10.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾ ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിച്ചതുപോലെ, ഒരു വൃത്തം എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും ഒരു സമാഹാരമാണ്, അവ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് (കേന്ദ്രം) സ്ഥിരമായ ദൂരത്തിലാണ് (വ്യാസാർദ്ധം) സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ജ്യ, വൃത്തഖണ്ഡം, സെക്ടർ, ചാപം തുടങ്ങി ഒരു വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ പദങ്ങളും നിങ്ങൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു തലത്തിൽ ഒരു വൃത്തവും ഒരു രേഖയും നൽകിയിരിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകാവുന്ന വിവിധ സാഹചര്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിശോധിക്കാം.

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു വൃത്തവും PQ എന്ന ഒരു രേഖയും പരിഗണിക്കാം. താഴെയുള്ള ചിത്രം 10.1-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് സാധ്യതകൾ ഉണ്ടാകാം:

ചിത്രം 10.1

ചിത്രം 10.1 (i) ൽ, PQ രേഖയ്ക്കും വൃത്തത്തിനും ഒരു പൊതു ബിന്ദുവും ഇല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, PQ വൃത്തവുമായി ഛേദിക്കാത്ത രേഖ (non-intersecting line) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ചിത്രം 10.1 (ii) ൽ, $\mathrm{PQ}$ രേഖയ്ക്കും വൃത്തത്തിനും രണ്ട് പൊതു ബിന്ദുക്കൾ $\mathrm{A}$ ഉം $\mathrm{B}$ ഉം ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ PQ രേഖയെ വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ഛേദിക (secant) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിത്രം 10.1 (iii) ൽ, PQ രേഖയ്ക്കും വൃത്തത്തിനും പൊതുവായി A എന്ന ഒരു ബിന്ദു മാത്രമേ ഉള്ളൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രേഖയെ വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖ (tangent) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കിണറ്റിൽ നിന്ന് വെള്ളം എടുക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന കിണറ്റിനു മുകളിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു കപ്പി നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും. ചിത്രം 10.2 നോക്കുക. ഇവിടെ കപ്പിയുടെ ഇരുവശത്തുമുള്ള കയർ, ഒരു കിരണമായി കണക്കാക്കിയാൽ, കപ്പിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖ പോലെയാണ്.

ചിത്രം 10.2

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് പുറമെ, വൃത്തവുമായുള്ള ബന്ധത്തിൽ രേഖയുടെ മറ്റ് സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടോ? വൃത്തവുമായുള്ള ബന്ധത്തിൽ രേഖയുടെ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചും അവയുടെ ചില ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചും നമ്മൾ പഠിക്കും.

10.2 ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖ

മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖ[^0] എന്നത് വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം ഛേദിക്കുന്ന ഒരു രേഖയാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടു.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖയുടെ അസ്തിത്വം മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

പ്രവർത്തനം 1 : ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കമ്പിയെടുത്ത്, അതിന്റെ ഒരു ബിന്ദു $P$ ൽ ഒരു നേർരേഖ $A B$ ഘടിപ്പിക്കുക, അങ്ങനെ അത് ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ചുറ്റി ഒരു തലത്തിൽ തിരിയാൻ കഴിയും. ഈ വ്യവസ്ഥ ഒരു മേശപ്പുറത്ത് വെച്ച്, നേർരേഖ $\mathrm{AB}$ ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ചുറ്റി സ gently ജ്യമായി തിരിക്കുക, നേർരേഖയുടെ വിവിധ സ്ഥാനങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് [ചിത്രം 10.3(i) കാണുക].

വിവിധ സ്ഥാനങ്ങളിൽ, കമ്പി വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കമ്പിയെ $\mathrm{P}$ ൽ മാത്രമല്ല, മറ്റൊരു ബിന്ദു $\mathrm{Q_1}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{Q_2}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{Q_3}$ മുതലായവയിലും ഛേദിക്കുന്നു. ഒരു സ്ഥാനത്ത്, അത് വൃത്തത്തെ ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ മാത്രം ഛേദിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ കാണും ($\mathrm{AB}$ ന്റെ സ്ഥാനം $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ കാണുക). ഇത് വൃത്തത്തിന്റെ ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ ഒരു സ്പർശരേഖ ഉണ്ടെന്ന് കാണിക്കുന്നു. കൂടുതൽ തിരിക്കുമ്പോൾ, $\mathrm{AB}$ ന്റെ മറ്റെല്ലാ സ്ഥാനങ്ങളിലും, അത് വൃത്തത്തെ $\mathrm{P}$ ൽ മാത്രമല്ല, മറ്റൊരു ബിന്ദുവിലും, ഉദാഹരണത്തിന് $\mathrm{R_1}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{R_2}$ അല്ലെങ്കിൽ $\mathrm{R_3}$ മുതലായവയിലും ഛേദിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് നിരീക്ഷിക്കാം. അതിനാൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു സ്പർശരേഖ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിരീക്ഷിക്കാം.

ചിത്രം 10.3 (i)

മുകളിലെ പ്രവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ, സ്ഥാനം $A B$ സ്ഥാനം $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ആയി നീങ്ങുമ്പോൾ, രേഖ $\mathrm{AB}$ യുടെയും വൃത്തത്തിന്റെയും പൊതു ബിന്ദു, ഉദാഹരണത്തിന് $\mathrm{Q_1}$, പതുക്കെ പതുക്കെ പൊതു ബിന്ദു $\mathrm{P}$ യോട് അടുക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ചിരിക്കണം. ഒടുവിൽ, അത് $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ന്റെ സ്ഥാനം $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ൽ ബിന്ദു $\mathrm{P}$ യുമായി യോജിക്കുന്നു. വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക, ‘$\mathrm{AB}$’ എന്നത് $\mathrm{P}$ ചുറ്റി വലതുവശത്തേക്ക് തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? പൊതു ബിന്ദു $\mathrm{R_3}$ പതുക്കെ പതുക്കെ P യോട് അടുക്കുകയും ഒടുവിൽ P യുമായി യോജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, നമ്മൾ കാണുന്നത്:

ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖ എന്നത് ഒരു ഛേദികയുടെ പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണ്, അതിന്റെ അനുബന്ധ ജ്യയുടെ രണ്ട് അറ്റബിന്ദുക്കൾ യോജിക്കുമ്പോൾ.

പ്രവർത്തനം 2 : ഒരു കടലാസിൽ, ഒരു വൃത്തവും അതിന്റെ ഒരു ഛേദിക PQ യും വരയ്ക്കുക. ഛേദികയുടെ ഇരുവശത്തും അതിന് സമാന്തരമായി വിവിധ രേഖകൾ വരയ്ക്കുക. കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം, രേഖകൾ മുറിച്ചെടുക്കുന്ന ജ്യയുടെ നീളം പതുക്കെ കുറയുന്നതായി നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതായത്, രേഖയും വൃത്തവും പരസ്പരം ഛേദിക്കുന്ന രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ അടുത്തടുത്ത് വരുന്നു [ചിത്രം 10.3(ii) കാണുക]. ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ, അത് ഛേദികയുടെ ഒരു വശത്ത് പൂജ്യമാകുകയും മറ്റൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, ഛേദികയുടെ മറുവശത്ത് പൂജ്യമാകുകയും ചെയ്യുന്നു. ചിത്രം 10.3 (ii) ൽ ഛേദികയുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ ഉം $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ ഉം കാണുക. ഇവ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഛേദിക PQ യ്ക്ക് സമാന്തരമായി വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളാണ്. ഒരു നൽകിയ ഛേദികയ്ക്ക് സമാന്തരമായി രണ്ടിൽ കൂടുതൽ സ്പർശരേഖകൾ ഉണ്ടാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നതിനും ഇത് സഹായിക്കുന്നു.

ചിത്രം 10.3 (ii)

ഈ പ്രവർത്തനവും സ്ഥാപിക്കുന്നു, പ്രവർത്തനം 1 ചെയ്യുമ്പോൾ നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ചിരിക്കാവുന്നത്, അതായത്, ഒരു സ്പർശരേഖ എന്നത് അനുബന്ധ ജ്യയുടെ രണ്ട് അറ്റബിന്ദുക്കളും യോജിക്കുമ്പോഴുള്ള ഛേദികയാണ്.

സ്പർശരേഖയുടെയും വൃത്തത്തിന്റെയും പൊതു ബിന്ദുവിനെ സ്പർശബിന്ദു (point of contact) [ചിത്രം 10.1 (iii) ൽ ബിന്ദു A] എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സ്പർശരേഖ പൊതു ബിന്ദുവിൽ വൃത്തത്തെ സ്പർശിക്കുന്നു എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ ചുറ്റും നോക്കുക. ഒരു സൈക്കിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വണ്ടി നീങ്ങുന്നത് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? അതിന്റെ ചക്രങ്ങൾ നോക്കുക. ഒരു ചക്രത്തിന്റെ എല്ലാ സ്പോക്കുകളും അതിന്റെ വ്യാസാർദ്ധങ്ങളിലാണ്. ഇപ്പോൾ നിലത്തുള്ള അതിന്റെ ചലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചക്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം ശ്രദ്ധിക്കുക. എവിടെയെങ്കിലും ഒരു സ്പർശരേഖ നിങ്ങൾ കാണുന്നുണ്ടോ? (ചിത്രം 10.4 കാണുക). വാസ്തവത്തിൽ, ചക്രം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖയായ ഒരു രേഖയിലൂടെയാണ് ചക്രം നീങ്ങുന്നത്. കൂടാതെ, എല്ലാ സ്ഥാനങ്ങളിലും, നിലത്തുമായുള്ള സ്പർശബിദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസാർദ്ധം സ്പർശരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി കാണപ്പെടുന്നു എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക (ചിത്രം 10.4 കാണുക). ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്പർശരേഖയുടെ ഈ ഗുണം തെളിയിക്കും.

ചിത്രം 10.4

സിദ്ധാന്തം 10.1 : ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഏത് ബിന്ദുവിലുമുള്ള സ്പർശരേഖ, സ്പർശബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസാർദ്ധത്തിന് ലംബമാണ്.

തെളിവ് : നമുക്ക് O കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തവും, അതിന്റെ ഒരു ബിന്ദു P യിലുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖ XY യും നൽകിയിരിക്കുന്നു. $\mathrm{OP}$, $\mathrm{XY}$ എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

XY യിലെ P യല്ലാത്ത മറ്റൊരു ബിന്ദു Q എടുത്ത് $\mathrm{OQ}$ എന്നിവ ചേർക്കുക (ചിത്രം 10.5 കാണുക).

ബിന്ദു $\mathrm{Q}$ വൃത്തത്തിന് പുറത്തായിരിക്കണം. (എന്തുകൊണ്ട്? Q വൃത്തത്തിനുള്ളിലാണെങ്കിൽ, XY ഒരു ഛേദികയാകുകയും വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സ്പർശരേഖയാകുകയും ചെയ്യില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക). അതിനാൽ, OQ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസാർദ്ധം $\mathrm{OP}$ നേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്. അതായത്,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

XY രേഖയിലെ $\mathrm{P}$ ബിന്ദു ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുക്കൾക്കും ഇത് സംഭവിക്കുന്നതിനാൽ, $\mathrm{OP}$ എന്നത് ബിന്ദു $\mathrm{O}$ ൽ നിന്ന് XY യിലെ ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള എല്ലാ ദൂരങ്ങളിലും ഏറ്റവും ചെറുതാണ്. അതിനാൽ OP XY യ്ക്ക് ലംബമാണ്. (സിദ്ധാന്തം A1.7 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.)

ചിത്രം 10.5

അഭിപ്രായങ്ങൾ

1. മുകളിലെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിലും ഒരു സ്പർശരേഖ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

2. സ്പർശബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള വ്യാസാർദ്ധം അടങ്ങിയ രേഖയെ ചിലപ്പോൾ ബിന്ദുവിലെ വൃത്തത്തിന്റെ ‘സാധാരണ’ (normal) എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.

10.3 ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളുടെ എണ്ണം

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു ധാരണ ലഭിക്കാൻ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനം നടത്താം:

പ്രവർത്തനം 3 : ഒരു കടലാസിൽ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക. അതിനുള്ളിൽ ഒരു ബിന്ദു $P$ എടുക്കുക. ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഒരു സ്പർശരേഖ വരയ്ക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുമോ? ഈ ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള എല്ലാ രേഖകളും വൃത്തത്തെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളിൽ ഛേദിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. അതിനാൽ, ഒരു വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഒരു സ്പർശരേഖ വരയ്ക്കുന്നത് സാധ്യമല്ല [ചിത്രം 10.6 (i) കാണുക].

അടുത്തതായി, വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു $\mathrm{P}$ എടുത്ത് ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ സ്പർശരേഖകൾ വരയ്ക്കുക. അത്തരം ഒരു ബിന്ദുവിൽ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഒരു സ്പർശരേഖ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ എന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം നിരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ട് [ചിത്രം 10.6 (ii) കാണുക].

അവസാനമായി, വൃത്തത്തിന് പുറത്ത് ഒരു ബിന്ദു $P$ എടുത്ത് ഈ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്ക് സ്പർശരേഖകൾ വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്? ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ വൃത്തത്തിലേക്ക് കൃത്യമായി രണ്ട് സ്പർശരേഖകൾ വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും [ചിത്രം 10.6 (iii) കാണുക].

ചിത്രം 10.6

ഈ വസ്തുതകൾ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിക്കാം:

കേസ് 1 : ഒരു വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സ്പർശരേഖ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഇല്ല.

കേസ് 2 : ഒരു വൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സ്പർശരേഖ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഒന്നും ഒന്ന് മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

കേസ് 3 : ഒരു വൃത്തത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കൃത്യമായി രണ്ട് സ്പർശരേഖകൾ വൃത്തത്തിലേക്ക് ഉണ്ട്.

ചിത്രം 10.6 (iii) ൽ, $\mathrm{T_1}$ ഉം $\mathrm{T_2}$ ഉം യഥാക്രമം സ്പർശരേഖകൾ $\mathrm{PT_1}$ ഉം $\mathrm{PT_2}$ ഉം യഥാക്രമം സ്പർശിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളാണ്.

സ്പർശരേഖയുടെ ഖണ്ഡത്തിന്റെ നീളം, ബാഹ്യ ബിന്ദു $P$ ൽ നിന്ന് വൃത്തവുമായുള്ള സ്പർശബിന്ദു വരെയുള്ളത്, ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖയുടെ നീളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 10.6 (iii) ൽ, $\mathrm{PT_1}$ ഉം $\mathrm{PT_2}$ ഉം ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള സ്പർശരേഖകളുടെ നീളങ്ങളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. നീളങ്ങൾ $\mathrm{PT_1}$ ഉം $\mathrm{PT_2}$ ഉം ഒരു പൊതു ഗുണമുണ്ട്. ഇത് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകുമോ? $\mathrm{PT_1}$ ഉം $\mathrm{PT_2}$ ഉം അളക്കുക. ഇവ തുല്യമാണോ? വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് എപ്പോഴും അങ്ങനെയാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഈ വസ്തുതയുടെ തെളിവ് നമുക്ക് നൽകാം.

സിദ്ധാന്തം 10.2: ഒരു ബാഹ്യ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേക്ക് വരച്ച സ്പർശരേഖകളുടെ നീളങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

തെളിവ്: നമുക്ക് O കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തവും, വൃത്തത്തിന് പുറത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു P യും, $\mathrm{P}$ ൽ നിന്ന് വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള രണ്ട് സ്പർശരേഖകൾ PQ, PR എന്നിവയും നൽകിയിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.7 കാണുക). $P Q=P R$ എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ചിത്രം 10.7

ഇതിനായി, നമ്മൾ OP, OQ, OR എന്നിവ ചേർക്കുന്നു. അപ്പോൾ $\angle \mathrm{OQP}$ ഉം $\angle \mathrm{ORP}$ ഉം ലംബകോണങ്ങളാണ്, കാരണം ഇവ വ്യാസാർദ്ധങ്ങൾക്കും സ്പർശരേഖകൾക്കും ഇടയിലുള്ള കോണുകളാണ്, സിദ്ധാന്തം 10.1 അനുസരിച്ച് അവ ലംബകോണങ്ങളാണ്. ഇപ്പോൾ OQP, ORP എന്നീ ലംബ ത്രികോണങ്ങളിൽ,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ഒരേ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസാർദ്ധങ്ങൾ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (പൊതുവായത്)

അതിനാൽ, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

ഇത് $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ നൽകുന്നു

അഭിപ്രായങ്ങൾ

1. പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചും സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

ഇത് $P Q=P R$ നൽകുന്നു.

2. $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$ എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, $\mathrm{OP}$ എന്നത് $\angle \mathrm{QPR}$ ന്റെ കോൺ സമഭാജിയാണ്, അതായത്, കേന്ദ്രം രണ്ട് സ്പർശരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സമഭാജിയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : ഒരേ കേന്ദ്രമുള്ള രണ്ട് വൃത്തങ്ങളിൽ, വലിയ വൃത്തത്തിന്റെ ജ്യ, ചെറിയ വൃത്തത്തെ സ്പർശിക്കുന്നത്, സ്പർശബിന്ദുവിൽ ദ്വിഖണ്ഡിതമാകുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം : O കേന്ദ്രമുള്ള രണ്ട് ഏകകേന്ദ്രീയ വൃത്തങ്ങൾ $\mathrm{C_1}$ ഉം $\mathrm{C_2}$ ഉം, വലിയ വൃത്തം $\mathrm{C_1}$ ന്റെ ഒരു ജ്യ $\mathrm{AB}$, ചെറിയ വൃത്തം $\mathrm{C_2}$ നെ ബിന്ദു $\mathrm{P}$ ൽ സ്പർശിക്കുന്നു (ചിത്രം 10.8 കാണുക). $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$ എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ചിത്രം 10.8

നമുക്ക് OP ചേർക്കാം. അപ്പോൾ, $A B$ എന്നത് $C_{2}$ നെ $P$ ൽ സ്പർശിക്കുന്ന ഒരു സ്പർശരേഖയാണ്, $\mathrm{OP}$ അതിന്റെ വ്യാസാർദ്ധമാണ്. അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 10.1 പ്രകാരം,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

ഇപ്പോൾ $\mathrm{AB}$ എന്നത് വൃത്തം $\mathrm{C}_{1}$ ന്റെ ഒരു