10.1 भूमिका

आपने कक्षा IX में पढ़ा है कि एक वृत्त एक समतल में स्थित उन सभी बिंदुओं का संग्रह होता है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। आपने वृत्त से संबंधित विभिन्न शब्दावली जैसे जीवा, वृत्तखंड, त्रिज्यखंड, चाप आदि का भी अध्ययन किया है। आइए अब उन विभिन्न स्थितियों की जाँच करें जो तब उत्पन्न हो सकती हैं जब एक समतल में एक वृत्त और एक रेखा दी गई हो।

इसलिए, आइए एक वृत्त और एक रेखा PQ पर विचार करें। नीचे दिए गए चित्र 10.1 में तीन संभावनाएँ हो सकती हैं:

चित्र 10.1

चित्र 10.1 (i) में, रेखा PQ और वृत्त का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इस स्थिति में, PQ को वृत्त के सापेक्ष एक अप्रतिच्छेदी रेखा कहा जाता है। चित्र 10.1 (ii) में, दो उभयनिष्ठ बिंदु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ हैं जो रेखा $\mathrm{PQ}$ और वृत्त के पास हैं। इस स्थिति में, हम रेखा PQ को वृत्त की एक छेदक रेखा कहते हैं। चित्र 10.1 (iii) में, केवल एक बिंदु A है जो रेखा PQ और वृत्त के लिए उभयनिष्ठ है। इस स्थिति में, रेखा को वृत्त की एक स्पर्श रेखा कहा जाता है।

आपने एक कुएं पर लगी एक चरखी देखी होगी जिसका उपयोग कुएं से पानी निकालने में किया जाता है। चित्र 10.2 को देखें। यहाँ चरखी के दोनों ओर की रस्सी, यदि एक किरण के रूप में मानी जाए, तो चरखी को दर्शाने वाले वृत्त की स्पर्श रेखा की तरह है।

चित्र 10.2

क्या वृत्त के सापेक्ष रेखा की कोई अन्य स्थिति ऊपर दिए गए प्रकारों के अलावा भी है? आप देख सकते हैं कि वृत्त के सापेक्ष रेखा की कोई अन्य प्रकार की स्थिति नहीं हो सकती है। इस अध्याय में, हम एक वृत्त की स्पर्श रेखाओं के अस्तित्व का अध्ययन करेंगे और उनके कुछ गुणधर्मों का भी अध्ययन करेंगे।

10.2 वृत्त की स्पर्श रेखा

पिछले अनुभाग में, आपने देखा कि एक वृत्त की स्पर्श रेखा[^0] एक ऐसी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

एक बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा के अस्तित्व को समझने के लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करें:

क्रियाकलाप 1 : एक गोलाकार तार लें और एक सीधा तार $A B$ गोलाकार तार के एक बिंदु $P$ पर इस प्रकार जोड़ें कि वह बिंदु $\mathrm{P}$ के परितः एक समतल में घूम सके। इस व्यवस्था को एक मेज पर रखें और सीधे तार $\mathrm{AB}$ को बिंदु $\mathrm{P}$ के परितः धीरे से घुमाएँ ताकि सीधे तार की विभिन्न स्थितियाँ प्राप्त हो सकें [चित्र 10.3(i) देखें]।

विभिन्न स्थितियों में, तार गोलाकार तार को $\mathrm{P}$ पर और दूसरे बिंदु $\mathrm{Q_1}$ या $\mathrm{Q_2}$ या $\mathrm{Q_3}$, आदि पर प्रतिच्छेद करता है। एक स्थिति में, आप देखेंगे कि यह वृत्त को केवल बिंदु $\mathrm{P}$ पर प्रतिच्छेद करेगा ($\mathrm{AB}$ की स्थिति $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ देखें)। यह दर्शाता है कि वृत्त के बिंदु $\mathrm{P}$ पर एक स्पर्श रेखा विद्यमान है। आगे घुमाने पर, आप देख सकते हैं कि $\mathrm{AB}$ की अन्य सभी स्थितियों में, यह वृत्त को $\mathrm{P}$ पर और एक अन्य बिंदु, मान लीजिए $\mathrm{R_1}$ या $\mathrm{R_2}$ या $\mathrm{R_3}$, आदि पर प्रतिच्छेद करेगा। इसलिए, आप देख सकते हैं कि वृत्त के एक बिंदु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है।

चित्र 10.3 (i)

उपरोक्त क्रियाकलाप करते समय, आपने अवश्य देखा होगा कि जैसे-जैसे स्थिति $A B$, स्थिति $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ की ओर बढ़ती है, रेखा $\mathrm{AB}$ और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु, मान लीजिए $\mathrm{Q_1}$, धीरे-धीरे उभयनिष्ठ बिंदु $\mathrm{P}$ के निकट और निकट आता जाता है। अंततः, यह $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ की स्थिति $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ में बिंदु $\mathrm{P}$ के साथ संपाती हो जाता है। फिर से ध्यान दें, यदि ‘$\mathrm{AB}$’ को $\mathrm{P}$ के परितः दाईं ओर घुमाया जाए तो क्या होता है? उभयनिष्ठ बिंदु $\mathrm{R_3}$ धीरे-धीरे P के निकट और निकट आता जाता है और अंततः P के साथ संपाती हो जाता है। तो, जो हम देखते हैं वह यह है:

एक वृत्त की स्पर्श रेखा, छेदक रेखा का एक विशेष मामला है, जब उसकी संगत जीवा के दोनों अंत बिंदु संपाती हो जाते हैं।

क्रियाकलाप 2 : एक कागज पर, एक वृत्त और वृत्त की एक छेदक रेखा PQ खींचें। इसके दोनों ओर छेदक रेखा के समांतर विभिन्न रेखाएँ खींचें। आप पाएंगे कि कुछ चरणों के बाद, रेखाओं द्वारा काटी गई जीवा की लंबाई धीरे-धीरे कम हो जाएगी, अर्थात रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु निकट और निकट आते जाएंगे [चित्र 10.3(ii) देखें]। एक मामले में, यह छेदक रेखा के एक ओर शून्य हो जाती है और दूसरे मामले में, यह छेदक रेखा के दूसरी ओर शून्य हो जाती है। चित्र 10.3 (ii) में छेदक रेखा की स्थितियाँ $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ और $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ देखें। ये दी गई छेदक रेखा PQ के समांतर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यह आपको यह देखने में भी सहायता करता है कि किसी दी गई छेदक रेखा के समांतर दो से अधिक स्पर्श रेखाएँ नहीं हो सकती हैं।

चित्र 10.3 (ii)

यह क्रियाकलाप उस बात की भी पुष्टि करता है, जिसे आपने क्रियाकलाप 1 करते समय अवश्य देखा होगा, अर्थात एक स्पर्श रेखा वह छेदक रेखा होती है जब संगत जीवा के दोनों अंत बिंदु संपाती हो जाते हैं।

स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है [चित्र 10.1 (iii) में बिंदु A] और कहा जाता है कि स्पर्श रेखा उभयनिष्ठ बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करती है।

अब अपने आस-पास देखें। क्या आपने एक साइकिल या गाड़ी चलते हुए देखी है? इसके पहियों को देखें। एक पहिए के सभी तीरे उसकी त्रिज्याओं के अनुदिश होते हैं। अब जमीन पर उसकी गति के सापेक्ष पहिए की स्थिति पर ध्यान दें। क्या आपको कहीं भी कोई स्पर्श रेखा दिखाई देती है? (चित्र 10.4 देखें)। वास्तव में, पहिया एक रेखा के अनुदिश चलता है जो पहिए को दर्शाने वाले वृत्त की एक स्पर्श रेखा होती है। साथ ही, ध्यान दें कि सभी स्थितियों में, जमीन के स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत प्रतीत होती है (चित्र 10.4 देखें)। अब हम स्पर्श रेखा के इस गुणधर्म को सिद्ध करेंगे।

चित्र 10.4

प्रमेय 10.1 : किसी वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

उपपत्ति : हमें केंद्र $\mathrm{O}$ वाला एक वृत्त और वृत्त के एक बिंदु $\mathrm{P}$ पर एक स्पर्श रेखा $\mathrm{XY}$ दी गई है। हमें सिद्ध करना है कि $\mathrm{OP}$, $\mathrm{XY}$ पर लंब है।

$\mathrm{XY}$ पर $\mathrm{P}$ के अलावा कोई अन्य बिंदु $\mathrm{Q}$ लीजिए और $\mathrm{OQ}$ को मिलाइए (चित्र 10.5 देखें)।

बिंदु $\mathrm{Q}$ वृत्त के बाहर स्थित होना चाहिए। (क्यों? ध्यान दें कि यदि Q वृत्त के अंदर स्थित है, तो XY वृत्त की एक छेदक रेखा बन जाएगी, स्पर्श रेखा नहीं)। इसलिए, OQ वृत्त की त्रिज्या $\mathrm{OP}$ से लंबा है। अर्थात,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

चूंकि यह रेखा $\mathrm{XY}$ पर बिंदु $\mathrm{P}$ को छोड़कर प्रत्येक बिंदु के लिए होता है, $\mathrm{OP}$ बिंदु $\mathrm{O}$ से रेखा XY के बिंदुओं की सभी दूरियों में सबसे छोटी है। इसलिए OP, XY पर लंब है। (जैसा कि प्रमेय A1.7 में दर्शाया गया है।)

चित्र 10.5

टिप्पणियाँ

1. उपरोक्त प्रमेय से, हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक वृत्त पर किसी भी बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा हो सकती है।

2. स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या वाली रेखा को कभी-कभी बिंदु पर वृत्त का ‘अभिलंब’ भी कहा जाता है।

10.3 एक वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या

एक वृत्त पर एक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या का विचार प्राप्त करने के लिए, आइए निम्नलिखित क्रियाकलाप करें:

क्रियाकलाप 3 : एक कागज पर एक वृत्त खींचें। इसके अंदर एक बिंदु $P$ लीजिए। क्या आप इस बिंदु से होकर वृत्त की एक स्पर्श रेखा खींच सकते हैं? आप पाएंगे कि इस बिंदु से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, वृत्त के अंदर स्थित एक बिंदु से होकर वृत्त की कोई स्पर्श रेखा खींचना संभव नहीं है [चित्र 10.6 (i) देखें]।

अगला, वृत्त पर एक बिंदु $\mathrm{P}$ लीजिए और इस बिंदु से होकर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। आपने पहले ही देखा है कि ऐसे बिंदु पर वृत्त की केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है [चित्र 10.6 (ii) देखें]।

अंत में, वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ लीजिए और इस बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचने का प्रयास कीजिए। आप क्या देखते हैं? आप पाएंगे कि आप इस बिंदु से होकर वृत्त की ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं [चित्र 10.6 (iii) देखें]।

चित्र 10.6

हम इन तथ्यों को निम्नानुसार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

स्थिति 1 : वृत्त पर स्थित एक बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की कोई स्पर्श रेखा नहीं होती है।

स्थिति 2 : वृत्त पर स्थित एक बिंदु से होकर जाने वाली वृत्त की एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।

स्थिति 3 : वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से होकर वृत्त की ठीक दो स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

चित्र 10.6 (iii) में, $\mathrm{T_1}$ और $\mathrm{T_2}$ क्रमशः स्पर्श रेखाओं $\mathrm{PT_1}$ और $\mathrm{PT_2}$ के स्पर्श बिंदु हैं।

स्पर्श रेखा के उस खंड की लंबाई जो बाह्य बिंदु $P$ से स्पर्श बिंदु तक होती है, बिंदु $\mathrm{P}$ से वृत्त की स्पर्श रेखा की लंबाई कहलाती है।

ध्यान दें कि चित्र 10.6 (iii) में, $\mathrm{PT_1}$ और $\mathrm{PT_2}$ बिंदु $\mathrm{P}$ से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ हैं। लंबाइयाँ $\mathrm{PT_1}$ और $\mathrm{PT_2}$ में एक उभयनिष्ठ गुणधर्म है। क्या आप इसे ज्ञात कर सकते हैं? $\mathrm{PT_1}$ और $\mathrm{PT_2}$ को मापिए। क्या ये बराबर हैं? वास्तव में, यह हमेशा ऐसा ही होता है। आइए इस तथ्य का प्रमाण निम्नलिखित प्रमेय में दें।

प्रमेय 10.2: एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

उपपत्ति: हमें केंद्र $\mathrm{O}$ वाला एक वृत्त, वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{P}$ से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR दी गई हैं (चित्र 10.7 देखें)। हमें सिद्ध करना है कि $P Q=P R$।

चित्र 10.7

इसके लिए, हम OP, OQ और OR को मिलाते हैं। तब $\angle \mathrm{OQP}$ और $\angle \mathrm{ORP}$ समकोण हैं, क्योंकि ये त्रिज्याओं और स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण हैं, और प्रमेय 10.1 के अनुसार ये समकोण हैं। अब समकोण त्रिभुजों OQP और ORP में,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (उभयनिष्ठ)

इसलिए, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

इससे प्राप्त होता है $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

टिप्पणियाँ

1. प्रमेय को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

जिससे प्राप्त होता है $P Q=P R$।

2. यह भी ध्यान दें कि $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$। इसलिए, $\mathrm{OP}$, $\angle \mathrm{QPR}$ का कोण समद्विभाजक है, अर्थात केंद्र दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।

आइए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1 : सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रित वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।

हल : हमें केंद्र $\mathrm{O}$ वाले दो संकेंद्रित वृत्त $\mathrm{C_1}$ और $\mathrm{C_2}$ तथा बड़े वृत्त $\mathrm{C_1}$ की एक जीवा $\mathrm{AB}$ दी गई है जो छोटे वृत्त $\mathrm{C_2}$ को बिंदु $\mathrm{P}$ पर स्पर्श करती है (चित्र 10.8 देखें)। हमें सिद्ध करना है कि $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$।

चित्र 10.8

आइए हम OP को मिलाते हैं। तब, $A B$, $C_{2}$ की बिंदु $P$ पर एक स्पर्श रेखा है और $\mathrm{OP}$ इसकी त्रिज्या है। इसलिए, प्रमेय 10.1 के अनुसार,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

अब $\mathrm{AB}$ वृत्त $\mathrm{C}_{1}$ की एक जीवा है और $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$। इसलिए, $\mathrm{OP}$ जीवा $A B$ का समद्विभाजक है, क्योंकि केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,

अर्थात, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

उदाहरण 2 : केंद्र $\mathrm{O}$ वाले एक वृत्त पर एक बाह्य बिंदु $\mathrm{T}$ से दो स्पर्श रेखाएँ $\mathrm{TP}$ और $\mathrm{TQ}$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$।

हल : हमें केंद्र $\mathrm{O}$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $\mathrm{T}$ और वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $\mathrm{TP}$ और $\mathrm{TQ}$ दी गई हैं, जहाँ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ स्पर्श बिंदु हैं (चित्र 10.9 देखें)। हमें सिद्ध करना है कि

चित्र 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

मान लीजिए $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

अब, प्रमेय 10.2 के अनुसार, TP = TQ. अतः, TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

इसलिए, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

साथ ही, प्रमेय 10.1 के अनुसार, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

अतः, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

इससे प्राप्त होता है $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

उदाहरण 3 : PQ त्रिज्या $5 \mathrm{~cm}$ वाले एक वृत्त की $8 \mathrm{~cm}$ लंबाई की एक जीवा है। $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ पर स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं (चित्र 10.10 देखें)। TP की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : OT को मिलाइए। मान लीजिए यह PQ को बिंदु $\mathrm{R}$ पर प्रतिच्छेद करता है। तब $\triangle$ TPQ समद्विबाहु है और TO, $\angle \mathrm{PTQ}$ का कोण समद्विभाजक है। अतः, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ और इसलिए, OT, $\mathrm{PQ}$ को समद्विभाजित करता है जिससे प्राप्त होता है $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$।

चित्र 10.10

साथ ही, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$।

अब, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (क्यों?)

अतः, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

इसलिए, समकोण त्रिभुज TRP, AA समरूपता द्वारा समकोण त्रिभुज PRO के समरूप है।

इससे प्राप्त होता है

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, अर्थात, } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { या } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {। } $

नोट : TP को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी ज्ञात किया जा सकता है, निम्नानुसार:

मान लीजिए $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) को (2) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 सारांश

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित बिंदुओं का अध्ययन किया है:

1. एक वृत्त की स्पर्श रेखा का अर्थ।

2. वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

3. एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।