5.1 परिचय

आपने अवश्य देखा होगा कि प्रकृति में कई चीजें एक निश्चित पैटर्न का पालन करती हैं, जैसे सूरजमुखी की पंखुड़ियाँ, मधुकोष के छिद्र, मक्का के भुट्टे पर दाने, अनानास और चीड़ के शंकु पर सर्पिल आदि।

अब हम कुछ ऐसे पैटर्न देखते हैं जो हमारे दैनिक जीवन में घटित होते हैं। ऐसे कुछ उदाहरण हैं:

(i) रीना ने एक नौकरी के लिए आवेदन किया और चयनित हो गई। उसे ₹ 8000 के मासिक वेतन के साथ नौकरी की पेशकश की गई है, जिसमें उसके वेतन में वार्षिक वृद्धि ₹ 500 है। पहले, दूसरे, तीसरे, … वर्षों के लिए उसका वेतन (₹ में) क्रमशः होगा

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) एक सीढ़ी के डंडों की लंबाई नीचे से ऊपर तक एक समान रूप से $2 cm$ से कम होती जाती है (चित्र 5.1 देखें)। सबसे नीचे के डंडे की लंबाई $45 cm$ है। नीचे से ऊपर की ओर पहले, दूसरे, तीसरे, …, आठवें डंडे की लंबाई ($cm$ में) क्रमशः हैं

$45,43,41,39,37,35,33,31$

चित्र 5.1

(iii) एक बचत योजना में, राशि प्रत्येक 3 वर्ष बाद स्वयं की $\dfrac{5}{4}$ गुना हो जाती है। 3, 6, 9 और 12 वर्ष बाद ₹ 8000 के निवेश की परिपक्वता राशि (₹ में) क्रमशः होगी:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ इकाई भुजा वाले वर्गों में इकाई वर्गों की संख्या (चित्र 5.2 देखें) क्रमशः हैं

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

चित्र 5.2

(v) शकीला ने अपनी बेटी के जन्मदिन के पैसे के डिब्बे में उसके एक वर्ष के होने पर ₹ 100 डाले और प्रत्येक वर्ष राशि में ₹ 50 की वृद्धि की। पहले, दूसरे, तीसरे, चौथे, … जन्मदिन पर डिब्बे में पैसे की राशि (₹ में) थी

100, 150, 200, 250, .., क्रमशः।

(vi) खरगोशों की एक जोड़ी अपने पहले महीने में प्रजनन के लिए बहुत छोटी होती है। दूसरे और प्रत्येक बाद के महीने में, वे एक नई जोड़ी पैदा करते हैं। खरगोशों की प्रत्येक नई जोड़ी अपने दूसरे महीने और प्रत्येक बाद के महीने में एक नई जोड़ी पैदा करती है (चित्र 5.3 देखें)। यह मानते हुए कि कोई खरगोश नहीं मरता, पहले, दूसरे, तीसरे, …, छठे महीने की शुरुआत में खरगोशों के जोड़ों की संख्या क्रमशः हैं:

$ 1,1,2,3,5,8 $

चित्र 5.3

उपरोक्त उदाहरणों में, हम कुछ पैटर्न देखते हैं। कुछ में, हम पाते हैं कि अगले पद एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं, अन्य में एक निश्चित संख्या से गुणा करके, एक अन्य में हम पाते हैं कि वे क्रमागत संख्याओं के वर्ग हैं, इत्यादि।

इस अध्याय में, हम इनमें से एक पैटर्न पर चर्चा करेंगे जिसमें अगले पद पिछले पदों में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं। हम यह भी देखेंगे कि उनके $n$वें पद और $n$ क्रमागत पदों का योग कैसे ज्ञात किया जाए, और इस ज्ञान का उपयोग कुछ दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में करेंगे।

5.2 समांतर श्रेढ़ियाँ

निम्नलिखित संख्याओं की सूचियों पर विचार कीजिए:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

सूची में प्रत्येक संख्या एक पद कहलाती है।

एक पद दिए जाने पर, क्या आप उपरोक्त प्रत्येक सूची में अगला पद लिख सकते हैं? यदि हाँ, तो आप इसे कैसे लिखेंगे? संभवतः एक पैटर्न या नियम का पालन करके। आइए हम नियम देखें और लिखें।

(i) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से 1 अधिक है।

(ii) में, प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से 30 कम है।

(iii) में, प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद में 1 जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

(iv) में, सूची के सभी पद 3 हैं, अर्थात प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद में 0 जोड़कर (या घटाकर) प्राप्त किया जाता है।

(v) में, प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद में -0.5 जोड़कर (अर्थात 0.5 घटाकर) प्राप्त किया जाता है।

उपरोक्त सभी सूचियों में, हम देखते हैं कि क्रमागत पद एक निश्चित संख्या को पूर्ववर्ती पद में जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं। संख्याओं की ऐसी सूची को एक समांतर श्रेढ़ी (AP) बनाने के लिए कहा जाता है।

अतः, एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

इस निश्चित संख्या को समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर कहा जाता है। याद रखिए कि यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

मान लीजिए कि एक समांतर श्रेढ़ी के पहले पद को $a_1$ से, दूसरे पद को $a_2, \ldots, n$ से, nवें पद को $a_n$ से और सार्व अंतर को $d$ से निरूपित करते हैं। तब समांतर श्रेढ़ी $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ बन जाती है।

अतः, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$.

समांतर श्रेढ़ी के कुछ और उदाहरण हैं:

(a) सुबह की प्रार्थना सभा में एक कतार में खड़े एक स्कूल के कुछ छात्रों की ऊँचाइयाँ ($cm$ में) हैं $147,148,149, \ldots, 157$.

(b) एक शहर में जनवरी के महीने में एक सप्ताह के लिए दर्ज न्यूनतम तापमान (डिग्री सेल्सियस में) आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) प्रत्येक महीने कुल ऋण ₹ 1000 का $5 %$ चुकाने के बाद शेष राशि (₹ में) है $950,900,850,800, \ldots, 50$.

(d) एक स्कूल द्वारा कक्षा I से XII तक के टॉपरों को दिए गए नकद पुरस्कार (₹ में) क्रमशः 200, 250, 300, 350, …, 750 हैं।

(e) 10 महीनों के लिए प्रत्येक महीने के बाद कुल बचत (₹ में) जब प्रत्येक महीने ₹ 50 बचाए जाते हैं, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500 हैं।

यह आपके लिए एक अभ्यास के रूप में छोड़ा गया है कि आप बताएँ कि उपरोक्त प्रत्येक सूची एक समांतर श्रेढ़ी क्यों है।

आप देख सकते हैं कि

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

एक समांतर श्रेढ़ी को निरूपित करता है जहाँ $a$ पहला पद है और $d$ सार्व अंतर है। इसे समांतर श्रेढ़ी का सामान्य रूप कहा जाता है।

ध्यान दीजिए कि उपरोक्त उदाहरणों (a) से (e) में, केवल सीमित संख्या में पद हैं। ऐसी समांतर श्रेढ़ी को परिमित समांतर श्रेढ़ी कहा जाता है। यह भी ध्यान दीजिए कि इनमें से प्रत्येक समांतर श्रेढ़ी (AP) का एक अंतिम पद होता है। इस खंड में उदाहरण (i) से (v) की समांतर श्रेढ़ियाँ परिमित समांतर श्रेढ़ियाँ नहीं हैं और इसलिए उन्हें अनंत समांतर श्रेढ़ियाँ कहा जाता है। ऐसी समांतर श्रेढ़ियों का कोई अंतिम पद नहीं होता।

अब, एक समांतर श्रेढ़ी के बारे में जानने के लिए, आपको क्या न्यूनतम जानकारी चाहिए? क्या केवल पहला पद जानना पर्याप्त है? या, क्या केवल सार्व अंतर जानना पर्याप्त है? आप पाएंगे कि आपको दोनों जानने की आवश्यकता होगी - पहला पद $a$ और सार्व अंतर $d$।

उदाहरण के लिए, यदि पहला पद $a$ 6 है और सार्व अंतर $d$ 3 है, तो समांतर श्रेढ़ी है

$ 6,9,12,15, \ldots $

और यदि $a$ 6 है और $d$ -3 है, तो समांतर श्रेढ़ी है

$ 6,3,0,-3, \ldots $

इसी प्रकार, जब

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ तो समांतर श्रेढ़ी है }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ तो समांतर श्रेढ़ी है }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ तो समांतर श्रेढ़ी है } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ तो समांतर श्रेढ़ी है } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

अतः, यदि आप जानते हैं कि $a$ और $d$ क्या हैं, तो आप समांतर श्रेढ़ी की सूची बना सकते हैं। दूसरे तरीके से क्या होगा? अर्थात, यदि आपको संख्याओं की एक सूची दी गई है, क्या आप कह सकते हैं कि यह एक समांतर श्रेढ़ी है और फिर $a$ और $d$ ज्ञात कर सकते हैं? चूँकि $a$ पहला पद है, इसे आसानी से लिखा जा सकता है। हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेढ़ी में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में $d$ जोड़कर प्राप्त किया जाता है। अतः, $d$ किसी भी पद को उसके अगले पद से घटाकर ज्ञात किया जाता है, अर्थात, जो पद तुरंत उसके बाद आता है, वह एक समांतर श्रेढ़ी के लिए समान होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, संख्याओं की सूची:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{हमारे पास है}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

यहाँ प्रत्येक स्थिति में किन्हीं दो क्रमागत पदों का अंतर 3 है। अतः, दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद $a$ 6 है और सार्व अंतर $d$ 3 है।

संख्याओं की सूची: $6,3,0,-3, \ldots$ के लिए,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

इसी प्रकार यह भी एक समांतर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 6 है और सार्व अंतर -3 है।

सामान्य रूप में, एक $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए, हमारे पास है

$ d=a _{k+1}-a_k $

जहाँ $a _{k+1}$ और $a_k$ क्रमशः $(k+1)$वाँ और $k$वाँ पद हैं।

दी गई समांतर श्रेढ़ी में $d$ प्राप्त करने के लिए, हमें $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ सभी को ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं है। केवल उनमें से एक को ज्ञात करना पर्याप्त है।

संख्याओं की सूची 1,1, 2, 3, 5, … पर विचार कीजिए। इसे देखकर, आप बता सकते हैं कि किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। अतः, यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

ध्यान दीजिए कि समांतर श्रेढ़ी: $6,3,0,-3, \ldots$ में $d$ ज्ञात करने के लिए, हमने 3 में से 6 नहीं घटाया है, बल्कि 6 में से 3 घटाया है, अर्थात, हमें $k$वें पद को $(k+1)$वें पद से घटाना चाहिए, भले ही $(k+1)$वाँ पद छोटा हो।

आइए हम कुछ उदाहरणों के माध्यम से अवधारणा को और अधिक स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 1 : समांतर श्रेढ़ी: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ के लिए, पहला पद $a$ और सार्व अंतर $d$ लिखिए।

हल : यहाँ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$.

याद रखिए कि एक बार जब हम जान लेते हैं कि संख्याएँ समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो हम किन्हीं दो क्रमागत पदों का उपयोग करके $d$ ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 2 : निम्नलिखित में से कौन सी संख्याओं की सूची एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है? यदि वे एक समांतर श्रेढ़ी बनाती हैं, तो अगले दो पद लिखिए:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

हल : (i) हमारे पास है $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

अर्थात, $\quad a _{k+1}-a_k$ हर बार समान है।

अतः, संख्याओं की दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है जिसका सार्व अंतर $d=6$ है।

अगले दो पद हैं: $22+6=28$ और $28+6=34$.

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

अर्थात, $a _{k+1}-a_k$ हर बार समान है।

अतः, संख्याओं की दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है जिसका सार्व अंतर $d=-2$ है।

अगले दो पद हैं:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ और } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

चूँकि $a_2-a_1 \neq a_3-a_2$, संख्याओं की दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी नहीं बनाती है।

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

यहाँ, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$.

अतः, संख्याओं की दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी नहीं बनाती है।

5.3 समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद

आइए हम फिर से उस स्थिति पर विचार करें, जो खंड 5.1 में दी गई थी, जिसमें रीना ने एक नौकरी के लिए आवेदन किया था और चयनित हो गई थी। उसे ₹ 8000 के मासिक वेतन के साथ नौकरी की पेशकश की गई है, जिसमें वार्षिक वृद्धि ₹ 500 है। पाँचवें वर्ष के लिए उसका मासिक वेतन क्या होगा?

इसका उत्तर देने के लिए, आइए हम पहले देखें कि दूसरे वर्ष के लिए उसका मासिक वेतन क्या होगा।

यह ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ होगा। इसी तरह, हम पिछले वर्ष के वेतन में ₹ 500 जोड़कर तीसरे, चौथे और पाँचवें वर्ष के लिए मासिक वेतन ज्ञात कर सकते हैं। अतः, तीसरे वर्ष के लिए वेतन $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(तीसरे वर्ष के लिए)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

चौथे वर्ष के लिए वेतन $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (चौथे वर्ष के लिए)

$=\text{ ₹ } 9500$

पाँचवें वर्ष के लिए वेतन $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (पाँचवें वर्ष के लिए) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

ध्यान दीजिए कि हमें संख्याओं की एक सूची प्राप्त हो रही है

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

ये संख्याएँ समांतर श्रेढ़ी में हैं। (क्यों?)

अब, ऊपर बने पैटर्न को देखते हुए, क्या आप छठे वर्ष के लिए उसका मासिक वेतन ज्ञात कर सकते हैं? 15वें वर्ष के लिए? और, यह मानते हुए कि वह अभी भी नौकरी में काम कर रही होगी, 25वें वर्ष के लिए मासिक वेतन के बारे में क्या? आप इसकी गणना उत्तर देने के लिए पिछले वर्ष के वेतन में हर बार ₹ 500 जोड़कर करेंगे। क्या हम इस प्रक्रिया को छोटा कर सकते हैं? आइए देखते हैं। आपको ऊपर हमारे द्वारा वेतन प्राप्त करने के तरीके से कुछ विचार पहले ही मिल गया होगा।

15वें वर्ष के लिए वेतन

$ \begin{aligned} & =\text{ 14वें वर्ष के लिए वेतन }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ बार }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

अर्थात, पहला वेतन $+(15-1) \times$ वार्षिक वृद्धि।

इसी तरह, 25वें वर्ष के लिए उसका मासिक वेतन होगा

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ पहला वेतन }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ वार्षिक वृद्धि } \end{aligned} $

इस उदाहरण से आपको कुछ विचार मिल गया होगा कि समांतर श्रेढ़ी के 15वें पद, या 25वें पद, और अधिक सामान्य रूप से, $n$वें पद को कैसे लिखा जाए।

मान लीजिए कि $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक समांतर श्रेढ़ी है जिसका पहला पद $a_1$, $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।

तब,

दूसरा पद $a_2=a+d=a+(2-1) d$

तीसरा पद $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

चौथा पद $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

पैटर्न को देखते हुए, हम कह सकते हैं कि $\boldsymbol{{}n}$वाँ पद $a_n=a+(n-1) d$.

अतः, पहला पद $a$ और सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेढ़ी का $n$वाँ पद $a_n$, $a_n=a+(n-1) d$ द्वारा दिया जाता है। $\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$ को समांतर श्रेढ़ी का सामान्य पद भी कहा जाता है। यदि समांतर श्रेढ़ी में $m$ पद हैं, तो $a_m$ अंतिम पद को निरूपित करता है जिसे कभी-कभी $l$ से भी निरूपित किया जाता है।

आइए हम कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 3 : समांतर श्रेढ़ी: 2, 7, 12, . . का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ, $a=2, \quad d=7-2=5$ और $n=10$.

$ \text {हमारे पास है} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {अतः,}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

इसलिए, दी गई समांतर श्रेढ़ी का 10वाँ पद 47 है।

उदाहरण 4 : समांतर श्रेढ़ी: $21,18,15, \ldots$ का कौन सा पद -81 है? साथ ही, क्या कोई पद 0 है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

हल : यहाँ, $a=21, d=18-21=-3$ और $a_n=-81$, और हमें $n$ ज्ञात करना है।

$ \text{चूँकि} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{हमारे पास है}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{अतः,}\quad n=35 $

इसलिए, दी गई समांतर श्रेढ़ी का 35वाँ पद -81 है।

अगला, हम जानना चाहते हैं कि क्या कोई $n$ है जिसके लिए $a_n=0$. यदि ऐसा कोई $n$ है, तो

$ \begin{aligned} &21+(n-1)(-3) =0, \\ \text{अर्थात, } \quad \quad &3(n-1) =21 \\ \text{अर्थात, } \quad \quad &n =8 \end{aligned} $

अतः, आठवाँ पद 0 है।

उदाहरण 5 : वह समांतर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 है और सातवाँ पद 9 है।

हल : हमारे पास है

$$ \begin{align*} & a_3=a+(3-1) d=a+2 d=5 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad a_7=a+(7-1) d=a+6 d=9 \tag{2} \end{align*} $$

रैखिक समीकरणों (1) और (2) के युग्म को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ a=3, \quad d=1 $

अतः, अभीष्ट समांतर श्रेढ़ी है $3,4,5,6,7, \ldots$

उदाहरण 6 : जाँच कीजिए कि क्या 301 संख्याओं की सूची 5, 11, 17, 23, . . का एक पद है।

हल : हमारे पास है:

$ a_2-a_1=11-5=6, \quad a_3-a_2=17-11=6, \quad a_4-a_3=23-17=6 $

चूँकि $a _{k+1}-a_k$ $k=1,2$, 3, आदि के लिए समान है, संख्याओं की दी गई सूची एक समांतर श्रेढ़ी है।

अब, $\quad a=5$ और $\quad d=6$.

मान लीजिए कि 301 एक पद है, मान लीजिए, इस समांतर श्रेढ़ी का $n$वाँ पद।

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & a_n =a+(n-1) d \\ \text{अतः,} \quad \quad& 301 =5+(n-1) \times 6 \\ \text{अर्थात,} \quad \quad& 301 =6 n-1 \\ \text{अतः,} \quad \quad & n =\dfrac{302}{6}=\dfrac{151}{3} \end{aligned} $

लेकिन $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए (क्यों?)। अतः, 301 दी गई संख्याओं की सूची का एक पद नहीं है।

उदाहरण 7 : कितनी दो-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

हल : 3 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याओं की सूची है:

$ 12,15,18, \ldots, 99 $

क्या यह एक समांतर श्रेढ़ी है? हाँ, यह है। यहाँ, $a=12, d=3, a_n=99$.

$ \text{चूँकि}\quad a_n=a+(n-1) d, $

$ \text{हमारे पास है}\quad 99=12+(n-1) \times 3 $

$ \text{अर्थात,}\quad 87=(n-1) \times 3 $

$ \begin{aligned} \text{अर्थात,}\quad n-1 & =\dfrac{87}{3}=29 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{अर्थात,}\quad n & =29+1=30 \end{aligned} $

अतः, 30 दो-अंकीय संख्याएँ हैं जो 3 से विभाज्य हैं।

उदाहरण 8 : समांतर श्रेढ़ी: $10,7,4, \ldots,-62$ के अंतिम पद (पहले पद की ओर) से 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल : यहाँ, $a=10, d=7-10=-3, l=-62$,

$ \text{जहाँ}\quad l=a+(n-1) d $

अंतिम पद से 11वाँ पद ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेढ़ी में कुल पदों की संख्या ज्ञात करेंगे।

$ \begin{aligned} \text{अतः,} \quad \quad & -62 =10+(n-1)(-3) \\ \text{अर्थात,} \quad \quad & -72 =(n-1)(-3