1.1 تعارف

کلاس نہم میں، آپ نے حقیقی اعداد کی دنیا کی کھوج شروع کی تھی اور غیرناطق اعداد سے متعارف ہوئے تھے۔ اس باب میں ہم حقیقی اعداد پر اپنی بحث جاری رکھیں گے۔ ہم سیکشن 1.2 اور 1.3 میں مثبت صحیح اعداد کی دو انتہائی اہم خصوصیات سے شروع کرتے ہیں، یعنی اقليدس کا تقسیمی الگورتھم اور حساب کا بنیادی قضیہ۔

اقليدس کا تقسیمی الگورتھم، جیسا کہ نام سے ظاہر ہے، صحیح اعداد کی تقسیم پذیری سے متعلق ہے۔ سادہ الفاظ میں، یہ کہتا ہے کہ کوئی بھی مثبت صحیح عدد $a$ کو کسی دوسرے مثبت صحیح عدد $b$ سے اس طرح تقسیم کیا جا سکتا ہے کہ باقی $r$ باقی رہے جو کہ $b$ سے چھوٹی ہو۔ آپ میں سے بہت سے شاید اسے عام لمبی تقسیم کے عمل کے طور پر پہچانتے ہوں گے۔ اگرچہ یہ نتیجہ بیان کرنے اور سمجھنے میں کافی آسان ہے، اس کی صحیح اعداد کی تقسیم پذیری کی خصوصیات سے متعلق بہت سی تطبیقات ہیں۔ ہم ان میں سے چند پر بات کریں گے، اور اس کا استعمال بنیادی طور پر دو مثبت صحیح اعداد کا م ع ا (HCF) نکالنے کے لیے کریں گے۔

دوسری طرف، حساب کا بنیادی قضیہ، مثبت صحیح اعداد کی ضرب سے کچھ تعلق رکھتا ہے۔ آپ پہلے ہی جانتے ہیں کہ ہر مرکب عدد کو قوتوں کی صورت میں اجزائے ضربی کی ایک منفرد شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے - یہ اہم حقیقت حساب کا بنیادی قضیہ ہے۔ ایک بار پھر، اگرچہ یہ ایک ایسا نتیجہ ہے جسے بیان کرنا اور سمجھنا آسان ہے، لیکن ریاضی کے میدان میں اس کی کچھ بہت گہری اور اہم تطبیقات ہیں۔ ہم حساب کے بنیادی قضیہ کا استعمال دو اہم تطبیقات کے لیے کرتے ہیں۔ پہلا، ہم اسے کلاس نہم میں آپ کے پڑھے ہوئے بہت سے اعداد کی غیرناطقیت ثابت کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں، جیسے کہ $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ اور $\sqrt{5}$۔ دوسرا، ہم اس قضیہ کو یہ جاننے کے لیے استعمال کرتے ہیں کہ بالکل کب کسی ناطق عدد، مثلاً $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$، کی اعشاریہ توسیع ختم ہونے والی ہوتی ہے اور کب غیرختم ہونے والی اور دہرائی جانے والی۔ ہم یہ مخرج $q$ کے اجزائے ضربی کو دیکھ کر کرتے ہیں۔ آپ دیکھیں گے کہ $q$ کے اجزائے ضربی $\dfrac{p}{q}$ کی اعشاریہ توسیع کی نوعیت کو مکمل طور پر ظاہر کر دیں گے۔

تو آئیے، اپنی کھوج کا آغاز کریں۔

1.2 حساب کا بنیادی قضیہ

اپنی پچھلی کلاسوں میں، آپ نے دیکھا ہے کہ کوئی بھی قدرتی عدد اس کے اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً، $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$، اور اسی طرح۔ اب، آئیے قدرتی اعداد کو دوسری سمت سے دیکھنے کی کوشش کریں۔ یعنی، کیا کوئی بھی قدرتی عدد اجزائے ضربی کو ضرب دے کر حاصل کیا جا سکتا ہے؟ آئیے دیکھتے ہیں۔

اجزائے ضربی کا کوئی مجموعہ لیں، مثلاً $2,3,7,11$ اور 23۔ اگر ہم ان میں سے کچھ یا تمام اعداد کو ضرب دیں، انہیں جتنی بار چاہیں دہرانے کی اجازت دے کر، ہم مثبت صحیح اعداد کا ایک بڑا مجموعہ تیار کر سکتے ہیں (درحقیقت، لامتناہی تعداد میں)۔ آئیے کچھ کی فہرست بناتے ہیں:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

اور اسی طرح۔

اب، فرض کریں کہ آپ کے اجزائے ضربی کے مجموعے میں تمام ممکنہ اجزائے ضربی شامل ہیں۔ اس مجموعے کے حجم کے بارے میں آپ کا کیا خیال ہے؟ کیا اس میں صرف محدود تعداد میں صحیح اعداد ہیں، یا لامتناہی تعداد میں؟ درحقیقت، اجزائے ضربی کی تعداد لامتناہی ہے۔ لہٰذا، اگر ہم ان تمام اجزائے ضربی کو تمام ممکنہ طریقوں سے ملا دیں، تو ہمیں اعداد کا ایک لامتناہی مجموعہ ملے گا، تمام اجزائے ضربی اور اجزائے ضربی کے تمام ممکنہ حاصل ضرب۔ سوال یہ ہے - کیا ہم اس طرح تمام مرکب اعداد تیار کر سکتے ہیں؟ آپ کا کیا خیال ہے؟ کیا آپ کے خیال میں کوئی ایسا مرکب عدد ہو سکتا ہے جو اجزائے ضربی کی قوتوں کا حاصل ضرب نہ ہو؟

اس کا جواب دینے سے پہلے، آئیے مثبت صحیح اعداد کے اجزائے ضربی نکالتے ہیں، یعنی اب تک ہم نے جو کچھ کیا ہے اس کے برعکس کام کرتے ہیں۔

ہم وہ فیکٹر ٹری استعمال کرنے جا رہے ہیں جس سے آپ سب واقف ہیں۔ آئیے کوئی بڑا عدد لیں، مثلاً 32760، اور اس کے اجزائے ضربی نکالیں جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔

تو ہم نے 32760 کے اجزائے ضربی نکالے ہیں $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر، یعنی $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ اجزائے ضربی کی قوتوں کی حاصل ضرب کے طور پر۔ آئیے ایک اور عدد آزماتے ہیں، مثلاً 123456789۔ اسے $3^{2} \times 3803 \times 3607$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ بلاشبہ، آپ کو چیک کرنا ہوگا کہ 3803 اور 3607 اجزائے ضربی ہیں! (خود کئی دوسرے قدرتی اعداد کے لیے آزمائیں۔) یہ ہمیں ایک قیاس کی طرف لے جاتا ہے کہ ہر مرکب عدد کو اجزائے ضربی کی قوتوں کی حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ درحقیقت، یہ بیان درست ہے، اور اسے حساب کا بنیادی قضیہ کہا جاتا ہے کیونکہ صحیح اعداد کے مطالعہ میں اس کی بنیادی اہمیت ہے۔ آئیے اب اس قضیہ کو رسمی طور پر بیان کرتے ہیں۔

قضیہ 1.1 (حساب کا بنیادی قضیہ) : ہر مرکب عدد کو اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر ظاہر (اجزائے ضربی میں تحلیل) کیا جا سکتا ہے، اور یہ تجزیہ منفرد ہوتا ہے، سوائے ان ترتیب کے جس میں اجزائے ضربی آتے ہیں۔

قضیہ 1.2 کا ایک مساوی ورژن شاید پہلی بار اقليدس کے عناصر (Elements) کی کتاب نہم کے قضیہ 14 کے طور پر درج کیا گیا تھا، اس سے پہلے کہ اسے حساب کا بنیادی قضیہ کے نام سے جانا جاتا۔ تاہم، پہلی صحیح ثبوت کارل فرائیڈرک گاؤس نے اپنی کتاب Disquisitiones Arithmeticae میں دیا تھا۔

کارل فرائیڈرک گاؤس کو اکثر ‘شہزادۂ ریاضی دان’ کہا جاتا ہے اور انہیں ارشمیدس اور نیوٹن کے ساتھ تمام وقت کے تین عظیم ترین ریاضی دانوں میں سے ایک سمجھا جاتا ہے۔ انہوں نے ریاضی اور سائنس دونوں میں بنیادی شراکتیں دی ہیں۔

کارل فرائیڈرک گاؤس (1777 - 1855)

حساب کا بنیادی قضیہ کہتا ہے کہ ہر مرکب عدد کو اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ درحقیقت یہ اس سے زیادہ کہتا ہے۔ یہ کہتا ہے کہ کوئی بھی مرکب عدد دینے پر اسے اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر ایک ‘منفرد’ طریقے سے تجزیہ کیا جا سکتا ہے، سوائے ان ترتیب کے جس میں اجزائے ضربی آتے ہیں۔ یعنی، کوئی بھی مرکب عدد دینے پر اسے اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر لکھنے کا ایک اور صرف ایک ہی طریقہ ہے، جب تک کہ ہم اس ترتیب کے بارے میں خاص نہ ہوں جس میں اجزائے ضربی آتے ہیں۔ لہٰذا، مثال کے طور پر، ہم $2 \times 3 \times 5 \times 7$ کو $3 \times 5 \times 7 \times 2$ کے طور پر ہی سمجھتے ہیں، یا ان اجزائے ضربی کو لکھنے کی کوئی اور ممکنہ ترتیب۔ یہ حقیقت مندرجہ ذیل شکل میں بھی بیان کی گئی ہے:

کسی قدرتی عدد کا اجزائے ضربی میں تجزیہ منفرد ہوتا ہے، سوائے اس کے عوامل کی ترتیب کے۔

عام طور پر، کوئی مرکب عدد $x$ دینے پر، ہم اسے $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ کے طور پر تجزیہ کرتے ہیں، جہاں $p_1, p_2, \ldots, p_n$ اجزائے ضربی ہیں اور چڑھتی ترتیب میں لکھے گئے ہیں، یعنی $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$۔ اگر ہم ایک جیسے اجزائے ضربی کو ملا دیں، تو ہمیں اجزائے ضربی کی قوتیں ملیں گی۔ مثال کے طور پر،

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

ایک بار جب ہم نے یہ طے کر لیا کہ ترتیب چڑھتی ہوگی، تو پھر جس طریقے سے عدد کے اجزائے ضربی نکلتے ہیں، وہ منفرد ہوتا ہے۔

حساب کے بنیادی قضیہ کی بہت سی تطبیقات ہیں، ریاضی کے اندر اور دوسرے شعبوں میں دونوں جگہ۔ آئیے کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 : اعداد $4^{n}$ پر غور کریں، جہاں $n$ ایک قدرتی عدد ہے۔ چیک کریں کہ آیا $n$ کی کوئی ایسی قیمت ہے جس کے لیے $4^{n}$ صفر کے ہندسے پر ختم ہوتا ہے۔

حل : اگر عدد $4^{n}$، کسی بھی $n$ کے لیے، صفر کے ہندسے پر ختم ہوتا، تو یہ 5 سے تقسیم پذیر ہوتا۔ یعنی، $4^{n}$ کے اجزائے ضربی میں جزو ضربی 5 شامل ہوتا۔ یہ ممکن نہیں ہے کیونکہ $4^{n}=(2)^{2 n}$؛ لہٰذا $4^{n}$ کے اجزائے ضربی میں واحد جزو ضربی 2 ہے۔ لہٰذا، حساب کے بنیادی قضیہ کی منفردیت یہ ضمانت دیتی ہے کہ $4^{n}$ کے اجزائے ضربی میں کوئی دوسرے اجزائے ضربی نہیں ہیں۔ لہٰذا، $n$ کی کوئی قدرتی قیمت ایسی نہیں ہے جس کے لیے $4^{n}$ صفر کے ہندسے پر ختم ہوتا ہے۔

آپ پہلے ہی سیکھ چکے ہیں کہ پچھلی کلاسوں میں حساب کے بنیادی قضیہ کا استعمال کرتے ہوئے دو مثبت صحیح اعداد کا م ع ا (HCF) اور م م ا (LCM) کیسے نکالا جاتا ہے، بغیر اسے محسوس کیے! اس طریقہ کو اجزائے ضربی کا طریقہ بھی کہا جاتا ہے۔ آئیے ایک مثال کے ذریعے اس طریقہ کو یاد کرتے ہیں۔

مثال 2 : اجزائے ضربی کے طریقہ سے 6 اور 20 کا م م ا اور م ع ا معلوم کریں۔

حل : ہمارے پاس ہے: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ اور $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$۔

آپ $HCF(6,20)=2$ اور $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ معلوم کر سکتے ہیں، جیسا کہ آپ نے اپنی پچھلی کلاسوں میں کیا تھا۔

نوٹ کریں کہ $HCF(6,20)=2^{1}=$ اعداد میں ہر مشترک جزو ضربی کی چھوٹی سے چھوٹی قوت کا حاصل ضرب۔

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ اعداد میں شامل ہر جزو ضربی کی بڑی سے بڑی قوت کا حاصل ضرب۔

اوپر دی گئی مثال سے، آپ نے شاید یہ نوٹ کیا ہوگا کہ $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$۔ درحقیقت، ہم تصدیق کر سکتے ہیں کہ کسی بھی دو مثبت صحیح اعداد $\boldsymbol{{}a}$ اور $\boldsymbol{{}b}$ کے لیے، $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$۔ ہم اس نتیجے کا استعمال دو مثبت صحیح اعداد کا م م ا معلوم کرنے کے لیے کر سکتے ہیں، اگر ہم نے پہلے ہی ان دو مثبت صحیح اعداد کا م ع ا معلوم کر لیا ہو۔

مثال 3 : اجزائے ضربی کے طریقہ سے 96 اور 404 کا م ع ا معلوم کریں۔ پھر، ان کا م م ا معلوم کریں۔

حل : 96 اور 404 کے اجزائے ضربی دیتے ہیں:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

لہٰذا، ان دو صحیح اعداد کا م ع ا $2^{2}=4$ ہے۔

$ \text {نیز،}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

مثال 4 : اجزائے ضربی کے طریقہ سے 6، 72 اور 120 کا م ع ا اور م م ا معلوم کریں۔

حل : ہمارے پاس ہے:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

یہاں، $2^{1}$ اور $3^{1}$ بالترتیب مشترک عوامل 2 اور 3 کی چھوٹی سے چھوٹی قوتیں ہیں۔ لہٰذا،

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$، $5^{1}$ اور 5 بالترتیب تینوں اعداد میں شامل اجزائے ضربی 2،3 اور 5 کی بڑی سے بڑی قوتیں ہیں۔

$ \text{لہٰذا،}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

تبصرہ : نوٹ کریں، $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$۔ لہٰذا، تین اعداد کا حاصل ضرب ان کے م ع ا اور م م ا کے حاصل ضرب کے برابر نہیں ہوتا۔

1.3 غیرناطق اعداد کا دوبارہ جائزہ

کلاس نہم میں، آپ غیرناطق اعداد اور ان کی بہت سی خصوصیات سے متعارف ہوئے تھے۔ آپ نے ان کے وجود اور اس بارے میں پڑھا تھا کہ کیسے ناطق اور غیرناطق اعداد مل کر حقیقی اعداد بناتے ہیں۔ آپ نے یہ بھی پڑھا تھا کہ غیرناطق اعداد کو عددی خط پر کیسے معلوم کیا جاتا ہے۔ تاہم، ہم نے یہ ثابت نہیں کیا تھا کہ وہ غیرناطق تھے۔ اس سیکشن میں، ہم ثابت کریں گے کہ $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ اور، عام طور پر، $\sqrt{p}$ غیرناطق ہے، جہاں $p$ ایک جزو ضربی ہے۔ ہم اپنے ثبوت میں جن قضیوں کا استعمال کرتے ہیں، ان میں سے ایک حساب کا بنیادی قضیہ ہے۔

یاد رکھیں، ایک عدد ‘$s$’ غیرناطق کہلاتا ہے اگر اسے $\dfrac{p}{q}$ کی شکل میں نہ لکھا جا سکے، جہاں $p$ اور $q$ صحیح اعداد ہوں اور $q \neq 0$۔ غیرناطق اعداد کی کچھ مثالیں، جن سے آپ پہلے ہی واقف ہیں، یہ ہیں:

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ وغیرہ۔ } $

اس سے پہلے کہ ہم ثابت کریں کہ $\sqrt{2}$ غیرناطق ہے، ہمیں درج ذیل قضیہ درکار ہے، جس کا ثبوت حساب کے بنیادی قضیہ پر مبنی ہے۔

قضیہ 1.2 : فرض کریں $p$ ایک جزو ضربی عدد ہے۔ اگر $p$، $a^{2}$ کو تقسیم کرتا ہے، تو $p$، $a$ کو تقسیم کرتا ہے، جہاں a ایک مثبت صحیح عدد ہے۔

[^0]ثبوت : فرض کریں $a$ کے اجزائے ضربی اس طرح ہیں:

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$، جہاں $p_1, p_2, \ldots, p_n$ اجزائے ضربی ہیں، ضروری نہیں کہ الگ الگ ہوں۔

لہٰذا، $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$۔

اب، ہمیں دیا گیا ہے کہ $p$، $a^{2}$ کو تقسیم کرتا ہے۔ لہٰذا، حساب کے بنیادی قضیہ سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ $p$، $a^{2}$ کے اجزائے ضربی میں سے ایک ہے۔ تاہم، حساب کے بنیادی قضیہ کے منفرد ہونے والے حصے کا استعمال کرتے ہوئے، ہم سمجھتے ہیں کہ $a^{2}$ کے واحد اجزائے ضربی $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ہیں۔ لہٰذا $p$، $p_1, p_2, \ldots, p_n$ میں سے ایک ہے۔

اب، چونکہ $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$، $a$ کو تقسیم کرتا ہے۔

اب ہم اس بات کا ثبوت دینے کے لیے تیار ہیں کہ $\sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

ثبوت ایک تکنیک پر مبنی ہے جسے ‘تضاد کے ذریعے ثبوت’ کہا جاتا ہے۔ (اس تکنیک پر کچھ تفصیل سے ضمیمہ 1 میں بحث کی گئی ہے)۔

قضیہ 1.3: $\sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

ثبوت : فرض کریں، برخلاف، کہ $\sqrt{2}$ ناطق ہے۔

لہٰذا، ہم صحیح اعداد $r$ اور $s(\neq 0)$ ایسے پا سکتے ہیں کہ $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$۔

فرض کریں $r$ اور $s$ کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل ہے۔ پھر، ہم مشترک عامل سے تقسیم کر کے $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ حاصل کرتے ہیں، جہاں $a$ اور $b$ باہم مفرد (coprime) ہیں۔

لہٰذا، $b \sqrt{2}=a$۔

دونوں طرف مربع کرنے اور ترتیب بدلنے سے، ہمیں $2 b^{2}=a^{2}$ ملتا ہے۔ لہٰذا، 2، $a^{2}$ کو تقسیم کرتا ہے۔

اب، قضیہ 1.3 کے مطابق، یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ 2، $a$ کو تقسیم کرتا ہے۔

لہٰذا، ہم $a=2 c$ کچھ صحیح عدد $c$ کے لیے لکھ سکتے ہیں۔

$a$ کی جگہ رکھنے سے، ہمیں $2 b^{2}=4 c^{2}$ ملتا ہے، یعنی $b^{2}=2 c^{2}$۔

اس کا مطلب ہے کہ 2، $b^{2}$ کو تقسیم کرتا ہے، اور اس لیے 2، $b$ کو تقسیم کرتا ہے (ایک بار پھر قضیہ 1.3 کا استعمال کرتے ہوئے جہاں $p=2$)۔

لہٰذا، $a$ اور $b$ کا کم از کم 2 ایک مشترک عامل ہے۔

لیکن یہ اس حقیقت کے متضاد ہے کہ $a$ اور $b$ کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل نہیں ہے۔

یہ تضاد ہمارے غلط فرض کی وجہ سے پیدا ہوا ہے کہ $\sqrt{2}$ ناطق ہے۔

لہٰذا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $\sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

مثال 5 : ثابت کریں کہ $\sqrt{3}$ غیرناطق ہے۔

حل : فرض کریں، برخلاف، کہ $\sqrt{3}$ ناطق ہے۔

یعنی، ہم صحیح اعداد $a$ اور $b(\neq 0)$ ایسے پا سکتے ہیں کہ $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$۔

فرض کریں $a$ اور $b$ کا 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل ہے، تو ہم مشترک عامل سے تقسیم کر سکتے ہیں، اور فرض کر سکتے ہیں کہ $a$ اور $b$ باہم مفرد ہیں۔

لہٰذا، $b \sqrt{3}=a$۔

دونوں طرف مربع کرنے، اور ترتیب بدلنے سے، ہمیں $3 b^{2}=a^{2}$ ملتا ہے۔

لہٰذا، $a^{2}$، 3 سے تقسیم پذیر ہے، اور قضیہ 1.3 کے مطابق، یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ $a$ بھی 3 سے تقسیم پذیر ہے۔

لہٰذا، ہم $a=3 c$ کچھ صحیح عدد $c$ کے لیے لکھ سکتے ہیں۔

$a$ کی جگہ رکھنے سے، ہمیں $3 b^{2}=9 c^{2}$ ملتا ہے، یعنی $b^{2}=3 c^{2}$۔

اس کا مطلب ہے کہ $b^{2}$، 3 سے تقسیم پذیر ہے، اور اس لیے $b$ بھی 3 سے تقسیم پذیر ہے (قضیہ 1.3 کا استعمال کرتے ہوئے جہاں $p=3$)۔

لہٰذا، $a$ اور $b$ کا کم از کم 3 ایک مشترک عامل ہے۔

لیکن یہ اس حقیقت کے متضاد ہے کہ $a$ اور $b$ باہم مفرد ہیں۔

یہ تضاد ہمارے غلط فرض کی وجہ سے پیدا ہوا ہے کہ $\sqrt{3}$ ناطق ہے۔ لہٰذا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $\sqrt{3}$ غیرناطق ہے۔

کلاس نہم میں، ہم نے ذکر کیا تھا کہ:

• ایک ناطق اور ایک غیرناطق عدد کا مجموعہ یا فرق غیرناطق ہوتا ہے اور
• ایک غیرصفر ناطق اور غیرناطق عدد کا حاصل ضرب اور حاصل تقسیم غیرناطق ہوتا ہے۔

ہم یہاں کچھ خاص حالات ثابت کرتے ہیں۔

مثال 6 : دکھائیں کہ $5-\sqrt{3}$ غیرناطق ہے۔

حل : فرض کریں، برخلاف، کہ $5-\sqrt{3}$ ناطق ہے۔

یعنی، ہم باہم مفرد $a$ اور $b(b \neq 0)$ ایسے پا سکتے ہیں کہ $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$۔

لہٰذا، $5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$۔

اس مساوات کو ترتیب دینے سے، ہمیں $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5 b-a}{b}$ ملتا ہے۔

چونکہ $a$ اور $b$ صحیح اعداد ہیں، ہمیں ملتا ہے کہ $5-\dfrac{a}{b}$ ناطق ہے، اور اس لیے $\sqrt{3}$ ناطق ہے۔

لیکن یہ اس حقیقت کے متضاد ہے کہ $\sqrt{3}$ غیرناطق ہے۔

یہ تضاد ہمارے غلط فرض کی وجہ سے پیدا ہوا ہے کہ $5-\sqrt{3}$ ناطق ہے۔

لہٰذا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $5-\sqrt{3}$ غیرناطق ہے۔

مثال 7 : دکھائیں کہ $3 \sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

حل : فرض کریں، برخلاف، کہ $3 \sqrt{2}$ ناطق ہے۔

یعنی، ہم باہم مفرد $a$ اور $b(b \neq 0)$ ایسے پا سکتے ہیں کہ $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$۔

ترتیب دینے سے، ہمیں ملتا ہے $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$۔

چونکہ 3، $a$ اور $b$ صحیح اعداد ہیں، $\dfrac{a}{3 b}$ ناطق ہے، اور اس لیے $\sqrt{2}$ ناطق ہے۔

لیکن یہ اس حقیقت کے متضاد ہے کہ $\sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

لہٰذا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $3 \sqrt{2}$ غیرناطق ہے۔

1.4 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. حساب کا بنیادی قضیہ:

ہر مرکب عدد کو اجزائے ضربی کی حاصل ضرب کے طور پر ظاہر (اجزائے ضربی میں تحلیل) کیا جا سکتا ہے، اور یہ تجزیہ منفرد ہوتا ہے، سوائے ان ترتیب کے جس میں اجزائے ضربی آتے ہیں۔

2. اگر $p$ ایک جزو ضربی ہے اور $p$، $a^{2}$ کو تقسیم کرتا ہے، تو $p$، $a$ کو تقسیم کرتا ہے، جہاں $a$ ایک مثبت صحیح عدد ہے۔

3. یہ ثابت کرنا کہ $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ غیرناطق ہیں۔

قاری کے لیے ایک نوٹ

آپ نے دیکھا ہے کہ:

$HCF(p, q, r) \times LCM(p, q, r) \neq p \times q \times r$، جہاں $p, q, r$ مثبت صحیح اعداد ہیں (دیکھیں مثال 8)۔ تاہم، مندرجہ ذیل نتائج تین اعداد $p, q$، $r$ اور https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncert-book-english/class-10-img/2024-12-10 کے لیے درست ہیں:

$ \begin{aligned} LCM(p, q, r) & =\dfrac{p \cdot q \cdot r \cdot HCF(p, q, r)}{HCF(p, q) \cdot HCF(q, r) \cdot HCF(p, r)} \\ HCF(p, q, r) & =\dfrac{p \cdot q \cdot r \cdot LCM(p, q, r)}{LCM(p, q) \cdot LCM(q, r) \cdot LCM(p, r)} \end{aligned} $