5.1 పరిచయం

ప్రకృతిలో చాలా వస్తువులు ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను అనుసరిస్తాయని మీరు గమనించి ఉండవచ్చు, ఉదాహరణకు సూర్యకాంతి పువ్వు రేకులు, తేనెగూడు రంధ్రాలు, మొక్కజొన్న కాండం మీద గింజలు, అనాసపండు మరియు పైన్ కోన్ మీద సర్పిలాలు మొదలైనవి.

ఇప్పుడు మనం మన రోజువారీ జీవితంలో కనిపించే కొన్ని నమూనాలను చూద్దాం. అలాంటి కొన్ని ఉదాహరణలు :

(i) రీనా ఒక ఉద్యోగానికి దరఖాస్తు చేసుకుంది మరియు ఎంపికైంది. ఆమెకు ప్రారంభ నెలవారీ జీతం ₹ 8000 తో, సంవత్సరానికి ₹ 500 వార్షిక ఇంక్రిమెంట్ తో ఉద్యోగం ఆఫర్ చేయబడింది. ఆమె జీతం (₹ లో) 1వ, 2వ, 3వ, . . . సంవత్సరాలకు వరుసగా ఇలా ఉంటుంది

$ 8000, \quad 8500, \quad 9000, \ldots $

(ii) ఒక నిచ్చెన మెట్ల పొడవులు క్రమంగా ఏకరీతిగా $2 cm$ తగ్గుతాయి (Fig. 5.1 చూడండి). క్రింది మెట్టు పొడవు $45 cm$. క్రింది నుండి పైకి 1వ, 2వ, 3వ, …, 8వ మెట్టు పొడవులు ($cm$ లో) వరుసగా

$45,43,41,39,37,35,33,31$

Fig. 5.1

(iii) ఒక పొదుపు పథకంలో, మొత్తం ప్రతి 3 సంవత్సరాల తర్వాత $\dfrac{5}{4}$ రెట్లు అవుతుంది. ₹ 8000 పెట్టుబడి పై 3, 6, 9 మరియు 12 సంవత్సరాల తర్వాత మెచ్యూరిటీ మొత్తం (₹ లో) వరుసగా ఇలా ఉంటుంది :

$10000, \quad 12500, \quad 15625,19531.25$

(iv) భుజం $1,2,3, \ldots$ యూనిట్లు గల చతురస్రాలలో యూనిట్ చతురస్రాల సంఖ్య (Fig. 5.2 చూడండి) వరుసగా

$1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots$

Fig. 5.2

(v) షకీల తన కుమార్తె డబ్బు పెట్టెలో ఆమె ఒక సంవత్సరం వయస్సులో ఉన్నప్పుడు ₹ 100 వేసింది మరియు ప్రతి సంవత్సరం ₹ 50 చొప్పున మొత్తాన్ని పెంచింది. 1వ, 2వ, 3వ, 4వ, . . . పుట్టినరోజుల్లో పెట్టెలో ఉన్న డబ్బు మొత్తాలు (₹ లో)

100, 150, 200, 250, .., వరుసగా.

(vi) ఒక జత కుందేళ్ళు వాటి మొదటి నెలలో పిల్లలను కనడానికి చాలా చిన్నవి. రెండవ నెలలో, మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో, అవి ఒక కొత్త జతను కంటాయి. ప్రతి కొత్త జత కుందేళ్ళు వాటి రెండవ నెలలో మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో ఒక కొత్త జతను కంటాయి (Fig. 5.3 చూడండి). ఎటువంటి కుందేలు చనిపోవదని ఊహిస్తే, 1వ, 2వ, 3వ, …, 6వ నెల ప్రారంభంలో కుందేళ్ళ జతల సంఖ్య వరుసగా :

$ 1,1,2,3,5,8 $

Fig. 5.3

పై ఉదాహరణలలో, మనం కొన్ని నమూనాలను గమనించవచ్చు. కొన్నింటిలో, తదుపరి పదాలు ఒక స్థిర సంఖ్యను కూడడం ద్వారా లభిస్తాయి, మరికొన్నింటిలో ఒక స్థిర సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా, మరో దానిలో అవి వరుస సంఖ్యల వర్గాలుగా ఉన్నాయి, మరియు మొదలైనవి.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం ఈ నమూనాలలో ఒకదాన్ని చర్చిస్తాము, దీనిలో తదుపరి పదాలు ముందు పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కూడడం ద్వారా లభిస్తాయి. వాటి $n$వ పదాలను మరియు $n$ వరుస పదాల మొత్తాన్ని ఎలా కనుగొనాలో కూడా చూస్తాము, మరియు ఈ జ్ఞానాన్ని కొన్ని రోజువారీ జీవిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగిస్తాము.

5.2 అంకశ్రేఢులు (Arithmetic Progressions)

కింది సంఖ్యల జాబితాలను పరిగణించండి :

(i) $1,2,3,4, \ldots$

(ii) $100,70,40,10, \ldots$

(iii) $-3,-2,-1,0, \ldots$

(iv) $3,3,3,3, \ldots$

(v) $-1.0,-1.5,-2.0,-2.5, \ldots$

జాబితాలోని ప్రతి సంఖ్యను ఒక పదం అంటారు.

ఇచ్చిన పదం ద్వారా, మీరు పై జాబితాలలో ప్రతి దానిలో తదుపరి పదాన్ని రాయగలరా? అవును అయితే, మీరు దానిని ఎలా రాస్తారు? బహుశా ఒక నమూనా లేదా నియమాన్ని అనుసరించి. చూద్దాం మరియు నియమాన్ని రాద్దాం.

(i) లో, ప్రతి పదం దాని ముందు పదం కంటే 1 ఎక్కువ.

(ii) లో, ప్రతి పదం దాని ముందు పదం కంటే 30 తక్కువ.

(iii) లో, ప్రతి పదం దాని ముందు పదానికి 1 కూడడం ద్వారా లభిస్తుంది.

(iv) లో, జాబితాలోని అన్ని పదాలు 3, అంటే, ప్రతి పదం దాని ముందు పదానికి 0 కూడడం (లేదా తీసివేయడం) ద్వారా లభిస్తుంది.

(v) లో, ప్రతి పదం దాని ముందు పదానికి -0.5 కూడడం ద్వారా (అంటే, 0.5 తీసివేయడం ద్వారా) లభిస్తుంది.

పై అన్ని జాబితాలలో, మనం చూస్తున్నాం తదుపరి పదాలు ముందు పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కూడడం ద్వారా లభిస్తాయి. అటువంటి సంఖ్యల జాబితా ఒక అంకశ్రేఢిని (AP) ఏర్పరుస్తుంది అని చెప్పబడుతుంది.

కాబట్టి, ఒక అంకశ్రేఢి అనేది సంఖ్యల జాబితా, దీనిలో ప్రతి పదం మొదటి పదం మినహా ముందు పదానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కూడడం ద్వారా లభిస్తుంది.

ఈ స్థిర సంఖ్యను AP యొక్క సామాన్య భేదం అంటారు. ఇది ధనాత్మకం, రుణాత్మకం లేదా సున్నా కావచ్చు అని గుర్తుంచుకోండి.

AP యొక్క మొదటి పదాన్ని $a_1$ తో, రెండవ పదాన్ని $a_2, \ldots, n$ తో, nవ పదాన్ని $a_n$ తో మరియు సామాన్య భేదాన్ని $d$ తో సూచిస్తాము. అప్పుడు AP $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ అవుతుంది.

కాబట్టి, $\quad a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_n-a _{n-1}=d$.

AP యొక్క మరికొన్ని ఉదాహరణలు:

(a) ఉదయం అసెంబ్లీలో క్యూలో నిలబడి ఉన్న ఒక పాఠశాలలోని కొంతమంది విద్యార్థుల ఎత్తులు ($cm$ లో) $147,148,149, \ldots, 157$.

(b) ఒక నగరంలో జనవరి నెలలో ఒక వారం రికార్డ్ చేయబడిన కనిష్ట ఉష్ణోగ్రతలు (డిగ్రీ సెల్సియస్లో) ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చినప్పుడు

$ -3.1,-3.0,-2.9,-2.8,-2.7,-2.6,-2.5 $

(c) ప్రతి నెల ₹ 1000 మొత్తం లోన్ లో $5 %$ చెల్లించిన తర్వాత మిగిలిన బ్యాలెన్స్ డబ్బు (₹ లో) $950,900,850,800, \ldots, 50$.

(d) I నుండి XII తరగతుల టాపర్లకు ఒక పాఠశాల ఇచ్చిన నగదు బహుమతులు (₹ లో) వరుసగా 200, 250, 300, 350, …, 750.

(e) ప్రతి నెల ₹ 50 పొదుపు చేసినప్పుడు 10 నెలల తర్వాత మొత్తం పొదుపు (₹ లో) 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500.

పైన ఉన్న ప్రతి జాబితా ఎందుకు ఒక AP అని వివరించడం మీ కోసం ఒక వ్యాయామంగా మిగిలిపోయింది.

మీరు చూడగలరు

$ a, a+d, a+2 d, a+3 d, \ldots $

ఒక అంకశ్రేఢిని సూచిస్తుంది, ఇక్కడ $a$ మొదటి పదం మరియు $d$ సామాన్య భేదం. దీనిని AP యొక్క సాధారణ రూపం అంటారు.

పై ఉదాహరణలు (a) నుండి (e) లో, పరిమిత సంఖ్యలో పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయని గమనించండి. అటువంటి APని పరిమిత AP అంటారు. ఈ ప్రతి అంకశ్రేఢులకు (APలకు) చివరి పదం ఉందని కూడా గమనించండి. ఈ విభాగంలోని ఉదాహరణలు (i) నుండి (v) లోని APలు పరిమిత APలు కావు మరియు అందువల్ల వాటిని అనంత అంకశ్రేఢులు అంటారు. అటువంటి APలకు చివరి పదం ఉండదు.

ఇప్పుడు, ఒక AP గురించి తెలుసుకోవడానికి, మీకు అవసరమైన కనీస సమాచారం ఏమిటి? మొదటి పదం తెలుసుకోవడం సరిపోతుందా? లేదా, సామాన్య భేదం మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోతుందా? మీరు రెండూ తెలుసుకోవాల్సిన అవసరం ఉందని గుర్తించవచ్చు - మొదటి పదం $a$ మరియు సామాన్య భేదం $d$.

ఉదాహరణకు మొదటి పదం $a$ 6 మరియు సామాన్య భేదం $d$ 3 అయితే, AP

$ 6,9,12,15, \ldots $

మరియు $a$ 6 మరియు $d$ -3 అయితే, AP

$ 6,3,0,-3, \ldots $

అదేవిధంగా, ఎప్పుడు

$ \begin{array}{lll} a=-7, & d=-2, & \quad \text{ the AP is }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=1.0, & d=0.1, & \quad \text{ the AP is }-7,-9,-11,-13, \ldots \\ a=0, & d=1 \dfrac{1}{2},& \quad \text{ the AP is } 0,1 \dfrac{1}{2}, 3,4 \dfrac{1}{2}, 6, \ldots \\ a=2, & d=0,& \quad \text{ the AP is } 2,2,2,2, \ldots \end{array} $

కాబట్టి, $a$ మరియు $d$ ఏమిటో మీకు తెలిస్తే, మీరు APని జాబితా చేయగలరు. దీనికి విరుద్ధంగా ఏమి ఉంది? అంటే, మీకు సంఖ్యల జాబితా ఇవ్వబడితే, అది ఒక AP అని మీరు చెప్పగలరా మరియు తర్వాత $a$ మరియు $d$ కనుగొనగలరా? $a$ మొదటి పదం కాబట్టి, దానిని సులభంగా రాయవచ్చు. ఒక APలో, ప్రతి తదుపరి పదం ముందు పదానికి $d$ కూడడం ద్వారా లభిస్తుందని మనకు తెలుసు. కాబట్టి, ఏదైనా పదం నుండి దాని తదుపరి పదాన్ని తీసివేయడం ద్వారా $d$ కనుగొనబడుతుంది, అంటే, వెంటనే అనుసరించే పదం ఒక AP కోసం ఒకేలా ఉండాలి.

ఉదాహరణకు, సంఖ్యల జాబితా కోసం :

$ 6,9,12,15, \ldots, \\ $

$ \begin{aligned} \text{We have}\\ & a_2-a_1=9-6=3, \\ & a_3-a_2=12-9=3, \\ & a_4-a_3=15-12=3 \end{aligned} $

ఇక్కడ ప్రతి సందర్భంలో ఏదైనా రెండు వరుస పదాల భేదం 3. కాబట్టి, ఇచ్చిన జాబితా ఒక AP, దీని మొదటి పదం $a$ 6 మరియు సామాన్య భేదం $d$ 3.

సంఖ్యల జాబితా కోసం : $6,3,0,-3, \ldots$,

$ \begin{aligned} & a_2-a_1=3-6=-3 \\ & a_3-a_2=0-3=-3 \\ & a_4-a_3=-3-0=-3 \end{aligned} $

అదేవిధంగా ఇది కూడా ఒక AP, దీని మొదటి పదం 6 మరియు సామాన్య భేదం -3.

సాధారణంగా, ఒక $AP a_1, a_2, \ldots, a_n$ కోసం, మనకు ఉంది

$ d=a _{k+1}-a_k $

ఇక్కడ $a _{k+1}$ మరియు $a_k$ వరుసగా $(k+1)$వ మరియు $k$వ పదాలు.

ఇచ్చిన APలో $d$ పొందడానికి, మనం $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, \ldots$లన్నింటినీ కనుగొనవలసిన అవసరం లేదు. వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే కనుగొనడం సరిపోతుంది.

సంఖ్యల జాబితా 1,1, 2, 3, 5, … ను పరిగణించండి. దానిని చూడటం ద్వారా, మీరు చెప్పగలరు ఏదైనా రెండు వరుస పదాల మధ్య భేదం ఒకేలా లేదు. కాబట్టి, ఇది ఒక AP కాదు.

AP : $6,3,0,-3, \ldots$ లో $d$ కనుగొనడానికి, మేము 6 నుండి 3ని తీసివేసాము కానీ 3 నుండి 6ని కాదు, అంటే, $(k+1)$వ పదం చిన్నదిగా ఉన్నప్పటికీ, మనం $k$వ పదం నుండి $(k+1)$వ పదాన్ని తీసివేయాలి.

కొన్ని ఉదాహరణల ద్వారా భావనను మరింత స్పష్టంగా చేద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : AP : $\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2}, \ldots$ కోసం, మొదటి పదం $a$ మరియు సామాన్య భేదం $d$ రాయండి.

సాధన : ఇక్కడ, $a=\dfrac{3}{2}, d=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1$.

సంఖ్యలు APలో ఉన్నాయని తెలిసిన తర్వాత, మనం ఏదైనా రెండు వరుస పదాలను ఉపయోగించి $d$ కనుగొనగలమని గుర్తుంచుకోండి.

ఉదాహరణ 2 : కింది సంఖ్యల జాబితాలలో ఏది ఒక APని ఏర్పరుస్తుంది? అవి APని ఏర్పరిస్తే, తదుపరి రెండు పదాలు రాయండి :

(i) $4,10,16,22, \ldots$

(ii) $1,-1,-3,-5, \ldots$

(iii) $-2,2,-2,2,-2, \ldots$

(iv) $1,1,1,2,2,2,3,3,3, \ldots$

సాధన : (i) మనకు ఉంది $a_2-a_1=10-4=6$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=16-10=6 \\ & a_4-a_3=22-16=6 \end{aligned} $

అంటే, $\quad a _{k+1}-a_k$ ప్రతిసారీ ఒకేలా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా ఒక APని ఏర్పరుస్తుంది, సామాన్య భేదం $d=6$.

తదుపరి రెండు పదాలు: $22+6=28$ మరియు $28+6=34$.

(ii) $a_2-a_1=-1-1=-2$

$ \begin{aligned} & a_3-a_2=-3-(-1)=-3+1=-2 \\ & a_4-a_3=-5-(-3)=-5+3=-2 \end{aligned} $

అంటే, $a _{k+1}-a_k$ ప్రతిసారీ ఒకేలా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా ఒక APని ఏర్పరుస్తుంది, సామాన్య భేదం $d=-2$.

తదుపరి రెండు పదాలు:

$ -5+(-2)=-7 \quad \text{ and } \quad-7+(-2)=-9 $

(iii) $a_2-a_1=2-(-2)=2+2=4$

$ a_3-a_2=-2-2=-4 $

$a_2-a_1 \neq a_3-a_2$ గా ఉన్నందున, ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా APని ఏర్పరచదు.

(iv) $a_2-a_1=1-1=0$

$a_3-a_2=1-1=0$

$a_4-a_3=2-1=1$

ఇక్కడ, $a_2-a_1=a_3-a_2 \neq a_4-a_3$.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సంఖ్యల జాబితా APని ఏర్పరచదు.

5.3 AP యొక్క nవ పదం

రీనా ఉద్యోగానికి దరఖాస్తు చేసుకుని ఎంపికైన సెక్షన్ 5.1లో ఇచ్చిన పరిస్థితిని మళ్లీ పరిగణించండి. ఆమెకు ప్రారంభ నెలవారీ జీతం ₹ 8000 తో, వార్షిక ఇంక్రిమెంట్ ₹ 500 తో ఉద్యోగం ఆఫర్ చేయబడింది. ఐదవ సంవత్సరానికి ఆమె నెలవారీ జీతం ఎంత ఉంటుంది?

దీనికి సమాధానం ఇవ్వడానికి, రెండవ సంవత్సరానికి ఆమె నెలవారీ జీతం ఎంత ఉంటుందో ముందుగా చూద్దాం.

అది ₹ $(8000+500)=\text{ ₹ } 8500$ ఉంటుంది. అదే విధంగా, మేము మునుపటి సంవత్సరం జీతానికి \text{ ₹ } 500 కూడడం ద్వారా 3వ, 4వ మరియు 5వ సంవత్సరాలకు నెలవారీ జీతాన్ని కనుగొనవచ్చు. కాబట్టి, 3వ సంవత్సరానికి జీతం $=\text{ ₹ } (8500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+2 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{3}-\mathbf{1}) \times 500] \quad \text{(for the 3rd year)} \\ & =\text{ ₹ } 9000 \end{aligned} $

4వ సంవత్సరానికి జీతం $=\text{ ₹ } (9000+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+500+500+500)$

$=\text{ ₹ } (8000+3 \times 500)$

$=\text{ ₹ } [8000+(4-1) \times 500] \quad$ (4వ సంవత్సరానికి)

$=\text{ ₹ } 9500$

5వ సంవత్సరానికి జీతం $=\text{₹}(9500+500)$

$ \begin{aligned} & =\text{ ₹ } (8000+500+500+500+500) \\ & =\text{ ₹ } (8000+4 \times 500) \\ & =\text{ ₹ } [8000+(5-1) \times 500] \quad \text{ (for the 5th year) } \\ & =\text{ ₹ } 10000 \end{aligned} $

మనం సంఖ్యల జాబితాను పొందుతున్నామని గమనించండి

$ 8000,8500,9000,9500,10000, \ldots $

ఈ సంఖ్యలు APలో ఉన్నాయి. (ఎందుకు?)

ఇప్పుడు, పైన ఏర్పడిన నమూనాను చూస్తే, ఆమె 6వ సంవత్సరానికి నెలవారీ జీతం మీరు కనుగొనగలరా? 15వ సంవత్సరానికి? మరియు, ఆమె ఇంకా ఉద్యోగంలో పని చేస్తూనే ఉంటుందని ఊహిస్తే, 25వ సంవత్సరానికి నెలవారీ జీతం ఏమిటి? మీరు దీనిని మునుపటి సంవత్సరం జీతానికి ప్రతిసారీ ₹ 500 కూడడం ద్వారా లెక్కించి సమాధానం ఇస్తారు. ఈ ప్రక్రియను మనం చిన్నదిగా చేయగలమా? చూద్దాం. పైన మేము జీతాలను ఎలా పొందామో దాని నుండి మీకు ఇప్పటికే కొంత ఆలోచన వచ్చి ఉండవచ్చు.

15వ సంవత్సరానికి జీతం

$ \begin{aligned} & =\text{ 14వ సంవత్సరానికి జీతం }+ \text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+\underbrace{500+500+500+\ldots+500} _{13 \text{ times }}]+\text{ ₹ } 500 \\ & =\text{ ₹ } [8000+14 \times 500] \\ & =\text{ ₹ } [8000+(\mathbf{1 5}-\mathbf{1}) \times 500]=\text{ ₹ } 15000 \end{aligned} $

అంటే, మొదటి జీతం $+(15-1) \times$ వార్షిక ఇంక్రిమెంట్.

అదే విధంగా, ఆమె 25వ సంవత్సరానికి నెలవారీ జీతం

$ \begin{aligned} & \text{ ₹ } [8000+(25-1) \times 500]=\text{ ₹ } 20000 \\ = & \text{ మొదటి జీతం }+(25-\mathbf{1}) \times \text{ వార్షిక ఇంక్రిమెంట్ } \end{aligned} $

ఈ ఉదాహరణ మీకు 15వ పదం, లేదా 25వ పదం, మరియు మరింత సాధారణంగా, AP యొక్క $n$వ పదాన్ని ఎలా రాయాలో కొంత ఆలోచన ఇచ్చి ఉండవచ్చు.

$a_1, a_2, a_3, \ldots$ ఒక APగా ఉండనివ్వండి, దీని మొదటి పదం $a_1$ $a$ మరియు సామాన్య భేదం $d$.

అప్పుడు,

రెండవ పదం $a_2=a+d=a+(2-1) d$

మూడవ పదం $\quad a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2 d=a+(3-1) d$

నాల్గవ పదం $\quad a_4=a_3+d=(a+2 d)+d=a+3 d=a+(\mathbf{4 - 1}) d$

నమూనాను చూస్తే, $\boldsymbol{{}n}$వ పదం $a_n=a+(n-1) d$ అని చెప్పగలం.

కాబట్టి, మొదటి పదం $a$ మరియు సామాన్య భేదం $d$ గల AP యొక్క $n$వ పదం $a_n$ $a_n=a+(n-1) d$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. $\boldsymbol{{}a} _{\boldsymbol{{}n}}$ని AP యొక్క సాధారణ పదం అని కూడా అంటారు. APలో $m$ పదాలు ఉంటే, అప్పుడు $a_m$ చివరి పదాన్ని సూచిస్తుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు $l$ ద్వారా కూడా సూచిస్తారు.

కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 3 : AP : 2, 7, 12, . . యొక్క 10వ పదాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : ఇక్కడ, $a=2, \quad d=7-2=5$ మరియు $n=10$.

$ \text {We have} \qquad a_n=a+(n-1) d $

$ \text {So,}\qquad a _{10}=2+(10-1) \times 5=2+45=47 $

కాబట్టి, ఇచ్చిన AP యొక్క 10వ పదం 47.

ఉదాహరణ 4 : AP : $21,18,15, \ldots$ లో ఏ పదం -81? అలాగే, ఏదైనా పదం 0 ఉందా? మీ సమాధానానికి కారణం ఇవ్వండి.

సాధన : ఇక్కడ, $a=21, d=18-21=-3$ మరియు $a_n=-81$, మరియు మనం $n$ కనుగొనాలి.

$ \text{As} \qquad a_n=a+(n-1) d, $

$ \begin{aligned} \text{we have}\\ -81 & =21+(n-1)(-3) \\ -81 & =24-3 n \\ -105 & =-3 n \end{aligned} $

$ \text{So,}\quad n=35 $

కాబట్టి, ఇచ్చిన AP యొక్క 35వ పదం -81.

త