१०.१ परिचय

तुम्ही इयत्ता नववीमध्ये अभ्यासले आहे की, वर्तुळ हे समतलातील सर्व बिंदूंचा संग्रह असतो जे एका स्थिर बिंदूपासून (केंद्र) स्थिर अंतरावर (त्रिज्या) असतात. तुम्ही वर्तुळाशी संबंधित विविध संज्ञा जसे की जीवा, वर्तुळखंड, कंस, सेक्टर इत्यादींचा देखील अभ्यास केला आहे. आता समतलात एक वर्तुळ आणि एक रेषा दिली असता कोणकोणत्या परिस्थिती निर्माण होऊ शकतात ते पाहूया.

तर, एक वर्तुळ आणि एक रेषा PQ विचारात घेऊ. खालील आकृती १०.१ मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे तीन शक्यता असू शकतात:

आकृती १०.१

आकृती १०.१ (i) मध्ये, रेषा PQ आणि वर्तुळ यांचा कोणताही समान बिंदू नाही. या परिस्थितीत, PQ ला वर्तुळाच्या संदर्भात अ-छेदिका रेषा म्हणतात. आकृती १०.१ (ii) मध्ये, रेषा $\mathrm{PQ}$ आणि वर्तुळ यांचे दोन समान बिंदू $\mathrm{A}$ आणि $\mathrm{B}$ आहेत. या परिस्थितीत, आपण रेषा PQ ला वर्तुळाची छेदिका म्हणतो. आकृती १०.१ (iii) मध्ये, रेषा PQ आणि वर्तुळ यांचा फक्त एकच समान बिंदू A आहे. या परिस्थितीत, रेषेला वर्तुळाची स्पर्शिका म्हणतात.

तुम्ही विहिरीवर बसवलेले पुली पाहिले असेल, जे विहिरीतून पाणी काढण्यासाठी वापरले जाते. आकृती १०.२ पहा. येथे पुलीच्या दोन्ही बाजूंची दोरी, जर किरण म्हणून विचारात घेतली तर, पुलीचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या वर्तुळाच्या स्पर्शिकेसारखी दिसते.

आकृती १०.२

वरील प्रकारांशिवाय वर्तुळाच्या संदर्भात रेषेची कोणतीही अन्य स्थिती आहे का? तुम्ही पाहू शकता की वर्तुळाच्या संदर्भात रेषेची कोणतीही अन्य प्रकारची स्थिती असू शकत नाही. या प्रकरणात, आपण वर्तुळाला स्पर्शिकांच्या अस्तित्वाबद्दल आणि त्यांच्या काही गुणधर्मांचा अभ्यास करू.

१०.२ वर्तुळाची स्पर्शिका

मागील भागात, तुम्ही पाहिले की वर्तुळाची स्पर्शिका[^0] ही अशी रेषा आहे जी वर्तुळाला फक्त एका बिंदूत छेदते.

वर्तुळाच्या एका बिंदूवर स्पर्शिकेचे अस्तित्व समजून घेण्यासाठी, खालील कृती करूया:

कृती १ : एक गोलाकार तार घ्या आणि त्यावर एक सरळ तार $A B$ वर्तुळाकार तारेच्या $P$ बिंदूवर अशा प्रकारे जोडा की ती समतलात $\mathrm{P}$ बिंदूभोवती फिरू शकेल. या प्रणालीला टेबलावर ठेवा आणि सरळ तार $\mathrm{AB}$ ला $\mathrm{P}$ बिंदूभोवती हळूवारपणे फिरवून सरळ तारेच्या विविध स्थिती मिळवा [आकृती १०.३(i) पहा].

विविध स्थितींमध्ये, तार वर्तुळाकार तारेला $\mathrm{P}$ आणि दुसऱ्या बिंदू $\mathrm{Q_1}$ किंवा $\mathrm{Q_2}$ किंवा $\mathrm{Q_3}$ इत्यादींवर छेदते. एका स्थितीत, तुम्ही पाहाल की ती वर्तुळाला फक्त $\mathrm{P}$ बिंदूवर छेदेल ($\mathrm{AB}$ ची स्थिती $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ पहा). हे दर्शवते की वर्तुळाच्या $\mathrm{P}$ बिंदूवर एक स्पर्शिका अस्तित्वात आहे. पुढे फिरवताना, तुम्ही पाहू शकता की $\mathrm{AB}$ च्या इतर सर्व स्थितींमध्ये, ती वर्तुळाला $\mathrm{P}$ आणि दुसऱ्या बिंदूवर, म्हणजे $\mathrm{R_1}$ किंवा $\mathrm{R_2}$ किंवा $\mathrm{R_3}$ इत्यादींवर छेदेल. तर, तुम्ही पाहू शकता की वर्तुळाच्या एका बिंदूवर फक्त एकच स्पर्शिका असते.

आकृती १०.३ (i)

वरील कृती करताना, तुम्ही नक्कीच पाहिले असेल की जसजशी स्थिती $A B$ स्थिती $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ कडे सरकते, तसतसे रेषा $\mathrm{AB}$ आणि वर्तुळ यांचा सामाईक बिंदू, म्हणा $\mathrm{Q_1}$, हळूहळू सामाईक बिंदू $\mathrm{P}$ च्या जवळ जवळ येतो. शेवटी, तो $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ च्या स्थिती $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ मध्ये बिंदू $\mathrm{P}$ शी एकरूप होतो. पुन्हा लक्षात घ्या, जर ‘$\mathrm{AB}$’ ला $\mathrm{P}$ बिंदूभोवती उजवीकडे फिरवले तर काय होते? सामाईक बिंदू $\mathrm{R_3}$ हळूहळू P च्या जवळ येतो आणि शेवटी P शी एकरूप होतो. तर, आपण जे पाहतो ते असे आहे:

वर्तुळाची स्पर्शिका ही छेदिकेची एक विशेष बाब आहे, जेव्हा तिच्या संबंधित जीवेचे दोन्ही टोक एकरूप होतात.

कृती २ : कागदावर एक वर्तुळ काढा आणि त्याची एक छेदिका PQ काढा. छेदिकेच्या दोन्ही बाजूंना तिच्याशी समांतर विविध रेषा काढा. तुम्हाला असे आढळेल की काही पायऱ्यांनंतर, रेषांनी छेदलेल्या जीवेची लांबी हळूहळू कमी होईल, म्हणजेच, रेषा आणि वर्तुळ यांच्या छेदनबिंदू एकमेकांच्या जवळ येतात [आकृती १०.३(ii) पहा]. एका बाबतीत, ती छेदिकेच्या एका बाजूला शून्य होते आणि दुसऱ्या बाबतीत, ती छेदिकेच्या दुसऱ्या बाजूला शून्य होते. आकृती १०.३ (ii) मधील छेदिकेच्या स्थिती $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ आणि $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ पहा. या दिलेल्या छेदिका PQ ला समांतर असलेल्या वर्तुळाच्या स्पर्शिका आहेत. ही कृती तुम्हाला हे देखील समजण्यास मदत करते की दिलेल्या छेदिकेला समांतर दोनपेक्षा जास्त स्पर्शिका असू शकत नाहीत.

आकृती १०.३ (ii)

ही कृती देखील ते स्थापित करते, जे तुम्ही कृती १ करताना नक्कीच पाहिले असेल, म्हणजे, स्पर्शिका ही छेदिका असते जेव्हा संबंधित जीवेचे दोन्ही टोक एकरूप होतात.

स्पर्शिका आणि वर्तुळ यांच्या सामाईक बिंदूला संपर्कबिंदू म्हणतात [आकृती १०.१ (iii) मधील बिंदू A] आणि स्पर्शिका सामाईक बिंदूवर वर्तुळाला स्पर्श करते असे म्हटले जाते.

आता आपल्या आजूबाजूला पहा. तुम्ही सायकल किंवा गाडी चालताना पाहिले आहे का? त्याच्या चाकाकडे पहा. चाकाच्या सर्व मणी त्याच्या त्रिज्यांवर असतात. आता जमिनीवर त्याच्या हालचालीच्या संदर्भात चाकाची स्थिती लक्षात घ्या. तुम्हाला स्पर्शिका कुठेही दिसते का? (आकृती १०.४ पहा). खरं तर, चाक ज्या रेषेवरून हलते ती रेषा चाकाचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या वर्तुळाची स्पर्शिका असते. तसेच, लक्षात घ्या की सर्व स्थितींमध्ये, जमिनीशी संपर्काच्या बिंदूतून जाणारी त्रिज्या स्पर्शिकेला काटकोनात दिसते (आकृती १०.४ पहा). आता आपण स्पर्शिकेचा हा गुणधर्म सिद्ध करू.

आकृती १०.४

प्रमेय १०.१ : वर्तुळाच्या कोणत्याही बिंदूवरील स्पर्शिका त्या संपर्कबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते.

सिद्धता : आपल्याला केंद्र $\mathrm{O}$ असलेले वर्तुळ आणि त्याच्या बिंदू $\mathrm{P}$ वरील स्पर्शिका $\mathrm{XY}$ दिली आहे. आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की $\mathrm{OP}$ ही $\mathrm{XY}$ ला लंब आहे.

$\mathrm{XY}$ वर $\mathrm{P}$ व्यतिरिक्त दुसरा बिंदू $\mathrm{Q}$ घ्या आणि $\mathrm{OQ}$ जोडा (आकृती १०.५ पहा).

बिंदू $\mathrm{Q}$ वर्तुळाच्या बाहेर असला पाहिजे. (का? लक्षात घ्या की जर Q वर्तुळाच्या आत असेल, तर XY ही छेदिका होईल आणि वर्तुळाची स्पर्शिका राहणार नाही). म्हणून, OQ ही वर्तुळाच्या त्रिज्या $\mathrm{OP}$ पेक्षा लांब आहे. म्हणजे,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

हे $\mathrm{XY}$ रेषेवरील $\mathrm{P}$ बिंदू वगळता प्रत्येक बिंदूसाठी घडत असल्याने, $\mathrm{OP}$ हे बिंदू $\mathrm{O}$ पासून XY च्या बिंदूंपर्यंतच्या सर्व अंतरांपैकी सर्वात लहान अंतर आहे. म्हणून OP ही XY ला लंब आहे. (प्रमेय A1.7 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे.)

आकृती १०.५

टिपणी

१. वरील प्रमेयावरून, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूवर एक आणि फक्त एक स्पर्शिका असू शकते.

२. संपर्कबिंदूतून जाणारी त्रिज्या असलेल्या रेषेला कधीकधी त्या बिंदूवरील वर्तुळाची ‘अभिलंब’ रेषा असेही म्हणतात.

१०.३ वर्तुळावरील एका बिंदूपासून स्पर्शिकांची संख्या

वर्तुळावरील एका बिंदूपासून स्पर्शिकांची संख्या समजून घेण्यासाठी, खालील कृती करूया:

कृती ३ : कागदावर एक वर्तुळ काढा. त्याच्या आत एक बिंदू $P$ घ्या. तुम्ही या बिंदूतून वर्तुळाला स्पर्शिका काढू शकता का? तुम्हाला असे आढळेल की या बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व रेषा वर्तुळाला दोन बिंदूंत छेदतात. म्हणून, वर्तुळाच्या आतील बिंदूतून कोणतीही स्पर्शिका काढणे शक्य नाही [आकृती १०.६ (i) पहा].

पुढे वर्तुळावर एक बिंदू $\mathrm{P}$ घ्या आणि या बिंदूतून स्पर्शिका काढा. तुम्ही आधीच पाहिले आहे की अशा बिंदूवर वर्तुळाला फक्त एकच स्पर्शिका असते [आकृती १०.६ (ii) पहा].

शेवटी, वर्तुळाच्या बाहेर एक बिंदू $P$ घ्या आणि या बिंदूपासून वर्तुळाला स्पर्शिका काढण्याचा प्रयत्न करा. तुम्हाला काय आढळते? तुम्हाला असे आढळेल की तुम्ही या बिंदूतून वर्तुळाला नक्की दोन स्पर्शिका काढू शकता [आकृती १०.६ (iii) पहा].

आकृती १०.६

आपण ही तथ्ये पुढीलप्रमाणे सारांशित करू शकतो:

बाब १ : वर्तुळावर असलेल्या बिंदूतून जाणारी वर्तुळाला कोणतीही स्पर्शिका नसते.

बाब २ : वर्तुळावर असलेल्या बिंदूतून जाणारी वर्तुळाला एक आणि फक्त एक स्पर्शिका असते.

बाब ३ : वर्तुळाच्या बाहेर असलेल्या बिंदूतून वर्तुळाला नक्की दोन स्पर्शिका असतात.

आकृती १०.६ (iii) मध्ये, $\mathrm{T_1}$ आणि $\mathrm{T_2}$ हे अनुक्रमे स्पर्शिका $\mathrm{PT_1}$ आणि $\mathrm{PT_2}$ चे संपर्कबिंदू आहेत.

बाह्य बिंदू $P$ पासून स्पर्शिकेच्या विभागाची लांबी आणि वर्तुळाशी संपर्कबिंदू याला बिंदू $\mathrm{P}$ पासून वर्तुळापर्यंतच्या स्पर्शिकेची लांबी म्हणतात.

लक्षात घ्या की आकृती १०.६ (iii) मध्ये, $\mathrm{PT_1}$ आणि $\mathrm{PT_2}$ ही $\mathrm{P}$ पासून वर्तुळापर्यंतच्या स्पर्शिकांची लांबी आहे. लांबी $\mathrm{PT_1}$ आणि $\mathrm{PT_2}$ मध्ये एक समान गुणधर्म आहे. तुम्ही तो शोधू शकता का? $\mathrm{PT_1}$ आणि $\mathrm{PT_2}$ मोजा. त्या समान आहेत का? खरं तर, हे नेहमीच असेच असते. खालील प्रमेयात आपण या तथ्याची सिद्धता देऊ.

प्रमेय १०.२: वर्तुळाला बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या स्पर्शिकांची लांबी समान असते.

सिद्धता: आपल्याला केंद्र $\mathrm{O}$ असलेले वर्तुळ, वर्तुळाच्या बाहेर असलेला बिंदू $\mathrm{P}$ आणि $\mathrm{P}$ पासून वर्तुळावरील दोन स्पर्शिका PQ, PR दिल्या आहेत (आकृती १०.७ पहा). आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की $P Q=P R$.

आकृती १०.७

यासाठी, आपण OP, OQ आणि OR जोडू. तर $\angle \mathrm{OQP}$ आणि $\angle \mathrm{ORP}$ हे काटकोन आहेत, कारण हे त्रिज्या आणि स्पर्शिका यांच्यातील कोन आहेत आणि प्रमेय १०.१ नुसार ते काटकोन आहेत. आता काटकोन त्रिकोण OQP आणि ORP मध्ये,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (सामाईक)

म्हणून, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

यावरून $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ मिळते.

टिपणी

१. हे प्रमेय पायथागोरसचे प्रमेय वापरून देखील सिद्ध करता येते:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

ज्यावरून $P Q=P R$ मिळते.

२. हे देखील लक्षात घ्या की $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$. म्हणून, $\mathrm{OP}$ हा $\angle \mathrm{QPR}$ चा कोनदुभाजक आहे, म्हणजेच केंद्र दोन स्पर्शिकांमधील कोनाच्या दुभाजकावर असते.

चला काही उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण १ : सिद्ध करा की एककेंद्री वर्तुळांमध्ये, मोठ्या वर्तुळाची जीवा, जी लहान वर्तुळाला स्पर्श करते, ती संपर्कबिंदूवर दुभागली जाते.

उपाय: आपल्याला केंद्र $\mathrm{O}$ असलेली दोन एककेंद्री वर्तुळे $\mathrm{C_1}$ आणि $\mathrm{C_2}$ आणि मोठ्या वर्तुळ $\mathrm{C_1}$ ची जीवा $\mathrm{AB}$ दिली आहे, जी लहान वर्तुळ $\mathrm{C_2}$ ला बिंदू $\mathrm{P}$ वर स्पर्श करते (आकृती १०.८ पहा). आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$.

आकृती १०.८

आपण OP जोडू. तर, $A B$ ही $C_{2}$ ची बिंदू $P$ वरील स्पर्शिका आहे आणि $\mathrm{OP}$ ही तिची त्रिज्या आहे. म्हणून, प्रमेय १०.१ नुसार,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

आता $\mathrm{AB}$ ही वर्तुळ $\mathrm{C}_{1}$ ची जीवा आहे आणि $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$. म्हणून, $\mathrm{OP}$ ही जीवा $A B$ ची दुभाजक आहे, कारण केंद्रातून काढलेला लंब जीवेला दुभागतो,

म्हणजे, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

उदाहरण २ : केंद्र $\mathrm{O}$ असलेल्या वर्तुळाला बाह्य बिंदू $\mathrm{T}$ पासून दोन स्पर्शिका $\mathrm{TP}$ आणि $\mathrm{TQ}$ काढल्या आहेत. सिद्ध करा की $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$.

उपाय: आपल्याला केंद्र $\mathrm{O}$ असलेले वर्तुळ, बाह्य बिंदू $\mathrm{T}$ आणि वर्तुळाला दोन स्पर्शिका $\mathrm{TP}$ आणि $\mathrm{TQ}$ दिल्या आहेत, जेथे $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ हे संपर्कबिंदू आहेत (आकृती १०.९ पहा). आपल्याला हे सिद्ध करायचे आहे की

आकृती १०.९

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

समजा, $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

आता, प्रमेय १०.२ नुसार, TP = TQ. म्हणून, TPQ हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.

म्हणून, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

तसेच, प्रमेय १०.१ नुसार, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

म्हणून, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

यावरून, $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$ मिळते.

उदाहरण ३ : PQ ही त्रिज्या $5 \mathrm{~cm}$ असलेल्या वर्तुळाची $8 \mathrm{~cm}$ लांबीची जीवा आहे. $\mathrm{P}$ आणि $\mathrm{Q}$ बिंदूंवरील स्पर्शिका एका बिंदू $T$ वर छेदतात (आकृती १०.१० पहा). TP ची लांबी शोधा.

उपाय: OT जोडा. ती PQ ला बिंदू $\mathrm{R}$ वर छेदेल. तर $\triangle$ TPQ हा समद्विभुज त्रिकोण आहे आणि TO हा $\angle \mathrm{PTQ}$ चा कोनदुभाजक आहे. म्हणून, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ आणि म्हणून, OT ही $\mathrm{PQ}$ ला दुभागते ज्यामुळे $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$ मिळते.

आकृती १०.१०

तसेच, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$.

आता, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (का?)

म्हणून, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

म्हणून, काटकोन त्रिकोण TRP हा काटकोन त्रिकोण PRO शी समरूपता-कोन-कोन गुणधर्माने समरूप आहे.

यावरून,

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, म्हणजे, } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { किंवा } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~सेमी. } $

टीप : TP हे पायथागोरसचे प्रमेय वापरून देखील शोधता येते:

समजा, $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) मधून (2) वजा केल्यास, आपल्याला मिळते

म्हणून, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

१०.४ सारांश

या प्रकरणात, तुम्ही खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला आहे:

१. वर्तुळाच्या स्पर्शिकेचा अर्थ.

२. वर्तुळाची स्पर्शिका संपर्कबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते.

३. वर्तुळाला बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या दोन स्पर्शिकांची लांबी समान असते.