১০.১ ভূমিকা

তুমি নবম শ্রেণীতে পড়েছ যে একটি বৃত্ত হল একটি সমতলের সমস্ত বিন্দুর সমষ্টি যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে একটি ধ্রুব দূরত্বে (ব্যাসার্ধ) অবস্থিত। তুমি বৃত্তের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন পরিভাষাও পড়েছ যেমন জ্যা, বৃত্তাংশ, বৃত্তকলা, চাপ ইত্যাদি। এখন আসুন আমরা একটি সমতলে একটি বৃত্ত এবং একটি সরলরেখা দেওয়া থাকলে যে বিভিন্ন পরিস্থিতি তৈরি হতে পারে তা পরীক্ষা করি।

সুতরাং, আসুন আমরা একটি বৃত্ত এবং একটি সরলরেখা PQ বিবেচনা করি। নিচের চিত্র ১০.১-এ দেওয়া তিনটি সম্ভাবনা থাকতে পারে:

চিত্র ১০.১

চিত্র ১০.১ (i)-তে, PQ সরলরেখা এবং বৃত্তের কোনো সাধারণ বিন্দু নেই। এই ক্ষেত্রে, PQ-কে বৃত্তের সাপেক্ষে একটি অ-ছেদক রেখা বলা হয়। চিত্র ১০.১ (ii)-তে, $\mathrm{A}$ এবং $\mathrm{B}$ দুটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে যা $\mathrm{PQ}$ সরলরেখা এবং বৃত্তের রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, আমরা PQ রেখাটিকে বৃত্তের একটি ছেদক বলি। চিত্র ১০.১ (iii)-তে, শুধুমাত্র একটি বিন্দু A রয়েছে যা PQ সরলরেখা এবং বৃত্তের সাধারণ। এই ক্ষেত্রে, রেখাটিকে বৃত্তের একটি স্পর্শক বলা হয়।

তুমি সম্ভবত একটি কূপের উপর লাগানো একটি চাকতি দেখেছ যা কূপ থেকে জল তোলার কাজে ব্যবহৃত হয়। চিত্র ১০.২ দেখো। এখানে চাকতির দুপাশের দড়ি, যদি একটি রশ্মি হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তাহলে চাকতিকে প্রতিনিধিত্বকারী বৃত্তের একটি স্পর্শকের মতো।

চিত্র ১০.২

উপরের দেওয়া ধরনগুলি ছাড়াও বৃত্তের সাপেক্ষে রেখাটির অন্য কোনো অবস্থান আছে কি? তুমি দেখতে পাবে যে বৃত্তের সাপেক্ষে রেখাটির অন্য কোনো ধরনের অবস্থান থাকতে পারে না। এই অধ্যায়ে, আমরা একটি বৃত্তের স্পর্শকের অস্তিত্ব এবং তাদের কিছু ধর্ম নিয়ে অধ্যয়ন করব।

১০.২ বৃত্তের স্পর্শক

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, তুমি দেখেছ যে একটি বৃত্তের স্পর্শক[^0] হল একটি রেখা যা বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে।

একটি বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শকের অস্তিত্ব বুঝতে, আসুন আমরা নিম্নলিখিত কার্যকলাপগুলি সম্পাদন করি:

কার্যকলাপ ১ : একটি বৃত্তাকার তার নাও এবং একটি সোজা তার $A B$ বৃত্তাকার তারের $P$ বিন্দুতে এমনভাবে সংযুক্ত কর যাতে এটি $\mathrm{P}$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি সমতলে ঘুরতে পারে। ব্যবস্থাটিকে একটি টেবিলের উপর রাখ এবং সোজা তার $\mathrm{AB}$-কে $\mathrm{P}$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে ধীরে ধীরে ঘুরাও যাতে সোজা তারটির বিভিন্ন অবস্থান পাওয়া যায় [চিত্র ১০.৩(i) দেখো]।

বিভিন্ন অবস্থানে, তারটি বৃত্তাকার তারকে $\mathrm{P}$ এবং অন্য একটি বিন্দু $\mathrm{Q_1}$ বা $\mathrm{Q_2}$ বা $\mathrm{Q_3}$ ইত্যাদিতে ছেদ করে। একটি অবস্থানে, তুমি দেখবে যে এটি বৃত্তকে শুধুমাত্র $\mathrm{P}$ বিন্দুতে ছেদ করবে ($\mathrm{AB}$-এর $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ অবস্থান দেখো)। এটি দেখায় যে বৃত্তের $\mathrm{P}$ বিন্দুতে একটি স্পর্শক বিদ্যমান। আরও ঘুরালে, তুমি লক্ষ্য করতে পারবে যে $\mathrm{AB}$-এর অন্যান্য সব অবস্থানে, এটি বৃত্তকে $\mathrm{P}$ এবং অন্য একটি বিন্দুতে, যেমন $\mathrm{R_1}$ বা $\mathrm{R_2}$ বা $\mathrm{R_3}$ ইত্যাদিতে ছেদ করবে। সুতরাং, তুমি পর্যবেক্ষণ করতে পারবে যে একটি বৃত্তের একটি বিন্দুতে শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকে।

চিত্র ১০.৩ (i)

উপরের কার্যকলাপ করার সময়, তুমি অবশ্যই লক্ষ্য করেছ যে যখন $A B$ অবস্থান $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ অবস্থানের দিকে অগ্রসর হয়, তখন $\mathrm{AB}$ রেখা এবং বৃত্তের সাধারণ বিন্দু, যেমন $\mathrm{Q_1}$, ধীরে ধীরে সাধারণ বিন্দু $\mathrm{P}$-এর কাছে আসতে থাকে। শেষ পর্যন্ত, এটি $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$-এর $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ অবস্থানে $\mathrm{P}$ বিন্দুর সাথে মিলে যায়। আবার লক্ষ্য কর, যদি ‘$\mathrm{AB}$’-কে $\mathrm{P}$-কে কেন্দ্র করে ডানদিকে ঘোরানো হয় তাহলে কী হয়? সাধারণ বিন্দু $\mathrm{R_3}$ ধীরে ধীরে P-এর কাছে আসতে থাকে এবং শেষ পর্যন্ত P-এর সাথে মিলে যায়। সুতরাং, আমরা যা দেখি তা হল:

একটি বৃত্তের স্পর্শক হল ছেদকের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যখন এর সংশ্লিষ্ট জ্যাটির দুটি প্রান্ত বিন্দু মিলে যায়।

কার্যকলাপ ২ : একটি কাগজে, একটি বৃত্ত এবং বৃত্তের একটি ছেদক PQ আঁক। ছেদকের সমান্তরাল বিভিন্ন রেখা এর দুপাশে আঁক। তুমি দেখবে যে কিছু ধাপ পরে, রেখাগুলি দ্বারা কর্তিত জ্যাটির দৈর্ঘ্য ধীরে ধীরে কমতে থাকবে, অর্থাৎ, রেখা এবং বৃত্তের ছেদ বিন্দু দুটি কাছে আসতে থাকবে [চিত্র ১০.৩(ii) দেখো]। এক ক্ষেত্রে, এটি ছেদকের একপাশে শূন্য হয়ে যায় এবং অন্য ক্ষেত্রে, এটি ছেদকের অন্যপাশে শূন্য হয়ে যায়। চিত্র ১০.৩ (ii)-তে ছেদকের $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ এবং $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ অবস্থানগুলি দেখো। এগুলি হল প্রদত্ত ছেদক PQ-এর সমান্তরাল বৃত্তের স্পর্শক। এটি তোমাকে এও দেখতে সাহায্য করে যে একটি প্রদত্ত ছেদকের সমান্তরাল দুটির বেশি স্পর্শক থাকতে পারে না।

চিত্র ১০.৩ (ii)

এই কার্যকলাপটিও প্রতিষ্ঠা করে, যা তুমি কার্যকলাপ ১ করার সময় অবশ্যই লক্ষ্য করেছ, তা হল, একটি স্পর্শক হল সেই ছেদক যখন সংশ্লিষ্ট জ্যাটির উভয় প্রান্ত বিন্দু মিলে যায়।

স্পর্শক এবং বৃত্তের সাধারণ বিন্দুটিকে স্পর্শ বিন্দু বলা হয় [চিত্র ১০.১ (iii)-তে A বিন্দু] এবং বলা হয় যে স্পর্শকটি সাধারণ বিন্দুতে বৃত্তকে স্পর্শ করে।

এখন তোমার চারপাশে দেখো। তুমি কি একটি সাইকেল বা গাড়ি চলতে দেখেছ? এর চাকাগুলি দেখো। একটি চাকার সমস্ত স্পোক এর ব্যাসার্ধ বরাবর থাকে। এখন মাটিতে এর চলনের সাপেক্ষে চাকাটির অবস্থান লক্ষ্য কর। তুমি কি কোথাও কোনো স্পর্শক দেখতে পাচ্ছ? (চিত্র ১০.৪ দেখো)। আসলে, চাকাটি একটি রেখা বরাবর চলে যা চাকাকে প্রতিনিধিত্বকারী বৃত্তের একটি স্পর্শক। এছাড়াও, লক্ষ্য কর যে সব অবস্থানে, মাটির সাথে স্পর্শ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ব্যাসার্ধটি স্পর্শকের সাথে সমকোণে দেখা যায় (চিত্র ১০.৪ দেখো)। আমরা এখন স্পর্শকের এই ধর্মটি প্রমাণ করব।

চিত্র ১০.৪

উপপাদ্য ১০.১ : একটি বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শক স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

প্রমাণ : আমাদেরকে একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে যার কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং বৃত্তের একটি বিন্দু $\mathrm{P}$-এ একটি স্পর্শক $\mathrm{XY}$। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $\mathrm{OP}$, $\mathrm{XY}$-এর উপর লম্ব।

$\mathrm{XY}$-এর উপর $\mathrm{P}$ ছাড়া অন্য একটি বিন্দু $\mathrm{Q}$ নাও এবং $\mathrm{OQ}$ যুক্ত কর (চিত্র ১০.৫ দেখো)।

$\mathrm{Q}$ বিন্দুটি অবশ্যই বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হবে। (কেন? লক্ষ্য কর যে যদি Q বৃত্তের ভিতরে থাকে, তাহলে XY একটি ছেদক হয়ে যাবে এবং বৃত্তের একটি স্পর্শক হবে না)। সুতরাং, OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ $\mathrm{OP}$-এর চেয়ে দীর্ঘ। অর্থাৎ,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

যেহেতু এটি $\mathrm{P}$ বিন্দু ছাড়া $\mathrm{XY}$ রেখার প্রতিটি বিন্দুর জন্য ঘটে, $\mathrm{OP}$ হল $\mathrm{O}$ বিন্দু থেকে XY-এর বিন্দুগুলির দূরত্বগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট। সুতরাং OP, XY-এর উপর লম্ব। (উপপাদ্য A1.7-এ দেখানো হয়েছে।)

চিত্র ১০.৫

মন্তব্য

১. উপরের উপপাদ্য দ্বারা, আমরা এই সিদ্ধান্তেও আসতে পারি যে একটি বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে একটি এবং শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকতে পারে।

২. স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ধারণকারী রেখাটিকে কখনও কখনও বিন্দুতে বৃত্তের ‘অভিলম্ব’ও বলা হয়।

১০.৩ একটি বৃত্তের উপর একটি বিন্দু থেকে স্পর্শকের সংখ্যা

একটি বৃত্তের উপর একটি বিন্দু থেকে স্পর্শকের সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা পেতে, আসুন আমরা নিম্নলিখিত কার্যকলাপটি সম্পাদন করি:

কার্যকলাপ ৩ : একটি কাগজে একটি বৃত্ত আঁক। এর ভিতরে একটি বিন্দু $P$ নাও। তুমি কি এই বিন্দু দিয়ে বৃত্তের একটি স্পর্শক আঁকতে পার? তুমি দেখবে যে এই বিন্দু দিয়ে যাওয়া সমস্ত রেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, একটি বৃত্তের ভিতরে একটি বিন্দু দিয়ে কোনো স্পর্শক আঁকা সম্ভব নয় [চিত্র ১০.৬ (i) দেখো]।

এরপর বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ নাও এবং এই বিন্দু দিয়ে স্পর্শক আঁক। তুমি ইতিমধ্যে লক্ষ্য করেছ যে এমন বিন্দুতে বৃত্তের শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকে [চিত্র ১০.৬ (ii) দেখো]।

অবশেষে, বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু $P$ নাও এবং এই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকার চেষ্টা কর। তুমি কী লক্ষ্য কর? তুমি দেখবে যে তুমি এই বিন্দু দিয়ে বৃত্তে ঠিক দুটি স্পর্শক আঁকতে পার [চিত্র ১০.৬ (iii) দেখো]।

চিত্র ১০.৬

আমরা এই তথ্যগুলি নিম্নরূপে সংক্ষেপ করতে পারি:

ক্ষেত্র ১ : বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু দিয়ে যাওয়া বৃত্তের কোনো স্পর্শক নেই।

ক্ষেত্র ২ : বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু দিয়ে যাওয়া বৃত্তের একটি এবং শুধুমাত্র একটি স্পর্শক থাকে।

ক্ষেত্র ৩ : বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু দিয়ে যাওয়া বৃত্তে ঠিক দুটি স্পর্শক থাকে।

চিত্র ১০.৬ (iii)-তে, $\mathrm{T_1}$ এবং $\mathrm{T_2}$ হল যথাক্রমে $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ স্পর্শকগুলির স্পর্শ বিন্দু।

বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে স্পর্শকটির খণ্ডের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তের সাথে স্পর্শ বিন্দুকে $\mathrm{P}$ বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য বলা হয়।

লক্ষ্য কর যে চিত্র ১০.৬ (iii)-তে, $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ হল $\mathrm{P}$ থেকে বৃত্তের স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য। $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ দৈর্ঘ্যগুলির একটি সাধারণ ধর্ম রয়েছে। তুমি কি এটি খুঁজে পেতে পার? $\mathrm{PT_1}$ এবং $\mathrm{PT_2}$ পরিমাপ কর। এগুলি কি সমান? আসলে, এটি সর্বদাই এমন হয়। আসুন আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্যে এই তথ্যটির একটি প্রমাণ দিই।

উপপাদ্য ১০.২: একটি বহিঃস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য সমান।

প্রমাণ: আমাদেরকে একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে যার কেন্দ্র $\mathrm{O}$, বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{P}$ থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক PQ, PR (চিত্র ১০.৭ দেখো)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $P Q=P R$।

চিত্র ১০.৭

এর জন্য, আমরা OP, OQ এবং OR যুক্ত করি। তাহলে $\angle \mathrm{OQP}$ এবং $\angle \mathrm{ORP}$ হল সমকোণ, কারণ এগুলি ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকগুলির মধ্যবর্তী কোণ, এবং উপপাদ্য ১০.১ অনুসারে এগুলি সমকোণ। এখন সমকোণী ত্রিভুজ OQP এবং ORP-তে,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (সাধারণ)

সুতরাং, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

এটি দেয় $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

মন্তব্য

১. উপপাদ্যটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করেও প্রমাণ করা যেতে পারে:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

যা দেয় $P Q=P R$।

২. এটিও লক্ষ্য কর যে $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$। সুতরাং, $\mathrm{OP}$ হল $\angle \mathrm{QPR}$-এর কোণ দ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ, কেন্দ্রটি দুটি স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণের দ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত।

আসুন আমরা কিছু উদাহরণ নিই।

উদাহরণ ১ : প্রমাণ কর যে দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তে, বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যাটি ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে, তা স্পর্শ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

সমাধান : আমাদেরকে দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্ত $\mathrm{C_1}$ এবং $\mathrm{C_2}$ দেওয়া হয়েছে যাদের কেন্দ্র $\mathrm{O}$ এবং বৃহত্তর বৃত্ত $\mathrm{C_1}$-এর একটি জ্যা $\mathrm{AB}$ যা ক্ষুদ্রতর বৃত্ত $\mathrm{C_2}$-কে $\mathrm{P}$ বিন্দুতে স্পর্শ করে (চিত্র ১০.৮ দেখো)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$।

চিত্র ১০.৮

আসুন আমরা OP যুক্ত করি। তাহলে, $A B$ হল $C_{2}$-এর $P$ বিন্দুতে একটি স্পর্শক এবং $\mathrm{OP}$ হল এর ব্যাসার্ধ। সুতরাং, উপপাদ্য ১০.১ অনুসারে,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

এখন $\mathrm{AB}$ হল বৃত্ত $\mathrm{C}_{1}$-এর একটি জ্যা এবং $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$। সুতরাং, $\mathrm{OP}$ হল জ্যা $A B$-এর সমদ্বিখণ্ডক, কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,

অর্থাৎ, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

উদাহরণ ২ : একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র $\mathrm{O}$, তার উপর একটি বহিঃস্থ বিন্দু $\mathrm{T}$ থেকে দুটি স্পর্শক $\mathrm{TP}$ এবং $\mathrm{TQ}$ অঙ্কন করা হয়েছে। প্রমাণ কর যে $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$।

সমাধান : আমাদেরকে একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে যার কেন্দ্র $\mathrm{O}$, একটি বহিঃস্থ বিন্দু $\mathrm{T}$ এবং বৃত্তের দুটি স্পর্শক $\mathrm{TP}$ এবং $\mathrm{TQ}$, যেখানে $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ হল স্পর্শ বিন্দু (চিত্র ১০.৯ দেখো)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে

চিত্র ১০.৯

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

ধরা যাক $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

এখন, উপপাদ্য ১০.২ অনুসারে, TP = TQ। সুতরাং, TPQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সুতরাং, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

এছাড়াও, উপপাদ্য ১০.১ অনুসারে, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

সুতরাং, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

এটি দেয় $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

উদাহরণ ৩ : PQ হল $5 \mathrm{~cm}$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের $8 \mathrm{~cm}$ দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা। $\mathrm{P}$ এবং $\mathrm{Q}$ বিন্দুতে স্পর্শকগুলি একটি বিন্দু $T$-তে ছেদ করে (চিত্র ১০.১০ দেখো)। TP-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : OT যুক্ত কর। ধরা যাক এটি PQ-কে $\mathrm{R}$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\triangle$ TPQ সমদ্বিবাহু এবং TO হল $\angle \mathrm{PTQ}$-এর কোণ দ্বিখণ্ডক। সুতরাং, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ এবং তাই, OT, $\mathrm{PQ}$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে যা দেয় $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$।

চিত্র ১০.১০

এছাড়াও, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$।

এখন, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (কেন?)

সুতরাং, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

অতএব, সমকোণী ত্রিভুজ TRP, AA সাদৃশ্য দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ PRO-এর সাথে সদৃশ।

এটি দেয়

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, অর্থাৎ, } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { বা } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {। } $

দ্রষ্টব্য: TP পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করেও নির্ণয় করা যেতে পারে, নিম্নরূপ:

ধরা যাক $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) থেকে (2) বিয়োগ করলে, আমরা পাই

সুতরাং, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

১০.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছ:

১. একটি বৃত্তের স্পর্শকের অর্থ।

২. বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

৩. একটি বহিঃস্থ বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।