১০.১ পৰিচয়

আপুনি নৱম শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰিছিল যে এটা বৃত্ত হৈছে এটা সমতলত থকা সকলো বিন্দুৰ সংগ্ৰহ যিবোৰ এটা স্থিৰ বিন্দু (কেন্দ্ৰ)ৰ পৰা একে দূৰত্বত (ব্যাসাৰ্ধ) থাকে। আপুনি বৃত্তৰ সৈতে জড়িত বিভিন্ন পৰিভাষাও অধ্যয়ন কৰিছিল, যেনে জ্যা, খণ্ড, বৃত্তকলা, চাপ আদি। এতিয়া আহক এটা সমতলত এটা বৃত্ত আৰু এটা ৰেখা দিয়া থাকিলে কি কি বিভিন্ন পৰিস্থিতিৰ সৃষ্টি হ’ব পাৰে সেইবোৰ পৰীক্ষা কৰোঁ।

গতিকে, এটা বৃত্ত আৰু ৰেখা PQ বিবেচনা কৰোঁ। তলৰ চিত্ৰ ১০.১ত দিয়া তিনিটা সম্ভাৱনা থাকিব পাৰে:

চিত্ৰ ১০.১

চিত্ৰ ১০.১ (i)ত, ৰেখা PQ আৰু বৃত্তটোৰ কোনো সাধাৰণ বিন্দু নাই। এই ক্ষেত্ৰত, PQ ক বৃত্তটোৰ সৈতে অপ্ৰতিছেদী ৰেখা বুলি কোৱা হয়। চিত্ৰ ১০.১ (ii)ত, ৰেখা $\mathrm{PQ}$ আৰু বৃত্তটোৰ দুটা সাধাৰণ বিন্দু $\mathrm{A}$ আৰু $\mathrm{B}$ আছে। এই ক্ষেত্ৰত, আমি ৰেখা PQ ক বৃত্তটোৰ ছেদক বুলি কওঁ। চিত্ৰ ১০.১ (iii)ত, ৰেখা PQ আৰু বৃত্তটোৰ মাত্ৰ এটা বিন্দু A সাধাৰণ। এই ক্ষেত্ৰত, ৰেখাটোক বৃত্তটোৰ স্পৰ্শক বুলি কোৱা হয়।

আপুনি কুৱা এটাৰ ওপৰত লাগোৱা এটা চক্ৰ নিশ্চয় দেখিছে যিটো কুৱাৰ পৰা পানী উলিয়াবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। চিত্ৰ ১০.২ চাওক। ইয়াত চক্ৰটোৰ দুয়োপিনে থকা দঁড়ি, যদি ৰশ্মি হিচাপে বিবেচনা কৰা হয়, তেন্তে চক্ৰটোক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বৃত্তটোলৈ এটা স্পৰ্শকৰ দৰে।

চিত্ৰ ১০.২

ওপৰত দিয়া ধৰণবোৰৰ বাহিৰেও বৃত্তটোৰ সৈতে ৰেখাটোৰ আন কোনো অৱস্থান থাকিব পাৰেনে? আপুনি দেখিব পাৰে যে বৃত্তটোৰ সৈতে ৰেখাটোৰ আন কোনো ধৰণৰ অৱস্থান থাকিব নোৱাৰে। এই অধ্যায়ত, আমি বৃত্ত এটালৈ স্পৰ্শকৰ অস্তিত্বৰ বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিম আৰু ইয়াৰ কিছুমান ধৰ্মও অধ্যয়ন কৰিম।

১০.২ বৃত্তৰ স্পৰ্শক

পূৰ্বৱৰ্তী অংশত, আপুনি দেখিছিল যে বৃত্ত এটালৈ স্পৰ্শক[^0] হৈছে এনে ৰেখা যিয়ে বৃত্তটোক কেৱল এটা বিন্দুত ছেদ কৰে।

বৃত্ত এটাৰ এটা বিন্দুত স্পৰ্শকৰ অস্তিত্ব বুজিবলৈ, আহক তলৰ কাৰ্যকলাপবোৰ সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ১ : এটা বৃত্তাকাৰ তাঁৰ লোৱা আৰু বৃত্তাকাৰ তাঁৰটোৰ এটা বিন্দু $P$ত এডাল সৰল তাঁৰ $A B$ এনেদৰে সংলগ্ন কৰা যাতে ই বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ চাৰিওফালে সমতল এটাত ঘূৰিব পাৰে। ব্যৱস্থাটো এখন টেবুলৰ ওপৰত ৰাখি তাঁৰ $\mathrm{AB}$ক বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ চাৰিওফালে অলপকৈ ঘুৰাই সৰল তাঁৰডালৰ বিভিন্ন অৱস্থান পোৱা (চিত্ৰ ১০.৩(i) চাওক)।

বিভিন্ন অৱস্থানত, তাঁৰডালে বৃত্তাকাৰ তাঁৰটোক $\mathrm{P}$ত আৰু আন এটা বিন্দু $\mathrm{Q_1}$ বা $\mathrm{Q_2}$ বা $\mathrm{Q_3}$ আদিত ছেদ কৰে। এটা অৱস্থানত, আপুনি দেখিব যে ই বৃত্তটোক কেৱল বিন্দু $\mathrm{P}$ত ছেদ কৰিব ($\mathrm{AB}$ৰ অৱস্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ চাওক)। ই দেখুৱায় যে বৃত্তটোৰ বিন্দু $\mathrm{P}$ত এটা স্পৰ্শক আছে। আৰু ঘূৰাই নিলে, আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে $\mathrm{AB}$ৰ অন্যান্য সকলো অৱস্থানত, ই বৃত্তটোক $\mathrm{P}$ত আৰু আন এটা বিন্দু, যেনে $\mathrm{R_1}$ বা $\mathrm{R_2}$ বা $\mathrm{R_3}$ আদিত ছেদ কৰিব। গতিকে, আপুনি লক্ষ্য কৰিব পাৰে যে বৃত্ত এটাৰ এটা বিন্দুত মাত্ৰ এটাহে স্পৰ্শক থাকে।

চিত্ৰ ১০.৩ (i)

ওপৰৰ কাৰ্যকলাপ কৰোঁতে, আপুনি নিশ্চয় লক্ষ্য কৰিছিল যে যেতিয়া অৱস্থান $A B$ অৱস্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ৰ ফালে যায়, তেতিয়া ৰেখা $\mathrm{AB}$ আৰু বৃত্তটোৰ সাধাৰণ বিন্দু, যেনে $\mathrm{Q_1}$, ক্ৰমে সাধাৰণ বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ ওচৰলৈ আহে। শেষত, ই $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ৰ অৱস্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ত বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ লগত মিলি যায়। আকৌ মন কৰক, যদি ‘$\mathrm{AB}$‘ক $\mathrm{P}$ৰ চাৰিওফালে সোঁফালে ঘুৰোৱা হয় তেন্তে কি হয়? সাধাৰণ বিন্দু $\mathrm{R_3}$ ক্ৰমে Pৰ ওচৰলৈ আহে আৰু শেষত Pৰ লগত মিলি যায়। গতিকে, আমি যি দেখোঁ তাকেই হল:

বৃত্ত এটালৈ স্পৰ্শক হৈছে ছেদকৰ এটা বিশেষ ৰূপ, যেতিয়া ইয়াৰ সংশ্লিষ্ট জ্যাটোৰ দুয়োটা অন্তৰ্বিন্দু একে হয়।

কাৰ্যকলাপ ২ : কাগজ এখনত এটা বৃত্ত আৰু বৃত্তটোৰ এটা ছেদক PQ আঁকক। ছেদকটোৰ দুয়োপিনে ইয়াৰ সমান্তৰাল বিভিন্ন ৰেখা আঁকক। আপুনি দেখিব যে কেইবাটাও পদক্ষেপৰ পিছত, ৰেখাবোৰে কটা জ্যাটোৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে হ্ৰাস পাব, অৰ্থাৎ ৰেখা আৰু বৃত্তটোৰ ছেদ বিন্দু দুটা ক্ৰমে ওচৰলৈ আহিব (চিত্ৰ ১০.৩(ii) চাওক)। এটা ক্ষেত্ৰত, ই ছেদকটোৰ এটা ফালে শূন্য হয় আৰু আন এটা ক্ষেত্ৰত, ই ছেদকটোৰ আনফালে শূন্য হয়। চিত্ৰ ১০.৩ (ii)ত ছেদকটোৰ অৱস্থান $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ আৰু $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ চাওক। এইবোৰ হৈছে দিয়া ছেদক PQৰ সমান্তৰাল বৃত্তটোৰ স্পৰ্শক। ই আপোনাক ইয়াও দেখাত সহায় কৰে যে দিয়া ছেদক এটাৰ সমান্তৰাল দুটাতকৈ বেছি স্পৰ্শক থাকিব নোৱাৰে।

চিত্ৰ ১০.৩ (ii)

এই কাৰ্যকলাপটোৱেও প্ৰতিষ্ঠা কৰে, যিটো আপুনি কাৰ্যকলাপ ১ কৰোঁতে নিশ্চয় লক্ষ্য কৰিছিল, সেয়া হৈছে যে স্পৰ্শকটো হৈছে ছেদক যেতিয়া সংশ্লিষ্ট জ্যাটোৰ দুয়োটা অন্তৰ্বিন্দু একে হয়।

স্পৰ্শক আৰু বৃত্তটোৰ সাধাৰণ বিন্দুটোক স্পৰ্শ বিন্দু বুলি কোৱা হয় [চিত্ৰ ১০.১ (iii)ত বিন্দু A] আৰু স্পৰ্শকটোৱে সাধাৰণ বিন্দুত বৃত্তটোক স্পৰ্শ কৰে বুলি কোৱা হয়।

এতিয়া চাৰিওফালে চাওক। আপুনি সাইকেল বা গাড়ী এখন চলা দেখিছেনে? ইয়াৰ চকাবোৰলৈ চাওক। চকা এটাৰ সকলো কাঁহী ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধৰ বৰাবৰ। এতিয়া মাটিৰ ওপৰত ইয়াৰ গতিৰ সৈতে চকাটোৰ অৱস্থান লক্ষ্য কৰক। আপুনি ইয়াত স্পৰ্শক দেখিব পাৰেনে? (চিত্ৰ ১০.৪ চাওক)। প্ৰকৃততে, চকাটো এডাল ৰেখাৰ বৰাবৰে গতি কৰে যিটো চকাটোক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বৃত্তটোলৈ এটা স্পৰ্শক। লগতে, মন কৰক যে সকলো অৱস্থানতে, মাটিৰ সৈতে স্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধডাল স্পৰ্শকটোলৈ সমকোণত থকা যেন লাগে (চিত্ৰ ১০.৪ চাওক)। আমি এতিয়া স্পৰ্শকৰ এই ধৰ্মটো প্ৰমাণ কৰিম।

চিত্ৰ ১০.৪

প্ৰমেয় ১০.১ : বৃত্ত এটাৰ যিকোনো বিন্দুত স্পৰ্শকটো স্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধলৈ লম্ব।

প্ৰমাণ : আমি কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ৰ বৃত্ত এটা আৰু বিন্দু $\mathrm{P}$ত বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শক $\mathrm{XY}$ দিয়া আছে। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে $\mathrm{OP}$ $\mathrm{XY}$লৈ লম্ব।

$\mathrm{XY}$ৰ ওপৰত $\mathrm{P}$ৰ বাহিৰে আন এটা বিন্দু $\mathrm{Q}$ লোৱা আৰু $\mathrm{OQ}$ সংযোগ কৰা (চিত্ৰ ১০.৫ চাওক)।

বিন্দু $\mathrm{Q}$ বৃত্তটোৰ বাহিৰত থাকিব লাগিব। (কিয়? মন কৰক যে যদি Q বৃত্তটোৰ ভিতৰত থাকে, তেন্তে XY এটা ছেদক হৈ পৰিব আৰু বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শক নহয়)। গতিকে, OQ বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $\mathrm{OP}$তকৈ দীঘল। অৰ্থাৎ,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

যিহেতু ৰেখা $\mathrm{XY}$ৰ বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ বাহিৰে প্ৰতিটো বিন্দুৰ বাবে এইটো হয়, গতিকে $\mathrm{OP}$ হৈছে বিন্দু $\mathrm{O}$ৰ পৰা XYৰ বিন্দুবোৰলৈ থকা দূৰত্ববোৰৰ ভিতৰত আটাইতকৈ চুটি। গতিকে OP XYলৈ লম্ব (প্ৰমেয় A1.7ত দেখুওৱাৰ দৰে)।

চিত্ৰ ১০.৫

মন্তব্য

১. ওপৰৰ প্ৰমেয়ৰ দ্বাৰা, আমি এই সিদ্ধান্তলৈও আহিব পাৰোঁ যে বৃত্ত এটাৰ যিকোনো বিন্দুত এটা আৰু মাত্ৰ এটাহে স্পৰ্শক থাকিব পাৰে।

২. স্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধটো থকা ৰেখাডালক কেতিয়াবা বৃত্তটোৰ বিন্দুটোত ‘অভিলম্ব’ বুলিও কোৱা হয়।

১০.৩ বৃত্ত এটাৰ পৰা এটা বিন্দুৰ স্পৰ্শকৰ সংখ্যা

বৃত্ত এটাৰ পৰা এটা বিন্দুৰ স্পৰ্শকৰ সংখ্যাৰ ধাৰণা পাবলৈ, আহক তলৰ কাৰ্যকলাপটো সম্পাদনা কৰোঁ:

কাৰ্যকলাপ ৩ : কাগজ এখনত এটা বৃত্ত আঁকক। ইয়াৰ ভিতৰত এটা বিন্দু $P$ লওক। আপুনি এই বিন্দুৰ মাজেৰে বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শক এডাল আঁকিব পাৰেনে? আপুনি দেখিব যে এই বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা সকলো ৰেখাই বৃত্তটোক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে। গতিকে, বৃত্ত এটাৰ ভিতৰত থকা বিন্দু এটাৰ মাজেৰে কোনো স্পৰ্শক আঁকিব পৰা নাযায় [চিত্ৰ ১০.৬ (i) চাওক]।

পিছত বৃত্তটোৰ ওপৰত এটা বিন্দু $\mathrm{P}$ লওক আৰু এই বিন্দুৰ মাজেৰে স্পৰ্শক আঁকক। আপুনি ইতিমধ্যে লক্ষ্য কৰিছে যে এনে বিন্দুত বৃত্তটোলৈ মাত্ৰ এটাহে স্পৰ্শক থাকে [চিত্ৰ ১০.৬ (ii) চাওক]।

শেষত, বৃত্তটোৰ বাহিৰত এটা বিন্দু $P$ লওক আৰু এই বিন্দুৰ পৰা বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শক আঁকিবলৈ চেষ্টা কৰক। আপুনি কি লক্ষ্য কৰে? আপুনি দেখিব যে আপুনি এই বিন্দুৰ মাজেৰে বৃত্তটোলৈ ঠিক দুটা স্পৰ্শক আঁকিব পাৰে [চিত্ৰ ১০.৬ (iii) চাওক]।

চিত্ৰ ১০.৬

আমি এই তথ্যবোৰ তলত দৰে সংক্ষেপ কৰিব পাৰোঁ:

ক্ষেত্ৰ ১ : বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থকা বিন্দু এটাৰ মাজেৰে যোৱা বৃত্তটোলৈ কোনো স্পৰ্শক নাথাকে।

ক্ষেত্ৰ ২ : বৃত্ত এটাৰ ওপৰত থকা বিন্দু এটাৰ মাজেৰে যোৱা বৃত্তটোলৈ এটা আৰু মাত্ৰ এটাহে স্পৰ্শক থাকে।

ক্ষেত্ৰ ৩ : বৃত্ত এটাৰ বাহিৰত থকা বিন্দু এটাৰ মাজেৰে যোৱা বৃত্তটোলৈ ঠিক দুটা স্পৰ্শক থাকে।

চিত্ৰ ১০.৬ (iii)ত, $\mathrm{T_1}$ আৰু $\mathrm{T_2}$ হৈছে ক্ৰমে স্পৰ্শক $\mathrm{PT_1}$ আৰু $\mathrm{PT_2}$ৰ স্পৰ্শ বিন্দু।

বাহ্যিক বিন্দু $P$ৰ পৰা স্পৰ্শকৰ খণ্ডডালৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু বৃত্তটোৰ সৈতে স্পৰ্শ বিন্দুক বিন্দু $\mathrm{P}$ৰ পৰা বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য বুলি কোৱা হয়।

মন কৰক যে চিত্ৰ ১০.৬ (iii)ত, $\mathrm{PT_1}$ আৰু $\mathrm{PT_2}$ হৈছে $\mathrm{P}$ৰ পৰা বৃত্তটোলৈ স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য। দৈৰ্ঘ্য $\mathrm{PT_1}$ আৰু $\mathrm{PT_2}$ৰ এটা সাধাৰণ ধৰ্ম আছে। আপুনি এইটো বিচাৰি পাব পাৰেনে? $\mathrm{PT_1}$ আৰু $\mathrm{PT_2}$ জোখক। এইবোৰ সমাননে? প্ৰকৃততে, এইটো সদায় এনেকুৱাই হয়। আহক তলৰ প্ৰমেয়ত এই তথ্যৰ প্ৰমাণ দিওঁ।

প্ৰমেয় ১০.২: বাহ্যিক বিন্দু এটাৰ পৰা বৃত্ত এটালৈ টনা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান।

প্ৰমাণ: আমি কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ৰ বৃত্ত এটা, বৃত্তটোৰ বাহিৰত থকা বিন্দু $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{P}$ৰ পৰা বৃত্তটোলৈ দুটা স্পৰ্শক PQ, PR দিয়া আছে (চিত্ৰ ১০.৭ চাওক)। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে $P Q=P R$।

চিত্ৰ ১০.৭

ইয়াৰ বাবে, আমি OP, OQ আৰু OR সংযোগ কৰোঁ। তেতিয়া $\angle \mathrm{OQP}$ আৰু $\angle \mathrm{ORP}$ সমকোণ, কাৰণ এইবোৰ হৈছে ব্যাসাৰ্ধ আৰু স্পৰ্শকৰ মাজৰ কোণ, আৰু প্ৰমেয় ১০.১ৰ মতে এইবোৰ সমকোণ। এতিয়া সমকোণী ত্ৰিভুজ OQP আৰু ORPত,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $(একে বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (সাধাৰণ)

গতিকে, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

ইয়ে দিয়ে $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

মন্তব্য

১. প্ৰমেয়টো পাইথাগোৰাছৰ প্ৰমেয়ৰ দ্বাৰাও প্ৰমাণ কৰিব পাৰি:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

যিয়ে দিয়ে $P Q=P R$।

২. মন কৰক যে $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$ও। গতিকে, $\mathrm{OP}$ হৈছে $\angle \mathrm{QPR}$ৰ কোণ সমদ্বিখণ্ডক, অৰ্থাৎ কেন্দ্ৰটো দুয়োটা স্পৰ্শকৰ মাজৰ কোণটোৰ সমদ্বিখণ্ডকত থাকে।

আহক কেইটামান উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ ১ : প্ৰমাণ কৰক যে দুটা এককেন্দ্ৰিক বৃত্তত, ডাঙৰ বৃত্তটোৰ জ্যাডাল, যিয়ে সৰু বৃত্তটোক স্পৰ্শ কৰে, স্পৰ্শ বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

সমাধান : আমি কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ৰ দুটা এককেন্দ্ৰিক বৃত্ত $\mathrm{C_1}$ আৰু $\mathrm{C_2}$ আৰু ডাঙৰ বৃত্ত $\mathrm{C_1}$ৰ জ্যা $\mathrm{AB}$ দিয়া আছে যিয়ে সৰু বৃত্ত $\mathrm{C_2}$ক বিন্দু $\mathrm{P}$ত স্পৰ্শ কৰে (চিত্ৰ ১০.৮ চাওক)। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$।

চিত্ৰ ১০.৮

আহক OP সংযোগ কৰোঁ। তেতিয়া, $A B$ হৈছে $C_{2}$লৈ বিন্দু $P$ত স্পৰ্শক আৰু $\mathrm{OP}$ ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ। গতিকে, প্ৰমেয় ১০.১ৰ মতে,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

এতিয়া $\mathrm{AB}$ হৈছে বৃত্ত $\mathrm{C}_{1}$ৰ জ্যা আৰু $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$। গতিকে, $\mathrm{OP}$ হৈছে জ্যা $A B$ৰ সমদ্বিখণ্ডক, কাৰণ কেন্দ্ৰৰ পৰা লম্বই জ্যাডালক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে,

অৰ্থাৎ, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

উদাহৰণ ২ : কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ৰ বৃত্ত এটালৈ বাহ্যিক বিন্দু $\mathrm{T}$ৰ পৰা দুটা স্পৰ্শক $\mathrm{TP}$ আৰু $\mathrm{TQ}$ টনা হৈছে। প্ৰমাণ কৰক যে $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$।

সমাধান : আমি কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ৰ বৃত্ত এটা, বাহ্যিক বিন্দু $\mathrm{T}$ আৰু বৃত্তটোলৈ দুটা স্পৰ্শক $\mathrm{TP}$ আৰু $\mathrm{TQ}$ দিয়া আছে, য’ত $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ স্পৰ্শ বিন্দু (চিত্ৰ ১০.৯ চাওক)। আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগিব যে

চিত্ৰ ১০.৯

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

ধৰা হওক $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

এতিয়া, প্ৰমেয় ১০.২ৰ মতে, TP = TQ। গতিকে, TPQ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।

গতিকে, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

আৰু, প্ৰমেয় ১০.১ৰ মতে, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

গতিকে, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

ইয়ে দিয়ে $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

উদাহৰণ ৩ : PQ হৈছে ব্যাসাৰ্ধ $5 \mathrm{~cm}$ৰ বৃত্ত এটাৰ দৈৰ্ঘ্য $8 \mathrm{~cm}$ৰ জ্যা। $\mathrm{P}$ আৰু $\mathrm{Q}$ত স্পৰ্শকবোৰে বিন্দু $T$ত ছেদ কৰে (চিত্ৰ ১০.১০ চাওক)। TPৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান : OT সংযোগ কৰক। ইয়াক PQৰ সৈতে বিন্দু $\mathrm{R}$ত ছেদ কৰক। তেতিয়া $\triangle$ TPQ সমদ্বিবাহু আৰু TO হৈছে $\angle \mathrm{PTQ}$ৰ কোণ সমদ্বিখণ্ডক। গতিকে, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ আৰু সেয়েহে, OTই $\mathrm{PQ}$ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে যিয়ে দিয়ে $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$।

চিত্ৰ ১০.১০

আৰু, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$।

এতিয়া, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (কিয়?)

গতিকে, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

সেয়েহে, সমকোণী ত্ৰিভুজ TRP AA সাদৃশ্যৰ দ্বাৰা সমকোণী ত্ৰিভুজ PROৰ সদৃশ।

ইয়ে দিয়ে

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, i.e., } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { or } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {. } $

টোকা : TP পাইথাগোৰাছৰ প্ৰমেয়ৰ দ্বাৰাও নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি, তলত দিয়া ধৰণে:

ধৰা হওক $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1)ৰ পৰা (2) বিয়োগ কৰি, আমি পাওঁ

গতিকে, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

১০.৪ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. বৃত্ত এটালৈ স্পৰ্শকৰ অৰ্থ।

২. বৃত্ত এটালৈ স্পৰ্শকটো স্পৰ্শ বিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধলৈ লম্ব।

৩. বাহ্যিক বিন্দু এটাৰ পৰা বৃত্ত এটালৈ টনা দুটা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ্য সমান।