1.1 परिचय

कक्षा IX में, आपने वास्तविक संख्याओं की दुनिया की खोज शुरू की थी और अपरिमेय संख्याओं से परिचित हुए थे। इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं पर अपनी चर्चा जारी रखते हैं। हम धनात्मक पूर्णांकों के दो बहुत महत्वपूर्ण गुणधर्मों से शुरुआत करते हैं, जिन पर खंड 1.2 और 1.3 में चर्चा की गई है, यानी यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म और अंकगणित का मूलभूत प्रमेय।

यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म, जैसा कि नाम से पता चलता है, पूर्णांकों की विभाज्यता से संबंधित है। सरल शब्दों में कहें तो, यह कहता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक $b$ से इस तरह विभाजित किया जा सकता है कि शेषफल $r$ प्राप्त हो जो $b$ से छोटा हो। आप में से कई लोग शायद इसे सामान्य लंबी विभाजन प्रक्रिया के रूप में पहचानते हैं। हालाँकि यह परिणाम कहने और समझने में काफी आसान है, इसके पूर्णांकों की विभाज्यता संबंधी गुणधर्मों से संबंधित कई अनुप्रयोग हैं। हम उनमें से कुछ पर स्पर्श करते हैं, और इसका उपयोग मुख्य रूप से दो धनात्मक पूर्णांकों का म.स. (HCF) ज्ञात करने के लिए करते हैं।

दूसरी ओर, अंकगणित का मूलभूत प्रमेय, धनात्मक पूर्णांकों के गुणन से कुछ लेना-देना रखता है। आप पहले से ही जानते हैं कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है - यह महत्वपूर्ण तथ्य अंकगणित का मूलभूत प्रमेय है। फिर से, जबकि यह एक ऐसा परिणाम है जिसे कहना और समझना आसान है, गणित के क्षेत्र में इसके कुछ बहुत गहरे और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। हम अंकगणित के मूलभूत प्रमेय का उपयोग दो मुख्य अनुप्रयोगों के लिए करते हैं। पहला, हम इसका उपयोग कक्षा IX में आपके द्वारा अध्ययन की गई कई संख्याओं की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए करते हैं, जैसे कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$। दूसरा, हम इस प्रमेय को यह पता लगाने के लिए लागू करते हैं कि एक परिमेय संख्या, मान लीजिए $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, का दशमलव प्रसार कब सांत होता है और कब असांत आवर्ती होता है। हम ऐसा हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडन को देखकर करते हैं। आप देखेंगे कि $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $\dfrac{p}{q}$ के दशमलव प्रसार की प्रकृति को पूरी तरह से प्रकट कर देगा।

तो आइए हम अपनी खोज शुरू करते हैं।

1.2 अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

अपनी पिछली कक्षाओं में, आपने देखा है कि किसी भी प्राकृत संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, इत्यादि। अब, आइए हम प्राकृत संख्याओं को दूसरी दिशा से देखने का प्रयास करें। यानी, क्या किसी भी प्राकृत संख्या को अभाज्य संख्याओं को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है? आइए देखते हैं।

अभाज्य संख्याओं का कोई भी संग्रह लीजिए, मान लीजिए $2,3,7,11$ और 23। यदि हम इन संख्याओं में से कुछ या सभी को गुणा करते हैं, उन्हें जितनी बार चाहें दोहराने की अनुमति देते हुए, हम धनात्मक पूर्णांकों का एक बड़ा संग्रह उत्पन्न कर सकते हैं (वास्तव में, अनंत रूप से कई)। आइए हम कुछ सूचीबद्ध करते हैं:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

और इसी तरह।

अब, मान लीजिए कि आपके अभाज्य संख्याओं के संग्रह में सभी संभावित अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं। इस संग्रह के आकार के बारे में आपका अनुमान क्या है? क्या इसमें केवल एक सीमित संख्या में पूर्णांक हैं, या अनंत रूप से कई? वास्तव में, अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं। इसलिए, यदि हम इन सभी अभाज्य संख्याओं को सभी संभावित तरीकों से संयोजित करते हैं, तो हमें संख्याओं का एक अनंत संग्रह प्राप्त होगा, सभी अभाज्य संख्याएँ और अभाज्य संख्याओं के सभी संभावित गुणनफल। प्रश्न यह है - क्या हम इस तरह से सभी भाज्य संख्याएँ उत्पन्न कर सकते हैं? आप क्या सोचते हैं? क्या आपको लगता है कि कोई ऐसी भाज्य संख्या हो सकती है जो अभाज्य संख्याओं की घातों का गुणनफल न हो?

इसका उत्तर देने से पहले, आइए हम धनात्मक पूर्णांकों का गुणनखंडन करते हैं, यानी, अब तक हमने जो किया है उसका विपरीत करते हैं।

हम उस गुणनखंड वृक्ष का उपयोग करने जा रहे हैं जिससे आप सभी परिचित हैं। आइए हम कोई बड़ी संख्या लेते हैं, मान लीजिए, 32760, और इसे दिखाए गए अनुसार गुणनखंडित करते हैं।

तो हमने 32760 का गुणनखंडन $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ के रूप में किया है, अर्थात, अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$, यानी अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में। आइए हम एक और संख्या लेते हैं, मान लीजिए, 123456789। इसे $3^{2} \times 3803 \times 3607$ के रूप में लिखा जा सकता है। बेशक, आपको यह जाँचना होगा कि 3803 और 3607 अभाज्य हैं! (कई अन्य प्राकृत संख्याओं के लिए स्वयं आज़माएँ।) यह हमें एक अनुमान की ओर ले जाता है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में, यह कथन सत्य है, और इसे अंकगणित का मूलभूत प्रमेय कहा जाता है क्योंकि पूर्णांकों के अध्ययन के लिए इसका बुनियादी महत्व है। आइए अब हम इस प्रमेय को औपचारिक रूप से कहते हैं।

प्रमेय 1.1 (अंकगणित का मूलभूत प्रमेय) : प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, अभाज्य गुणनखंडों के आने के क्रम को छोड़कर।

प्रमेय 1.2 के समतुल्य संस्करण को संभवतः पहली बार यूक्लिड के एलिमेंट्स में पुस्तक IX के प्रस्ताव 14 के रूप में दर्ज किया गया था, इससे पहले कि इसे अंकगणित का मूलभूत प्रमेय के रूप में जाना जाता। हालाँकि, पहला सही प्रमाण कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपनी डिसक्विज़िशन्स अरिथमेटिका में दिया था।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस को अक्सर ‘प्रिंस ऑफ मैथमैटिशियन्स’ कहा जाता है और उन्हें आर्किमिडीज और न्यूटन के साथ-साथ सभी समय के तीन सबसे महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है। उन्होंने गणित और विज्ञान दोनों में मौलिक योगदान दिया है।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777 - 1855)

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय कहता है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। वास्तव में यह और अधिक कहता है। यह कहता है कि किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ‘अद्वितीय’ तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, सिवाय अभाज्य संख्याओं के आने के क्रम के। यानी, किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखने का एक और केवल एक ही तरीका है, जब तक कि हम अभाज्य संख्याओं के आने के क्रम के बारे में विशेष नहीं हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, हम $2 \times 3 \times 5 \times 7$ को $3 \times 5 \times 7 \times 2$ के समान ही मानते हैं, या इन अभाज्य संख्याओं को लिखे जाने के किसी अन्य संभावित क्रम के समान। इस तथ्य को निम्नलिखित रूप में भी कहा गया है:

किसी प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है, सिवाय उसके गुणनखंडों के क्रम के।

सामान्य तौर पर, एक भाज्य संख्या $x$ दी गई है, हम इसे $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ के रूप में गुणनखंडित करते हैं, जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अभाज्य संख्याएँ हैं और आरोही क्रम में लिखी गई हैं, अर्थात, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$। यदि हम समान अभाज्य संख्याओं को संयोजित करते हैं, तो हमें अभाज्य संख्याओं की घातें प्राप्त होंगी। उदाहरण के लिए,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

एक बार जब हमने यह तय कर लिया कि क्रम आरोही होगा, तो संख्या का गुणनखंडन जिस तरह से किया जाता है, वह अद्वितीय होता है।

अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के गणित के भीतर और अन्य क्षेत्रों में दोनों में कई अनुप्रयोग हैं। आइए हम कुछ उदाहरण देखते हैं।

उदाहरण 1 : संख्याओं $4^{n}$ पर विचार कीजिए, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या है। जाँच कीजिए कि क्या $n$ का कोई ऐसा मान है जिसके लिए $4^{n}$ अंक शून्य पर समाप्त होता है।

हल : यदि संख्या $4^{n}$, किसी भी $n$ के लिए, अंक शून्य पर समाप्त होती है, तो यह 5 से विभाज्य होगी। अर्थात, $4^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 शामिल होगी। यह संभव नहीं है क्योंकि $4^{n}=(2)^{2 n}$; इसलिए $4^{n}$ के गुणनखंडन में एकमात्र अभाज्य संख्या 2 है। इसलिए, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय की अद्वितीयता यह गारंटी देती है कि $4^{n}$ के गुणनखंडन में कोई अन्य अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए, कोई भी प्राकृत संख्या $n$ नहीं है जिसके लिए $4^{n}$ अंक शून्य पर समाप्त होता है।

आपने पहले ही सीख लिया है कि पिछली कक्षाओं में, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके, बिना एहसास किए, दो धनात्मक पूर्णांकों का म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) कैसे ज्ञात किया जाता है! इस विधि को अभाज्य गुणनखंडन विधि भी कहा जाता है। आइए हम एक उदाहरण के माध्यम से इस विधि को याद करते हैं।

उदाहरण 2 : अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 6 और 20 का ल.स. और म.स. ज्ञात कीजिए।

हल : हमारे पास है: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ और $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$।

आप $HCF(6,20)=2$ और $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ ज्ञात कर सकते हैं, जैसा कि आपकी पिछली कक्षाओं में किया गया था।

ध्यान दें कि $HCF(6,20)=2^{1}=$ संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल।

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।

उपरोक्त उदाहरण से, आपने शायद ध्यान दिया होगा कि $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$। वास्तव में, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $\boldsymbol{{}a}$ और $\boldsymbol{{}b}$ के लिए, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$। हम दो धनात्मक पूर्णांकों का ल.स. ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का उपयोग कर सकते हैं, यदि हमने पहले ही दो धनात्मक पूर्णांकों का म.स. ज्ञात कर लिया है।

उदाहरण 3 : अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का म.स. ज्ञात कीजिए। इस प्रकार, उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल : 96 और 404 का अभाज्य गुणनखंडन देता है:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

इसलिए, इन दो पूर्णांकों का म.स. $2^{2}=4$ है।

$ \text {Also,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

उदाहरण 4 : अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके 6, 72 और 120 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

हल : हमारे पास है:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

यहाँ, $2^{1}$ और $3^{1}$ क्रमशः उभयनिष्ठ गुणनखंडों 2 और 3 की सबसे छोटी घातें हैं। इसलिए,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ और 5 क्रमशः तीनों संख्याओं में शामिल अभाज्य गुणनखंडों 2, 3 और 5 की सबसे बड़ी घातें हैं।

$ \text{So,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

टिप्पणी : ध्यान दें, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$। इसलिए, तीन संख्याओं का गुणनफल उनके म.स. और ल.स. के गुणनफल के बराबर नहीं है।

1.3 अपरिमेय संख्याओं पर पुनर्विचार

कक्षा IX में, आपको अपरिमेय संख्याओं और उनके कई गुणधर्मों से परिचित कराया गया था। आपने उनके अस्तित्व के बारे में अध्ययन किया और कैसे परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं। आपने यह भी अध्ययन किया कि संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याओं को कैसे स्थित किया जाए। हालाँकि, हमने यह सिद्ध नहीं किया कि वे अपरिमेय थीं। इस खंड में, हम सिद्ध करेंगे कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ और, सामान्य रूप से, $\sqrt{p}$ अपरिमेय है, जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है। हमारे प्रमाण में उपयोग किए जाने वाले प्रमेयों में से एक अंकगणित का मूलभूत प्रमेय है।

याद कीजिए, एक संख्या ‘$s$’ को अपरिमेय कहा जाता है यदि इसे $\dfrac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। अपरिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण, जिनसे आप पहले से ही परिचित हैं, हैं:

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ etc. } $

इससे पहले कि हम सिद्ध करें कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है, हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है, जिसका प्रमाण अंकगणित के मूलभूत प्रमेय पर आधारित है।

प्रमेय 1.2 : मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p$, $a^{2}$ को विभाजित करता है, तो $p$, $a$ को विभाजित करता है, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।

[^0]प्रमाण : मान लीजिए $a$ का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$, जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अभाज्य संख्याएँ हैं, जरूरी नहीं कि भिन्न हों।

इसलिए, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$।

अब, हमें दिया गया है कि $p$, $a^{2}$ को विभाजित करता है। इसलिए, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय से, यह निष्कर्ष निकलता है कि $p$, $a^{2}$ के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है। हालाँकि, अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अद्वितीयता भाग का उपयोग करते हुए, हम यह महसूस करते हैं कि $a^{2}$ के एकमात्र अभाज्य गुणनखंड $p_1, p_2, \ldots, p_n$ हैं। इसलिए $p$, $p_1, p_2, \ldots, p_n$ में से एक है।

अब, चूँकि $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$, $a$ को विभाजित करता है।

अब हम यह सिद्ध करने के लिए तैयार हैं कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

प्रमाण एक तकनीक पर आधारित है जिसे ‘विरोधोक्ति द्वारा प्रमाण’ कहा जाता है। (इस तकनीक पर परिशिष्ट 1 में कुछ विस्तार से चर्चा की गई है)।

प्रमेय 1.3: $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

प्रमाण : आइए हम, विपरीत मानते हुए, मान लें कि $\sqrt{2}$ परिमेय है।

इसलिए, हम पूर्णांक $r$ और $s(\neq 0)$ इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$।

मान लीजिए $r$ और $s$ का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तब, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ प्राप्त करते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।

इसलिए, $b \sqrt{2}=a$।

दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $2 b^{2}=a^{2}$ प्राप्त होता है। इसलिए, 2, $a^{2}$ को विभाजित करता है।

अब, प्रमेय 1.3 के अनुसार, यह निष्कर्ष निकलता है कि 2, $a$ को विभाजित करता है।

इसलिए, हम किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a=2 c$ लिख सकते हैं।

$a$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2 b^{2}=4 c^{2}$ प्राप्त होता है, अर्थात, $b^{2}=2 c^{2}$।

इसका मतलब है कि 2, $b^{2}$ को विभाजित करता है, और इसलिए 2, $b$ को विभाजित करता है (फिर से प्रमेय 1.3 का उपयोग करते हुए $p=2$ के साथ)।

इसलिए, $a$ और $b$ में कम से कम 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में है।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $a$ और $b$ का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{2}$ परिमेय है।

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

उदाहरण 5 : सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल : आइए हम, विपरीत मानते हुए, मान लें कि $\sqrt{3}$ परिमेय है।

अर्थात, हम पूर्णांक $a$ और $b(\neq 0)$ इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

मान लीजिए $a$ और $b$ का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर सकते हैं, और मान सकते हैं कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।

इसलिए, $b \sqrt{3}=a$।

दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $3 b^{2}=a^{2}$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $a^{2}$, 3 से विभाज्य है, और प्रमेय 1.3 के अनुसार, यह निष्कर्ष निकलता है कि $a$ भी 3 से विभाज्य है।

इसलिए, हम किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a=3 c$ लिख सकते हैं।

$a$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हमें $3 b^{2}=9 c^{2}$ प्राप्त होता है, अर्थात, $b^{2}=3 c^{2}$।

इसका मतलब है कि $b^{2}$, 3 से विभाज्य है, और इसलिए $b$ भी 3 से विभाज्य है (प्रमेय 1.3 का उपयोग करते हुए $p=3$ के साथ)।

इसलिए, $a$ और $b$ में कम से कम 3 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में है।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।

यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $\sqrt{3}$ परिमेय है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

कक्षा IX में, हमने उल्लेख किया था कि:

• एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है और
• एक अशून्य परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल और भागफल अपरिमेय होता है।

हम यहाँ कुछ विशेष मामलों को सिद्ध करते हैं।

उदाहरण 6 : दर्शाइए कि $5-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

हल : आइए हम, विपरीत मानते हुए, मान लें कि $5-\sqrt{3}$ परिमेय है।

अर्थात, हम सह-अभाज्य $a$ और $b(b \neq 0)$ इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

इसलिए, $5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$।

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5 b-a}{b}$ प्राप्त होता है।

चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, हमें $5-\dfrac{a}{b}$ परिमेय प्राप्त होता है, और इसलिए $\sqrt{3}$ परिमेय है।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $5-\sqrt{3}$ परिमेय है।

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $5-\sqrt{3}$ अपरिमेय है।

उदाहरण 7 : दर्शाइए कि $3 \sqrt{2}$ अपरिमेय है।

हल : आइए हम, विपरीत मानते हुए, मान लें कि $3 \sqrt{2}$ परिमेय है।

अर्थात, हम सह-अभाज्य $a$ और $b(b \neq 0)$ इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$।

पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$ प्राप्त होता है।

चूँकि 3, $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, $\dfrac{a}{3 b}$ परिमेय है, और इसलिए $\sqrt{2}$ परिमेय है।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $3 \sqrt{2}$ अपरिमेय है।