1. ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ದತ್ತಾಂಶದ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ರೂಪದ ಪ್ರತಿನಿಧಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಓದಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಿರಿ, ಇದು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳು, ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಸರಾಸರಿ ಮಳೆ, ಕಾರ್ಖಾನೆಯ ಸರಾಸರಿ ಉತ್ಪಾದನೆ, ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ ಅಥವಾ ಒಂದು ಕಂಪನಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಆದಾಯ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಬೈಜು ಒಬ್ಬ ರೈತ. ಅವನು ಬಿಹಾರ ರಾಜ್ಯದ ಬಕ್ಸರ್ ಜಿಲ್ಲೆಯ ಬಲಾಪುರ ಎಂಬ ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಭೂಮಿಯಲ್ಲಿ ಆಹಾರ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಯುತ್ತಾನೆ. ಗ್ರಾಮವು 50 ಚಿಕ್ಕ ರೈತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಬೈಜು ಹೊಂದಿರುವುದು 1 ಎಕರೆ ಭೂಮಿ. ಬಲಾಪುರದ ಚಿಕ್ಕ ರೈತರ ಆರ್ಥಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇದೆ. ಬಲಾಪುರ ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ ಬೈಜುವಿನ ಆರ್ಥಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ನೀವು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಬಲಾಪುರದ ಇತರ ರೈತರ ಭೂಮಿ ಹಿಡುವಳಿಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ, ಅವನ ಭೂಮಿ ಹಿಡುವಳಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಬೈಜು ಹೊಂದಿರುವ ಭೂಮಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು -

1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಮೇಲ್ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದೆಯೇ (ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ ನೋಡಿ)
2. ಅರ್ಧದಷ್ಟು ರೈತರು ಹೊಂದಿರುವ ಗಾತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆಯೇ (ಮಧ್ಯಸ್ಥ ನೋಡಿ)
3. ಹೆಚ್ಚಿನ ರೈತರು ಹೊಂದಿರುವ ಗಾತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದೆಯೇ (ಬಹುಲಕ ನೋಡಿ)

ಬೈಜುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆರ್ಥಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಬಲಾಪುರದ ರೈತರ ಭೂಮಿ ಹಿಡುವಳಿಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಲ್ಲದು. ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಮಾಪನವು ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಮೌಲ್ಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಅಥವಾ “ಸರಾಸರಿ"ಗಳ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾಪನಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೂರು ಸರಾಸರಿಗಳು:

• ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ
• ಮಧ್ಯಸ್ಥ
• ಬಹುಲಕ

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳು ಅಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಮಧ್ಯಮಗಳು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಇವು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಸರಾಸರಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದು.

2. ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ

ಆರು ಕುಟುಂಬಗಳ ಮಾಸಿಕ ಆದಾಯ (ರೂ. ನಲ್ಲಿ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630.

ಎಲ್ಲಾ ಆದಾಯಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಕುಟುಂಬಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಸರಾಸರಿ ಕುಟುಂಬ ಆದಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= ರೂ. 1,547

ಇದರ ಅರ್ಥ, ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ರೂ. 1,547 ಗಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯ ಮಾಪನವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯುವ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $\overline{\mathrm{X}}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $\mathrm{N}$ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

ಬಲಗೈ ಬದಿಯನ್ನು $\frac{\sum _{i=1}^{N} \mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ, $\mathrm{i}$ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸುಲಭಕ್ಕಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಇಲ್ಲದೆ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, ಇಲ್ಲಿ, $\Sigma \mathrm{X}=$ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು $\mathrm{N}=$ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಎರಡು ವಿಶಾಲ ವರ್ಗಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು:

1. ಅವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ.
2. ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ.

ಅವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶದ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ

ನೇರ ವಿಧಾನ

ನೇರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಒಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ: $40,50,55$, $78,58$.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕ 56.2 ಆಗಿದೆ.

ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನ

ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ನೇರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹದಿಂದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಮಯ ಉಳಿಸಲು, ನೀವು ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ತರ್ಕ/ಅನುಭವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ. ನಂತರ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕದಿಂದ ಹೇಳಿದ ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ, ನೀವು ಈ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ,

ಇರಲಿ, $\mathrm{A}=$ ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ

$\mathrm{X}=$ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳು

$\mathrm{N}=$ ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

$d=$ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕದಿಂದ ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮದ ವಿಚಲನ, ಅಂದರೆ $d=X-A$

ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಂತರ $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಂತರ $\mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ $\overline{\mathrm{X}}$ ಪಡೆಯಿರಿ

ಆದ್ದರಿಂದ, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು, ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಇರಲಿ ಅಥವಾ ಇರದಿರಲಿ, ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಆದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಯವಾಗಿ ಇರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶವು 10 ಕುಟುಂಬಗಳ ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ ಆದಾಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕುಟುಂಬ

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H }$

$\text { I } \text{ J }$

ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ ಆದಾಯ (ರೂ. ನಲ್ಲಿ)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

ಸರಾಸರಿ ಕುಟುಂಬ ಆದಾಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ.

ಕೋಷ್ಟಕ 5.1 ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

ಹೀಗೆ, ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಒಂದು ಕುಟುಂಬದ ಸರಾಸರಿ ಸಾಪ್ತಾಹಿಕ ಆದಾಯ ರೂ. 1,116 ಆಗಿದೆ. ನೇರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನ

ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ‘c’ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, $\mathrm{d}^{\prime}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ, $\mathrm{N}=$ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, $\mathrm{A}=$ ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ.

ಹೀಗೆ, ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದು,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$.

ವರ್ಗೀಕೃತ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ವಿವಿಕ್ತ ಶ್ರೇಣಿ

ನೇರ ವಿಧಾನ

ವಿವಿಕ್ತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕದ ವಿರುದ್ಧದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

ಇಲ್ಲಿ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ ಚರಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೊತ್ತ.

$\Sigma f=$ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಒಂದು ಹೌಸಿಂಗ್ ಕಾಲೋನಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾಟ್ಗಳು ಕೇವಲ ಮೂರು ಗಾತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ: 100 ಚ. ಮೀ., 200 ಚ. ಮೀ. ಮತ್ತು 300 ಚ. ಮೀ. ಮತ್ತು ಪ್ಲಾಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ 200 50 ಮತ್ತು 10 ಆಗಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 5.2 ನೇರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ನೇರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ ಚ. ಮೀ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೌಸಿಂಗ್ ಕಾಲೋನಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಪ್ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರ 126.92 ಚ. ಮೀ. ಆಗಿದೆ.

ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ ಸರಳ ಮಾರ್ಪಾಡಿನೊಂದಿಗೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಆವೃತ್ತಿ (f) ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ವಿಚಲನ (d) ಅನ್ನು ಆವೃತ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ fd ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು $\Sigma \mathrm{fd}$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಎಲ್ಲಾ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಂದರೆ $\Sigma \mathrm{f}$. ನಂತರ $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ‘c’ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಕಿಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ $\mathrm{fd}^{\prime}$ ಮತ್ತು $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ ಪಡೆಯಿರಿ. ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

ಕ್ರಿಯಾಶೀಲತೆ

• ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಹಂತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪಿತ ಮಧ್ಯಮ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಾಸರಿ ಪ್ಲಾಟ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸತತ ಶ್ರೇಣಿ

ಇಲ್ಲಿ, ವರ್ಗಾಂತರಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸತತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಿವಿಕ್ತ ಶ್ರೇಣಿಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕೈಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ವರ್ಗಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಾಂತರಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅಸಮ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗಾಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, 0-10, 10-20 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಅಂತರ್ಗತ ವರ್ಗಾಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, 0-9, 10-19 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಅಸಮ ವರ್ಗಾಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, 0-20, 20-50 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕೆಳಗಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು (a) ನೇರ ವಿಧಾನ (b) ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ.

ನೇರ ವಿಧಾನ

ಅಂಕಗಳು

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

ಕೋಷ್ಟಕ 5.3 ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗಾಂತರಕ್ಕೆ ನೇರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಅಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಹಂತಗಳು:

1. ಪ್ರತಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ, ಅವುಗಳನ್ನು $\mathrm{m}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ ಪಡೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೇರ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{marks} $$

ಹಂತ ವಿಚಲನ ವಿಧಾನ

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ ಪಡೆಯಿರಿ
2. $\mathrm{A}=35$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, (ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶ ಅಂಕಿ), $\mathrm{c}=$ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text { marks } \end{aligned} $$

ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಎರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

(i) ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಸುತ್ತಲಿನ ಅಂಶಗಳ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$.

(ii) ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವು ಅತಿ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು, ಎರಡೂ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ತೂಕಿತ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮ

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ತೂಕಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಿವೆ, ಮಾವು ಮತ್ತು ಆಲೂಗಡ್ಡೆ. ನೀವು ಮಾವಿನ $P_1$ ಮತ್ತು ಆಲೂಗಡ್ಡೆಯ $P_2$ ಸರಾಸರಿ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಆಸಕ್ತರಾಗಿದ್ದೀರಿ. ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವು $\frac{p_1+p_2}{2}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಆಲೂಗಡ್ಡೆಯ ಬೆಲೆಯ ಏರಿಕೆಗೆ $P_2$ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ನೀವು ಬಯಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಗ್ರಾಹಕರ ಬಜೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಮಾವಿನ ಪಾಲನ್ನು $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ ಮತ್ತು ಬಜೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆಲೂಗಡ್ಡೆಯ ಪಾಲನ್ನು $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$ ‘ತೂಕಗಳಾಗಿ’ ಬಳಸಬಹುದು. ಈಗ ಬಜೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಪಾಲುಗಳಿಂದ ತೂಕಿತ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವು $\frac{\mathrm{W} _{1} \mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2} \mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೂಕಿತ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1} \mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2} \mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}} \mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

ಬೆಲೆಗಳು ಏರಿದಾಗ, ನಿಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾದ ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆಯ ಏರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅಧ್ಯಾಯ 8 ರಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಓದುವಿರಿ.

ಕ್ರಿಯಾಶೀಲತೆಗಳು

• ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು 2 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಪ್ರಾಪ್ತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ.
• ಮೊದಲ ಮೂರು ಅಂಶಗಳು 2 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಸರಾಸರಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಲು ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏನಾಗಬೇಕು.
• 12 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 96 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಮಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.

3. ಮಧ್ಯಸ್ಥ

ಮಧ್ಯಸ್ಥವು ಚರಾಂಶದ ಆ ಸ್ಥಾನಿಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಭಾಗವು ಮಧ್ಯಸ್ಥ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌ