10.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಒಂಬತ್ತನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ, ಅವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಕೇಂದ್ರ) ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿ (ತ್ರಿಜ್ಯ) ಇರುತ್ತವೆ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಪದಗಳಾದ ಜ್ಯಾ, ವೃತ್ತಖಂಡ, ವೃತ್ತಕಂಸ, ಚಾಪ ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ. ಈಗ ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ರೇಖೆ ಇದ್ದಾಗ ಉಂಟಾಗಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ರೇಖೆ PQ ಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ 10.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವಂತೆ ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಇರಬಹುದು:

ಚಿತ್ರ 10.1

ಚಿತ್ರ 10.1 (i) ರಲ್ಲಿ, ರೇಖೆ PQ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಇಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, PQ ಅನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಸಂಧಿಸುವ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 10.1 (ii) ರಲ್ಲಿ, ರೇಖೆ $\mathrm{PQ}$ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು $\mathrm{A}$ ಮತ್ತು $\mathrm{B}$ ಇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ರೇಖೆ PQ ಅನ್ನು ವೃತ್ತದ ಛೇದಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 10.1 (iii) ರಲ್ಲಿ, ರೇಖೆ PQ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ A ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ಇದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಯನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾವಿಯಿಂದ ನೀರು ತೆಗೆಯಲು ಬಳಸುವ ಬಾವಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿರುವ ಕಪ್ಪಿಯನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 10.2 ನೋಡಿ. ಇಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪಿಯ ಎರಡೂ ಬದಿಯ ಹಗ್ಗವನ್ನು, ಕಿರಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಕಪ್ಪಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ ಇದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.2

ಮೇಲೆ ನೀಡಿರುವ ವಿಧಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೆಯ ಇನ್ನಾವುದೇ ಸ್ಥಾನವಿದೆಯೇ? ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೆಯ ಇನ್ನಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಾನ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

10.2 ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು[^0] ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಚಟುವಟಿಕೆ 1 : ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಂತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನೇರ ತಂತಿ $A B$ ಅನ್ನು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಂತಿಯ $P$ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಅದು $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತಿರುಗಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ನೇರ ತಂತಿ $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಸೌಮ್ಯವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿ ನೇರ ತಂತಿಯ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ [ಚಿತ್ರ 10.3(i) ನೋಡಿ].

ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ, ತಂತಿಯು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಂತಿಯನ್ನು $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದು $\mathrm{Q_1}$ ಅಥವಾ $\mathrm{Q_2}$ ಅಥವಾ $\mathrm{Q_3}$, ಇತ್ಯಾದಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ, ಅದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೇವಲ $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ ($\mathrm{AB}$ ನ ಸ್ಥಾನ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ನೋಡಿ). ಇದು ವೃತ್ತದ $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, $\mathrm{AB}$ ನ ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಅದು ವೃತ್ತವನ್ನು $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\mathrm{R_1}$ ಅಥವಾ $\mathrm{R_2}$ ಅಥವಾ $\mathrm{R_3}$, ಇತ್ಯಾದಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 10.3 (i)

ಮೇಲಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ಸ್ಥಾನ $A B$ ಸ್ಥಾನ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ, ರೇಖೆ $\mathrm{AB}$ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\mathrm{Q_1}$, ಕ್ರಮೇಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಗೆ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸಿರಬೇಕು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅದು $\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ನ ಸ್ಥಾನ $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ ರಲ್ಲಿ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ ಗಮನಿಸಿ, ‘$\mathrm{AB}$’ ಅನ್ನು $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಬಲಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು $\mathrm{R_3}$ ಕ್ರಮೇಣ P ಗೆ ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ ಬಂದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ P ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನೋಡುವುದು:

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಛೇದಕದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಜ್ಯಾದ ಎರಡೂ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಾಗಿದ್ದಾಗ.

ಚಟುವಟಿಕೆ 2 : ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ, ಒಂದು ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಛೇದಕ PQ ಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಕೆಲವು ಹಂತಗಳ ನಂತರ, ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ ಕ್ರಮೇಣ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು ಹತ್ತಿರ ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತವೆ [ಚಿತ್ರ 10.3(ii) ನೋಡಿ]. ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು ಛೇದಕದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು ಛೇದಕದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 10.3 (ii) ರಲ್ಲಿ ಛೇದಕದ ಸ್ಥಾನಗಳು $\mathrm{P}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}$ ಮತ್ತು $\mathrm{P}^{\prime \prime} \mathrm{Q}^{\prime \prime}$ ನೋಡಿ. ಇವು ನೀಡಿರುವ ಛೇದಕ PQ ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ. ನೀಡಿರುವ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಲು ಇದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.3 (ii)

ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಸಹ ನೀವು ಚಟುವಟಿಕೆ 1 ಅನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಗಮನಿಸಿರಬೇಕಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಜ್ಯಾದ ಎರಡೂ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದಾಗಿದ್ದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಛೇದಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ 10.1 (iii) ರಲ್ಲಿ A ಬಿಂದು] ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲೂ ನೋಡಿ. ಸೈಕಲ್ ಅಥವಾ ಬಂಡಿ ಚಲಿಸುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? ಅದರ ಚಕ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಚಕ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪೋಕುಗಳು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುತ್ತವೆ. ಈಗ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಕ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ನೋಡುತ್ತೀರಾ? (ಚಿತ್ರ 10.4 ನೋಡಿ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಚಕ್ರವು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಚಕ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನೆಲದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 10.4 ನೋಡಿ). ಈಗ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರ 10.4

ಪ್ರಮೇಯ 10.1 : ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಧನೆ : ನಮಗೆ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ $\mathrm{XY}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. $\mathrm{OP}$ ಯು $\mathrm{XY}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

$\mathrm{XY}$ ಮೇಲೆ $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದು $\mathrm{Q}$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು $\mathrm{OQ}$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 10.5 ನೋಡಿ).

$\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರಬೇಕು. (ಏಕೆ? Q ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, XY ಛೇದಕವಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, OQ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ $\mathrm{OP}$ ಗಿಂತ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ,

$$ \mathrm{OQ}>\mathrm{OP} . $$

ರೇಖೆ $\mathrm{XY}$ ಮೇಲಿನ $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೂ ಇದು ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ, $\mathrm{O}$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ XY ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ದೂರಗಳಲ್ಲಿ $\mathrm{OP}$ ಕಿರಿದಾದದ್ದಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ OP ಯು XY ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ. (ಪ್ರಮೇಯ A1.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ.)

ಚಿತ್ರ 10.5

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

2. ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ‘ಸಾಮಾನ್ಯ’ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

10.3 ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಕಲ್ಪನೆ ಪಡೆಯಲು, ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಚಟುವಟಿಕೆ 3 : ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ ಬರೆಯಿರಿ. ಅದರ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೃತ್ತದ ಒಳಗಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ [ಚಿತ್ರ 10.6 (i) ನೋಡಿ].

ಮುಂದೆ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇದೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ [ಚಿತ್ರ 10.6 (ii) ನೋಡಿ].

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಿ? ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ [ಚಿತ್ರ 10.6 (iii) ನೋಡಿ].

ಚಿತ್ರ 10.6

ಈ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಾರಾಂಶಿಸಬಹುದು:

ಸಂದರ್ಭ 1 : ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂದರ್ಭ 2 : ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸಂದರ್ಭ 3 : ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 10.6 (iii) ರಲ್ಲಿ, $\mathrm{T_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{T_2}$ ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $\mathrm{PT_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{PT_2}$ ಗಳ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.6 (iii) ರಲ್ಲಿ, $\mathrm{PT_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{PT_2}$ ಗಳು $\mathrm{P}$ ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದ್ದಗಳು $\mathrm{PT_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{PT_2}$ ಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? $\mathrm{PT_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{PT_2}$ ಅಳೆಯಿರಿ. ಇವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಯೇ? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಗತಿಯ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 10.2: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸಾಧನೆ: ನಮಗೆ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತ, ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದು $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{P}$ ನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು PQ, PR ಗಳು ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ (ಚಿತ್ರ 10.7 ನೋಡಿ). $P Q=P R$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.7

ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು OP, OQ ಮತ್ತು OR ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಗ $\angle \mathrm{OQP}$ ಮತ್ತು $\angle \mathrm{ORP}$ ಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಪ್ರಕಾರ ಅವು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಈಗ ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳು OQP ಮತ್ತು ORP ಗಳಲ್ಲಿ,

OQ $=$ OR $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ಒಂದೇ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು)

OP $=$ OP $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $ (ಸಾಮಾನ್ಯ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\Delta \mathrm{OQP} \cong \triangle \mathrm{ORP}\quad \quad \quad \quad \text{(RHS)}$

ಇದು $P Q=P R\quad \quad \quad \quad \text{(CPCT)}$ ನೀಡುತ್ತದೆ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು:

$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OR}^{2}=\mathrm{PR}^{2}(\mathrm{As} \mathrm{OQ}=\mathrm{OR}) $

ಇದು $P Q=P R$ ನೀಡುತ್ತದೆ.

2. $\angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPR}$ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{OP}$ ಯು $\angle \mathrm{QPR}$ ನ ಕೋನ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೇಂದ್ರವು ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾ, ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದು, ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಮಗೆ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಯುಳ್ಳ ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳು $\mathrm{C_1}$ ಮತ್ತು $\mathrm{C_2}$ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ $\mathrm{C_1}$ ಯ ಜ್ಯಾ $\mathrm{AB}$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತ $\mathrm{C_2}$ ಅನ್ನು $\mathrm{P}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 10.8 ನೋಡಿ). $\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.8

ನಾವು OP ಯನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ. ಆಗ, $A B$ ಯು $C_{2}$ ಗೆ $P$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $\mathrm{OP}$ ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರಿಂದ,

$$ \mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} $$

ಈಗ $\mathrm{AB}$ ಯು ವೃತ್ತ $\mathrm{C}_{1}$ ಯ ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{OP}$ ಯು ಜ್ಯಾ $A B$ ಯ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಸಮದ್ವಿಖಂಡಿಸುತ್ತದೆ,

ಅಂದರೆ, $$ \mathrm{AP}=\mathrm{BP} $$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು $\mathrm{T}$ ನಿಂದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $\mathrm{TP}$ ಮತ್ತು $\mathrm{TQ}$ ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ. $\angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ}$ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಮಗೆ ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತ, ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು $\mathrm{T}$ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $\mathrm{TP}$ ಮತ್ತು $\mathrm{TQ}$ ಗಳು ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ಗಳು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 10.9 ನೋಡಿ). ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ಚಿತ್ರ 10.9

$$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

ಈಗ $$ \angle \mathrm{PTQ}=\theta $$

ಈಗ, ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ರಿಂದ, TP = TQ. ಆದ್ದರಿಂದ, TPQ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \angle \mathrm{TPQ}=\angle \mathrm{TQP}=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\theta\right)=90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta $$

ಹಾಗೆಯೇ, ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರಿಂದ, $$ \angle \mathrm{OPT}=90^{\circ} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \begin{aligned} \angle \mathrm{OPQ}=\angle \mathrm{OPT}-\angle \mathrm{TPQ} & =90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\dfrac{1}{2} \theta\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \theta=\dfrac{1}{2} \angle \mathrm{PTQ} \end{aligned} $$

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ $$ \angle \mathrm{PTQ}=2 \angle \mathrm{OPQ} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 : PQ ಯು ತ್ರಿಜ್ಯ $5 \mathrm{~cm}$ ಯುಳ್ಳ ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಜ್ಯಾ, ಅದರ ಉದ್ದ $8 \mathrm{~cm}$. $\mathrm{P}$ ಮತ್ತು $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು $T$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 10.10 ನೋಡಿ). TP ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : OT ಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಅದು PQ ಯನ್ನು $\mathrm{R}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಆಗ $\triangle$ TPQ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು TO ಯು $\angle \mathrm{PTQ}$ ನ ಕೋನ ಸಮದ್ವಿಖಂಡಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ}$ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, OT ಯು $\mathrm{PQ}$ ಅನ್ನು ಸಮದ್ವಿಖಂಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು $\mathrm{PR}=\mathrm{RQ}=4 \mathrm{~cm}$ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 10.10

ಹಾಗೆಯೇ, $\mathrm{OR}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} \mathrm{~cm}=3 \mathrm{~cm}$.

ಈಗ, $\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{RPO}=90^{\circ}=\angle \mathrm{TPR}+\angle \mathrm{PTR} \quad$ (ಏಕೆ?)

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \angle \mathrm{RPO}=\angle \mathrm{PTR}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ TRP ಯು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನ PRO ಗೆ AA ಸಾಮ್ಯತೆಯಿಂದ ಸಮರೂಪಿಯಾಗಿದೆ.

ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ

$ \dfrac{\mathrm{TP}}{\mathrm{PO}}=\dfrac{\mathrm{RP}}{\mathrm{RO}} \text {, i.e., } \dfrac{\mathrm{TP}}{5}=\dfrac{4}{3} \text { or } \mathrm{TP}=\dfrac{20}{3} \mathrm{~cm} \text {. } $

ಗಮನಿಸಿ : TP ಯನ್ನು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಈಗ $$ \begin{array}{rlrl} \mathrm{TP} & =x \text { and } \mathrm{TR}=y . \quad \text { Then } \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2} & =y^{2}+16 & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{PRT}) \tag{1} \end{array} $$

$$ \begin{array}{rlrl} x^{2}+5^{2} & =(y+3)^{2} & & \quad(\text { Taking right } \Delta \mathrm{OPT}) \tag{2} \end{array} $$

(1) ನಿಂದ (2) ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, $$ \begin{aligned} 25 & =6 y-7 \text { or } y=\dfrac{32}{6}=\dfrac{16}{3} \\ x^{2} & =\left(\dfrac{16}{3}\right)^{2}+16=\dfrac{16}{9}(16+9)=\dfrac{16 \times 25}{9} \quad \quad \quad \text{[From (1)]}\\ x & =\dfrac{20}{3} \end{aligned} $$

10.4 ಸಾರಾಂಶ

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ:

1. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅರ್ಥ.

2. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.