5.1 પરિચય

તમે નોંધ્યું હશે કે પ્રકૃતિમાં ઘણી વસ્તુઓ ચોક્કસ પેટર્ન અનુસરે છે, જેમ કે સૂર્યમુખીના પાંદડા, મધપૂડાના છિદ્રો, મકાઈના ડોડા પરના દાણા, અનાનસ અને પાઈન શંકુ પરની સર્પાકાર રચનાઓ, વગેરે.

હવે આપણે કેટલાક પેટર્ન જોઈએ જે આપણા રોજિંદા જીવનમાં આવે છે. આવા કેટલાક ઉદાહરણો છે:

(i) રીના એક નોકરી માટે અરજી કરી અને પસંદ થઈ. તેને ₹ 8000 ના માસિક પગાર સાથે નોકરીની ઓફર મળી છે, જેમાં તેના પગારમાં વાર્ષિક વૃદ્ધિ ₹ 500 છે. તેનો પગાર (₹ માં) 1લા, 2જા, 3જા, … વર્ષ માટે અનુક્રમે હશે

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) એક સીડીના પગથિયાઓની લંબાઈ તળિયેથી ઉપર સુધી એકસમાન રીતે $2 cm$ થી ઘટે છે (જુઓ આકૃતિ 5.1). તળિયાના પગથિયાની લંબાઈ $45 cm$ છે. તળિયેથી ઉપર 1લા, 2જા, 3જા, …, 8મા પગથિયાની લંબાઈ ($cm$ માં) અનુક્રમે છે

$45,43,41,39,37,35,33,31$

આકૃતિ 5.1

(iii) એક બચત યોજનામાં, રકમ દર 3 વર્ષ પછી પોતાની $\dfrac{5}{4}$ ગણી બને છે. ₹ 8000 ની રોકાણ રકમની પરિપક્વતા રકમ (₹ માં) 3, 6, 9 અને 12 વર્ષ પછી અનુક્રમે હશે:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ એકમ બાજુ ધરાવતા ચોરસમાં એકમ ચોરસની સંખ્યા (જુઓ આકૃતિ 5.2) અનુક્રમે છે

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

આકૃતિ 5.2

(v) શકીલાએ તેની દીકરીના પૈસાના ડબ્બામાં ₹ 100 મૂક્યા જ્યારે તે એક વર્ષની હતી અને દર વર્ષે રકમમાં ₹ 50 નો વધારો કર્યો. 1લી, 2જી, 3જી, 4થી, … જન્મદિવસે ડબ્બામાં રહેલા પૈસાની રકમ (₹ માં) હતી

100, 150, 200, 250, .., અનુક્રમે.

(vi) સસલાની એક જોડ તેમના પ્રથમ મહિનામાં પ્રજનન કરવા માટે ખૂબ નાની છે. બીજા, અને દરેક અનુગામી મહિનામાં, તેઓ એક નવી જોડ ઉત્પન્ન કરે છે. સસલાની દરેક નવી જોડ તેમના બીજા મહિનામાં અને દરેક અનુગામી મહિનામાં એક નવી જોડ ઉત્પન્ન કરે છે (જુઓ આકૃતિ 5.3). કોઈ સસલું મૃત્યુ પામતું નથી એમ ધારીને, 1લા, 2જા, 3જા, …, 6ઠ્ઠા મહિનાની શરૂઆતે સસલાની જોડની સંખ્યા અનુક્રમે છે:

$ 1,1,2,3,5,8 $

આકૃતિ 5.3

ઉપરના ઉદાહરણોમાં, આપણે કેટલાક પેટર્ન જોઈએ છીએ. કેટલાકમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે અનુગામી પદો એક નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરીને મળે છે, અન્યમાં નિશ્ચિત સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને, બીજામાં આપણે જોઈએ છીએ કે તેઓ ક્રમિક સંખ્યાઓના વર્ગો છે, અને તેથી વધુ.

આ પ્રકરણમાં, આપણે આ પેટર્નમાંથી એકની ચર્ચા કરીશું જેમાં અનુગામી પદો પહેલાના પદોમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરીને મળે છે. આપણે તેમના $n$મા પદ અને $n$ ક્રમિક પદોનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પણ જોઈશું, અને આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેટલીક દૈનિક જીવનની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કરીશું.

5.2 અંકગણિત શ્રેણી

નીચેની સંખ્યાઓની યાદીઓ ધ્યાનમાં લો:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

યાદીમાંની દરેક સંખ્યાને પદ કહેવાય છે.

એક પદ આપેલ હોય, તો શું તમે ઉપરની દરેક યાદીમાં આગળનું પદ લખી શકો છો? જો હા, તો તમે તેને કેવી રીતે લખશો? કદાચ પેટર્ન અથવા નિયમ અનુસરીને. ચાલો નિરીક્ષણ કરીએ અને નિયમ લખીએ.

(i) માં, દરેક પદ તેના પહેલાના પદ કરતાં 1 વધુ છે.

(ii) માં, દરેક પદ તેના પહેલાના પદ કરતાં 30 ઓછું છે.

(iii) માં, દરેક પદ તેના પહેલાના પદમાં 1 ઉમેરીને મળે છે.

(iv) માં, યાદીમાંના બધા જ પદ 3 છે, એટલે કે, દરેક પદ તેના પહેલાના પદમાં 0 ઉમેરીને (અથવા બાદ કરીને) મળે છે.

(v) માં, દરેક પદ તેના પહેલાના પદમાં -0.5 ઉમેરીને (એટલે કે, 0.5 બાદ કરીને) મળે છે.

ઉપરની બધી યાદીઓમાં, આપણે જોઈએ છીએ કે અનુગામી પદો પહેલાના પદોમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરીને મળે છે. આવી સંખ્યાઓની યાદીને અંકગણિત શ્રેણી (AP) બનાવે છે એવું કહેવાય છે.

તેથી, અંકગણિત શ્રેણી એ સંખ્યાઓની એક યાદી છે જેમાં પ્રથમ પદ સિવાય દરેક પદ તેના પહેલાના પદમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરીને મળે છે.

આ નિશ્ચિત સંખ્યાને AP નો સામાન્ય તફાવત કહેવામાં આવે છે. યાદ રાખો કે તે ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

ચાલો AP ના પ્રથમ પદને $a_1$ દ્વારા, બીજા પદને $a_2, \ldots, n$મા પદને $a_n$ દ્વારા અને સામાન્ય તફાવતને $d$ દ્વારા દર્શાવીએ. તો AP બને છે $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$.

તેથી, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$.

AP ના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે:

(a) સવારે સભામાં ઊભેલા એક શાળાના કેટલાક વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ ($cm$ માં) છે $147,148,149, \ldots, 157$.

(b) જાન્યુઆરી મહિનામાં એક શહેરમાં એક અઠવાડિયા માટે રેકોર્ડ કરેલ ન્યૂનતમ તાપમાન (ડિગ્રી સેલ્સિયસમાં), ચડતા ક્રમમાં ગોઠવેલા છે

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) દર મહિને કુલ લોન ₹ 1000 માંથી $5 %$ ચૂકવ્યા પછીનું બાકીનું પૈસું (₹ માં) છે $950,900,850,800, \ldots, 50$.

(d) શાળા દ્વારા I થી XII ધોરણના ટોપરોને અનુક્રમે આપવામાં આવતા રોકડ ઇનામ (₹ માં) છે: 200, 250, 300, 350, …, 750.

(e) દર મહિને ₹ 50 બચત કરતા 10 મહિના પછી કુલ બચત (₹ માં) છે: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500.

ઉપરની દરેક યાદી AP કેમ છે તે સમજાવવું તમારા માટે એક કસરત તરીકે રહે છે.

તમે જોઈ શકો છો કે

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

એક અંકગણિત શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ છે અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે. આને AP નું સામાન્ય સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે.

નોંધ લો કે ઉપરના ઉદાહરણો (a) થી (e) માં, માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં પદો છે. આવા AP ને મર્યાદિત AP કહેવાય છે. એ પણ નોંધો કે આ દરેક અંકગણિત શ્રેણી (AP) નું એક છેલ્લું પદ છે. આ વિભાગમાં ઉદાહરણો (i) થી (v) માં AP, મર્યાદિત AP નથી અને તેથી તેમને અનંત અંકગણિત શ્રેણી કહેવાય છે. આવા AP નું છેલ્લું પદ હોતું નથી.

હવે, AP વિશે જાણવા માટે, તમારે લઘુત્તમ કઈ માહિતી જોઈએ? શું પ્રથમ પદ જાણવું પૂરતું છે? અથવા, શું માત્ર સામાન્ય તફાવત જાણવો પૂરતો છે? તમે જોશો કે તમારે બંને જાણવાની જરૂર છે - પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$.

ઉદાહરણ તરીકે, જો પ્રથમ પદ $a$ 6 છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ 3 છે, તો AP છે

$ 6,9,12,15, \ldots $

અને જો $a$ 6 છે અને $d$ -3 છે, તો AP છે

$ 6,3,0,-3, \ldots $

તે જ રીતે, જ્યારે

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ AP છે }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ AP છે }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ AP છે } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ AP છે } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

તેથી, જો તમે જાણો છો કે $a$ અને $d$ શું છે, તો તમે AP ની યાદી બનાવી શકો છો. બીજી રીતે શું? એટલે કે, જો તમને સંખ્યાઓની યાદી આપવામાં આવે તો શું તમે કહી શકો છો કે તે AP છે અને પછી $a$ અને $d$ શોધી શકો છો? કારણ કે $a$ પ્રથમ પદ છે, તે સરળતાથી લખી શકાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે AP માં, દરેક અનુગામી પદ તેના પહેલાના પદમાં $d$ ઉમેરીને મળે છે. તેથી, $d$ કોઈ પણ પદને તેના અનુગામી પદમાંથી બાદ કરીને શોધી શકાય છે, એટલે કે, જે પદ તરત જ તેને અનુસરે છે તે AP માટે સમાન હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓની યાદી માટે:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{આપણી પાસે}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

અહીં દરેક કિસ્સામાં કોઈ પણ બે ક્રમિક પદોનો તફાવત 3 છે. તેથી, આપેલ યાદી એ AP છે જેનું પ્રથમ પદ $a$ 6 છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ 3 છે.

સંખ્યાઓની યાદી માટે: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

તે જ રીતે આ પણ એક AP છે જેનું પ્રથમ પદ 6 છે અને સામાન્ય તફાવત -3 છે.

સામાન્ય રીતે, એક $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ માટે, આપણી પાસે છે

$ d=a _{k+1}-a_k $

જ્યાં $a _{k+1}$ અને $a_k$ અનુક્રમે $(k+1)$મા અને $k$મા પદ છે.

આપેલ AP માં $d$ મેળવવા માટે, આપણે $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ ના બધા શોધવાની જરૂર નથી. તેમાંથી માત્ર એક શોધવું પૂરતું છે.

સંખ્યાઓની યાદી 1,1, 2, 3, 5, … ધ્યાનમાં લો. તેને જોઈને, તમે કહી શકો છો કે કોઈ પણ બે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન નથી. તેથી, આ AP નથી.

નોંધ લો કે AP: $6,3,0,-3, \ldots$ માં $d$ શોધવા માટે, આપણે 6 માંથી 3 બાદ કર્યા છે અને 3 માંથી 6 નહીં, એટલે કે, આપણે $k$મા પદમાંથી $(k+1)$મું પદ બાદ કરવું જોઈએ ભલે $(k+1)$મું પદ નાનું હોય.

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો દ્વારા ખ્યાલને વધુ સ્પષ્ટ કરીએ.

ઉદાહરણ 1 : AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ માટે, પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ લખો.

ઉકેલ : અહીં, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$.

યાદ રાખો કે એકવાર આપણે જાણીએ કે સંખ્યાઓ AP માં છે, તો આપણે કોઈ પણ બે ક્રમિક પદોનો ઉપયોગ કરીને $d$ શોધી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2 : નીચેની સંખ્યાઓની યાદીમાંથી કઈ AP બનાવે છે? જો તેઓ AP બનાવે છે, તો આગળના બે પદ લખો:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

ઉકેલ : (i) આપણી પાસે છે $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

એટલે કે, $\quad a _{k+1}-a_k$ દરેક વખતે સમાન છે.

તેથી, સંખ્યાઓની આપેલ યાદી AP બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d=6$ છે.

આગળના બે પદ છે: $22+6=28$ અને $28+6=34$.

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

એટલે કે, $a _{k+1}-a_k$ દરેક વખતે સમાન છે.

તેથી, સંખ્યાઓની આપેલ યાદી AP બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d=-2$ છે.

આગળના બે પદ છે:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ અને } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

કારણ કે $a_2-a_1 \neq a_3-a_2$, સંખ્યાઓની આપેલ યાદી AP બનાવતી નથી.

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

અહીં, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$.

તેથી, સંખ્યાઓની આપેલ યાદી AP બનાવતી નથી.

5.3 AP નું nમું પદ

ચાલો ફરીથી 5.1 વિભાગમાં આપેલ પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં રીનાએ નોકરી માટે અરજી કરી અને પસંદ થઈ. તેને ₹ 8000 ના માસિક પગાર સાથે નોકરીની ઓફર મળી છે, જેમાં વાર્ષિક વૃદ્ધિ ₹ 500 છે. પાંચમા વર્ષ માટે તેનો માસિક પગાર કેટલો હશે?

આનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો પહેલા જોઈએ કે બીજા વર્ષ માટે તેનો માસિક પગાર કેટલો હશે.

તે ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ હશે. તે જ રીતે, આપણે પહેલાના વર્ષના પગારમાં ₹ 500 ઉમેરીને 3જા, 4થા અને 5મા વર્ષ માટે માસિક પગાર શોધી શકીએ છીએ. તેથી, 3જા વર્ષ માટે પગાર $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(3જા વર્ષ માટે)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

4થા વર્ષ માટે પગાર $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (4થા વર્ષ માટે)

$=\text{ ₹ } 9500$

5મા વર્ષ માટે પગાર $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (5મા વર્ષ માટે) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

નિરીક્ષણ કરો કે આપણને સંખ્યાઓની યાદી મળી રહી છે

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

આ સંખ્યાઓ AP માં છે. (કેમ?)

હવે, ઉપર બનેલ પેટર્ન જોઈને, શું તમે 6ઠ્ઠા વર્ષ માટે તેનો માસિક પગાર શોધી શકો છો? 15મા વર્ષ માટે? અને, એમ ધારીને કે તે હજુ પણ નોકરીમાં હશે, તો 25મા વર્ષ માટે માસિક પગાર વિશે શું? તમે આનો જવાબ આપવા માટે દર વખતે પહેલાના વર્ષના પગારમાં ₹ 500 ઉમેરીને ગણતરી કરશો. શું આપણે આ પ્રક્રિયાને ટૂંકી કરી શકીએ? ચાલો જોઈએ. તમને ઉપર પગાર મેળવવાની રીતમાંથી કદાચ કેટલીક સમજણ આવી ગઈ હશે.

15મા વર્ષ માટે પગાર

$ \begin{aligned} & =\text{ 14મા વર્ષ માટે પગાર }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ વખત }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

એટલે કે, પ્રથમ પગાર $+(15-1) \times$ વાર્ષિક વૃદ્ધિ.

તે જ રીતે, 25મા વર્ષ માટે તેનો માસિક પગાર હશે

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ પ્રથમ પગાર }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ વાર્ષિક વૃદ્ધિ } \end{aligned} $

આ ઉદાહરણથી તમને કેટલીક સમજણ મળી હશે કે AP નું 15મું પદ, અથવા 25મું પદ, અને વધુ સામાન્ય રીતે, $n$મું પદ કેવી રીતે લખવું.

ચાલો $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એક AP હોય જેનું પ્રથમ પદ $a_1$ છે $a$ અને સામાન્ય તફાવત છે $d$.

તો,

બીજું પદ $a_2=a+d=a+(2-1) d$

ત્રીજું પદ $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

ચોથું પદ $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

પેટર્ન જોઈને, આપણે કહી શકીએ કે $\boldsymbol{{}n}$મું પદ $a_n=a+(n-1) d$.

તેથી, $n$મું પદ $a_n$ AP નું જેનું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે, તે $a_n=a+(n-1) d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$ ને AP નું સામાન્ય પદ પણ કહેવામાં આવે છે. જો AP માં $m$ પદો હોય, તો $a_m$ છેલ્લા પદનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જેને કેટલીકવાર $l$ દ્વારા પણ દર્શાવવામાં આવે છે.

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 3 : AP: 2, 7, 12, . . નું 10મું પદ શોધો.

ઉકેલ : અહીં, $a=2, \quad d=7-2=5$ અને $n=10$.

$ \text {આપણી પાસે} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {તેથી,}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

તેથી, આપેલ AP નું 10મું પદ 47 છે.

ઉદાહરણ 4 : AP: $21,18,15, \ldots$ નું કયું પદ -81 છે? તથા, શું કોઈ પદ 0 છે? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.

ઉકેલ : અહીં, $a=21, d=18-21=-3$ અને $a_n=-81$, અને આપણે $n$ શોધવું છે.

$ \text{કારણ કે} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{આપણી પાસે}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{તેથી,}\quad n=35 $

તેથી, આપેલ AP નું 35મું પદ -81 છે.

આગળ, આપણે જાણવું છે કે શું કોઈ $n$ છે જેના માટે $a_n=0$. જો આવું $n$ છે, તો

$ \begin{aligned} &21+(n-1)(-3) =0, \\ \text{એટલે કે, } \quad \quad &3