10.1 تعارف

آپ نے کلاس نہم میں پڑھا تھا کہ دائرہ ایک مستوی میں تمام نقاط کا مجموعہ ہوتا ہے جو ایک مقررہ نقطہ (مرکز) سے ایک مستقل فاصلے (رداس) پر واقع ہوں۔ آپ نے دائرے سے متعلق مختلف اصطلاحات جیسے وتر، قطعہ، قاطعہ، قوس وغیرہ کا بھی مطالعہ کیا ہے۔ آئیے اب ایک مستوی میں دائرہ اور خط دیے جانے پر پیدا ہونے والے مختلف حالات کا جائزہ لیں۔

تو، ہم ایک دائرہ اور ایک خط PQ پر غور کرتے ہیں۔ ذیل میں دی گئی تصویر 10.1 میں تین ممکنہ صورتیں ہو سکتی ہیں:

شکل 10.1

شکل 10.1 (i) میں، خط PQ اور دائرے کا کوئی مشترک نقطہ نہیں ہے۔ اس صورت میں، PQ کو دائرے کے ساتھ ایک غیر مقطع خط کہا جاتا ہے۔ شکل 10.1 (ii) میں، دو مشترک نقاط $\mathrm{A}$ اور $\mathrm{B}$ ہیں جو خط $\mathrm{PQ}$ اور دائرے کے پاس ہیں۔ اس صورت میں، ہم خط PQ کو دائرے کا ایک قاطع کہتے ہیں۔ شکل 10.1 (iii) میں، صرف ایک نقطہ A ہے جو خط PQ اور دائرے کے لیے مشترک ہے۔ اس صورت میں، خط کو دائرے کی مماس کہا جاتا ہے۔

آپ نے شاید کنویں پر لگا ہوا ایک پلّی دیکھا ہوگا جو کنویں سے پانی نکالنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ شکل 10.2 دیکھیں۔ یہاں پلّی کے دونوں طرف کی رسی، اگر شعاع کے طور پر دیکھی جائے، تو پلّی کی نمائندگی کرنے والے دائرے کی مماس کی طرح ہے۔

شکل 10.2

کیا دائرے کے ساتھ خط کی کوئی اور قسم کی پوزیشن اوپر دی گئی اقسام کے علاوہ بھی ہے؟ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ دائرے کے ساتھ خط کی کوئی اور قسم کی پوزیشن نہیں ہو سکتی۔ اس باب میں، ہم دائرے پر مماسوں کے وجود کا مطالعہ کریں گے اور ان کے کچھ خواص کا بھی مطالعہ کریں گے۔

10.2 دائرے کی مماس

پچھلے حصے میں، آپ نے دیکھا کہ دائرے کی مماس[^0] ایک ایسا خط ہے جو دائرے کو صرف ایک نقطہ پر قطع کرتا ہے۔

دائرے کے ایک نقطہ پر مماس کے وجود کو سمجھنے کے لیے، آئیے مندرجہ ذیل سرگرمیاں انجام دیتے ہیں:

سرگرمی 1 : ایک گول تار لیں اور سیدھے تار $A B$ کو گول تار کے ایک نقطہ $P$ پر اس طرح جوڑیں کہ وہ نقطہ $\mathrm{P}$ کے گرد ایک مستوی میں گھوم سکے۔ نظام کو ایک میز پر رکھیں اور تار $\mathrm{AB}$ کو نقطہ $\mathrm{P}$ کے گرد آہستہ سے گھمائیں تاکہ سیدھے تار کی مختلف پوزیشنیں حاصل ہوں [شکل 10.3(i) دیکھیں]۔

مختلف پوزیشنوں میں، تار گول تار کو $\mathrm{P}$ پر اور ایک دوسرے نقطہ $\mathrm{Q_1}$ یا $\mathrm{Q_2}$ یا $\mathrm{Q_3}$ وغیرہ پر قطع کرتا ہے۔ ایک پوزیشن میں، آپ دیکھیں گے کہ یہ دائرے کو صرف نقطہ $\mathrm{P}$ پر قطع کرے گا ($\mathrm{AB}$ کی پوزیشن $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ دیکھیں)۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ دائرے کے نقطہ $\mathrm{P}$ پر ایک مماس موجود ہے۔ مزید گھمانے پر، آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ $\mathrm{AB}$ کی دیگر تمام پوزیشنوں میں، یہ دائرے کو $\mathrm{P}$ پر اور ایک دوسرے نقطہ، مثلاً $\mathrm{R_1}$ یا $\mathrm{R_2}$ یا $\mathrm{R_3}$ وغیرہ پر قطع کرے گا۔ لہٰذا، آپ دیکھ سکتے ہیں کہ دائرے کے ایک نقطہ پر صرف ایک مماس ہوتا ہے۔

شکل 10.3 (i)

اوپر سرگرمی کرتے ہوئے، آپ نے ضرور مشاہدہ کیا ہوگا کہ جیسے پوزیشن $A B$، پوزیشن $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ کی طرف بڑھتی ہے، خط $\mathrm{AB}$ اور دائرے کا مشترک نقطہ، مثلاً $\mathrm{Q_1}$، بتدریج مشترک نقطہ $\mathrm{P}$ کے قریب آتا جاتا ہے۔ بالآخر، یہ نقطہ $\mathrm{P}$ کے ساتھ $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ کی پوزیشن $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ میں منطبق ہو جاتا ہے۔ پھر نوٹ کریں، اگر ‘$\mathrm{AB}$’ کو $\mathrm{P}$ کے گرد دائیں طرف گھمایا جائے تو کیا ہوتا ہے؟ مشترک نقطہ $\mathrm{R_3}$ بتدریج P کے قریب آتا جاتا ہے اور بالآخر P کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے۔ لہٰذا، جو ہم دیکھتے ہیں وہ یہ ہے:

دائرے کی مماس قاطع کی ایک خاص صورت ہے، جب اس کے متعلقہ وتر کے دونوں سرے منطبق ہو جاتے ہیں۔

سرگرمی 2 : کاغذ پر ایک دائرہ اور اس کا ایک قاطع PQ بنائیں۔ قاطع کے دونوں اطراف اس کے متوازی مختلف خطوط بنائیں۔ آپ دیکھیں گے کہ کچھ مراحل کے بعد، خطوط کے ذریعے کاٹے گئے وتر کی لمبائی بتدریج کم ہوتی جائے گی، یعنی خط اور دائرے کے قطع کرنے کے دو نقاط قریب آتے جاتے ہیں [شکل 10.3(ii) دیکھیں]۔ ایک صورت میں، یہ قاطع کے ایک طرف صفر ہو جاتا ہے اور دوسری صورت میں، یہ قاطع کے دوسری طرف صفر ہو جاتا ہے۔ شکل 10.3 (ii) میں قاطع کی پوزیشنیں $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ اور $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ دیکھیں۔ یہ دیے گئے قاطع PQ کے متوازی دائرے کی مماسیں ہیں۔ یہ آپ کو یہ دیکھنے میں بھی مدد دیتا ہے کہ کسی دیے گئے قاطع کے متوازی دو سے زیادہ مماسیں نہیں ہو سکتیں۔

شکل 10.3 (ii)

یہ سرگرمی بھی اس بات کو قائم کرتی ہے، جو آپ نے سرگرمی 1 کرتے ہوئے ضرور مشاہدہ کیا ہوگا، یعنی مماس قاطع ہوتی ہے جب متعلقہ وتر کے دونوں سرے منطبق ہو جاتے ہیں۔

مماس اور دائرے کے مشترک نقطہ کو نقطہ تماس کہا جاتا ہے [شکل 10.1 (iii) میں نقطہ A] اور مماس کو مشترک نقطہ پر دائرے کو چھونے والا کہا جاتا ہے۔

اب اپنے اردگرد دیکھیں۔ کیا آپ نے سائیکل یا گاڑی چلتے دیکھی ہے؟ اس کے پہیوں کو دیکھیں۔ پہیے کے تمام تانبے اس کے رداسوں کے ساتھ ہوتے ہیں۔ اب زمین پر اس کی حرکت کے لحاظ سے پہیے کی پوزیشن نوٹ کریں۔ کیا آپ کہیں مماس دیکھتے ہیں؟ (شکل 10.4 دیکھیں)۔ درحقیقت، پہیہ ایک خط کے ساتھ چلتا ہے جو پہیے کی نمائندگی کرنے والے دائرے کی مماس ہوتی ہے۔ نیز، غور کریں کہ تمام پوزیشنوں میں، زمین کے ساتھ نقطہ تماس سے گزرنے والا رداس مماس کے ساتھ قائمہ زاویہ بناتا دکھائی دیتا ہے (شکل 10.4 دیکھیں)۔ ہم اب مماس کی اس خاصیت کو ثابت کریں گے۔

شکل 10.4

قضیہ 10.1 : کسی بھی نقطہ پر دائرے کی مماس، نقطہ تماس سے گزرنے والے رداس کے عمود ہوتی ہے۔

ثبوت : ہمیں مرکز $\mathrm{O}$ والا ایک دائرہ اور دائرے کے ایک نقطہ $\mathrm{P}$ پر ایک مماس $\mathrm{XY}$ دی گئی ہے۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ $\mathrm{OP}$، $\mathrm{XY}$ پر عمود ہے۔

$\mathrm{XY}$ پر نقطہ $\mathrm{P}$ کے علاوہ ایک نقطہ $\mathrm{Q}$ لیں اور $\mathrm{OQ}$ کو ملائیں (شکل 10.5 دیکھیں)۔

نقطہ $\mathrm{Q}$ ضرور دائرے کے باہر واقع ہوگا۔ (کیوں؟ نوٹ کریں کہ اگر Q دائرے کے اندر واقع ہو، تو XY دائرے کا قاطع بن جائے گا نہ کہ مماس)۔ لہٰذا، OQ دائرے کے رداس $\mathrm{OP}$ سے لمبا ہے۔ یعنی،

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

چونکہ یہ خط $\mathrm{XY}$ پر نقطہ $\mathrm{P}$ کے علاوہ ہر نقطہ کے لیے ہوتا ہے، $\mathrm{OP}$ نقطہ $\mathrm{O}$ سے خط XY کے نقاط تک کے تمام فاصلوں میں سب سے چھوٹا ہے۔ لہٰذا OP، XY پر عمود ہے۔ (جیسا کہ قضیہ A1.7 میں دکھایا گیا ہے)۔

شکل 10.5

ملاحظات

1. اوپر دیے گئے قضیہ سے، ہم یہ نتیجہ بھی نکال سکتے ہیں کہ دائرے کے کسی بھی نقطہ پر ایک اور صرف ایک مماس ہو سکتی ہے۔

2. نقطہ تماس سے گزرنے والے رداس پر مشتمل خط کو کبھی کبھی نقطہ پر دائرے کا ‘عمود’ بھی کہا جاتا ہے۔

10.3 دائرے پر ایک نقطہ سے مماسوں کی تعداد

دائرے پر ایک نقطہ سے مماسوں کی تعداد کا اندازہ لگانے کے لیے، آئیے مندرجہ ذیل سرگرمی انجام دیتے ہیں:

سرگرمی 3 : کاغذ پر ایک دائرہ بنائیں۔ اس کے اندر ایک نقطہ $P$ لیں۔ کیا آپ اس نقطہ سے ہو کر دائرے کی مماس کھینچ سکتے ہیں؟ آپ دیکھیں گے کہ اس نقطہ سے گزرنے والے تمام خطوط دائرے کو دو نقاط پر قطع کرتے ہیں۔ لہٰذا، دائرے کے اندر واقع کسی نقطہ سے ہو کر دائرے کی کوئی مماس کھینچنا ممکن نہیں ہے [شکل 10.6 (i) دیکھیں]۔

اگلا، دائرے پر ایک نقطہ $\mathrm{P}$ لیں اور اس نقطہ سے ہو کر مماسیں کھینچیں۔ آپ نے پہلے ہی مشاہدہ کیا ہے کہ ایسے نقطہ پر دائرے کی صرف ایک مماس ہوتی ہے [شکل 10.6 (ii) دیکھیں]۔

آخر میں، دائرے کے باہر ایک نقطہ $P$ لیں اور اس نقطہ سے دائرے کی مماسیں کھینچنے کی کوشش کریں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ آپ دیکھیں گے کہ آپ اس نقطہ سے ہو کر دائرے کی بالکل دو مماسیں کھینچ سکتے ہیں [شکل 10.6 (iii) دیکھیں]۔

شکل 10.6

ہم ان حقائق کو مندرجہ ذیل طور پر خلاصہ کر سکتے ہیں:

صورت 1 : دائرے پر واقع کسی نقطہ سے ہو کر دائرے کی کوئی مماس نہیں گذرتی۔

صورت 2 : دائرے پر واقع کسی نقطہ سے ہو کر دائرے کی ایک اور صرف ایک مماس گذرتی ہے۔

صورت 3 : دائرے کے باہر واقع کسی نقطہ سے ہو کر دائرے کی بالکل دو مماسیں گذرتی ہیں۔

شکل 10.6 (iii) میں، $\mathrm{T_1}$ اور $\mathrm{T_2}$ بالترتیب مماسوں $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ کے نقاط تماس ہیں۔

مماس کے قطعہ کی لمبائی، خارجی نقطہ $P$ سے نقطہ تماس تک، کو نقطہ $\mathrm{P}$ سے دائرے تک مماس کی لمبائی کہا جاتا ہے۔

نوٹ کریں کہ شکل 10.6 (iii) میں، $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ نقطہ $\mathrm{P}$ سے دائرے تک مماسوں کی لمبائیاں ہیں۔ لمبائیاں $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ میں ایک مشترک خاصیت ہے۔ کیا آپ یہ پا سکتے ہیں؟ $\mathrm{PT_1}$ اور $\mathrm{PT_2}$ ناپیں۔ کیا یہ برابر ہیں؟ درحقیقت، یہ ہمیشہ ایسا ہی ہوتا ہے۔ آئیے اس حقیقت کا ثبوت مندرجہ ذیل قضیہ میں دیں۔

قضیہ 10.2: کسی خارجی نقطہ سے دائرے پر کھینچی گئی مماسوں کی لمبائیاں برابر ہوتی ہیں۔

ثبوت: ہمیں مرکز $\mathrm{O}$ والا ایک دائرہ، دائرے کے باہر واقع ایک نقطہ $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{P}$ سے دائرے پر دو مماسیں PQ، PR دی گئی ہیں (شکل 10.7 دیکھیں)۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ $P Q=P R$۔

شکل 10.7

اس کے لیے، ہم OP، OQ اور OR کو ملاتے ہیں۔ پھر $\angle \mathrm{OQP}$ اور $\angle \mathrm{ORP}$ قائمہ زاویے ہیں، کیونکہ یہ رداسوں اور مماسوں کے درمیان زاویے ہیں، اور قضیہ 10.1 کے مطابق یہ قائمہ زاویے ہیں۔ اب قائمہ زاویہ مثلثوں OQP اور ORP میں،

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ایک ہی دائرے کے رداس)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (مشترک)

لہٰذا، $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

یہ دیتا ہے $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

ملاحظات

1. قضیہ کو فیثاغورث کے قضیہ کا استعمال کرتے ہوئے بھی ثابت کیا جا سکتا ہے:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

جو دیتا ہے $P Q=P R$۔

2. یہ بھی نوٹ کریں کہ $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$۔ لہٰذا، $\mathrm{OP}$، $\angle \mathrm{QPR}$ کا زاویہ ناصف ہے، یعنی مرکز دو مماسوں کے درمیان زاویے کے ناصف پر واقع ہوتا ہے۔

آئیے کچھ مثالیں لیں۔

مثال 1 : ثابت کریں کہ دو ہم مرکز دائرے میں، بڑے دائرے کا وتر، جو چھوٹے دائرے کو چھوتا ہے، نقطہ تماس پر تنصیف ہوتا ہے۔

حل : ہمیں مرکز $\mathrm{O}$ والے دو ہم مرکز دائرے $\mathrm{C_1}$ اور $\mathrm{C_2}$ اور بڑے دائرے $\mathrm{C_1}$ کا ایک وتر $\mathrm{AB}$ دیا گیا ہے جو چھوٹے دائرے $\mathrm{C_2}$ کو نقطہ $\mathrm{P}$ پر چھوتا ہے (شکل 10.8 دیکھیں)۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$۔

شکل 10.8

آئیے OP کو ملائیں۔ پھر، $A B$، $C_{2}$ کی نقطہ $P$ پر مماس ہے اور $\mathrm{OP}$ اس کا رداس ہے۔ لہٰذا، قضیہ 10.1 کے مطابق،

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

اب $\mathrm{AB}$ دائرے $\mathrm{C}_{1}$ کا ایک وتر ہے اور $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$۔ لہٰذا، $\mathrm{OP}$ وتر $A B$ کا ناصف ہے، کیونکہ مرکز سے عمود وتر کو تنصیف کرتا ہے،

یعنی، $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

مثال 2 : مرکز $\mathrm{O}$ والے دائرے پر ایک خارجی نقطہ $\mathrm{T}$ سے دو مماسیں $\mathrm{TP}$ اور $\mathrm{TQ}$ کھینچی گئی ہیں۔ ثابت کریں کہ $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$۔

حل : ہمیں مرکز $\mathrm{O}$ والا ایک دائرہ، ایک خارجی نقطہ $\mathrm{T}$ اور دائرے پر دو مماسیں $\mathrm{TP}$ اور $\mathrm{TQ}$ دی گئی ہیں، جہاں $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ نقاط تماس ہیں (شکل 10.9 دیکھیں)۔ ہمیں ثابت کرنا ہے کہ

شکل 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

لیجیے $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

اب، قضیہ 10.2 کے مطابق، TP = TQ۔ لہٰذا، TPQ ایک متساوی الساقین مثلث ہے۔

لہٰذا، $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

نیز، قضیہ 10.1 کے مطابق، $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

لہٰذا، $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

یہ دیتا ہے $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

مثال 3 : PQ رداس $5 \mathrm{~cm}$ والے دائرے کا طول $8 \mathrm{~cm}$ کا ایک وتر ہے۔ $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{Q}$ پر مماسیں ایک نقطہ $T$ پر قطع کرتی ہیں (شکل 10.10 دیکھیں)۔ طول TP معلوم کریں۔

حل : OT کو ملائیں۔ یہ PQ کو نقطہ $\mathrm{R}$ پر قطع کرے گا۔ پھر $\triangle$ TPQ متساوی الساقین ہے اور TO، $\angle \mathrm{PTQ}$ کا زاویہ ناصف ہے۔ لہٰذا، $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ اور اس طرح، OT، $\mathrm{PQ}$ کو تنصیف کرتا ہے جو دیتا ہے $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$۔

شکل 10.10

نیز، $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$۔

اب، $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (کیوں؟)

لہٰذا، $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

لہٰذا، قائمہ زاویہ مثلث TRP، قائمہ زاویہ مثلث PRO کے مشابہ ہے (AA مشابہت سے)۔

یہ دیتا ہے

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, i.e., } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { or } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {. } $

نوٹ : TP کو فیثاغورث کے قضیہ کا استعمال کرتے ہوئے بھی معلوم کیا جا سکتا ہے، مندرجہ ذیل طور پر:

لیجیے $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) کو (2) سے منفی کرنے پر، ہمیں ملتا ہے

لہٰذا، $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. دائرے کی مماس کے معنی۔

2. دائرے کی مماس، نقطہ تماس سے گزرنے والے رداس کے عمود ہوتی ہے۔

3. کسی خارجی نقطہ سے دائرے پر کھینچی گئی دو مماسوں کی لمبائیاں برابر ہوتی ہیں۔