5.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ನಿಸರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೂರ್ಯಕಾಂತಿಯ ದಳಗಳು, ಜೇನುಗೂಡಿನ ರಂಧ್ರಗಳು, ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ಕಾಂಡದ ಮೇಲಿನ ದಾನೆಗಳು, ಅನಾನಸ್ ಮತ್ತು ಪೈನ್ ಕೋನ್ ಮೇಲಿನ ಸುರುಳಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

(i) ರೀಣಾ ಒಂದು ಉದ್ಯೋಗಕ್ಕೆ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಿದಳು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಾದಳು. ಅವಳಿಗೆ ₹ 8000 ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳದೊಂದಿಗೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ₹ 500 ಸಂಬಳ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಉದ್ಯೋಗ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 ನೇ, 2 ನೇ, 3 ನೇ, … ವರ್ಷಗಳಿಗೆ ಅವಳ ಸಂಬಳ (₹ ನಲ್ಲಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) ಒಂದು ಏಣಿಯ ಹಂತಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ $2 cm$ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 5.1 ನೋಡಿ). ಕೆಳಗಿನ ಹಂತದ ಉದ್ದ $45 cm$ ಆಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ 1 ನೇ, 2 ನೇ, 3 ನೇ, …, 8 ನೇ ಹಂತಗಳ ಉದ್ದಗಳು ($cm$ ನಲ್ಲಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ

$45,43,41,39,37,35,33,31$

ಚಿತ್ರ 5.1

(iii) ಒಂದು ಉಳಿತಾಯ ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ 3 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಮೊತ್ತವು ತನ್ನದೇ ಆದ $\dfrac{5}{4}$ ರಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ. 3, 6, 9 ಮತ್ತು 12 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ₹ 8000 ಹೂಡಿಕೆಯ ಮುಕ್ತಾಯ ಮೊತ್ತ (₹ ನಲ್ಲಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ:

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) $1,2,3, \ldots$ ಘಟಕಗಳ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿನ ಘಟಕ ಚೌಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.2 ನೋಡಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

ಚಿತ್ರ 5.2

(v) ಶಕೀಲಾ ತನ್ನ ಮಗಳ ಹಣದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಅವಳು ಒಂದು ವರ್ಷದವಳಾಗಿದ್ದಾಗ ₹ 100 ಹಾಕಿದಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ₹ 50 ರಂತೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಳು. 1 ನೇ, 2 ನೇ, 3 ನೇ, 4 ನೇ, … ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಹಣದ ಮೊತ್ತಗಳು (₹ ನಲ್ಲಿ)

100, 150, 200, 250, .., ಕ್ರಮವಾಗಿ.

(vi) ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೊಲಗಳು ತಮ್ಮ ಮೊದಲ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡಲು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ, ಅವು ಒಂದು ಹೊಸ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಜೋಡಿ ಮೊಲಗಳು ತಮ್ಮ ಎರಡನೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೊಸ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 5.3 ನೋಡಿ). ಯಾವುದೇ ಮೊಲ ಸಾಯುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, 1 ನೇ, 2 ನೇ, 3 ನೇ, …, 6 ನೇ ತಿಂಗಳ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಮೊಲಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ:

$ 1,1,2,3,5,8 $

ಚಿತ್ರ 5.3

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವರಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಂತರದ ಪದಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇತರರಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತೊಂದರಲ್ಲಿ ಅವು ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಹೀಗೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಪದಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳ $n$ ನೇ ಪದಗಳು ಮತ್ತು $n$ ಸತತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕೆಲವು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

5.2 ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೇ? ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ? ಬಹುಶಃ ಒಂದು ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ನಾವು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

(i) ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕಿಂತ 1 ಹೆಚ್ಚು.

(ii) ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕಿಂತ 30 ಕಡಿಮೆ.

(iii) ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ 1 ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(iv) ನಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು 3, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ 0 ಸೇರಿಸುವ (ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವ) ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

(v) ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ -0.5 ಸೇರಿಸುವ (ಅಂದರೆ, 0.5 ಕಳೆಯುವ) ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಂತರದ ಪದಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು (AP) ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು AP ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

AP ಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು $a_1$, ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು $a_2, \ldots, n$ ನೇ ಪದವನ್ನು $a_n$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು $d$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ AP ಆಗುತ್ತದೆ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$.

AP ಯ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

(ಎ) ಬೆಳಗಿನ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ ನಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಒಂದು ಶಾಲೆಯ ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ($cm$ ನಲ್ಲಿ) $147,148,149, \ldots, 157$.

(ಬಿ) ಒಂದು ನಗರದಲ್ಲಿ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಾರದ ದಾಖಲಾದ ಕನಿಷ್ಠ ತಾಪಮಾನಗಳು (ಡಿಗ್ರಿ ಸೆಲ್ಸಿಯಸ್ ನಲ್ಲಿ) ಏರಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(ಸಿ) ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳು ಒಟ್ಟು ₹ 1000 ರ ಸಾಲಿನ $5 %$ ಪಾವತಿಸಿದ ನಂತರ ಉಳಿದ ಹಣ (₹ ನಲ್ಲಿ) $950,900,850,800, \ldots, 50$.

(ಡಿ) I ನಿಂದ XII ತರಗತಿಗಳ ಉತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಶಾಲೆಯು ನೀಡುವ ನಗದು ಬಹುಮಾನಗಳು (₹ ನಲ್ಲಿ) ಕ್ರಮವಾಗಿ 200, 250, 300, 350, …, 750.

(ಇ) ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳು ₹ 50 ಉಳಿಸಿದಾಗ 10 ತಿಂಗಳುಗಳ ನಂತರ ಒಟ್ಟು ಉಳಿತಾಯ (₹ ನಲ್ಲಿ) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500.

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಪಟ್ಟಿಯು AP ಆಗಿರಲು ಕಾರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ನಿಮಗೆ ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.

ನೀವು ನೋಡಬಹುದು

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು $d$ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಇದನ್ನು AP ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಎ) ರಿಂದ (ಇ) ವರೆಗೆ, ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂತಹ AP ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ AP ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಗಳು (AP ಗಳು) ಕೊನೆಯ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (i) ರಿಂದ (v) ರಲ್ಲಿನ AP ಗಳು ಸೀಮಿತ AP ಗಳಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಶ್ರೇಢಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ AP ಗಳು ಕೊನೆಯ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಈಗ, AP ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯಲು, ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮಾಹಿತಿ ಯಾವುದು? ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕೇ? ಅಥವಾ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕೇ? ನೀವು ಎರಡನ್ನೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ - ಮೊದಲ ಪದ $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಪದ $a$ 6 ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, AP

$ 6,9,12,15, \ldots $

ಮತ್ತು $a$ 6 ಮತ್ತು $d$ -3 ಆಗಿದ್ದರೆ, AP

$ 6,3,0,-3, \ldots $

ಅಂತೆಯೇ, ಯಾವಾಗ

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ AP }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ AP }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ AP } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ AP } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

ಆದ್ದರಿಂದ, $a$ ಮತ್ತು $d$ ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನೀವು AP ಅನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏನು? ಅಂದರೆ, ನಿಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು AP ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ $a$ ಮತ್ತು $d$ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? $a$ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. AP ಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ $d$ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $d$ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಅದರ ನಂತರದ ಪದದಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಅನುಸರಿಸುವ ಪದವು AP ಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ:

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 3 ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಪಟ್ಟಿಯು AP ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ $a$ 6 ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ 3 ಆಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಾಗಿ: $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

ಅಂತೆಯೇ ಇದು ಕೂಡ AP ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ 6 ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ -3 ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$ d=a _{k+1}-a_k $

ಇಲ್ಲಿ $a _{k+1}$ ಮತ್ತು $a_k$ ಕ್ರಮವಾಗಿ $(k+1)$ ನೇ ಮತ್ತು $k$ ನೇ ಪದಗಳು.

ನೀಡಲಾದ AP ಯಲ್ಲಿ $d$ ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ 1,1, 2, 3, 5, … ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು AP ಅಲ್ಲ.

AP: $6,3,0,-3, \ldots$ ನಲ್ಲಿ $d$ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು 6 ರಿಂದ 3 ಅನ್ನು ಕಳೆದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ 6 ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, $(k+1)$ ನೇ ಪದವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ನಾವು $k$ ನೇ ಪದದಿಂದ $(k+1)$ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : AP: $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ ಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಪದ $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲಿ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು AP ಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $d$ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ? ಅವು AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

ಪರಿಹಾರ: (i) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

ಅಂದರೆ, $\quad a _{k+1}-a_k$ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d=6$ ನೊಂದಿಗೆ AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಪದಗಳು: $22+6=28$ ಮತ್ತು $28+6=34$.

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

ಅಂದರೆ, $a _{k+1}-a_k$ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d=-2$ ನೊಂದಿಗೆ AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಪದಗಳು:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ ಮತ್ತು } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

$a_2-a_1 \neq a_3-a_2$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

ಇಲ್ಲಿ, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯು AP ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

5.3 AP ಯ n ನೇ ಪದ

ರೀಣಾ ಉದ್ಯೋಗಕ್ಕೆ ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಿದ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ವಿಭಾಗ 5.1 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಾದಳು. ಅವಳಿಗೆ ₹ 8000 ಪ್ರಾರಂಭಿಕ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳದೊಂದಿಗೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ₹ 500 ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಉದ್ಯೋಗ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಅವಳ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳ ಎಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ?

ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಎರಡನೇ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಅವಳ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳ ಎಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ನೋಡೋಣ.

ಅದು ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳಕ್ಕೆ ₹ 500 ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು 3 ನೇ, 4 ನೇ ಮತ್ತು 5 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, 3 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(3 ನೇ ವರ್ಷಕ್ಕೆ)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

4 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (4 ನೇ ವರ್ಷಕ್ಕೆ)

$=\text{ ₹ } 9500$

5 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (5 ನೇ ವರ್ಷಕ್ಕೆ) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು AP ಯಲ್ಲಿವೆ. (ಏಕೆ?)

ಈಗ, ಮೇಲೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿ, ನೀವು 6 ನೇ ವರ್ಷದ ಅವಳ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? 15 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ? ಮತ್ತು, ಅವಳು ಇನ್ನೂ ಉದ್ಯೋಗದಲ್ಲಿದ್ದಾಳೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, 25 ನೇ ವರ್ಷದ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳ ಏನು? ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ₹ 500 ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದೇ? ನೋಡೋಣ. ಮೇಲೆ ನಾವು ಸಂಬಳಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ರೀತಿಯಿಂದ ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆ ಬಂದಿರಬಹುದು.

15 ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ

$ \begin{aligned} & =14 \text{ ನೇ ವರ್ಷದ ಸಂಬಳ }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ ಬಾರಿ }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಸಂಬಳ $+(15-1) \times$ ವಾರ್ಷಿಕ ಹೆಚ್ಚಳ.

ಅದೇ ರೀತಿ, 25 ನೇ ವರ್ಷದ ಅವಳ ಮಾಸಿಕ ಸಂಬಳ

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ ಮೊದಲ ಸಂಬಳ }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ ವಾರ್ಷಿಕ ಹೆಚ್ಚಳ } \end{aligned} $

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಿಮಗೆ AP ಯ 15 ನೇ ಪದ, ಅಥವಾ 25 ನೇ ಪದ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, $n$ ನೇ ಪದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಿರಬಹುದು.

$a_1, a_2, a_3, \ldots$ ಒಂದು AP ಆಗಿರಲಿ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದ $a_1$ $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಆಗಿದೆ.

ನಂತರ,

ಎರಡನೇ ಪದ $a_2=a+d=a+(2-1) d$

ಮೂರನೇ ಪದ $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

ನಾಲ್ಕನೇ ಪದ $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, $\boldsymbol{{}n}$ ನೇ ಪದ $a_n=a+(n-1) d$ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಪದ $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಹೊಂದಿರುವ AP ಯ $n$ ನೇ ಪದ $a_n$ ಅನ್ನು $a_n=a+(n-1) d$ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. $\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$ ಅನ್ನು AP ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. AP ಯಲ್ಲಿ $m$ ಪದಗಳಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $a_m$ ಕೊನೆಯ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ $l$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: AP: 2, 7, 12, . . ನ 10 ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲಿ, $a=2, \quad d=7-2=5$ ಮತ್ತು $n=10$.

$ \text {ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {ಆದ್ದರಿಂದ,}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ AP ಯ 10 ನೇ ಪದ 47 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: AP: $21,18,15, \ldots$ ನ ಯಾವ ಪದ -81 ಆಗಿದೆ? ಹಾಗೆಯೇ, ಯಾವುದೇ ಪದ 0 ಆಗಿದೆಯೇ? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ನೀಡಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲಿ, $a=21, d=18-21=-3$ ಮತ್ತು $a_n=-81$, ಮತ್ತು ನಾವು $n$ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

$ \text{ಏಕೆಂದರೆ} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{ಆದ್ದರಿಂದ,}\quad n=35 $

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ AP ಯ 35 ನೇ ಪದ -81 ಆಗಿದೆ.

ಮುಂದೆ, ಯಾವುದೇ $n$ ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ $a_n=0$ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ $n$ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ

$ \begin{aligned} &21+(n-1)(-3) =0, \\ \text{ಅಂದರೆ, } \quad \quad &3(n-1) =21 \\ \text{ಅಂದರೆ, } \quad \quad &n =8 \end{aligned} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂಟನೇ ಪದ 0 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5: 3 ನೇ ಪದ 5 ಮತ್ತು 7 ನೇ ಪದ 9 ಆಗಿರುವ AP ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ \begin{align*} & a_3=a+(3-1) d=a+2 d=5 \tag{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} &\text{and}\quad a_7=a+(7-1) d=a+6 d=9 \tag{2} \end{align*} $$

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು (1) ಮತ್ತು (2) ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯು