5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜਮੁਖੀ ਦੇ ਪੰਖੜੀਆਂ, ਮਧੂ-ਘਰ ਦੇ ਛੇਕ, ਮੱਕੀ ਦੇ ਭੁੱਟੇ ਉੱਤੇ ਦਾਣੇ, ਅਨਾਨਾਸ ਅਤੇ ਪਾਈਨ ਕੋਨ ਉੱਤੇ ਸਪਾਇਰਲ, ਆਦਿ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਅਜਿਹੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜ਼ਿੰਦਗੀ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। ਕੁਝ ਅਜਿਹੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ:

(i) ਰੀਨਾ ਨੇ ਇੱਕ ਨੌਕਰੀ ਲਈ ਅਰਜ਼ੀ ਦਿੱਤੀ ਅਤੇ ਚੁਣੀ ਗਈ। ਉਸਨੂੰ ₹ 8000 ਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਨਖਾਹ ਨਾਲ ਨੌਕਰੀ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ ਵਿੱਚ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ ₹ 500 ਦਾ ਹੈ। ਉਸਦੀ ਤਨਖਾਹ (₹ ਵਿੱਚ) ਪਹਿਲੇ, ਦੂਜੇ, ਤੀਜੇ, … ਸਾਲਾਂ ਲਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹੋਵੇਗੀ:

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਦੀਆਂ ਪੌੜੀਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਤੱਕ ਇਕਸਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $2 cm$ ਘੱਟਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.1 ਵੇਖੋ)। ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੀ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $45 cm$ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਪਹਿਲੀ, ਦੂਜੀ, ਤੀਜੀ, …, 8ਵੀਂ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ($cm$ ਵਿੱਚ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹਨ:

$45,43,41,39,37,35,33,31$

ਚਿੱਤਰ 5.1

(iii) ਇੱਕ ਬੱਚਤ ਯੋਜਨਾ ਵਿੱਚ, ਰਕਮ ਹਰ 3 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਆਪਣੇ ਆਪ ਦਾ $\dfrac{5}{4}$ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ₹ 8000 ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਦੀ 3, 6, 9 ਅਤੇ 12 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਪਰਿਪੱਕਤਾ ਰਕਮ (₹ ਵਿੱਚ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹੋਵੇਗੀ:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ ਯੂਨਿਟ ਭੁਜਾ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (ਚਿੱਤਰ 5.2 ਵੇਖੋ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹਨ:

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

ਚਿੱਤਰ 5.2

(v) ਸ਼ਕੀਲਾ ਨੇ ਆਪਣੀ ਧੀ ਦੇ ਪੈਸੇ ਦੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ₹ 100 ਉਦੋਂ ਪਾਏ ਜਦੋਂ ਉਹ ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੀ ਸੀ ਅਤੇ ਹਰ ਸਾਲ ਰਕਮ ਵਿੱਚ ₹ 50 ਦਾ ਵਾਧਾ ਕੀਤਾ। ਪਹਿਲੇ, ਦੂਜੇ, ਤੀਜੇ, ਚੌਥੇ, … ਜਨਮਦਿਨ ‘ਤੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ (₹ ਵਿੱਚ) ਸੀ:

100, 150, 200, 250, .., ਕ੍ਰਮਵਾਰ।

(vi) ਖ਼ਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਆਪਣੇ ਪਹਿਲੇ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ, ਅਤੇ ਹਰ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ, ਉਹ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਜੋੜਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਖ਼ਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦਾ ਹਰ ਨਵਾਂ ਜੋੜਾ ਆਪਣੇ ਦੂਜੇ ਮਹੀਨੇ ਅਤੇ ਹਰ ਅਗਲੇ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਜੋੜਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.3 ਵੇਖੋ)। ਕਿਸੇ ਵੀ ਖ਼ਰਗੋਸ਼ ਦੇ ਨਾ ਮਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੇਠ, ਪਹਿਲੇ, ਦੂਜੇ, ਤੀਜੇ, …, 6ਵੇਂ ਮਹੀਨੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਖ਼ਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹਨ:

$ 1,1,2,3,5,8 $

ਚਿੱਤਰ 5.3

ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਪਦ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕੁਝ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੈਟਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਗਲੇ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ $n$ਵੇਂ ਪਦ ਅਤੇ $n$ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਝ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।

5.2 ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ (Arithmetic Progressions)

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਪਦ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ‘ਤੇ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਹਰੇਕ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਅਗਲਾ ਪਦ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖੋਗੇ? ਸ਼ਾਇਦ ਕਿਸੇ ਪੈਟਰਨ ਜਾਂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਕੇ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਨਿਯਮ ਲਿਖੀਏ।

(i) ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਤੋਂ 1 ਵੱਧ ਹੈ।

(ii) ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਤੋਂ 30 ਘੱਟ ਹੈ।

(iii) ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(iv) ਵਿੱਚ, ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਪਦ 3 ਹਨ, ਯਾਨੀ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ 0 ਜੋੜ ਕੇ (ਜਾਂ ਘਟਾ ਕੇ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(v) ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਆਪਣੇ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ -0.5 ਜੋੜ ਕੇ (ਯਾਨੀ, 0.5 ਘਟਾ ਕੇ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਪਰੋਕਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ (AP) ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੂਚੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ AP ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਧਨਾਤਮਕ, ਰਿਣਾਤਮਕ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ AP ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ $a_1$ ਨਾਲ, ਦੂਜੇ ਪਦ ਨੂੰ $a_2, \ldots, n$ ਨਾਲ, nਵੇਂ ਪਦ ਨੂੰ $a_n$ ਨਾਲ ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ $d$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ AP ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$।

ਇਸ ਲਈ, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$।

AP ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ:

(a) ਸਵੇਰ ਦੀ ਸਭਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਖੜ੍ਹੇ ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਦੇ ਕੁਝ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ($cm$ ਵਿੱਚ) ਹੈ $147,148,149, \ldots, 157$।

(b) ਇੱਕ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਜਨਵਰੀ ਦੇ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਫ਼ਤੇ ਲਈ ਦਰਜ ਕੀਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਤਾਪਮਾਨ (ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ ਵਿੱਚ), ਚੜ੍ਹਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਹਨ:

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) ਹਰ ਮਹੀਨੇ ₹ 1000 ਦੇ ਕੁੱਲ ਕਰਜ਼ੇ ਦਾ $5 %$ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਾਕੀ ਬਚੀ ਰਕਮ (₹ ਵਿੱਚ) ਹੈ $950,900,850,800, \ldots, 50$।

(d) ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਦੁਆਰਾ ਕਲਾਸ I ਤੋਂ XII ਤੱਕ ਦੇ ਟੌਪਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਕਦ ਇਨਾਮ (₹ ਵਿੱਚ) ਕ੍ਰਮਵਾਰ 200, 250, 300, 350, …, 750 ਹਨ।

(e) ਹਰ ਮਹੀਨੇ ₹ 50 ਬਚਾਉਣ ‘ਤੇ 10 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਕੁੱਲ ਬੱਚਤ (₹ ਵਿੱਚ) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500 ਹੈ।

ਇਹ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸੋ ਕਿ ਉਪਰੋਕਤ ਹਰੇਕ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਕਿਉਂ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

ਇੱਕ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ $a$ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ $d$ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ AP ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨਾਂ (a) ਤੋਂ (e) ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ਼ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪਦ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ AP ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ AP ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ (APs) ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨਾਂ (i) ਤੋਂ (v) ਵਿੱਚ APs, ਸੀਮਿਤ APs ਨਹੀਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਨੰਤ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਲੜੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ APs ਦਾ ਕੋਈ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਹੁਣ, ਇੱਕ AP ਬਾਰੇ ਜਾਣਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿਹੜੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਜਾਣਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ? ਜਾਂ, ਕੀ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ ਜਾਣਨਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੋਨੋਂ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ - ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a$ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a$ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$ 3 ਹੈ, ਤਾਂ AP ਹੈ:

$ 6,9,12,15, \ldots $

ਅਤੇ ਜੇਕਰ $a$ 6 ਹੈ ਅਤੇ $d$ -3 ਹੈ, ਤਾਂ AP ਹੈ:

$ 6,3,0,-3, \ldots $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ ਤਾਂ AP ਹੈ }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ ਤਾਂ AP ਹੈ }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ ਤਾਂ AP ਹੈ } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ ਤਾਂ AP ਹੈ } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ $a$ ਅਤੇ $d$ ਕੀ ਹਨ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ AP ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਕੀ? ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ AP ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ $a$ ਅਤੇ $d$ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਕਿਉਂਕਿ $a$ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ AP ਵਿੱਚ, ਹਰ ਅਗਲਾ ਪਦ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ $d$ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $d$ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਦ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅਗਲੇ ਪਦ ਤੋਂ ਘਟਾ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਜੋ ਪਦ ਇਸਦੇ ਤੁਰੰਤ ਬਾਅਦ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ AP ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਲਈ:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

ਇੱਥੇ ਹਰੇਕ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a$ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$ 3 ਹੈ।

ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਲਈ: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਵੀ ਇੱਕ AP ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 6 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ -3 ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:

$ d=a _{k+1}-a_k $

ਜਿੱਥੇ $a _{k+1}$ ਅਤੇ $a_k$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(k+1)$ਵਾਂ ਅਤੇ $k$ਵਾਂ ਪਦ ਹਨ।

$d$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਿਰਫ਼ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੱਭਣਾ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ।

ਸੰਖਿਆਵਾਂ 1,1, 2, 3, 5, … ਦੀ ਸੂਚੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ AP ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ AP: $6,3,0,-3, \ldots$ ਵਿੱਚ $d$ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ 3 ਵਿੱਚੋਂ 6 ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ 6 ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾਇਆ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਭਾਵੇਂ $(k+1)$ਵਾਂ ਪਦ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇ, ਸਾਨੂੰ $(k+1)$ਵੇਂ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ $k$ਵਾਂ ਪਦ ਘਟਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 : AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ ਲਈ, ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a$ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d$ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ: ਇੱਥੇ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$।

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ AP ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ $d$ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 2: ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਇੱਕ AP ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਉਹ AP ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲੇ ਦੋ ਪਦ ਲਿਖੋ:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

ਹੱਲ: (i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

ਯਾਨੀ, $\quad a _{k+1}-a_k$ ਹਰ ਵਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d=6$ ਹੈ।

ਅਗਲੇ ਦੋ ਪਦ ਹਨ: $22+6=28$ ਅਤੇ $28+6=34$।

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

ਯਾਨੀ, $a _{k+1}-a_k$ ਹਰ ਵਾਰ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅੰਤਰ $d=-2$ ਹੈ।

ਅਗਲੇ ਦੋ ਪਦ ਹਨ:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ ਅਤੇ } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

ਕਿਉਂਕਿ $a_2-a_1 \neq a_3-a_2$, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੀ।

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

ਇੱਥੇ, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਇੱਕ AP ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੀ।

5.3 ਇੱਕ AP ਦਾ nਵਾਂ ਪਦ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਉਸ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜੋ ਭਾਗ 5.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੀਨਾ ਨੇ ਇੱਕ ਨੌਕਰੀ ਲਈ ਅਰਜ਼ੀ ਦਿੱਤੀ ਅਤੇ ਚੁਣੀ ਗਈ। ਉਸਨੂੰ ₹ 8000 ਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਨਖਾਹ ਨਾਲ ਨੌਕਰੀ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ₹ 500 ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਧਾ ਹੈ। ਪੰਜਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ ਉਸਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤਨਖਾਹ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ?

ਇਸਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਲਈ ਉਸਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤਨਖਾਹ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ।

ਇਹ ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਵਿੱਚ ₹ 500 ਜੋੜ ਕੇ ਤੀਜੇ, ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਪੰਜਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤਨਖਾਹ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਤੀਜੇ ਸਾਲ ਲਈ ਤਨਖਾਹ $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(ਤੀਜੇ ਸਾਲ ਲਈ)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

ਚੌਥੇ ਸਾਲ ਲਈ ਤਨਖਾਹ $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (ਚੌਥੇ ਸਾਲ ਲਈ)

$=\text{ ₹ } 9500$

ਪੰਜਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ ਤਨਖਾਹ $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (ਪੰਜਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ:

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

ਇਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ AP ਵਿੱਚ ਹਨ। (ਕਿਉਂ?)

ਹੁਣ, ਉਪਰ ਬਣੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਛੇਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ ਉਸਦੀ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤਨਖਾਹ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ? 15ਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ? ਅਤੇ, ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਉਹ ਅਜੇ ਵੀ ਨੌਕਰੀ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੋਵੇਗੀ, 25ਵੇਂ ਸਾਲ ਲਈ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤਨਖਾਹ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਹਰ ਵਾਰ ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੀ ਤਨਖਾਹ ਵਿੱਚ ₹ 500 ਜੋੜ ਕੇ ਕਰੋਗੇ। ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਆਓ ਦੇਖੀਏ। ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਉਪਰੋਕਤ ਤਨਖਾਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਤ