১.১ ভূমিকা

নৱম শ্ৰেণীত, আপুনি বাস্তৱ সংখ্যাৰ জগতৰ সৈতে পৰিচয় হৈছিল আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ সন্মুখীন হৈছিল। এই অধ্যায়ত আমি বাস্তৱ সংখ্যাৰ বিষয়ে আলোচনা অব্যাহত ৰাখিম। আমি ১.২ আৰু ১.৩ অনুচ্ছেদত ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ দুটা অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ ধৰ্মৰ সৈতে আৰম্ভ কৰিম, যিবোৰ হৈছে ইউক্লিডৰ বিভাজন এলগৰিদম আৰু পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য।

নামটোৱেই সূচাই দিয়াৰ দৰে, ইউক্লিডৰ বিভাজন এলগৰিদমৰ সম্পৰ্ক পূৰ্ণসংখ্যাৰ বিভাজ্যতাৰ সৈতে। সৰলভাৱে ক’বলৈ গ’লে, ই কয় যে যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা $a$ ক আন এটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা $b$ ৰে এনেদৰে ভাগ কৰিব পাৰি যে ই এটা ভাগশেষ $r$ এৰি যায় যিটো $b$ তকৈ সৰু। আপোনালোকৰ বহুতে ইয়াক সাধাৰণ দীঘল হৰণ প্ৰক্ৰিয়া হিচাপে চিনি পাব পাৰে। যদিও এই ফলাফলটো ক’বলৈ আৰু বুজিবলৈ বৰ সহজ, ইয়াৰ পূৰ্ণসংখ্যাৰ বিভাজ্যতা ধৰ্মৰ সৈতে জড়িত বহু প্ৰয়োগ আছে। আমি তাৰে কেইটামানৰ ওপৰত আলোচনা কৰিম, আৰু ইয়াক মুখ্যতঃ দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ গ.সা.উ. (HCF) গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰিম।

আনহাতে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যটোৰ সম্পৰ্ক ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ পূৰণৰ সৈতে। আপুনি ইতিমধ্যে জানে যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে অদ্বিতীয়ভাৱে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি - এই গুৰুত্বপূৰ্ণ তথ্যটোৱেই হৈছে পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য। আকৌ, ইয়াক ক’বলৈ আৰু বুজিবলৈ সহজ হ’লেও, গণিতৰ ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ কিছুমান অতি গভীৰ আৰু গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰয়োগ আছে। আমি পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যক দুটা মুখ্য প্ৰয়োগৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰো। প্ৰথমতে, আমি ইয়াক নৱম শ্ৰেণীত আপুনি অধ্যয়ন কৰা বহু সংখ্যাৰ অপৰিমেয়তা প্ৰমাণ কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰো, যেনে $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ আৰু $\sqrt{5}$। দ্বিতীয়তে, আমি এই উপপাদ্যক এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যেনে $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$,ৰ দশমিক সম্প্ৰসাৰণ কেতিয়া সসীম (terminating) আৰু কেতিয়া অসীম পুনৰাবৃত্তি (nonterminating repeating) হয় তাক অন্বেষণ কৰিবলৈ প্ৰয়োগ কৰো। আমি ইয়াৰ হৰ $q$ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ (prime factorisation) চাই ইয়াক কৰো। আপুনি দেখিব যে $q$ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণে $\dfrac{p}{q}$ ৰ দশমিক সম্প্ৰসাৰণৰ প্ৰকৃতি সম্পূৰ্ণৰূপে প্ৰকাশ কৰিব।

গতিকে, আমি আমাৰ অন্বেষণ আৰম্ভ কৰোঁ।

১.২ পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য

আপোনাৰ আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আপুনি দেখিছে যে যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে লিখিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, ইত্যাদি। এতিয়া, আমি স্বাভাৱিক সংখ্যাক আনফালৰ পৰা চাবলৈ চেষ্টা কৰোঁ। অৰ্থাৎ, মৌলিক সংখ্যাসমূহ পূৰণ কৰি যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা পোৱা সম্ভৱনে? চাওঁ আহক।

কিছুমান মৌলিক সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ লওক, যেনে $2,3,7,11$ আৰু 23। যদি আমি এই সংখ্যাসমূহৰ কিছুমান বা সকলোবোৰ পূৰণ কৰো, যিমানবাৰ ইচ্ছা তিমানবাৰ ইহঁতক পুনৰাবৃত্তি কৰিবলৈ দিওঁ, তেন্তে আমি ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ এক বৃহৎ সংগ্ৰহ (প্ৰকৃততে, অসীম সংখ্যক) উৎপাদন কৰিব পাৰো। আমি কেইটামান তালিকাভুক্ত কৰোঁ:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

আৰু ইত্যাদি।

এতিয়া, ধৰি লওক যে আপোনাৰ মৌলিক সংখ্যাৰ সংগ্ৰহটোত সম্ভাব্য সকলোবোৰ মৌলিক সংখ্যা অন্তৰ্ভুক্ত আছে। এই সংগ্ৰহটোৰ আকাৰৰ বিষয়ে আপোনাৰ অনুমান কি? ই কেৱল সসীম সংখ্যক পূৰ্ণসংখ্যা ধৰি ৰাখেনে, নে অসীম সংখ্যক? প্ৰকৃততে, অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা আছে। গতিকে, যদি আমি এই সকলোবোৰ মৌলিক সংখ্যা সকলো সম্ভাব্য উপায়েৰে সংযুক্ত কৰো, তেন্তে আমি সংখ্যাৰ এক অসীম সংগ্ৰহ পাম, সকলোবোৰ মৌলিক সংখ্যা আৰু মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ সকলো সম্ভাব্য গুণফল। প্ৰশ্নটো হ’ল - আমি এইদৰে সকলোবোৰ যৌগিক সংখ্যা উৎপাদন কৰিব পাৰোনে? আপোনাৰ কি ভাব? আপুনি ভাবেনে যে এনে যৌগিক সংখ্যা থাকিব পাৰে যিটো মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ ঘাতৰ গুণফল নহয়?

ইয়াৰ উত্তৰ দিয়াৰ আগতে, আমি ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাসমূহৰ উৎপাদকীকৰণ কৰোঁ, অৰ্থাৎ, এতিয়ালৈকে আমি যি কৰিছোঁ তাৰ বিপৰীত কাম কৰোঁ।

আমি উৎপাদক বৃক্ষ (factor tree) ব্যৱহাৰ কৰিম যিটোৰ সৈতে আপুনি সকলোৱে পৰিচিত। আহক, আমি কিছু ডাঙৰ সংখ্যা লওঁ, যেনে, 32760, আৰু দেখুওৱাৰ দৰে ইয়াৰ উৎপাদকীকৰণ কৰোঁ।

গতিকে আমি 32760 ক $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ হিচাপে মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে উৎপাদকীকৰণ কৰিছোঁ, অৰ্থাৎ, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ হিচাপে মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ ঘাতৰ গুণফল হিচাপে। আহক, আমি আন এটা সংখ্যা চেষ্টা কৰোঁ, যেনে, 123456789। ইয়াক $3^{2} \times 3803 \times 3607$ হিচাপে লিখিব পাৰি। নিশ্চয়, আপুনি পৰীক্ষা কৰিব লাগিব যে 3803 আৰু 3607 মৌলিক সংখ্যা! (আপোনাৰ বাবে কেইবাটাও আন স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ বাবে ইয়াক চেষ্টা কৰক।) ই আমাক এটা অনুমানলৈ লৈ যায় যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ ঘাতৰ গুণফল হিচাপে লিখিব পাৰি। প্ৰকৃততে, এই উক্তিটো সত্য, আৰু ইয়াক পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য বুলি কোৱা হয় কাৰণ পূৰ্ণসংখ্যাৰ অধ্যয়নত ইয়াৰ মৌলিক গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা আছে। আহক, আমি এতিয়া আনুষ্ঠানিকভাৱে এই উপপাদ্যটো বৰ্ণনা কৰোঁ।

উপপাদ্য ১.১ (পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য) : প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ (উৎপাদকীকৰণ) কৰিব পাৰি, আৰু মৌলিক উৎপাদকসমূহ যি ক্ৰমত উপস্থিত হয় তাৰ বাহিৰে এই উৎপাদকীকৰণটো অদ্বিতীয়।

উপপাদ্য ১.২ ৰ সমতুল্য সংস্কৰণটো সম্ভৱতঃ প্ৰথমবাৰৰ বাবে ইউক্লিডৰ এলিমেণ্টছৰ নৱম গ্ৰন্থৰ প্ৰস্তাৱনা ১৪ হিচাপে লিপিবদ্ধ কৰা হৈছিল, ইয়াৰ পিছতহে ই পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য হিচাপে পৰিচিত হৈছিল। অৱশ্যে, প্ৰথম শুদ্ধ প্ৰমাণ কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছৰ দ্বাৰা তেওঁৰ ডিচকুইজিশনচ এৰিথমেটিকেত দিয়া হৈছিল।

কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছক প্ৰায়ে ‘গণিতৰ ৰাজকুমাৰ’ বুলি কোৱা হয় আৰু আৰ্কিমিডিছ আৰু নিউটনৰ সৈতে তেওঁক সকলো সময়ৰ ভিতৰত তিনিগৰাকী শ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞৰ ভিতৰত এজন হিচাপে গণ্য কৰা হয়। তেওঁ গণিত আৰু বিজ্ঞান উভয়লৈয়ে মৌলিক অৱদান আগবঢ়াইছে।

কাৰ্ল ফ্ৰিডৰিখ গাউছ (১৭৭৭ - ১৮৫৫)

পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যই কয় যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰি। প্ৰকৃততে ই আৰু অধিক কয়। ই কয় যে যিকোনো যৌগিক সংখ্যা দিয়া হ’লে ইয়াক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে ‘অদ্বিতীয়’ উপায়েৰে উৎপাদকীকৰণ কৰিব পাৰি, মৌলিক সংখ্যাসমূহ যি ক্ৰমত উপস্থিত হয় তাৰ বাহিৰে। অৰ্থাৎ, যিকোনো যৌগিক সংখ্যা দিয়া হ’লে ইয়াক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে লিখিবলৈ এটা আৰু কেৱল এটাহে উপায় আছে, যেতিয়ালৈকে আমি মৌলিক সংখ্যাসমূহ যি ক্ৰমত উপস্থিত হয় তাৰ বিষয়ে বিশেষ নহয়। গতিকে, উদাহৰণস্বৰূপে, আমি $2 \times 3 \times 5 \times 7$ ক $3 \times 5 \times 7 \times 2$ ৰ দৰে একে বুলি গণ্য কৰো, বা এই মৌলিক সংখ্যাসমূহ লিখা যিকোনো আন সম্ভাব্য ক্ৰম। এই তথ্যটো নিম্নলিখিত ৰূপতো বৰ্ণনা কৰা হৈছে:

স্বাভাৱিক সংখ্যা এটাৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণটো অদ্বিতীয়, ইয়াৰ উৎপাদকসমূহৰ ক্ৰমৰ বাহিৰে।

সাধাৰণতে, যৌগিক সংখ্যা $x$ দিয়া হ’লে, আমি ইয়াক $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ হিচাপে উৎপাদকীকৰণ কৰোঁ, য’ত $p_1, p_2, \ldots, p_n$ মৌলিক সংখ্যা আৰু ঊৰ্ধ্বক্ৰমত লিখা, অৰ্থাৎ, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$। যদি আমি একে মৌলিক সংখ্যাসমূহ সংযুক্ত কৰো, তেন্তে আমি মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ ঘাত পাম। উদাহৰণস্বৰূপে,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

এবাৰ আমি ঊৰ্ধ্বক্ৰমৰ সিদ্ধান্ত ল’লো, তেন্তে সংখ্যাটোৰ উৎপাদকীকৰণ কৰা পদ্ধতিটো অদ্বিতীয়।

পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ বহু প্ৰয়োগ আছে, গণিতৰ ভিতৰত আৰু আন ক্ষেত্ৰসমূহত দুয়োটাতে। আহক, আমি কেইটামান উদাহৰণ চাওঁ।

উদাহৰণ ১ : $4^{n}$ সংখ্যাসমূহ বিবেচনা কৰা, য’ত $n$ এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা। $n$ ৰ যিকোনো মানৰ বাবে $4^{n}$ শূন্য অংকটোৰে শেষ হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।

সমাধান : যদি সংখ্যাটো $4^{n}$, যিকোনো $n$ ৰ বাবে, শূন্য অংকটোৰে শেষ হয়, তেন্তে ই ৫ ৰে বিভাজ্য হ’ব। অৰ্থাৎ, $4^{n}$ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত মৌলিক সংখ্যা ৫ থাকিব। ই সম্ভৱ নহয় কাৰণ $4^{n}=(2)^{2 n}$; গতিকে $4^{n}$ ৰ উৎপাদকীকৰণত থকা একমাত্ৰ মৌলিক সংখ্যাটো হৈছে ২। গতিকে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ অদ্বিতীয়তাই নিশ্চয়তা দিয়ে যে $4^{n}$ ৰ উৎপাদকীকৰণত আন কোনো মৌলিক সংখ্যা নাই। গতিকে, $n$ ৰ বাবে কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা নাই যিয়ে $4^{n}$ শূন্য অংকটোৰে শেষ কৰে।

আপুনি ইতিমধ্যে শিকিছে কেনেকৈ পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি আগৰ শ্ৰেণীসমূহত দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ গ.সা.উ. (HCF) আৰু ল.সা.গু. (LCM) উলিয়াব লাগে, ইয়াক উপলব্ধি নকৰাকৈয়ে! এই পদ্ধতিক মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতি বুলিও কোৱা হয়। আহক, আমি এটা উদাহৰণৰ জৰিয়তে এই পদ্ধতিটো মনত পেলাওঁ।

উদাহৰণ ২ : মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ৬ আৰু ২০ ৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : আমাৰ আছে : $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ আৰু $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$।

আপুনি $HCF(6,20)=2$ আৰু $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ উলিয়াব পাৰে, যেনেকৈ আপোনাৰ আগৰ শ্ৰেণীত কৰা হৈছিল।

লক্ষ্য কৰক যে $HCF(6,20)=2^{1}=$ সংখ্যাসমূহত থকা প্ৰতিটো সাধাৰণ মৌলিক উৎপাদকৰ সৰ্বনিম্ন ঘাতৰ গুণফল।

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ সংখ্যাসমূহত জড়িত প্ৰতিটো মৌলিক উৎপাদকৰ সৰ্বোচ্চ ঘাতৰ গুণফল।

ওপৰৰ উদাহৰণৰ পৰা, আপুনি লক্ষ্য কৰিছিল হ’ব পাৰে যে $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$। প্ৰকৃততে, আমি প্ৰমাণ কৰিব পাৰো যে যিকোনো দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা $\boldsymbol{{}a}$ আৰু $\boldsymbol{{}b}$ ৰ বাবে, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$। আমি দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ ল.সা.গু. উলিয়াবলৈ এই ফলাফল ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো, যদি আমি ইতিমধ্যে দুটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ গ.সা.উ. উলিয়াইছোঁ।

উদাহৰণ ৩ : মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ৯৬ আৰু ৪০৪ ৰ গ.সা.উ. নিৰ্ণয় কৰা। সেয়েহে, ইহঁতৰ ল.সা.গু. উলিওৱা।

সমাধান : ৯৬ আৰু ৪০৪ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণে দিয়ে :

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

গতিকে, এই দুটা পূৰ্ণসংখ্যাৰ গ.সা.উ. হৈছে $2^{2}=4$।

$ \text {আৰু,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

উদাহৰণ ৪ : মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে ৬, ৭২ আৰু ১২০ ৰ গ.সা.উ. আৰু ল.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : আমাৰ আছে :

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

ইয়াত, $2^{1}$ আৰু $3^{1}$ হৈছে সাধাৰণ উৎপাদক ২ আৰু ৩ ৰ ক্ৰমে সৰ্বনিম্ন ঘাত। গতিকে,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ আৰু ৫ হৈছে তিনিটা সংখ্যাত জড়িত মৌলিক উৎপাদক ২,৩ আৰু ৫ ৰ ক্ৰমে সৰ্বোচ্চ ঘাত।

$ \text{গতিকে,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

টোকা : লক্ষ্য কৰক, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$। গতিকে, তিনিটা সংখ্যাৰ গুণফল ইহঁতৰ গ.সা.উ. আৰু ল.সা.গু. ৰ গুণফলৰ সমান নহয়।

১.৩ অপৰিমেয় সংখ্যা পুনৰালোচনা

নৱম শ্ৰেণীত, আপুনি অপৰিমেয় সংখ্যা আৰু ইহঁতৰ বহু ধৰ্মৰ সৈতে পৰিচয় হৈছিল। আপুনি ইহঁতৰ অস্তিত্ব আৰু কেনেকৈ পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাই মিলি বাস্তৱ সংখ্যা গঠন কৰে সেই বিষয়ে অধ্যয়ন কৰিছিল। আপুনি সংখ্যা ৰেখাত অপৰিমেয় সংখ্যাসমূহ কেনেকৈ স্থান নিৰ্ধাৰণ কৰিব লাগে তাকো অধ্যয়ন কৰিছিল। অৱশ্যে, আমি প্ৰমাণ কৰা নাছিলো যে সিহঁত অপৰিমেয় আছিল। এই অংশত, আমি প্ৰমাণ কৰিম যে $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ আৰু, সাধাৰণতে, $\sqrt{p}$ অপৰিমেয়, য’ত $p$ এটা মৌলিক সংখ্যা। আমি আমাৰ প্ৰমাণত ব্যৱহাৰ কৰা উপপাদ্যসমূহৰ ভিতৰত এটা হৈছে পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য।

মনত পেলাওক, এটা সংখ্যা ‘$s$’ ক অপৰিমেয় বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াক $\dfrac{p}{q}$ ৰ ৰূপত লিখিব নোৱাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ পূৰ্ণসংখ্যা আৰু $q \neq 0$। অপৰিমেয় সংখ্যাৰ কিছুমান উদাহৰণ, যিবোৰৰ সৈতে আপুনি ইতিমধ্যে পৰিচিত, সেয়া হৈছে :

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ ইত্যাদি } $

আমি প্ৰমাণ কৰাৰ আগতে যে $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়, আমাক তলৰ উপপাদ্যটোৰ প্ৰয়োজন, যাৰ প্ৰমাণ পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি কৰা হৈছে।

উপপাদ্য ১.২ : ধৰি লওক $p$ এটা মৌলিক সংখ্যা। যদি $p$ ৱে $a^{2}$ ক ভাগ কৰে, তেন্তে $p$ ৱে $a$ ক ভাগ কৰে, য’ত a এটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা।

[^0]প্ৰমাণ : ধৰি লওক $a$ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণ তলত দিয়া ধৰণৰ :

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$, য’ত $p_1, p_2, \ldots, p_n$ মৌলিক সংখ্যা, অগত্যা পৃথক নহ’বও পাৰে।

গতিকে, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$।

এতিয়া, আমাক দিয়া হৈছে যে $p$ ৱে $a^{2}$ ক ভাগ কৰে। গতিকে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ পৰা ই অনুসৰণ কৰে যে $p$ হৈছে $a^{2}$ ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহৰ ভিতৰত এটা। অৱশ্যে, পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ অদ্বিতীয়তা অংশ ব্যৱহাৰ কৰি, আমি উপলব্ধি কৰোঁ যে $a^{2}$ ৰ একমাত্ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহ হৈছে $p_1, p_2, \ldots, p_n$। গতিকে $p$ হৈছে $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ৰ ভিতৰত এটা।

এতিয়া, যিহেতু $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$ ৱে $a$ ক ভাগ কৰে।

আমি এতিয়া ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলৈ সাজু হৈছোঁ যে $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

প্ৰমাণটো ‘বিৰোধিতাৰে প্ৰমাণ’ (proof by contradiction) নামৰ এক কৌশলৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি কৰা হৈছে। (এই কৌশলটো পৰিশিষ্ট ১ ত কিছু বিস্তাৰিতভাৱে আলোচনা কৰা হৈছে)।

উপপাদ্য ১.৩: $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

প্ৰমাণ : ধৰি লওক, ইয়াৰ বিপৰীতে, যে $\sqrt{2}$ পৰিমেয়।

গতিকে, আমি $r$ আৰু $s(\neq 0)$ পূৰ্ণসংখ্যা বিচাৰি পাম যাতে $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$।

ধৰি লওক $r$ আৰু $s$ ৰ ১ ৰ বাহিৰে এটা সাধাৰণ উৎপাদক আছে। তেন্তে, আমি সাধাৰণ উৎপাদকটোৰে ভাগ কৰি $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ পাম, য’ত $a$ আৰু $b$ সহ-মৌলিক (coprime)।

গতিকে, $b \sqrt{2}=a$।

উভয় পাৰ্শ্বত বৰ্গ কৰি আৰু সজাই, আমি পাম $2 b^{2}=a^{2}$। গতিকে, ২ ৱে $a^{2}$ ক ভাগ কৰে।

এতিয়া, উপপাদ্য ১.৩ ৰ দ্বাৰা, ই অনুসৰণ কৰে যে ২ ৱে $a$ ক ভাগ কৰে।

গতিকে, আমি $a=2 c$ লিখিব পাৰো কিছুমান পূৰ্ণসংখ্যা $c$ ৰ বাবে।

$a$ ৰ বাবে প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি, আমি পাম $2 b^{2}=4 c^{2}$, অৰ্থাৎ, $b^{2}=2 c^{2}$।

ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে ২ ৱে $b^{2}$ ক ভাগ কৰে, আৰু সেয়েহে ২ ৱে $b$ ক ভাগ কৰে (উপপাদ্য ১.৩ ক $p=2$ ৰ সৈতে পুনৰ ব্যৱহাৰ কৰি)।

গতিকে, $a$ আৰু $b$ ৰ কমপক্ষে ২ ক এটা সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে আছে।

কিন্তু এইটোৱে সেই তথ্যৰ সৈতে বিৰোধ কৰে যে $a$ আৰু $b$ ৰ ১ ৰ বাহিৰে কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই।

এই বিৰোধিতাটো আমাৰ ভুল ধাৰণাৰ বাবে উঠি আহিছে যে $\sqrt{2}$ পৰিমেয়।

গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

উদাহৰণ ৫ : প্ৰমাণ কৰা যে $\sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

সমাধান : ধৰি লওক, ইয়াৰ বিপৰীতে, যে $\sqrt{3}$ পৰিমেয়।

অৰ্থাৎ, আমি $a$ আৰু $b(\neq 0)$ পূৰ্ণসংখ্যা বিচাৰি পাম যাতে $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

ধৰি লওক $a$ আৰু $b$ ৰ ১ ৰ বাহিৰে এটা সাধাৰণ উৎপাদক আছে, তেন্তে আমি সাধাৰণ উৎপাদকটোৰে ভাগ কৰিব পাৰো, আৰু ধৰি ল’ব পাৰো যে $a$ আৰু $b$ সহ-মৌলিক।

গতিকে, $b \sqrt{3}=a$।

উভয় পাৰ্শ্বত বৰ্গ কৰি, আৰু সজাই, আমি পাম $3 b^{2}=a^{2}$।

গতিকে, $a^{2}$ ৩ ৰে বিভাজ্য, আৰু উপপাদ্য ১.৩ ৰ দ্বাৰা, ই অনুসৰণ কৰে যে $a$ ও ৩ ৰে বিভাজ্য।

গতিকে, আমি $a=3 c$ লিখিব পাৰো কিছুমান পূৰ্ণসংখ্যা $c$ ৰ বাবে।

$a$ ৰ বাবে প্ৰতিষ্ঠাপন কৰি, আমি পাম $3 b^{2}=9 c^{2}$, অৰ্থাৎ, $b^{2}=3 c^{2}$।

ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে যে $b^{2}$ ৩ ৰে বিভাজ্য, আৰু সেয়েহে $b$ ও ৩ ৰে বিভাজ্য (উপপাদ্য ১.৩ ক $p=3$ ৰ সৈতে ব্যৱহাৰ কৰি)।

গতিকে, $a$ আৰু $b$ ৰ কমপক্ষে ৩ ক এটা সাধাৰণ উৎপাদক হিচাপে আছে।

কিন্তু এইটোৱে সেই তথ্যৰ সৈতে বিৰোধ কৰে যে $a$ আৰু $b$ সহ-মৌলিক।

এই বিৰোধিতাটো আমাৰ ভুল ধাৰণাৰ বাবে উঠি আহিছে যে $\sqrt{3}$ পৰিমেয়। গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে $\sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

নৱম শ্ৰেণীত, আমি উল্লেখ কৰিছিলো যে :

• এটা পৰিমেয় আৰু এটা অপৰিমেয় সংখ্যাৰ যোগফল বা পাৰ্থক্য অপৰিমেয় আৰু
• এটা অশূন্য পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ গুণফল আৰু ভাগফল অপৰিমেয়।

আমি ইয়াত কিছুমান বিশেষ ক্ষেত্ৰ প্ৰমাণ কৰোঁ।

উদাহৰণ ৬ : দেখুওৱা যে $5-\sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

সমাধান : ধৰি লওক, ইয়াৰ বিপৰীতে, যে $5-\sqrt{3}$ পৰিমেয়।

অৰ্থাৎ, আমি সহ-মৌলিক $a$ আৰু $b(b \neq 0)$ বিচাৰি পাম যাতে $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

গতিকে, $5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$।

এই সমীকৰণটো সজাই, আমি পাম $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5 b-a}{b}$।

যিহেতু $a$ আৰু $b$ পূৰ্ণসংখ্যা, আমি পাম $5-\dfrac{a}{b}$ পৰিমেয়, আৰু সেয়েহে $\sqrt{3}$ পৰিমেয়।

কিন্তু এইটোৱে সেই তথ্যৰ সৈতে বিৰোধ কৰে যে $\sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

এই বিৰোধিতাটো আমাৰ ভুল ধাৰণাৰ বাবে উঠি আহিছে যে $5-\sqrt{3}$ পৰিমেয়।

গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে $5-\sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

উদাহৰণ ৭ : দেখুওৱা যে $3 \sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

সমাধান : ধৰি লওক, ইয়াৰ বিপৰীতে, যে $3 \sqrt{2}$ পৰিমেয়।

অৰ্থাৎ, আমি সহ-মৌলিক $a$ আৰু $b(b \neq 0)$ বিচাৰি পাম যাতে $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$।

সজাই, আমি পাম $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$।

যিহেতু ৩, $a$ আৰু $b$ পূৰ্ণসংখ্যা, $\dfrac{a}{3 b}$ পৰিমেয়, আৰু সেয়েহে $\sqrt{2}$ পৰিমেয়।

কিন্তু এইটোৱে সেই তথ্যৰ সৈতে বিৰোধ কৰে যে $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

গতিকে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হওঁ যে $3 \sqrt{2}$ অপৰিমেয়।

১.৪ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলৰ প্ৰসংগসমূহ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য:

প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ (উৎপাদকীকৰণ) কৰিব পাৰি, আৰু মৌলিক উৎপাদকসমূহ যি ক্ৰমত উপস্থিত হয় তাৰ বাহিৰে এই উৎপাদকীকৰণটো অদ্বিতীয়।

২. যদি $p$ এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু $p$ ৱে $a^{2}$ ক ভাগ কৰে, তেন্তে $p$ ৱে $a$ ক ভাগ কৰে, য’ত $a$ এটা ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা।

৩. ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলৈ যে $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ অপৰিমেয়।

পাঠকৰ বাবে এটা টোকা

আপুনি দেখিছে যে :

$HCF(p, q, r) \times LCM(p, q, r) \neq p \times q \times r$, য’ত $p, q, r$ ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা (দেখক উদাহৰণ ৮ )। অৱশ্যে, তলৰ ফলাফলসমূহ তিনিটা সংখ্যা $p, q$ আৰু