1.1 ആമുഖം

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ലോകം പര്യവേക്ഷണം ആരംഭിച്ച് അഭിന്നക സംഖ്യകളെ കണ്ടുമുട്ടി. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ചർച്ച തുടരുന്നു. 1.2, 1.3 എന്നീ വിഭാഗങ്ങളിൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ രണ്ട് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ ആരംഭിക്കുന്നത്, അതായത് യൂക്ലിഡിന്റെ ഹരണ അൽഗോരിതം (Euclid’s division algorithm) ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം (Fundamental Theorem of Arithmetic).

യൂക്ലിഡിന്റെ ഹരണ അൽഗോരിതം, പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നതുപോലെ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഹരണസാധ്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ $a$ നെയും മറ്റൊരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ $b$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, ശിഷ്ടം $r$ ലഭിക്കും, അത് $b$ നെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. നിങ്ങളിൽ പലരും ഇതിനെ സാധാരണ ദീർഘഹരണ പ്രക്രിയയായി തിരിച്ചറിയുന്നുണ്ടാകും. ഈ ഫലം പ്രസ്താവിക്കാനും മനസ്സിലാക്കാനും വളരെ എളുപ്പമാണെങ്കിലും, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഹരണസാധ്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരവധി പ്രയോഗങ്ങൾ ഇതിനുണ്ട്. അവയിൽ ചിലതിൽ നമ്മൾ സ്പർശിക്കുകയും, പ്രധാനമായും രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ (HCF) കണക്കാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

മറുവശത്ത്, ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിന് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനവുമായി ബന്ധമുണ്ട്. ഓരോ യോജിത സംഖ്യയും (composite number) അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ (primes) ഗുണനഫലമായി അദ്വിതീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം - ഈ പ്രധാനപ്പെട്ട വസ്തുതയാണ് ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം. വീണ്ടും, ഇത് പ്രസ്താവിക്കാനും മനസ്സിലാക്കാനും എളുപ്പമുള്ള ഒരു ഫലമാണെങ്കിലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മണ്ഡലത്തിൽ ഇതിന് ചില വളരെ ആഴമേറിയതും പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നതുമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. രണ്ട് പ്രധാന പ്രയോഗങ്ങൾക്കായി നമ്മൾ ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ നിങ്ങൾ പഠിച്ച $\sqrt{2}, \sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ തുടങ്ങിയ നിരവധി സംഖ്യകളുടെ അഭിന്നകത്വം തെളിയിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ടാമതായി, ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയുടെ, ഉദാഹരണത്തിന് $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$ ന്റെ, ദശാംശ വികാസം കൃത്യമായി എപ്പോൾ അവസാനിക്കുന്നതും (terminating) എപ്പോൾ അവസാനിക്കാതെ ആവർത്തിക്കുന്നതും (nonterminating repeating) പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ ഈ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നു. $\dfrac{p}{q}$ ന്റെ ഛേദം $q$ ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണം (prime factorisation) നോക്കിയാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്. $q$ ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണം $\dfrac{p}{q}$ ന്റെ ദശാംശ വികാസത്തിന്റെ സ്വഭാവം പൂർണ്ണമായും വെളിപ്പെടുത്തുമെന്ന് നിങ്ങൾ കാണും.

അതിനാൽ നമ്മുടെ പര്യവേക്ഷണം ആരംഭിക്കാം.

1.2 ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം (Fundamental Theorem of Arithmetic)

നിങ്ങളുടെ മുൻ ക്ലാസ്സുകളിൽ, ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും (natural number) അതിന്റെ അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളുടെ (prime factors) ഗുണനഫലമായി എഴുതാമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, ഇത്യാദി. ഇപ്പോൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ മറുവശത്ത് നിന്ന് നോക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. അതായത്, അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഗുണിച്ച് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ലഭിക്കുമോ? നോക്കാം.

ഏതെങ്കിലും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന് $2,3,7,11$, 23 എന്നിവ. ഈ സംഖ്യകളിൽ ചിലതോ എല്ലാം തന്നെയോ നമ്മൾ ഗുണിച്ചാൽ, അവയെ നമ്മൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നത്ര തവണ ആവർത്തിക്കാൻ അനുവദിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു വലിയ കൂട്ടം പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാക്കാം (യഥാർത്ഥത്തിൽ, അനന്തമായി പലത്). ചിലത് ലിസ്റ്റ് ചെയ്യാം:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

ഇത്യാദി.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ സാധ്യമായ എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ഈ കൂട്ടത്തിന്റെ വലിപ്പത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളുടെ ഊഹം എന്താണ്? ഇതിൽ പരിമിതമായ എണ്ണം പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതോ അനന്തമായി പലത്? യഥാർത്ഥത്തിൽ, അനന്തമായി പല അഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ട്. അതിനാൽ, ഈ എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും സാധ്യമായ എല്ലാ രീതികളിലും സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, നമുക്ക് അനന്തമായ ഒരു സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം ലഭിക്കും, എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ എല്ലാ സാധ്യമായ ഗുണനഫലങ്ങളും. ചോദ്യം ഇതാണ് - ഈ രീതിയിൽ നമുക്ക് എല്ലാ യോജിത സംഖ്യകളും (composite numbers) ഉണ്ടാക്കാമോ? നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നത്? അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമല്ലാത്ത ഒരു യോജിത സംഖ്യ ഉണ്ടാകാമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ?

ഇതിന് ഉത്തരം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഘടകീകരണം (factorisation) നടത്താം, അതായത് ഇതുവരെ ചെയ്തതിന് വിപരീതമായി.

നിങ്ങൾക്കെല്ലാവർക്കും പരിചിതമായ ഫാക്ടർ ട്രീ (factor tree) ഉപയോഗിക്കാൻ പോകുന്നു. 32760 എന്ന വലിയ സംഖ്യ എടുത്ത്, കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അതിന്റെ ഘടകീകരണം നടത്താം.

അതിനാൽ നമ്മൾ 32760 നെ $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ ആയി ഘടകീകരിച്ചു, അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി, അതായത് $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി. നമുക്ക് മറ്റൊരു സംഖ്യ ശ്രമിക്കാം, 123456789 എന്ന് പറയാം. ഇത് $3^{2} \times 3803 \times 3607$ എന്ന് എഴുതാം. തീർച്ചയായും, 3803, 3607 എന്നിവ അഭാജ്യസംഖ്യകളാണെന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്! (നിങ്ങളായി മറ്റ് നിരവധി സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കായി ഇത് പരീക്ഷിക്കുക.) ഇത് നമ്മെ ഒരു അനുമാനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: ഓരോ യോജിത സംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാം. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ പ്രസ്താവന സത്യമാണ്, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പഠനത്തിൽ അതിന്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ നിർണായക പ്രാധാന്യം കാരണം ഇതിനെ ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ സിദ്ധാന്തം ഔപചാരികമായി പ്രസ്താവിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 1.1 (ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം) : ഓരോ യോജിത സംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം (ഘടകീകരിക്കാം), ഈ ഘടകീകരണം അദ്വിതീയമാണ്, അഭാജ്യ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്ന ക്രമം ഒഴികെ.

സിദ്ധാന്തം 1.2 ന്റെ തുല്യമായ ഒരു പതിപ്പ് യൂക്ലിഡിന്റെ എലിമെന്റ്സിലെ (Euclid’s Elements) ഒൻപതാം പുസ്തകത്തിലെ പ്രൊപ്പോസിഷൻ 14 ആയി ആദ്യം രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കാം, അതിന് ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം എന്ന പേര് വരുന്നതിന് മുമ്പ്. എന്നിരുന്നാലും, ആദ്യത്തെ ശരിയായ തെളിവ് കാൾ ഫ്രീഡ്രിക് ഗൗസ് (Carl Friedrich Gauss) തന്റെ ഡിസ്ക്വിസിഷ്യോൺസ് അരിത്മെറ്റിക്കേ (Disquisitiones Arithmeticae) എന്ന കൃതിയിൽ നൽകി.

കാൾ ഫ്രീഡ്രിക് ഗൗസിനെ പലപ്പോഴും ‘പ്രിൻസ് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിഷ്യൻസ്’ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ആർക്കിമിഡീസ്, ന്യൂട്ടൻ എന്നിവരോടൊപ്പം എല്ലാകാലത്തെയും മൂന്ന് ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ശാസ്ത്രത്തിലും അദ്ദേഹം അടിസ്ഥാനപരമായ സംഭാവനകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

കാൾ ഫ്രീഡ്രിക് ഗൗസ് (1777 - 1855)

ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, ഓരോ യോജിത സംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി ഘടകീകരിക്കാമെന്നാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ ഇത് കൂടുതൽ പറയുന്നു. ഏതൊരു യോജിത സംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി ഒരു ‘അദ്വിതീയ’ മാർഗത്തിൽ ഘടകീകരിക്കാമെന്നാണ് ഇത് പറയുന്നത്, അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകുന്ന ക്രമം ഒഴികെ. അതായത്, ഏതൊരു യോജിത സംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായി എഴുതാനുള്ള ഒരു മാത്രമാർഗമുണ്ട്, അഭാജ്യസംഖ്യകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, $2 \times 3 \times 5 \times 7$ നെ $3 \times 5 \times 7 \times 2$ ആയോ, അല്ലെങ്കിൽ ഈ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്ന മറ്റേതെങ്കിലും സാധ്യമായ ക്രമമായോ നമ്മൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഈ വസ്തുത ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലും പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണം അദ്വിതീയമാണ്, അതിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം ഒഴികെ.

പൊതുവേ, ഒരു യോജിത സംഖ്യ $x$ നൽകിയാൽ, നമ്മൾ അതിനെ $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ ആയി ഘടകീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ അഭാജ്യസംഖ്യകളാണ്, ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതായത് $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$. നമ്മൾ ഒരേ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘാതങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

ക്രമം ആരോഹണമായിരിക്കുമെന്ന് തീരുമാനിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, സംഖ്യ ഘടകീകരിക്കപ്പെടുന്ന രീതി അദ്വിതീയമാണ്.

ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനുള്ളിലും മറ്റ് മണ്ഡലങ്ങളിലും നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : $4^{n}$ എന്ന സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക, ഇവിടെ $n$ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. $4^{n}$ അവസാന അക്കം പൂജ്യമായി അവസാനിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും $n$ ന്റെ മൂല്യം ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക.

പരിഹാരം : $4^{n}$ എന്ന സംഖ്യ, ഏതെങ്കിലും $n$ ന്, അവസാന അക്കം പൂജ്യമായി അവസാനിച്ചാൽ, അത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. അതായത്, $4^{n}$ ന്റെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണത്തിൽ അഭാജ്യസംഖ്യ 5 അടങ്ങിയിരിക്കും. ഇത് സാധ്യമല്ല, കാരണം $4^{n}=(2)^{2 n}$; അതിനാൽ $4^{n}$ ന്റെ ഘടകീകരണത്തിലെ ഏക അഭാജ്യസംഖ്യ 2 ആണ്. അതിനാൽ, ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അദ്വിതീയത $4^{n}$ ന്റെ ഘടകീകരണത്തിൽ മറ്റ് അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഇല്ലെന്ന് ഉറപ്പ് നൽകുന്നു. അതിനാൽ, $4^{n}$ അവസാന അക്കം പൂജ്യമായി അവസാനിക്കുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ $n$ ഇല്ല.

രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയും (HCF) ലസാഗുവും (LCM) ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾ മുൻ ക്ലാസ്സുകളിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, അത് തിരിച്ചറിയാതെ തന്നെ! ഈ രീതിയെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണ രീതി (prime factorisation method) എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഈ രീതി നമുക്ക് ഓർക്കാം.

ഉദാഹരണം 2 : 6, 20 എന്നിവയുടെ ലസാഗു, ഉസാഘ എന്നിവ അഭാജ്യ ഘടകീകരണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : നമുക്കുള്ളത്: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$, $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$.

$HCF(6,20)=2$, $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ എന്നിവ നിങ്ങളുടെ മുൻ ക്ലാസ്സുകളിൽ ചെയ്തതുപോലെ കണ്ടെത്താം.

ശ്രദ്ധിക്കുക: $HCF(6,20)=2^{1}=$ സംഖ്യകളിലെ ഓരോ പൊതു അഭാജ്യ ഘടകത്തിന്റെയും ഏറ്റവും ചെറിയ ഘാതത്തിന്റെ ഗുണനഫലം.

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ സംഖ്യകളിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഓരോ അഭാജ്യ ഘടകത്തിന്റെയും ഏറ്റവും വലിയ ഘാതത്തിന്റെ ഗുണനഫലം.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$ എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ $\boldsymbol{{}a}$, $\boldsymbol{{}b}$ എന്നിവയ്ക്ക്, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$ എന്ന് നമുക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാം. രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ ലസാഗു കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ഈ ഫലം ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3 : 96, 404 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ അഭാജ്യ ഘടകീകരണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ, അവയുടെ ലസാഗു കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : 96, 404 എന്നിവയുടെ അഭാജ്യ ഘടകീകരണം നൽകുന്നത്:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

അതിനാൽ, ഈ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ $2^{2}=4$ ആണ്.

$ \text {കൂടാതെ,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

ഉദാഹരണം 4 : 6, 72, 120 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ, ലസാഗു എന്നിവ അഭാജ്യ ഘടകീകരണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : നമുക്കുള്ളത്:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

ഇവിടെ, $2^{1}$, $3^{1}$ എന്നിവ യഥാക്രമം പൊതു ഘടകങ്ങളായ 2, 3 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഘാതങ്ങളാണ്. അതിനാൽ,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ എന്നിവ യഥാക്രമം മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന അഭാജ്യ ഘടകങ്ങളായ 2, 3, 5 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഘാതങ്ങളാണ്.

$ \text{അതിനാൽ,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

ശ്രദ്ധിക്കുക : ശ്രദ്ധിക്കുക, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$. അതിനാൽ, മൂന്ന് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം അവയുടെ ഉസാഘയുടെയും ലസാഗുവിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന് തുല്യമല്ല.

1.3 അഭിന്നക സംഖ്യകൾ വീണ്ടും പരിശോധിക്കുക (Revisiting Irrational Numbers)

ഒൻപതാം ക്ലാസ്സിൽ, നിങ്ങൾ അഭിന്നക സംഖ്യകളെ (irrational numbers) പരിചയപ്പെടുത്തുകയും അവയുടെ നിരവധി ഗുണങ്ങൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു. അവയുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചും ഭിന്നകങ്ങളും (rationals) അഭിന്നകങ്ങളും ഒരുമിച്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ (real numbers) എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചും നിങ്ങൾ പഠിച്ചു. അഭിന്നകങ്ങളെ സംഖ്യാരേഖയിൽ (number line) എങ്ങനെ സ്ഥാനനിർണ്ണയം ചെയ്യാമെന്ന് പോലും നിങ്ങൾ പഠിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, അവ അഭിന്നകങ്ങളാണെന്ന് നമ്മൾ തെളിയിച്ചിരുന്നില്ല. ഈ വിഭാഗത്തിൽ, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ എന്നും, പൊതുവേ, $\sqrt{p}$ അഭിന്നകമാണെന്ന് നമ്മൾ തെളിയിക്കും, ഇവിടെ $p$ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയാണ്. നമ്മുടെ തെളിവിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം ഗുണന അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തമാണ്.

ഒരു സംഖ്യ ‘$s$’ അഭിന്നകം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് അതിനെ $\dfrac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയാത്തപ്പോഴാണ്, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, $q \neq 0$. നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായ അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ:

$ \sqrt{