৫.১ ভূমিকা

আপনি অবশ্যই লক্ষ্য করেছেন যে প্রকৃতিতে অনেক কিছুই একটি নির্দিষ্ট নকশা অনুসরণ করে, যেমন সূর্যমুখী ফুলের পাপড়ি, মৌচাকের গর্ত, ভুট্টার শিষের দানা, আনারস এবং পাইন কোণের সর্পিলাকার বিন্যাস ইত্যাদি।

এখন আমরা কিছু নকশা খুঁজব যা আমাদের দৈনন্দিন জীবনে ঘটে। এরকম কিছু উদাহরণ হল:

(i) রীনা একটি চাকরির জন্য আবেদন করেছিল এবং নির্বাচিত হয়েছিল। তাকে মাসিক শুরু বেতন ₹ ৮০০০ সহ একটি চাকরি দেওয়া হয়েছে, যেখানে তার বেতনে বার্ষিক বৃদ্ধি ₹ ৫০০। তার ১ম, ২য়, ৩য়, … বছরের বেতন (₹-তে) হবে যথাক্রমে

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) একটি মইয়ের ধাপগুলির দৈর্ঘ্য নিচ থেকে উপরের দিকে সমভাবে $2 cm$ করে কমছে (চিত্র ৫.১ দেখুন)। নিচের ধাপটির দৈর্ঘ্য $45 cm$। নিচ থেকে উপরের দিকে ১ম, ২য়, ৩য়, …, ৮ম ধাপের দৈর্ঘ্য ($cm$-এ) যথাক্রমে

$45,43,41,39,37,35,33,31$

চিত্র ৫.১

(iii) একটি সঞ্চয় প্রকল্পে, প্রতি ৩ বছর পর পরিমাণটি নিজের $\dfrac{5}{4}$ গুণ হয়ে যায়। ৩, ৬, ৯ এবং ১২ বছর পর ₹ ৮০০০ বিনিয়োগের পরিপক্বতা মূল্য (₹-তে) হবে যথাক্রমে:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রগুলিতে একক বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা (চিত্র ৫.২ দেখুন) যথাক্রমে

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

চিত্র ৫.২

(v) শাকিলা তার মেয়ের টাকার বাক্সে যখন সে এক বছর বয়সী ছিল তখন ₹ ১০০ রাখে এবং প্রতি বছর ₹ ৫০ করে বাড়ায়। ১ম, ২য়, ৩য়, ৪র্থ, … জন্মদিনে বাক্সে টাকার পরিমাণ (₹-তে) ছিল যথাক্রমে

১০০, ১৫০, ২০০, ২৫০, ..।

(vi) এক জোড়া খরগোশ তাদের প্রথম মাসে বাচ্চা দেওয়ার জন্য খুব ছোট। দ্বিতীয় এবং পরবর্তী প্রতিটি মাসে, তারা একটি নতুন জোড়া উৎপাদন করে। প্রতিটি নতুন জোড়া খরগোশ তাদের দ্বিতীয় মাসে এবং পরবর্তী প্রতিটি মাসে একটি নতুন জোড়া উৎপাদন করে (চিত্র ৫.৩ দেখুন)। কোনো খরগোশ মারা না গেলে, ১ম, ২য়, ৩য়, …, ৬ষ্ঠ মাসের শুরুতে খরগোশের জোড়ার সংখ্যা যথাক্রমে:

$ 1,1,2,3,5,8 $

চিত্র ৫.৩

উপরের উদাহরণগুলিতে, আমরা কিছু নকশা লক্ষ্য করি। কিছুতে আমরা দেখি যে পরবর্তী পদগুলি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়, অন্যত্র একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে গুণ করে, আরেকটিতে আমরা দেখি যে তারা পরপর সংখ্যার বর্গ, ইত্যাদি।

এই অধ্যায়ে, আমরা এই নকশাগুলির মধ্যে একটির আলোচনা করব যেখানে পরবর্তী পদগুলি পূর্ববর্তী পদগুলিতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়। আমরা তাদের $n$তম পদ এবং $n$টি পরপর পদের যোগফল কীভাবে বের করতে হয় তাও দেখব এবং এই জ্ঞান ব্যবহার করে কিছু দৈনন্দিন জীবনের সমস্যার সমাধান করব।

৫.২ সমান্তর প্রগতি

নিচের সংখ্যার তালিকাগুলি বিবেচনা করুন:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

তালিকার প্রতিটি সংখ্যাকে একটি পদ বলা হয়।

একটি পদ দেওয়া থাকলে, আপনি কি উপরের প্রতিটি তালিকায় পরবর্তী পদটি লিখতে পারবেন? যদি হ্যাঁ, তবে কীভাবে লিখবেন? সম্ভবত একটি নকশা বা নিয়ম অনুসরণ করে। আসুন লক্ষ্য করি এবং নিয়মটি লিখি।

(i)-তে, প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে ১ বেশি।

(ii)-তে, প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদ থেকে ৩০ কম।

(iii)-তে, প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে ১ যোগ করে পাওয়া যায়।

(iv)-তে, তালিকার সবগুলি পদই ৩, অর্থাৎ প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে ০ যোগ (বা বিয়োগ) করে পাওয়া যায়।

(v)-তে, প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে -০.৫ যোগ করে (অর্থাৎ ০.৫ বিয়োগ করে) পাওয়া যায়।

উপরের সব তালিকায়, আমরা দেখি যে পরপর পদগুলি পূর্ববর্তী পদগুলিতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়। সংখ্যার এমন তালিকাকে একটি সমান্তর প্রগতি (AP) গঠন করেছে বলা হয়।

সুতরাং, একটি সমান্তর প্রগতি হল সংখ্যার একটি তালিকা যেখানে প্রথম পদ ছাড়া প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায়।

এই নির্দিষ্ট সংখ্যাটিকে AP-এর সাধারণ অন্তর বলা হয়। মনে রাখবেন এটি ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা শূন্য হতে পারে।

ধরি, একটি AP-এর প্রথম পদ $a_1$ দ্বারা, দ্বিতীয় পদ $a_2, \ldots, n$ দ্বারা, n-তম পদ $a_n$ দ্বারা এবং সাধারণ অন্তর $d$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে APটি হয়ে যায় $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$।

সুতরাং, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$।

AP-এর আরও কিছু উদাহরণ হল:

(a) একটি স্কুলের কিছু শিক্ষার্থীর সকালের সমাবেশে লাইনে দাঁড়িয়ে থাকার উচ্চতা ($cm$-এ) হল $147,148,149, \ldots, 157$।

(b) একটি শহরে জানুয়ারি মাসে এক সপ্তাহ ধরে রেকর্ড করা ন্যূনতম তাপমাত্রা (ডিগ্রি সেলসিয়াসে) ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) প্রতি মাসে মোট ঋণ ₹ ১০০০-এর $5 %$ পরিশোধ করার পর অবশিষ্ট টাকা (₹-তে) হল $950,900,850,800, \ldots, 50$।

(d) একটি স্কুল কর্তৃক প্রথম থেকে দ্বাদশ শ্রেণী পর্যন্ত প্রথম স্থান অধিকারীদের দেওয়া নগদ পুরস্কার (₹-তে) যথাক্রমে ২০০, ২৫০, ৩০০, ৩৫০, …, ৭৫০।

(e) ১০ মাস ধরে প্রতি মাস পরে মোট সঞ্চয় (₹-তে) যখন প্রতি মাসে ₹ ৫০ সঞ্চয় করা হয়, তা হল ৫০, ১০০, ১৫০, ২০০, ২৫০, ৩০০, ৩৫০, ৪০০, ৪৫০, ৫০০।

উপরের প্রতিটি তালিকা কেন একটি AP তা ব্যাখ্যা করা আপনার জন্য একটি অনুশীলন হিসাবে রইল।

আপনি দেখতে পারেন যে

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

একটি সমান্তর প্রগতিকে নির্দেশ করে যেখানে $a$ হল প্রথম পদ এবং $d$ হল সাধারণ অন্তর। এটিকে একটি AP-এর সাধারণ রূপ বলা হয়।

উল্লেখ্য যে উপরের উদাহরণ (a) থেকে (e)-তে, শুধুমাত্র সসীম সংখ্যক পদ আছে। এমন AP-কে সসীম AP বলা হয়। আরও লক্ষ্য করুন যে এই প্রতিটি সমান্তর প্রগতির (AP-এর) একটি শেষ পদ আছে। এই বিভাগের উদাহরণ (i) থেকে (v)-এর AP-গুলি সসীম AP নয় এবং তাই এদের অসীম সমান্তর প্রগতি বলা হয়। এমন AP-দের একটি শেষ পদ থাকে না।

এখন, একটি AP সম্পর্কে জানতে, আপনার ন্যূনতম কী তথ্য প্রয়োজন? শুধু প্রথম পদ জানাই কি যথেষ্ট? অথবা, শুধু সাধারণ অন্তর জানাই কি যথেষ্ট? আপনি দেখবেন যে আপনার উভয়ই জানা প্রয়োজন - প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রথম পদ $a$ হয় ৬ এবং সাধারণ অন্তর $d$ হয় ৩, তবে APটি হল

$ 6,9,12,15, \ldots $

এবং যদি $a$ হয় ৬ এবং $d$ হয় -৩, তবে APটি হল

$ 6,3,0,-3, \ldots $

একইভাবে, যখন

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ APটি হল }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ APটি হল }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ APটি হল } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ APটি হল } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

সুতরাং, আপনি যদি জানেন $a$ এবং $d$ কী, আপনি AP-টি তালিকাভুক্ত করতে পারেন। বিপরীত দিকটি কী? অর্থাৎ, যদি আপনাকে সংখ্যার একটি তালিকা দেওয়া হয়, আপনি কি বলতে পারবেন যে এটি একটি AP এবং তারপর $a$ এবং $d$ বের করবেন? যেহেতু $a$ হল প্রথম পদ, এটি সহজেই লেখা যায়। আমরা জানি যে একটি AP-তে, প্রতিটি পরবর্তী পদ পূর্ববর্তী পদে $d$ যোগ করে পাওয়া যায়। সুতরাং, $d$ পাওয়া যায় যেকোনো পদ থেকে তার পরবর্তী পদ, অর্থাৎ, যে পদটি অবিলম্বে তার পরে আসে, তা বিয়োগ করে; একটি AP-এর জন্য এটি একই হওয়া উচিত।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যার তালিকার জন্য:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{আমাদের আছে}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

এখানে প্রতিটি ক্ষেত্রে যেকোনো দুটি পরপর পদের পার্থক্য ৩। সুতরাং, প্রদত্ত তালিকাটি একটি AP যার প্রথম পদ $a$ হল ৬ এবং সাধারণ অন্তর $d$ হল ৩।

সংখ্যার তালিকার জন্য: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

একইভাবে এটিও একটি AP যার প্রথম পদ হল ৬ এবং সাধারণ অন্তর হল -৩।

সাধারণভাবে, একটি $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$-এর জন্য, আমাদের আছে

$ d=a _{k+1}-a_k $

যেখানে $a _{k+1}$ এবং $a_k$ হল যথাক্রমে $(k+1)$-তম এবং $k$-তম পদ।

$d$ পেতে একটি প্রদত্ত AP-তে, আমাদের সব $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ খুঁজে বের করার প্রয়োজন নেই। শুধুমাত্র তাদের মধ্যে একটি খুঁজে বের করাই যথেষ্ট।

সংখ্যার তালিকা ১,১, ২, ৩, ৫, … বিবেচনা করুন। এটি দেখে আপনি বলতে পারেন যে যেকোনো দুটি পরপর পদের পার্থক্য একই নয়। সুতরাং, এটি একটি AP নয়।

উল্লেখ্য যে AP: $6,3,0,-3, \ldots$-এ $d$ বের করতে, আমরা ৬ থেকে ৩ বিয়োগ করেছি, ৩ থেকে ৬ নয়, অর্থাৎ, $k$-তম পদ থেকে $(k+1)$-তম পদ বিয়োগ করা উচিত, এমনকি যদি $(k+1)$-তম পদ ছোট হয়।

আসুন কিছু উদাহরণের মাধ্যমে ধারণাটি আরও স্পষ্ট করি।

উদাহরণ ১: AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$-এর জন্য, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ লিখুন।

সমাধান: এখানে, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$।

মনে রাখবেন যে আমরা যেকোনো দুটি পরপর পদ ব্যবহার করে $d$ বের করতে পারি, একবার আমরা জানি যে সংখ্যাগুলি AP-তে আছে।

উদাহরণ ২: নিচের সংখ্যার তালিকাগুলির মধ্যে কোনটি একটি AP গঠন করে? যদি তারা AP গঠন করে, তবে পরবর্তী দুটি পদ লিখুন:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

সমাধান: (i) আমাদের আছে $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

অর্থাৎ, $\quad a _{k+1}-a_k$ প্রতিবার একই।

সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যার তালিকাটি একটি AP গঠন করে যার সাধারণ অন্তর $d=6$।

পরবর্তী দুটি পদ হল: $22+6=28$ এবং $28+6=34$।

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

অর্থাৎ, $a _{k+1}-a_k$ প্রতিবার একই।

সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যার তালিকাটি একটি AP গঠন করে যার সাধারণ অন্তর $d=-2$।

পরবর্তী দুটি পদ হল:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ এবং } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

যেহেতু $a_2-a_1 \neq a_3-a_2$, প্রদত্ত সংখ্যার তালিকাটি একটি AP গঠন করে না।

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

এখানে, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$।

সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যার তালিকাটি একটি AP গঠন করে না।

৫.৩ একটি AP-এর n-তম পদ

আসুন আবার ৫.১ বিভাগে দেওয়া পরিস্থিতিটি বিবেচনা করি যেখানে রীনা একটি চাকরির জন্য আবেদন করেছিল এবং নির্বাচিত হয়েছিল। তাকে মাসিক শুরু বেতন ₹ ৮০০০ সহ, বার্ষিক বৃদ্ধি ₹ ৫০০ সহ চাকরিটি দেওয়া হয়েছে। পঞ্চম বছরে তার মাসিক বেতন কত হবে?

এটি উত্তর দিতে, প্রথমে দেখা যাক দ্বিতীয় বছরে তার মাসিক বেতন কত হবে।

এটি হবে ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$। একইভাবে, আমরা পূর্ববর্তী বছরের বেতনে ₹ ৫০০ যোগ করে ৩য়, ৪র্থ এবং ৫ম বছরের মাসিক বেতন বের করতে পারি। সুতরাং, ৩য় বছরের বেতন $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(৩য় বছরের জন্য)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

৪র্থ বছরের বেতন $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (৪র্থ বছরের জন্য)

$=\text{ ₹ } 9500$

৫ম বছরের বেতন $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (৫ম বছরের জন্য) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

লক্ষ্য করুন যে আমরা সংখ্যার একটি তালিকা পাচ্ছি

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

এই সংখ্যাগুলি AP-তে আছে। (কেন?)

এখন, উপরে গঠিত নকশাটি দেখে, আপনি কি ৬ষ্ঠ বছরের জন্য তার মাসিক বেতন বের করতে পারবেন? ১৫তম বছরের জন্য? এবং, ধরে নিলাম যে সে এখনও চাকরিতে থাকবে, ২৫তম বছরের মাসিক বেতন কী হবে? আপনি উত্তর দিতে পূর্ববর্তী বছরের বেতনে প্রতিবার ₹ ৫০০ যোগ করে এটি গণনা করবেন। আমরা কি এই প্রক্রিয়াটি সংক্ষিপ্ত করতে পারি? দেখা যাক। উপরে আমরা কীভাবে বেতন পেয়েছি তা থেকে আপনি ইতিমধ্যে কিছু ধারণা পেয়ে থাকতে পারেন।

১৫তম বছরের বেতন

$ \begin{aligned} & =\text{ ১৪তম বছরের বেতন }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ বার }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

অর্থাৎ, প্রথম বেতন $+(15-1) \times$ বার্ষিক বৃদ্ধি।

একইভাবে, ২৫তম বছরে তার মাসিক বেতন হবে

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ প্রথম বেতন }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ বার্ষিক বৃদ্ধি } \end{aligned} $

এই উদাহরণটি আপনাকে ১৫তম পদ, বা ২৫তম পদ, এবং আরও সাধারণভাবে, AP-এর $n$-তম পদ কীভাবে লিখতে হয় সে সম্পর্কে কিছু ধারণা দিয়েছে।

ধরি, $a_1, a_2, a_3, \ldots$ একটি AP যার প্রথম পদ $a_1$ হল $a$ এবং সাধারণ অন্তর হল $d$।

তাহলে,

দ্বিতীয় পদ $a_2=a+d=a+(2-1) d$

তৃতীয় পদ $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

চতুর্থ পদ $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

নকশাটি দেখে, আমরা বলতে পারি যে $\boldsymbol{{}n}$-তম পদ $a_n=a+(n-1) d$।

সুতরাং, প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ বিশিষ্ট AP-এর $n$-তম পদ $a_n$ দ্বারা দেওয়া হয় $a_n=a+(n-1) d$। $\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$-কে AP-এর সাধারণ পদও বলা হয়। যদি AP-তে $m$টি পদ থাকে, তবে $a_m$ শেষ পদকে নির্দেশ করে যাকে কখনও কখনও $l$ দ্বারাও প্রকাশ করা হয়।

আসুন কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ ৩: AP: ২, ৭, ১২, . .-এর ১০ম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, $a=2, \quad d=7-2=5$ এবং $n=10$।

$ \text {আমাদের আছে} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {সুতরাং,}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

অতএব, প্রদত্ত AP-এর ১০ম পদ হল ৪৭।

উদাহরণ ৪: AP: $21,18,15, \ldots$-এর কোন পদটি -৮১? আরও, কোনো পদ কি ০? আপনার উত্তরের কারণ দিন।

সমাধান: এখানে, $a=21, d=18-21=-3$ এবং $a_n=-81$, এবং আমাদের $n$ বের করতে হবে।

$ \text{যেহেতু} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{আমাদের আছে}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{সুতরাং,}\quad n=35 $

অতএব, প্রদত্ত AP-এর ৩৫তম পদ হল -৮১।

পরবর্তীতে, আমরা জানতে চাই কোন $n$ আছে কিনা যার জন্য $a_n=0$। যদি এমন কোন $n$ থাকে, তবে

$ \begin{aligned} &21+(n-1)(-3) =0, \\ \text{অর্থাৎ, } \quad \quad &3(n-1) =21 \\ \text{অর্থাৎ, } \quad \quad &n =8 \end{aligned} $

সুতরাং, অষ্টম পদ হল ০।

উদাহরণ ৫: AP নির্ণয় কর যার ৩য় পদ ৫ এবং ৭ম পদ ৯।

সমাধান: আমাদের আছে

$$ \begin{align*} & a_3=a+(3-1) d=a+2 d=5 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad a_7=a+(7-1) d=a+6 d=9 \tag{2} \end{align*} $$

রৈখিক সমীকরণ জোড়া (১) এবং (২) সমাধান করে, আমরা পাই

$ a=3, \quad d=1 $

অতএব, প্রয়োজনীয় AP হল $3,4,5,6,7, \ldots$

উদাহরণ ৬: পরীক্ষা করুন ৩০১ সংখ্যাটি ৫, ১১, ১৭, ২৩, . . সংখ্যার তালিকার একটি পদ কিনা।

সমাধান: আমাদের আছে:

$ a_2-a_1=11-5=6, \quad a_3-a_2=17-11=6, \quad a_4-a_3=23-17=6 $

যেহেতু $a _{k+1}-a_k$ $k=1,2$, ৩, ইত্যাদির জন্য একই, প্রদত্ত সংখ্যার তালিকাটি একটি AP।

এখন, $\quad a=5$ এবং $\quad d=6$।

ধরি, ৩০১ একটি পদ, ধরা যাক, এই AP-এর $n$-তম পদ।

আমরা জানি যে

$ \begin{aligned} & a_n =a+(n-1) d \\ \text{সুতরাং,} \quad \quad& 301 =5+(n-1) \times 6 \\ \text{অর্থাৎ,} \quad \quad& 301 =6 n-1 \\ \text{সুতরাং,} \quad \quad & n =\dfrac{302}{6}=\dfrac{151}{3} \end{aligned} $

কিন্তু $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হওয়া উচিত (কেন?)। সুতরাং, ৩০১ প্রদত্ত সংখ্যার তালিকার একটি পদ নয়।

উদাহরণ ৭: কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান: ৩ দ্বারা বিভাজ্য দুই অঙ্কের সংখ্যার তালিকা হল:

$ 12,15,18, \ldots, 99 $

এটি কি একটি AP? হ্যাঁ, এটি একটি AP। এখানে, $a=12, d=3, a_n=99$।

$ \text{যেহেতু}\quad a_n=a+(n-1) d, $

$ \text{আমাদের আছে}\quad 99=12+(n-1) \times 3 $

$ \text{অর্থাৎ,}\quad 87=(n-1) \times 3 $

$ \begin{aligned} \text{অর্থাৎ,}\quad n-1 & =\dfrac{87}{3}=29 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{অর্থাৎ,}\quad n & =29+1=30 \end{aligned} $

সুতরাং, ৩ দ্বারা বিভাজ্য ৩০টি দুই অঙ্কের সংখ্যা আছে।

উদাহরণ ৮: AP: $10,7,4, \ldots,-62$-এর শেষ পদ থেকে (প্রথম পদের দিকে) ১১তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে, $a=10, d=7-10=-3, l=-62$,

$ \text{যেখানে}\quad l=a+(n-1) d $

শেষ পদ থেকে ১১তম পদ বের করতে, আমরা AP-তে মোট পদের সংখ্যা বের করব।

$ \begin{aligned} \text{সুতরাং,} \quad \quad & -62 =10+(n-1)(-3) \\ \text{অর্থাৎ,} \quad \quad & -72 =(n-1)(-3) \\ \text{অর্থাৎ,} \quad \quad & n-1 =24 \\ \text{বা} \quad \quad & n =25 \end{aligned} $

সুতরাং, প্রদত্ত AP-তে ২৫টি পদ আছে।

শেষ পদ থেকে ১১তম পদ হবে ১৫তম পদ। (লক্ষ্য করুন যে এটি ১৪তম পদ হবে না। কেন?)

$ \text{সুতরাং,}\quad a _{15}=10+(15-1)(-3)=10-42=-32 $

অর্থাৎ, শেষ পদ থেকে ১১তম পদ হল -৩২।

বিকল্প সমাধান:

যদি আমরা প্রদত্ত AP-কে বিপরীত ক্রমে লিখি, তবে $a=-62$ এবং $d=3$ (কেন?)

সুতরাং, প্রশ্নটি এখন এই $a$ এবং $d$ সহ ১১তম পদ বের করা।

$ \text{সুতরাং,}\quad a _{11}=-62+(11-1) \times 3=-62+30=-32 $

সুতরাং, ১১তম পদ, যা এখন প্রয়োজনীয় পদ, হল -৩২।

উদাহরণ ৯: ₹ ১০০০ এর একটি অর্থ $8 %$ সরল সুদে বিনিয়োগ করা হয়েছে। প্রতি বছর শেষে সুদ গণনা করুন। এই সুদগুলি কি একটি AP গঠন করে? যদি হ্যাঁ, তবে এই তথ্য ব্যবহার করে ৩০ বছর শেষে সুদ নির্ণয় করুন।

সমাধান: আমরা জানি যে সরল সুদ গণনার সূত্রটি হল

$ \text{ সরল সুদ }=\dfrac{P \times R \times T}{100} $

সুতরাং, ১ম বছর শেষে সুদ $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 1}{100}=\text{ ₹ } 80$

২য় বছর শেষে সুদ $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 2}{100}=\text{ ₹ } 160$

৩য় বছর শেষে সুদ $=\text{ ₹ } \dfrac{1000 \times 8 \times 3}{100}=\text{ ₹ } 240$

একইভাবে, আমরা ৪র্থ বছর, ৫ম বছর, ইত্যাদি শেষে সুদ পেতে পারি।

সুতরাং, ১ম, ২য়, ৩য়, . . . বছর শেষে সুদ (₹-তে) যথাক্রমে হল $80,160,240, \ldots$

এটি একটি $AP$ কারণ তালিকায় পরপর পদের মধ্যে পার্থক্য ৮০, অর্থাৎ $d=80$। এছাড়াও, $a=80$।

সুতরাং, ৩০ বছর শেষে সুদ বের করতে, আমরা $a _{30}$ বের করব।

$ \text{এখন,}\quad a _{30}=a+(30-1) d=80+29 \times 80=2400 $

সুতরাং, ৩০ বছর শেষে সুদ হবে ₹ ২৪০০।

উদাহরণ ১০: একটি ফুলের বাগানে, প্রথম সারিতে ২৩টি গোলাপ গাছ, দ্বিতীয় সারিতে ২১টি, তৃতীয় সারিতে ১৯টি, এবং এভাবে আছে। শেষ সারিতে ৫টি গোলাপ গাছ আছে। ফুলের বাগানে কতগুলি সারি আছে?

সমাধান: ১ম, ২য়, ৩য়, . . ., সারিতে গোলাপ গাছের সংখ্যা হল:

$ 23,21,19, \ldots, 5 $

এটি একটি AP গঠন করে (কেন?)। ধরি, ফুলের বাগানে সারির সংখ্যা $n$।

$ \text{তাহলে}\quad a=23, \quad d=21-23=-2, a_n=5 $

$ \begin{aligned} \text{যেহেতু,}\quad a_n & =a+(n-1) d \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{আমাদের আছে,}\quad 5 & =23+(n-1)(-2) \end{aligned} $

$ \text{অর্থাৎ,}\quad -18=(n-1)(-2) $

$ \text{অর্থাৎ,}\quad n=10 $

সুতরাং, ফুলের বাগানে ১০টি সারি আছে।

৫.৪ একটি AP-এর প্রথম $n$টি পদের সমষ্টি

আসুন আবার ৫.১ বিভাগে দেওয়া পরিস্থিতিটি বিবেচনা করি যেখানে শাকিলা তার মেয়ের টাকার বাক্সে যখন সে এক বছর বয়সী ছিল তখন ₹ ১০০ রাখে, তার দ্বিতীয় জন্মদিনে ₹ ১৫০, তৃতীয় জন্মদিনে ₹ ২০০ রাখে এবং একইভাবে চলতে থাকে। তার মেয়ের বয়স ২১ বছর হওয়া পর্যন্ত টাকার বাক্সে কত টাকা জমা হবে?

এখানে, তার প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ . . . জন্মদিনে টাকার বাক্সে রাখা টাকার পরিমাণ (₹-তে) যথাক্রমে ছিল ১০০, ১৫০, ২০০, ২৫০, . . তার ২১তম জন্মদিন পর্যন্ত। তার ২১তম জন্মদিনে টাকার বাক্সে মোট টাকা বের করতে, আমাদের উপরের তালিকার ২১টি সংখ্যার প্রতিটি লিখতে হবে এবং তারপর সেগুলি যোগ করতে হবে। আপনি কি মনে করেন না যে এটি একটি ক্লান্তিকর এবং সময়সাপেক্ষ প্রক্রিয়া হবে? আমরা কি প্রক্রিয়াটি সংক্ষিপ্ত করতে পারি? যদি আমরা এই যোগফল বের করার একটি পদ্ধতি খুঁজে পাই তবে এটি সম্ভব হবে। দেখা যাক।

আমরা গাউসকে (যার সম্পর্কে আপনি অধ্যায় ১-এ পড়েছেন) দেওয়া সমস্যাটি বিবেচনা করি, যখন তার বয়স মাত্র ১০ বছর ছিল। তাকে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফল বের করতে বলা হয়েছিল। তিনি অবিলম্বে উত্তর দিয়েছিলেন যে যোগফল ৫০৫০। আপনি অনুমান করতে পারেন তিনি কীভাবে করেছিলেন? তিনি লিখেছিলেন:

$ S=1+2+3+\ldots+99+100 $

এবং তারপর, সংখ্যাগুলি উল্টে লিখেছিলেন

$ S=100+99+\ldots+3+2+1 $

এই দুটি যোগ করে, তিনি পেয়েছিলেন

$ \begin{aligned} 2 S & =(100+1)+(99+2)+\ldots+(3+98)+(2+99)+(1+100) \\ & =101+101+\ldots+101+101 \quad(100 \text{ বার }) \end{aligned} $

$ \text{সুতরাং,}\quad S=\dfrac{100 \times 101}{2}=5050 \text{, অর্থাৎ, যোগফল }=5050 \text{. } $

এখন আমরা একই কৌশল ব্যবহার করে একটি AP-এর প্রথম $n$টি পদের সমষ্টি বের করব:

$ a, a+d, a+2 d, \ldots $

এই AP-এর $n$-তম পদ হল $a+(n-1) d$। ধরি, $S$ AP-এর প্রথম $n$টি পদের সমষ্টি নির্দেশ করে। আমাদের আছে

$$ S=a+(a+d)+(a+2 d)+\ldots+[a+(n-1) d] \tag{1} $$

পদগুলিকে বিপরীত ক্রমে পুনরায় লিখলে, আমাদের আছে

$$ S=[a+(n-1) d]+[a+(n-2) d]+\ldots+(a+d)+a \tag{2} $$

(১) এবং (২) পদ অনুসারে যোগ করলে, আমরা পাই

$ 2 S=\underbrace{[2 a+(n-1) d]+[2 a+(n-1) d]+\ldots+[2 a+(n-1) d]+[2 a+(n-1) d]} _{n \text{ বার }} $

অথবা, $\quad 2 S=n[2 a+(n-1) d] \quad$ (যেহেতু, $n$টি পদ আছে)

অথবা, $\quad S=\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

সুতরাং, একটি AP-এর প্রথম $\boldsymbol{{}n}$টি পদের সমষ্টি দেওয়া হয়

$ S=\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1) d] $

আমরা এটিও এভাবে লিখতে পারি

$ S=\dfrac{n}{2}[a+a+(n-1) d] $

$$ \text{i.e.,}\quad S=\dfrac{n}{2}(a+a_n) \tag{3} $$

এখন, যদি একটি AP-তে শুধুমাত্র $n$টি পদ থাকে, তবে $a_n=l$, শেষ পদ।

(৩) থেকে, আমরা দেখি যে

$$ S=\dfrac{n}{2}(a+l) \tag{4} $$

এই ফলাফলের রূপটি তখন উপযোগী যখন একটি AP-এর প্রথম এবং শেষ পদ দেওয়া থাকে এবং সাধারণ অন্তর দেওয়া থাকে না।

এখন আমরা শুরুতে উত্থাপিত প্রশ্নে ফিরে আসি। শাকিলার মেয়ের টাকার বাক্সে ১ম, ২য়, ৩য়, ৪র্থ জন্মদিনে, …, টাকার পরিমাণ (টাকায়) যথাক্রমে ১০০, ১৫০, ২০০, ২৫০, . . ছিল।

এটি একটি AP। আমাদের তার ২১তম জন্মদিনে জমা মোট টাকা বের করতে হবে, অর্থাৎ এই AP-এর প্রথম ২১টি