार ज्ञात कीजिए।

भूमि-धारण का आकार (एकड़ में)

100 से कम $\quad 100-200 \quad 200-300 \quad 300-400 \quad 400$ और अधिक.

परिवारों की संख्या $\quad 40 \quad 89 \quad 148 \quad 64 \quad 39 $

(उत्तर: 241.22 एकड़)

8. निम्नलिखित श्रृंखला एक फर्म में कार्यरत श्रमिकों की दैनिक आय से संबंधित है। परिकलित कीजिए (क) न्यूनतम 50% श्रमिकों की उच्चतम आय (ख) शीर्ष 25% श्रमिकों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय और (ग) न्यूनतम 25% श्रमिकों द्वारा अर्जित अधिकतम आय।

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 10-14 \quad 15-19 \quad 20-24 \quad 25-29 \quad 30-34 \quad 35-39$

श्रमिकों की संख्या $\quad 5 \quad 10 \quad 15 \quad 20 \quad 10 \quad 5$

(संकेत: माध्यिका, निम्न चतुर्थांश और उच्च चतुर्थांश परिकलित कीजिए।)

[उत्तर (क) रु 25.11 (ख) रु 19.92 (ग) रु 29.19]

9. निम्नलिखित सारणी एक गाँव के 150 खेतों में गेहूँ की प्रति हेक्टेयर उत्पादन उपज को किग्रा. में देती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक मानों की गणना कीजिए।

उत्पादन उपज (किग्रा. प्रति हेक्टेयर) $\quad 50-53 \quad 53-56 \quad 56-59 \quad 59-62 62-65 \quad 65-68 \quad 68-71 \quad 71-74 \quad 74-77$

खेतों की संख्या $\quad 3 \quad 8 \quad 14 \quad 30 \quad 36 \quad 28 \quad 16 \quad 10 \quad 5 $

(उत्तर माध्य $=63.82 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, माध्यिका $=63.67 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, बहुलक $=63.29 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर)