5.1 ആമുഖം

പ്രകൃതിയിൽ, സൂര്യകാന്തിയുടെ ഇതളുകൾ, തേനീച്ചക്കൂടിന്റെ ദ്വാരങ്ങൾ, ചോളക്കതിരിലെ ധാന്യങ്ങൾ, കൈതച്ചക്കയിലും പൈൻ കോണിലും കാണപ്പെടുന്ന സർപ്പിളങ്ങൾ തുടങ്ങി പല കാര്യങ്ങളും ഒരു പ്രത്യേക രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ടാകും.

ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ കാണപ്പെടുന്ന ചില ക്രമങ്ങൾ (പാറ്റേണുകൾ) നോക്കാം. അത്തരം ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാണ്:

(i) റീന ഒരു ജോലിക്ക് അപേക്ഷിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു. അവൾക്ക് ₹ 8000 പ്രതിമാസം ആരംഭ വേതനമായി നൽകുന്ന ഒരു ജോലി വാഗ്ദാനം ചെയ്യപ്പെട്ടു, അവളുടെ വേതനത്തിൽ പ്രതിവർഷം ₹ 500 വർധനയുണ്ടാകും. ഒന്നാം, രണ്ടാം, മൂന്നാം, … വർഷങ്ങളിലെ അവളുടെ വേതനം (₹ ൽ) യഥാക്രമം ഇതായിരിക്കും:

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) ഒരു ഗോവണിയുടെ പടികളുടെ നീളം താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് ഏകതാനമായി $2 cm$ കുറയുന്നു (ചിത്രം 5.1 കാണുക). ഏറ്റവും താഴെയുള്ള പടിയുടെ നീളം $45 cm$ ആണ്. താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്കുള്ള ഒന്നാം, രണ്ടാം, മൂന്നാം, …, എട്ടാം പടിയുടെ നീളം ($cm$ ൽ) യഥാക്രമം

$45,43,41,39,37,35,33,31$

ചിത്രം 5.1

(iii) ഒരു സേവിംഗ്സ് സ്കീമിൽ, തുക ഓരോ 3 വർഷത്തിന് ശേഷവും $\dfrac{5}{4}$ മടങ്ങായി മാറുന്നു. ₹ 8000 നിക്ഷേപത്തിന്റെ 3, 6, 9, 12 വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള പാകമാകുന്ന തുക (₹ ൽ) യഥാക്രമം ഇതായിരിക്കും:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ യൂണിറ്റ് വശമുള്ള ചതുരങ്ങളിലെ യൂണിറ്റ് ചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം (ചിത്രം 5.2 കാണുക) യഥാക്രമം

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

ചിത്രം 5.2

(v) ശകീല തന്റെ മകളുടെ പണപ്പെട്ടിയിൽ അവൾ ഒരു വയസ്സുള്ളപ്പോൾ ₹ 100 ഇടുകയും ഓരോ വർഷവും ₹ 50 വീതം തുക വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. ഒന്നാം, രണ്ടാം, മൂന്നാം, നാലാം, … പിറന്നാളുകളിൽ പെട്ടിയിലുണ്ടായിരുന്ന പണത്തിന്റെ തുക (₹ ൽ)

100, 150, 200, 250, .., എന്നിവയായിരുന്നു.

(vi) ഒരു ജോടി മുയലുകൾക്ക് അവരുടെ ആദ്യ മാസത്തിൽ പ്രത്യുൽപ്പാദനം നടത്താൻ കഴിയില്ല. രണ്ടാം മാസത്തിലും അതിനുശേഷമുള്ള എല്ലാ മാസങ്ങളിലും അവർ ഒരു പുതിയ ജോടി മുയലുകളെ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നു. ഓരോ പുതിയ ജോടി മുയലുകളും അവരുടെ രണ്ടാം മാസത്തിലും അതിനുശേഷമുള്ള എല്ലാ മാസങ്ങളിലും ഒരു പുതിയ ജോടി ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 5.3 കാണുക). ഒരു മുയലും മരിക്കുന്നില്ലെന്ന് കരുതുകയാണെങ്കിൽ, ഒന്നാം, രണ്ടാം, മൂന്നാം, …, ആറാം മാസത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലെ മുയലുകളുടെ ജോടികളുടെ എണ്ണം യഥാക്രമം:

$ 1,1,2,3,5,8 $

ചിത്രം 5.3

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ചില ക്രമങ്ങൾ നാം നിരീക്ഷിക്കുന്നു. ചിലതിൽ, പിന്തുടരുന്ന പദങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൂട്ടിക്കൊണ്ട് ലഭിക്കുന്നുവെന്നും, മറ്റുചിലതിൽ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ലഭിക്കുന്നുവെന്നും, മറ്റൊന്നിൽ തുടർച്ചയായ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളാണെന്നും മറ്റും കാണാം.

ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ, പിന്തുടരുന്ന പദങ്ങൾ മുമ്പത്തെ പദങ്ങളോട് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൂട്ടിക്കൊണ്ട് ലഭിക്കുന്ന ഈ ക്രമങ്ങളിൽ ഒന്ന് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും. അവയുടെ $n$-ാം പദങ്ങളും $n$ തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്നും നോക്കാം, ഈ അറിവ് ഉപയോഗിച്ച് ചില ദൈനംദിന ജീവിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ശ്രമിക്കാം.

5.2 സമാന്തര ശ്രേണികൾ (Arithmetic Progressions)

ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാപട്ടികകൾ പരിഗണിക്കുക:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

പട്ടികയിലെ ഓരോ സംഖ്യയെയും ഒരു പദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പദം നൽകിയാൽ, മുകളിലെ ഓരോ പട്ടികയിലും അടുത്ത പദം നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാമോ? അതെങ്കിൽ, എങ്ങനെയാണ് നിങ്ങൾ അത് എഴുതുക? ഒരു പാറ്റേൺ അല്ലെങ്കിൽ നിയമം പിന്തുടർന്നായിരിക്കാം. നമുക്ക് നിരീക്ഷിച്ച് നിയമം എഴുതാം.

(i) ൽ, ഓരോ പദവും അതിനു മുമ്പുള്ള പദത്തേക്കാൾ 1 കൂടുതലാണ്.

(ii) ൽ, ഓരോ പദവും അതിനു മുമ്പുള്ള പദത്തേക്കാൾ 30 കുറവാണ്.

(iii) ൽ, ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് 1 കൂട്ടിക്കൊണ്ടാണ് ലഭിക്കുന്നത്.

(iv) ൽ, പട്ടികയിലെ എല്ലാ പദങ്ങളും 3 ആണ്, അതായത്, ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് 0 കൂട്ടിക്കൊണ്ടോ (അല്ലെങ്കിൽ കുറച്ചോ) ലഭിക്കുന്നു.

(v) ൽ, ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് -0.5 കൂട്ടിക്കൊണ്ട് (അതായത്, 0.5 കുറച്ച്) ലഭിക്കുന്നു.

മുകളിലെ എല്ലാ പട്ടികകളിലും, തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ മുമ്പത്തെ പദങ്ങളോട് കൂട്ടിക്കൊണ്ടാണ് ലഭിക്കുന്നതെന്ന് നാം കാണുന്നു. ഇത്തരം സംഖ്യാപട്ടികകൾ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി (AP) രൂപീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി എന്നത് ഒരു സംഖ്യാപട്ടികയാണ്, അതിൽ ആദ്യ പദം ഒഴികെയുള്ള ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൂട്ടിക്കൊണ്ട് ലഭിക്കുന്നു.

ഈ നിശ്ചിത സംഖ്യയെ AP യുടെ പൊതുവ്യത്യാസം (common difference) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് ധനാത്മകമോ, ഋണാത്മകമോ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യമോ ആകാമെന്ന് ഓർക്കുക.

ഒരു AP യുടെ ആദ്യ പദം $a_1$ എന്നും, രണ്ടാം പദം $a_2, \ldots, n$ എന്നും, n-ാം പദം $a_n$ എന്നും, പൊതുവ്യത്യാസം $d$ എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ AP ആയി മാറുന്നത് $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ ആണ്.

അതിനാൽ, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$.

AP യുടെ കുറച്ച് കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

(a) ഒരു സ്കൂളിലെ ചില വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഉയരം ($cm$ ൽ) പ്രഭാത സമ്മേളനത്തിൽ ഒരു വരിയിൽ നിൽക്കുമ്പോൾ $147,148,149, \ldots, 157$ ആണ്.

(b) ഒരു നഗരത്തിൽ ജനുവരി മാസത്തിൽ ഒരാഴ്ചയിലെ രേഖപ്പെടുത്തിയ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ താപനിലകൾ (ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസിൽ) ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചാൽ

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) മൊത്തം ₹ 1000 വായ്പയിൽ നിന്ന് പ്രതിമാസം $5 %$ തിരിച്ചടച്ച ശേഷമുള്ള ബാക്കി പണം (₹ ൽ) $950,900,850,800, \ldots, 50$ ആണ്.

(d) ഒരു സ്കൂൾ I മുതൽ XII വരെ ക്ലാസുകളിലെ മികച്ച വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് നൽകുന്ന പണ പുരസ്കാരങ്ങൾ (₹ ൽ) യഥാക്രമം 200, 250, 300, 350, …, 750 എന്നിവയാണ്.

(e) 10 മാസത്തേക്ക് പ്രതിമാസം ₹ 50 വീതം സേവ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഓരോ മാസത്തിന് ശേഷവുമുള്ള മൊത്തം സേവിംഗ്സ് (₹ ൽ) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500 എന്നിവയാണ്.

മുകളിലെ ഓരോ പട്ടികയും എന്തുകൊണ്ട് ഒരു AP ആണെന്ന് വിശദീകരിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു വ്യായാമമായി വിടുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാം

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

എന്നത് ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ $a$ ആദ്യ പദവും $d$ പൊതുവ്യത്യാസവുമാണ്. ഇതിനെ AP യുടെ പൊതുരൂപം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങളായ (a) മുതൽ (e) വരെ, പരിമിതമായ പദങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അത്തരമൊരു AP യെ പരിമിത AP എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ഓരോ സമാന്തര ശ്രേണികൾക്കും (AP കൾക്കും) ഒരു അവസാന പദം ഉണ്ടെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ വിഭാഗത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങളായ (i) മുതൽ (v) വരെയുള്ള AP കൾ പരിമിത AP കളല്ല, അതിനാൽ അവയെ അനന്ത സമാന്തര ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം AP കൾക്ക് അവസാന പദം ഇല്ല.

ഇപ്പോൾ, ഒരു AP യെക്കുറിച്ച് അറിയാൻ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എന്ത് വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്? ആദ്യ പദം മാത്രം അറിയുന്നത് മതിയോ? അല്ലെങ്കിൽ, പൊതുവ്യത്യാസം മാത്രം അറിയുന്നത് മതിയോ? ആദ്യ പദം $a$ ഉം പൊതുവ്യത്യാസം $d$ ഉം രണ്ടും അറിയേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യ പദം $a$ 6 ഉം പൊതുവ്യത്യാസം $d$ 3 ഉം ആണെങ്കിൽ, AP ആണ്

$ 6,9,12,15, \ldots $

ഒപ്പം $a$ 6 ഉം $d$ -3 ഉം ആണെങ്കിൽ, AP ആണ്

$ 6,3,0,-3, \ldots $

അതുപോലെ, എപ്പോൾ

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ AP }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ AP }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ AP } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ AP } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

അതിനാൽ, $a$ ഉം $d$ ഉം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, AP യുടെ പട്ടിക നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം. മറ്റൊരു വഴിയെന്താണ്? അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യാപട്ടിക നൽകിയാൽ, അത് ഒരു AP ആണെന്ന് പറയാനും പിന്നീട് $a$ ഉം $d$ ഉം കണ്ടെത്താനും കഴിയുമോ? $a$ ആദ്യ പദമായതിനാൽ, അത് എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാം. ഒരു AP യിൽ, ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തോട് $d$ കൂട്ടിക്കൊണ്ടാണ് ലഭിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, $d$ ഏതെങ്കിലും പദത്തിൽ നിന്ന് അതിനെ തുടർന്നുവരുന്ന പദം കുറച്ച് കണ്ടെത്താം, അതായത്, ഉടൻ തന്നെ അതിനെ പിന്തുടരുന്ന പദം ഒരു AP യ്ക്ക് സമാനമായിരിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയ്ക്ക്:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{നമുക്കുള്ളത്}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

ഇവിടെ ഓരോ കേസിലും ഏതെങ്കിലും രണ്ട് തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം 3 ആണ്. അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പട്ടിക ഒരു AP ആണ്, അതിന്റെ ആദ്യ പദം $a$ 6 ഉം പൊതുവ്യത്യാസം $d$ 3 ഉം ആണ്.

സംഖ്യകളുടെ പട്ടികയ്ക്ക്: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

ഇതും സമാനമായി ഒരു AP ആണ്, അതിന്റെ ആദ്യ പദം 6 ഉം പൊതുവ്യത്യാസം -3 ഉം ആണ്.

പൊതുവേ, ഒരു $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ ന്, നമുക്കുള്ളത്

$ d=a _{k+1}-a_k $

ഇവിടെ $a _{k+1}$ ഉം $a_k$ ഉം യഥാക്രമം $(k+1)$-ാം പദവും $k$-ാം പദവുമാണ്.

$d$ ഒരു നൽകിയ AP യിൽ ലഭിക്കാൻ, നമുക്ക് $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ എല്ലാം കണ്ടെത്തേണ്ടതില്ല. അവയിലൊന്ന് മാത്രം കണ്ടെത്തിയാൽ മതി.

സംഖ്യകളുടെ പട്ടിക 1,1, 2, 3, 5, … പരിഗണിക്കുക. അത് നോക്കുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് തുടർച്ചയായ പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം സമാനമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാം. അതിനാൽ, ഇതൊരു AP അല്ല.

AP: $6,3,0,-3, \ldots$ ൽ $d$ കണ്ടെത്താൻ, നമ്മൾ 6 ൽ നിന്ന് 3 കുറച്ചതാണ്, 3 ൽ നിന്ന് 6 അല്ല, അതായത്, $(k+1)$-ാം പദം $k$-ാം പദത്തേക്കാൾ ചെറുതാണെങ്കിലും, നമ്മൾ $(k+1)$-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് $k$-ാം പദം കുറക്കണം.

കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ വഴി ഈ ആശയം കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ ന്, ആദ്യ പദം $a$ ഉം പൊതുവ്യത്യാസം $d$ ഉം എഴുതുക.

പരിഹാരം : ഇവിടെ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$.

സംഖ്യകൾ ഒരു AP യിലാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് $d$ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഓർക്കുക.

ഉദാഹരണം 2 : ഇനിപ്പറയുന്ന സംഖ്യാപട്ടികകളിൽ ഏതാണ് ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നത്? അവ ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അടുത്ത രണ്ട് പദങ്ങൾ എഴുതുക:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

പരിഹാരം : (i) നമുക്കുള്ളത് $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

അതായത്, $\quad a _{k+1}-a_k$ എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ്.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാപട്ടിക ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നു, പൊതുവ്യത്യാസം $d=6$ ആണ്.

അടുത്ത രണ്ട് പദങ്ങൾ: $22+6=28$ ഉം $28+6=34$ ഉം ആണ്.

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

അതായത്, $a _{k+1}-a_k$ എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ്.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാപട്ടിക ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നു, പൊതുവ്യത്യാസം $d=-2$ ആണ്.

അടുത്ത രണ്ട് പദങ്ങൾ:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ and } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

$a_2-a_1 \neq a_3-a_2$ ആയതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാപട്ടിക ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നില്ല.

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

ഇവിടെ, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാപട്ടിക ഒരു AP രൂപീകരിക്കുന്നില്ല.

5.3 ഒരു AP യുടെ n-ാം പദം

5.1 വിഭാഗത്തിൽ നൽകിയിരുന്ന സാഹചര്യം വീണ്ടും പരിഗണിക്കാം, അതിൽ റീന ഒരു ജോലിക്ക് അപേക്ഷിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു. അവൾക്ക് ₹ 8000 പ്രതിമാസം ആരംഭ വേതനമായി നൽകുന്ന ജോലി വാഗ്ദാനം ചെയ്യപ്പെട്ടു, പ്രതിവർഷം ₹ 500 വർധനയുണ്ടാകും. അഞ്ചാം വർഷത്തെ അവളുടെ പ്രതിമാസ വേതനം എത്രയായിരിക്കും?

ഇതിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, രണ്ടാം വർഷത്തെ അവളുടെ പ്രതിമാസ വേതനം എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് ആദ്യം നോക്കാം.

അത് ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ ആയിരിക്കും. അതേ രീതിയിൽ, മുമ്പത്തെ വർഷത്തെ വേതനത്തോട് \text{ ₹ } 500 കൂട്ടിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് 3-ാം, 4-ാം, 5-ാം വർഷങ്ങളിലെ വേതനം കണ്ടെത്താം. അതിനാൽ, 3-ാം വർഷത്തെ വേതനം $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(3-ാം വർഷത്തിന്)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

4-ാം വർഷത്തെ വേതനം $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (4-ാം വർഷത്തിന്)

$=\text{ ₹ } 9500$

5-ാം വർഷത്തെ വേതനം $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (5-ാം വർഷത്തിന്) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യാപട്ടിക

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

എന്നത് ഒരു AP ആണെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. (എന്തുകൊണ്ട്?)

ഇപ്പോൾ, മുകളിൽ രൂപപ്പെട്ട പാറ്റേൺ നോക്കുമ്പോൾ, അവളുടെ ആറാം വർഷത്തെ പ്രതിമാസ വേതനം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താമോ? 15-ാം വർഷത്തെ? അവൾ ഇപ്പോഴും ജോലിയിൽ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുകയാണെങ്കിൽ, 25-ാം വർഷത്തെ പ്രതിമാസ വേതനമെന്താണ്? മുമ്പത്തെ വർഷത്തെ വേതനത്തോട് ഓരോ തവണയും ₹ 500 കൂട്ടിക്കൊണ്ട് നിങ്ങൾ ഇത് കണക്കാക്കും. ഈ പ്രക്രിയ ചെറുതാക്കാൻ കഴിയുമോ? നോക്കാം. മുകളിൽ വേതനങ്ങൾ ലഭിച്ച രീതിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ചില ധാരണ ലഭിച്ചിരിക്കാം.

15-ാം വർഷത്തെ വേതനം

$ \begin{aligned} & =\text{ 14-ാം വർഷത്തെ വേതനം }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ തവണ }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

അതായത്, ആദ്യ വേതനം $+(15-1) \times$ വാർഷിക വർധന.

അതേ രീതിയിൽ, 25-ാം വർഷത്തെ അവളുടെ പ്രതിമാസ വേതനം

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ ആദ്യ വേ