5.1 تعارف

آپ نے ضرور مشاہدہ کیا ہوگا کہ فطرت میں بہت سی چیزیں ایک خاص نمونے کی پیروی کرتی ہیں، جیسے سورج مکھی کے پنکھڑے، شہد کی مکھی کے چھتے کے سوراخ، مکئی کے بھٹے پر دانے، انناس اور صنوبر کے مخروط پر پیچدار لکیریں وغیرہ۔

اب ہم کچھ ایسے نمونوں کی تلاش کرتے ہیں جو ہماری روزمرہ کی زندگی میں پائے جاتے ہیں۔ ایسی کچھ مثالیں یہ ہیں:

(i) رینا نے ایک نوکری کے لیے درخواست دی اور منتخب ہو گئی۔ اسے شروع میں ماہانہ ₹ 8000 کی تنخواہ کے ساتھ نوکری کی پیشکش ہوئی ہے، جس میں اس کی تنخواہ میں سالانہ ₹ 500 کا اضافہ ہوگا۔ پہلے، دوسرے، تیسرے، … سالوں کے لیے اس کی تنخواہ (₹ میں) بالترتیب ہوگی:

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) سیڑھی کے ڈنڈوں کی لمبائی نیچے سے اوپر تک یکساں طور پر $2 cm$ کم ہوتی جاتی ہے (دیکھیں شکل 5.1)۔ سب سے نیچے والے ڈنڈے کی لمبائی $45 cm$ ہے۔ نیچے سے اوپر کی طرف پہلے، دوسرے، تیسرے، …, آٹھویں ڈنڈے کی لمبائیاں ($cm$ میں) بالترتیب ہیں:

$45,43,41,39,37,35,33,31$

شکل 5.1

(iii) ایک بچت اسکیم میں، رقم ہر 3 سال بعد خود کی $\dfrac{5}{4}$ گنا ہو جاتی ہے۔ ₹ 8000 کی سرمایہ کاری کے 3, 6, 9 اور 12 سال بعد maturity amount (₹ میں) بالترتیب ہوں گے:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ اکائیوں والی ضلع کی طرف والے مربعات میں unit squares کی تعداد (دیکھیں شکل 5.2) بالترتیب ہیں:

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

شکل 5.2

(v) شکیلہ نے اپنی بیٹی کے پیسے کے ڈبے میں اس کی پہلی سالگرہ پر ₹ 100 ڈالے اور ہر سال ₹ 50 کا اضافہ کرتی گئی۔ پہلی، دوسری، تیسری، چوتھی، … سالگرہ پر ڈبے میں رقم (₹ میں) بالترتیب تھی:

100, 150, 200, 250, .., بالترتیب۔

(vi) خرگوشوں کا ایک جوڑا اپنے پہلے مہینے میں بچے پیدا کرنے کے لیے بہت چھوٹا ہوتا ہے۔ دوسرے، اور ہر اگلے مہینے میں، وہ ایک نیا جوڑا پیدا کرتے ہیں۔ خرگوشوں کا ہر نیا جوڑا اپنے دوسرے مہینے اور ہر اگلے مہینے میں ایک نیا جوڑا پیدا کرتا ہے (دیکھیں شکل 5.3)۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ کوئی خرگوش نہیں مرتا، پہلے، دوسرے، تیسرے، …, چھٹے مہینے کے شروع میں خرگوشوں کے جوڑوں کی تعداد بالترتیب ہیں:

$ 1,1,2,3,5,8 $

شکل 5.3

اوپر دی گئی مثالوں میں، ہم کچھ نمونے مشاہدہ کرتے ہیں۔ کچھ میں، ہم پاتے ہیں کہ اگلے اجزاء ایک fixed number کو جوڑ کر حاصل ہوتے ہیں، دوسروں میں fixed number سے ضرب دے کر، اور ایک اور میں ہم پاتے ہیں کہ وہ لگاتار اعداد کے مربع ہیں، وغیرہ۔

اس باب میں، ہم ان نمونوں میں سے ایک پر بحث کریں گے جس میں اگلے اجزاء پچھلے اجزاء میں ایک fixed number کو جوڑ کر حاصل ہوتے ہیں۔ ہم یہ بھی دیکھیں گے کہ ان کے $n$ویں اجزاء اور $n$ لگاتار اجزاء کا مجموعہ کیسے نکالا جاتا ہے، اور اس علم کو کچھ روزمرہ کی زندگی کے مسائل کو حل کرنے میں استعمال کریں گے۔

5.2 Arithmetic Progressions (حسابی سلسلے)

اعداد کی درج ذیل فہرستوں پر غور کریں:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

فہرست میں ہر عدد کو ایک جزو (term) کہتے ہیں۔

ایک جزو دیے جانے پر، کیا آپ اوپر دی گئی ہر فہرست میں اگلا جزو لکھ سکتے ہیں؟ اگر ہاں، تو آپ اسے کیسے لکھیں گے؟ شاید کسی نمونے یا rule کی پیروی کر کے۔ آئیے مشاہدہ کریں اور rule لکھیں۔

(i) میں، ہر جزو اپنے پچھلے جزو سے 1 زیادہ ہے۔

(ii) میں، ہر جزو اپنے پچھلے جزو سے 30 کم ہے۔

(iii) میں، ہر جزو اپنے پچھلے جزو میں 1 جوڑ کر حاصل ہوتا ہے۔

(iv) میں، فہرست کے تمام اجزاء 3 ہیں، یعنی ہر جزو اپنے پچھلے جزو میں 0 جوڑ کر (یا منہا کر کے) حاصل ہوتا ہے۔

(v) میں، ہر جزو اپنے پچھلے جزو میں -0.5 جوڑ کر (یعنی 0.5 منہا کر کے) حاصل ہوتا ہے۔

اوپر دی گئی تمام فہرستوں میں، ہم دیکھتے ہیں کہ اگلے اجزاء ایک fixed number کو پچھلے اجزاء میں جوڑ کر حاصل ہوتے ہیں۔ اعداد کی ایسی فہرست کو Arithmetic Progression (AP) (حسابی سلسلہ) بنانا کہتے ہیں۔

لہذا، ایک arithmetic progression اعداد کی ایک فہرست ہے جس میں ہر جزو (پہلے جزو کے علاوہ) ایک fixed number کو پچھلے جزو میں جوڑ کر حاصل ہوتا ہے۔

اس fixed number کو AP کا common difference (مشترکہ فرق) کہتے ہیں۔ یاد رکھیں کہ یہ positive، negative یا zero ہو سکتا ہے۔

آئیے AP کے پہلے جزو کو $a_1$ سے، دوسرے جزو کو $a_2, \ldots, n$ سے، nویں جزو کو $a_n$ سے اور common difference کو $d$ سے ظاہر کریں۔ پھر AP $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ بن جاتا ہے۔

لہذا، $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$۔

AP کی کچھ مزید مثالیں ہیں:

(a) صبح کی اسمبلی میں قطار میں کھڑے ایک اسکول کے کچھ طلباء کی اونچائیاں ($cm$ میں) ہیں: $147,148,149, \ldots, 157$۔

(b) جنوری کے مہینے میں ایک شہر میں ایک ہفتے کے لیے ریکارڈ کی گئی کم از کم درجہ حرارت (ڈگری سیلسیس میں) چڑھتے ترتیب میں یہ ہیں:

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) ہر مہینے ₹ 1000 کے کل قرضے میں سے $5 %$ ادا کرنے کے بعد بقیہ رقم (₹ میں) ہے: $950,900,850,800, \ldots, 50$۔

(d) ایک اسکول کی طرف سے I سے XII جماعتوں کے toppers کو دیے جانے والے نقد انعامات (₹ میں) بالترتیب ہیں: 200, 250, 300, 350, …, 750۔

(e) 10 مہینوں کے لیے ہر مہینے کے بعد کل بچت (₹ میں) جب ہر مہینے ₹ 50 بچائے جاتے ہیں، یہ ہیں: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500۔

یہ آپ کے لیے ایک مشق کے طور پر چھوڑا گیا ہے کہ آپ وضاحت کریں کہ اوپر دی گئی ہر فہرست AP کیوں ہے۔

آپ دیکھ سکتے ہیں کہ

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

ایک arithmetic progression کو ظاہر کرتا ہے جہاں $a$ پہلا جزو ہے اور $d$ common difference ہے۔ اسے AP کی general form کہتے ہیں۔

نوٹ کریں کہ اوپر دی گئی مثالوں (a) سے (e) میں، صرف finite تعداد میں اجزاء ہیں۔ ایسے AP کو finite AP کہتے ہیں۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ ان میں سے ہر Arithmetic Progression (AP) کا آخری جزو ہوتا ہے۔ اس سیکشن میں مثالوں (i) سے (v) میں APs، finite APs نہیں ہیں اور اس لیے انہیں infinite Arithmetic Progressions کہتے ہیں۔ ایسے APs کا آخری جزو نہیں ہوتا۔

اب، ایک AP کے بارے میں جاننے کے لیے، آپ کو کم از کم کتنی معلومات درکار ہیں؟ کیا صرف پہلا جزو جاننا کافی ہے؟ یا، کیا صرف common difference جاننا کافی ہے؟ آپ پائیں گے کہ آپ کو دونوں جاننے کی ضرورت ہوگی — پہلا جزو $a$ اور common difference $d$۔

مثال کے طور پر اگر پہلا جزو $a$ 6 ہے اور common difference $d$ 3 ہے، تو AP ہے:

$ 6,9,12,15, \ldots $

اور اگر $a$ 6 ہے اور $d$ -3 ہے، تو AP ہے:

$ 6,3,0,-3, \ldots $

اسی طرح، جب

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ تو AP ہے }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ تو AP ہے }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ تو AP ہے } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ تو AP ہے } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

لہذا، اگر آپ جانتے ہیں کہ $a$ اور $d$ کیا ہیں، تو آپ AP کی فہرست بنا سکتے ہیں۔ دوسرا طریقہ کیا ہے؟ یعنی، اگر آپ کو اعداد کی ایک فہرست دی جائے تو کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ یہ AP ہے اور پھر $a$ اور $d$ تلاش کریں؟ چونکہ $a$ پہلا جزو ہے، اسے آسانی سے لکھا جا سکتا ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ AP میں، ہر اگلا جزو پچھلے جزو میں $d$ کو جوڑ کر حاصل ہوتا ہے۔ لہذا، $d$ کسی بھی جزو کو اس کے اگلے جزو سے منہا کر کے پایا جاتا ہے، یعنی، جو جزو فوراً اس کے بعد آتا ہے، AP کے لیے وہی ہونا چاہیے۔

مثال کے طور پر، اعداد کی فہرست کے لیے:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{ہمارے پاس}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

یہاں ہر صورت میں دو لگاتار اجزاء کا فرق 3 ہے۔ لہذا، دی گئی فہرست ایک AP ہے جس کا پہلا جزو $a$ 6 ہے اور common difference $d$ 3 ہے۔

اعداد کی فہرست کے لیے: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

اسی طرح یہ بھی ایک AP ہے جس کا پہلا جزو 6 ہے اور common difference -3 ہے۔

عام طور پر، ایک $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ کے لیے، ہمارے پاس ہے:

$ d=a _{k+1}-a_k $

جہاں $a _{k+1}$ اور $a_k$ بالترتیب $(k+1)$ویں اور $k$ویں اجزاء ہیں۔

$d$ کو دیے گئے AP میں حاصل کرنے کے لیے، ہمیں $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ میں سے سب تلاش کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ان میں سے صرف ایک کو تلاش کرنا کافی ہے۔

اعداد کی فہرست 1,1, 2, 3, 5, … پر غور کریں۔ اسے دیکھ کر، آپ بتا سکتے ہیں کہ کسی بھی دو لگاتار اجزاء کا فرق یکساں نہیں ہے۔ لہذا، یہ AP نہیں ہے۔

نوٹ کریں کہ AP: $6,3,0,-3, \ldots$ میں $d$ تلاش کرنے کے لیے، ہم نے 6 میں سے 3 کو نہیں بلکہ 3 میں سے 6 کو منہا کیا ہے، یعنی، ہمیں $k$ویں جزو کو $(k+1)$ویں جزو سے منہا کرنا چاہیے چاہے $(k+1)$ویں جزو چھوٹا ہی کیوں نہ ہو۔

آئیے کچھ مثالوں کے ذریعے concept کو مزید واضح کرتے ہیں۔

مثال 1: AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ کے لیے، پہلا جزو $a$ اور common difference $d$ لکھیں۔

حل: یہاں، $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$۔

یاد رکھیں کہ ہم $d$ کو کوئی بھی دو لگاتار اجزاء استعمال کر کے تلاش کر سکتے ہیں، ایک بار جب ہم جانتے ہیں کہ اعداد AP میں ہیں۔

مثال 2: درج ذیل میں سے اعداد کی کون سی فہرست AP بناتی ہے؟ اگر وہ AP بناتی ہے، تو اگلے دو اجزاء لکھیں:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

حل: (i) ہمارے پاس $a_2-a_1=10-4=6$ ہے

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

یعنی، $\quad a _{k+1}-a_k$ ہر بار وہی ہے۔

لہذا، اعداد کی دی گئی فہرست common difference $d=6$ کے ساتھ ایک AP بناتی ہے۔

اگلے دو اجزاء ہیں: $22+6=28$ اور $28+6=34$۔

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

یعنی، $a _{k+1}-a_k$ ہر بار وہی ہے۔

لہذا، اعداد کی دی گئی فہرست common difference $d=-2$ کے ساتھ ایک AP بناتی ہے۔

اگلے دو اجزاء ہیں:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ اور } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

چونکہ $a_2-a_1 \neq a_3-a_2$، اعداد کی دی گئی فہرست AP نہیں بناتی۔

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

یہاں، $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$۔

لہذا، اعداد کی دی گئی فہرست AP نہیں بناتی۔

5.3 AP کا nواں جزو

آئیے دوبارہ وہ صورت حال پر غور کریں جو سیکشن 5.1 میں دی گئی تھی جس میں رینا نے نوکری کے لیے درخواست دی اور منتخب ہو گئی۔ اسے شروع میں ماہانہ ₹ 8000 کی تنخواہ کے ساتھ نوکری کی پیشکش ہوئی ہے، جس میں سالانہ ₹ 500 کا اضافہ ہوگا۔ پانچویں سال کے لیے اس کی ماہانہ تنخواہ کیا ہوگی؟

اس کا جواب دینے کے لیے، آئیے پہلے دیکھیں کہ دوسرے سال کے لیے اس کی ماہانہ تنخواہ کیا ہوگی۔

یہ ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ ہوگی۔ اسی طرح، ہم تیسرے، چوتھے اور پانچویں سال کے لیے ماہانہ تنخواہ پچھلے سال کی تنخواہ میں ₹ 500 جوڑ کر تلاش کر سکتے ہیں۔ لہذا، تیسرے سال کے لیے تنخواہ $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(تیسرے سال کے لیے)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

چوتھے سال کے لیے تنخواہ $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (چوتھے سال کے لیے)

$=\text{ ₹ } 9500$

پانچویں سال کے لیے تنخواہ $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (پانچویں سال کے لیے) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

مشاہدہ کریں کہ ہمیں اعداد کی ایک فہرست مل رہی ہے:

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

یہ اعداد AP میں ہیں۔ (کیوں؟)

اب، اوپر بنائے گئے نمونے کو دیکھتے ہوئے، کیا آپ چھٹے سال کے لیے اس کی ماہانہ تنخواہ تلاش کر سکتے ہیں؟ 15ویں سال کے لیے؟ اور، یہ فرض کرتے ہوئے کہ وہ اب بھی نوکری میں کام کر رہی ہوگی، 25ویں سال کے لیے ماہانہ تنخواہ کے بارے میں کیا خیال ہے؟ آپ اس کا حساب پچھلے سال کی تنخواہ میں ہر بار ₹ 500 جوڑ کر جواب دیں گے۔ کیا ہم اس عمل کو مختصر کر سکتے ہیں؟ آئیے دیکھتے ہیں۔ آپ کو پہلے ہی اوپر تنخواہیں حاصل کرنے کے طریقے سے کچھ idea مل گیا ہوگا۔

15ویں سال کے لیے تنخواہ

$ \begin{aligned} & =\text{ 14ویں سال کے لیے تنخواہ }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ بار }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

یعنی، پہلی تنخواہ $+(15-1) \times$ سالانہ اضافہ۔

اسی طرح، 25ویں سال کے لیے اس کی ماہانہ تنخواہ ہوگی:

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ پہلی تنخواہ }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ سالانہ اضافہ } \end{aligned} $

یہ مثال آپ کو کچھ idea دے چکی ہوگی کہ AP کا 15واں جزو، یا 25واں جزو، اور زیادہ عام طور پر، $n$واں جزو کیسے لکھا جائے۔

فرض کریں $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ایک AP ہے جس کا پہلا جزو $a_1$، $a$ ہے اور common difference $d$ ہے۔

پھر،

دوسرا جزو $a_2=a+d=a+(2-1) d$

تیسرا جزو $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

چوتھا جزو $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

نمونے کو دیکھتے ہوئے، ہم کہہ سکتے ہیں کہ $\boldsymbol{{}n}$واں جزو $a_n=a+(n-1) d$۔

لہذا، $n$واں جزو $a_n$، پہلے جزو $a$ اور common difference $d$ والے AP کے لیے، $a_n=a+(n-1) d$ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔

$\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$ کو AP کا general term بھی کہتے ہیں۔ اگر AP میں $m$ اجزاء ہیں، تو $a_m$ آخری جزو کو ظاہر کرتا ہے جسے کبھی کبھی $l$ سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔

آئیے کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 3: AP: 2, 7, 12, . . کا 10واں جزو تلاش کریں۔

حل: یہاں، $a=2, \quad d=7-2=5$ اور $n=10$۔

$ \text {ہمارے پاس} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {لہذا،}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

لہذا، دیے گئے AP کا 10واں جزو 47 ہے۔

مثال 4: AP: $21,18,15, \ldots$ کا کون سا جزو -81 ہے؟ نیز، کیا کوئی جزو 0 ہے؟ اپنے جواب کی وجہ دیں۔

حل: یہاں، $a=21, d=18-21=-3$ اور $a_n=-81$، اور ہمیں $n$ تلاش کرنا ہے۔

$ \text{چونکہ} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{ہمارے پاس}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{لہذا،}\quad n=35 $

لہذا، دیے گئے AP کا 35واں جزو -81 ہے۔

اگلا، ہم جاننا چاہتے ہیں کہ کیا کوئی $n$ ہے جس کے لیے $a_n=0$۔ اگر ایسا $n$ ہے، تو

$ \begin{aligned} &21+(n-1)(-3) =0, \\ \text{یعنی،} \quad \quad &3(n-1) =21 \\ \text{یعنی،} \quad \quad &n =8 \end{aligned} $

لہذا، آٹھواں جزو 0 ہے۔

مثال 5: وہ AP معلوم کریں جس کا تیسرا جزو 5 ہے اور ساتواں جزو 9 ہے۔

حل: ہمارے پاس ہے:

$$ \begin{align*} & a_3=a+(3-1) d=a+2 d=5 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad a_7=a+(7-1) d=a+6 d=9 \tag{2} \end{align*} $$

linear equations کے جوڑے (1) اور (2) کو حل کرنے پر، ہمیں ملتا ہے:

$ a=3, \quad d=1 $

لہذا، مطلوبہ AP ہے: $3,4,5,6,7, \ldots$

مثال 6: چیک کریں کہ آیا 301 اعداد کی فہرست 5, 11, 17, 23, . . کا جزو ہے۔

حل: ہمارے پاس:

$ a_2-a_1=11-5=6, \quad a_3-a_2=17-11=6, \quad a_4-a_3=23-17=6 $

چونکہ $a _{k+1}-a_k$ $k=1,2$, 3, وغیرہ کے لیے وہی ہے، دی گئی اعداد کی فہرست ایک AP ہے۔

اب، $\quad a=5$ اور $\quad d=6$۔

فرض کریں 301 ایک جزو ہے، فرض کریں، اس AP کا $n$واں جزو۔

ہم جانتے ہیں کہ

$ \begin{aligned} & a_n =a+(n-1) d \\ \text{لہذا،} \quad \quad& 301 =5+(n-1) \times 6 \\ \text{یعنی،} \quad \quad& 301 =6 n-1 \\ \text{لہذا،} \quad \quad & n =\dfrac{302}{6}=\dfrac{151}{3} \end{aligned} $

لیکن $n$ ایک positive integer ہونا چاہیے (کیوں؟)۔ لہذا، 301 دی گئی اعداد کی فہرست کا جزو نہیں ہے۔

مثال 7: 3 سے تقسیم ہونے والے دو ہندسوں والے کتنے اعداد ہیں؟

حل: 3 سے تقسیم ہونے والے دو ہندسوں والے اعداد کی فہرست ہے:

$ 12,15,18, \ldots, 99 $

کیا یہ ایک AP ہے؟ ہاں ہے۔ یہاں، $a=12, d=3, a_n=99$۔

$ \text{چونکہ}\quad a_n=a+(n-1) d, $

$ \text{ہمارے پاس}\quad 99=12+(n-1) \times 3 $

$ \text{یعنی،}\quad 87=(n-1) \times 3 $

$ \begin{aligned} \text{یعنی،}\quad n-1 & =\dfrac{87}{3}=29 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{یعنی،}\quad n & =29+1=30 \end{aligned} $

لہذا، 3 سے تقسیم ہونے والے 30 دو ہندسوں والے اعداد ہیں۔

مثال 8: AP: $10,7,4, \ldots,-62$ کے آخری جزو (پہلے جزو کی طرف) سے 11واں جزو تلاش کریں۔

حل: یہاں، $a=10, d=7-10=-3, l=-62$,

$ \text{جہاں}\quad l=a+(n-1) d $

آخری جزو سے 11واں جزو تلاش کرنے کے لیے، ہم AP میں کل اجزاء کی تعداد تلاش کریں گے۔

$ \begin{aligned} \text{لہذا،} \quad \quad & -62 =10+(n-1)(-3) \\ \text{یعنی،} \quad \quad & -72 =(n-1)(-3) \\ \text{یعنی،} \quad \quad & n-1 =24 \\ \text{یا} \quad \quad & n =25 \end{aligned} $

لہذا، دیے گئے AP میں 25 اجزاء ہیں۔

آخری جزو سے 11واں جزو 15واں جزو ہوگا۔ (نوٹ کریں کہ یہ 14واں جزو نہیں ہوگا۔ کیوں؟)

$ \text{لہذا،}\quad a _{15}=10+(15-1)(-3)=10-42=-32 $

یعنی، آخری جزو سے 11واں جزو -32 ہے۔

متبادل حل:

اگر ہم دیے گئے AP کو reverse order میں لکھیں، تو $a=-62$ اور $d=3$ (کیوں؟)

لہذا، اب سوال یہ بن جاتا ہے کہ ان $a$ اور $d$ کے ساتھ 11واں جزو تلاش کریں۔

$ \text{لہذا،}\quad a _{11}=-62+(11-1) \times 3=-62+30=-32 $

لہذا، 11واں جزو، جو اب مطلوبہ جزو ہے، -32 ہے۔

مثال 9: ₹ 1000 کی رقم $8 %$ سادہ سود فی سال کی شرح پر سرمایہ کاری کی جاتی ہے۔ ہر سال کے آخر میں سود کا حساب لگائیں۔ کیا یہ سود AP بناتے ہیں؟ اگر ہاں، تو اس fact کا استعمال کرتے ہوئے 30 سال کے آخر میں سود تلاش کریں۔

حل: ہم جانتے ہیں کہ سادہ سود کا حساب لگانے کا formula یہ ہے:

$ \text{ سادہ سود }=\dfrac{P \times R \times T}{100} $

لہذا، پہلے سال کے آخر میں سود $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 1}{100}=\text{ ₹ } 80$

دوسرے سال کے آخر میں سود $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 2}{100}=\text{ ₹ } 160$

تیسرے سال کے آخر میں سود $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 3}{100}=\text{ ₹ } 240$

اسی طرح، ہم چوتھے سال، پانچویں سال، وغیرہ کے آخر میں سود حاصل کر سکتے ہیں۔

لہذا، پہلے، دوسرے، تیسرے، . . . سالوں کے آخر میں سود (₹ میں) بالترتیب ہیں: $80,160,240, \ldots$

یہ ایک $AP$ ہے کیونکہ فہرست میں لگاتار اجزاء کا فرق 80 ہے، یعنی، $d=80$۔ نیز، $a=80$۔

لہذا، 30 سال کے آخر میں سود تلاش کرنے کے لیے، ہم $a _{30}$ تلاش کریں گے۔

$ \text{اب،}\quad a _{30}=a+(30-1) d=80+29 \times 80=2400 $

لہذا، 30 سال کے آخر میں سود ₹ 2400 ہوگا۔

مثال 10: ایک پھولوں کی کیاری میں، پہلی قطار میں 23 گلاب کے پودے ہیں، دوسری میں 21، تیسری میں 19، اور اسی طرح۔ آخری قطار میں 5 گلاب کے پودے ہیں۔ پھولوں کی کیاری میں کتنی قطاریں ہیں؟

حل: پہلی، دوسری، تیسری، . . . قطاروں میں گلاب کے پودوں کی تعداد ہے:

$ 23,21,19, \ldots, 5 $

یہ ایک AP بناتا ہے (کیوں؟)۔ فرض کریں پھولوں کی کیاری میں قطاروں کی تعداد $n$ ہے۔

$ \text{پھر}\quad a=23, \quad d=21-23=-2, a_n=5 $

$ \begin{aligned} \text{چونکہ،}\quad a