10.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਕੇਂਦਰ) ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦੂਰੀ (ਅਰਧ-ਵਿਆਸ) ‘ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੀਵਾ, ਵਿਭਾਗ, ਖੰਡ, ਚਾਪ ਆਦਿ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਉਹਨਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ ਜੋ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਿੱਤੀ ਹੋਵੇ।

ਇਸ ਲਈ, ਆਓ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ PQ ਲਈਏ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ 10.1 ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ:

ਚਿੱਤਰ 10.1

ਚਿੱਤਰ 10.1 (i) ਵਿੱਚ, ਰੇਖਾ PQ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੋਈ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, PQ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਪ੍ਰਤਿਚ੍ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10.1 (ii) ਵਿੱਚ, ਦੋ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ $\mathrm{A}$ ਅਤੇ $\mathrm{B}$ ਹਨ ਜੋ ਰੇਖਾ $\mathrm{PQ}$ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ PQ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10.1 (iii) ਵਿੱਚ, ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ A ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾ PQ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਇੱਕ ਕੂਏਂ ਉੱਤੇ ਫਿੱਟ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਪੁਲੀ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੂਏਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10.2 ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਇੱਥੇ ਪੁਲੀ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਰੱਸੀ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਕਿਰਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨੀ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਪੁਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਵਰਗੀ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 10.2

ਕੀ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਕਿਸਮਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕੋਈ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

10.2 ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ

ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ[^0] ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।

ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰੀਏ:

ਕਿਰਿਆ 1 : ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਤਾਰ ਲਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਤਾਰ $A B$ ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਤਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜੋ ਕਿ ਇਹ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਦੇ ਚਾਰੋਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮ ਸਕੇ। ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਤਾਰ $\mathrm{AB}$ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਦੇ ਚਾਰੋਂ ਪਾਸੇ ਘੁਮਾਓ ਤਾਂ ਕਿ ਸਿੱਧੀ ਤਾਰ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕਣ [ਚਿੱਤਰ 10.3(i) ਵੇਖੋ]।

ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਤਾਰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਤਾਰ ਨੂੰ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{Q_1}$ ਜਾਂ $\mathrm{Q_2}$ ਜਾਂ $\mathrm{Q_3}$, ਆਦਿ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਇਹ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੇਵਲ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਹੀ ਕੱਟੇਗੀ ($\mathrm{AB}$ ਦੀ ਸਥਿਤੀ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ਵੇਖੋ)। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਘੁੰਮਾਉਣ ‘ਤੇ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $\mathrm{AB}$ ਦੀਆਂ ਬਾਕੀ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਚੱਕਰ ਨੂੰ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ, ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{R_1}$ ਜਾਂ $\mathrm{R_2}$ ਜਾਂ $\mathrm{R_3}$, ਆਦਿ ‘ਤੇ ਕੱਟੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਹੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 10.3 (i)

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਕਿਰਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸਥਿਤੀ $A B$, ਸਥਿਤੀ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ਵੱਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਰੇਖਾ $\mathrm{AB}$ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ, ਮੰਨ ਲਓ $\mathrm{Q_1}$, ਧੀਰੇ-ਧੀਰੇ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇਹ $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ਦੀ ਸਥਿਤੀ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ‘$\mathrm{AB}$’ ਨੂੰ $\mathrm{P}$ ਦੇ ਚਾਰੋਂ ਪਾਸੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਵੇ? ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ $\mathrm{R_3}$ ਧੀਰੇ-ਧੀਰੇ P ਦੇ ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ P ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ:

ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਿਤੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਇਸਦੀ ਸੰਗਤ ਜੀਵਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇਕੱਠੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਕਿਰਿਆ 2 : ਇੱਕ ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ PQ ਖਿੱਚੋ। ਇਸਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਕੁਝ ਕਦਮਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟੀ ਗਈ ਜੀਵਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਘੱਟਦੀ ਜਾਵੇਗੀ, ਯਾਨੀ ਕਿ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੋ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਆ ਰਹੇ ਹਨ [ਚਿੱਤਰ 10.3(ii) ਵੇਖੋ]। ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10.3 (ii) ਵਿੱਚ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ ਅਤੇ $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ ਵੇਖੋ। ਇਹ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ PQ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚੱਕਰ ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ।

ਚਿੱਤਰ 10.3 (ii)

ਇਹ ਕਿਰਿਆ ਉਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਵੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਰਿਆ 1 ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਜ਼ਰੂਰ ਦੇਖਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਸੀ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਦੋਂ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸੰਗਤ ਜੀਵਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇਕੱਠੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ [ਚਿੱਤਰ 10.1 (iii) ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ A] ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਉਭਯ-ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਛੂਹਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇਖੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਦੇ ਸਾਈਕਲ ਜਾਂ ਗੱਡੀ ਚਲਦੀ ਹੋਈ ਦੇਖੀ ਹੈ? ਇਸਦੇ ਪਹੀਏ ਵੱਲ ਦੇਖੋ। ਇੱਕ ਪਹੀਏ ਦੇ ਸਾਰੇ ਆਰੇ ਇਸਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਇਸਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਹੀਏ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੋਟ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਿਤੇ ਵੀ ਕੋਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? (ਚਿੱਤਰ 10.4 ਵੇਖੋ)। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਪਹੀਆ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਚਲਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਹੀਏ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਸਮਕੋਣ ‘ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.4 ਵੇਖੋ)। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਇਸ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ।

ਚਿੱਤਰ 10.4

ਪ੍ਰਮੇਯ 10.1 : ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ, ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਬੂਤ : ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ $\mathrm{XY}$ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ $\mathrm{OP}$, $\mathrm{XY}$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ।

$\mathrm{XY}$ ‘ਤੇ $\mathrm{P}$ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{Q}$ ਲਓ ਅਤੇ $\mathrm{OQ}$ ਨੂੰ ਜੋੜੋ (ਚਿੱਤਰ 10.5 ਵੇਖੋ)।

ਬਿੰਦੂ $\mathrm{Q}$ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। (ਕਿਉਂ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ Q ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ, ਤਾਂ XY ਚੱਕਰ ਦੀ ਇੱਕ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਬਣ ਜਾਵੇਗੀ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨਹੀਂ)। ਇਸ ਲਈ, OQ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $\mathrm{OP}$ ਤੋਂ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਯਾਨੀ,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਰੇਖਾ $\mathrm{XY}$ ‘ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ $\mathrm{OP}$ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{O}$ ਤੋਂ XY ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ OP, XY ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪ੍ਰਮੇਯ A1.7 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।)

ਚਿੱਤਰ 10.5

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

1. ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਵੀ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।

2. ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ‘ਸਾਧਾਰਨ’ (ਨੌਰਮਲ) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

10.3 ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ

ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਕਿਰਿਆ ਕਰੀਏ:

ਕਿਰਿਆ 3 : ਇੱਕ ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ। ਇਸਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਲਓ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਚੱਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਚੱਕਰ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਣੀ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ [ਚਿੱਤਰ 10.6 (i) ਵੇਖੋ]।

ਅੱਗੇ, ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਚੱਕਰ ਲਈ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਹੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ [ਚਿੱਤਰ 10.6 (ii) ਵੇਖੋ]।

ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਚੱਕਰ ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹੋ [ਚਿੱਤਰ 10.6 (iii) ਵੇਖੋ]।

ਚਿੱਤਰ 10.6

ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਤੱਥਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਸਥਿਤੀ 1 : ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਪਏ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਚੱਕਰ ਲਈ ਕੋਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

ਸਥਿਤੀ 2 : ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਪਏ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਚੱਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਥਿਤੀ 3 : ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਪਏ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਬਿਲਕੁਲ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 10.6 (iii) ਵਿੱਚ, $\mathrm{T_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{T_2}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ $\mathrm{PT_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{PT_2}$ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।

ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ $P$ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਤੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10.6 (iii) ਵਿੱਚ, $\mathrm{PT_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{PT_2}$ $\mathrm{P}$ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਤੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਹਨ। ਲੰਬਾਈਆਂ $\mathrm{PT_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{PT_2}$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ? $\mathrm{PT_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{PT_2}$ ਨੂੰ ਨਾਪੋ। ਕੀ ਇਹ ਬਰਾਬਰ ਹਨ? ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਸਬੂਤ ਦੇਈਏ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 10.2: ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਬੂਤ: ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਾਹਰ ਪਇਆ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ਅਤੇ $\mathrm{P}$ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ PQ, PR ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.7 ਵੇਖੋ)। ਸਾਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ $P Q=P R$।

ਚਿੱਤਰ 10.7

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ OP, OQ ਅਤੇ OR ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ $\angle \mathrm{OQP}$ ਅਤੇ $\angle \mathrm{ORP}$ ਸਮਕੋਣ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਰਧ-ਵਿਆਸਾਂ ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਕੋਣ ਹਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ 10.1 ਅਨੁਸਾਰ ਇਹ ਸਮਕੋਣ ਹਨ। ਹੁਣ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜਾਂ OQP ਅਤੇ ORP ਵਿੱਚ,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ਇੱਕੋ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ਸਾਂਝਾ)

ਇਸ ਲਈ, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

1. ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $P Q=P R$.

2. ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$. ਇਸ ਲਈ, $\mathrm{OP}$, $\angle \mathrm{QPR}$ ਦਾ ਕੋਣ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਕੇਂਦਰ ਦੋਵਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਮਦੁਭਾਜਕ ‘ਤੇ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।

ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋ ਸਾਂਝੇ-ਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਉਹ ਜੀਵਾ, ਜੋ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਛੂਹਦੀ ਹੈ, ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਹੱਲ : ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਵਾਲੇ ਦੋ ਸਾਂਝੇ-ਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰ $\mathrm{C_1}$ ਅਤੇ $\mathrm{C_2}$ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ $\mathrm{C_1}$ ਦੀ ਇੱਕ ਜੀਵਾ $\mathrm{AB}$ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜੋ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ $\mathrm{C_2}$ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ $\mathrm{P}$ ‘ਤੇ ਛੂਹਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.8 ਵੇਖੋ)। ਸਾਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$।

ਚਿੱਤਰ 10.8

ਆਓ OP ਨੂੰ ਜੋੜੀਏ। ਫਿਰ, $A B$, $C_{2}$ ਦੀ ਬਿੰਦੂ $P$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ