१.१ परिचय

इयत्ता नववी मध्ये, तुम्ही वास्तव संख्यांच्या जगाचा शोध सुरू केला होता आणि अपरिमेय संख्यांशी परिचित झाला होता. या प्रकरणात आपण वास्तव संख्यांवरील चर्चा पुढे चालू ठेवू. आपण धन पूर्णांकांच्या दोन अतिशय महत्त्वाच्या गुणधर्मांपासून सुरुवात करतो, जे १.२ आणि १.३ या विभागांमध्ये आहेत, म्हणजे युक्लिडची भागाकार पद्धत आणि अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय.

युक्लिडची भागाकार पद्धत, नावाप्रमाणेच, पूर्णांकांच्या विभाज्यतेशी संबंधित आहे. सोप्या भाषेत सांगायचे तर, ती अशी सांगते की कोणताही धन पूर्णांक $a$ दुसऱ्या धन पूर्णांक $b$ ने अशा प्रकारे भागला जाऊ शकतो की बाकी $r$ उरते जी $b$ पेक्षा लहान असते. तुमच्यापैकी बहुतेकांनी हे नेहमीच्या लांब भागाकार प्रक्रियेप्रमाणे ओळखले असेल. हा निकाल सांगणे आणि समजून घेणे अगदी सोपे असला तरी, पूर्णांकांच्या विभाज्यतेच्या गुणधर्मांशी संबंधित त्याचे अनेक उपयोग आहेत. आपण त्यापैकी काहींवर स्पर्श करू आणि दोन धन पूर्णांकांचा मसावि काढण्यासाठी तो मुख्यतः वापरू.

दुसरीकडे, अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाचा संबंध धन पूर्णांकांच्या गुणाकाराशी आहे. तुम्हाला आधीच माहित आहे की प्रत्येक संयुक्त संख्या अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार म्हणून एका विशिष्ट पद्धतीने व्यक्त केली जाऊ शकते - हा महत्त्वाचा तथ्य म्हणजे अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय. पुन्हा, हा निकाल सांगणे आणि समजून घेणे सोपे असला तरी, गणिताच्या क्षेत्रात त्याचे काही अतिशय गहन आणि महत्त्वपूर्ण उपयोग आहेत. आपण अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाचा दोन मुख्य उपयोगांसाठी वापर करतो. प्रथम, इयत्ता नववी मध्ये तुम्ही अभ्यासलेल्या अनेक संख्या, जसे की $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ आणि $\sqrt{5}$, यांची अपरिमेयता सिद्ध करण्यासाठी आपण त्याचा वापर करतो. दुसरे, एका परिमेय संख्येचा, म्हणा $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, दशांश प्रसार कधी संपणारा आणि कधी अनंत आवर्ती असतो हे शोधण्यासाठी आपण हा प्रमेय लागू करतो. आपण $\dfrac{p}{q}$ च्या छेद $q$ च्या अविभाज्य घटकांकडे पाहून हे करतो. तुम्ही पाहाल की $q$ चे अविभाज्य घटक पूर्णपणे $\dfrac{p}{q}$ च्या दशांश प्रसाराचे स्वरूप उघड करतील.

तर चला, आपला शोध सुरू करूया.

१.२ अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय

तुमच्या आधीच्या वर्गांमध्ये, तुम्ही पाहिले आहे की कोणतीही नैसर्गिक संख्या तिच्या अविभाज्य घटकांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते. उदाहरणार्थ, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, इत्यादी. आता, नैसर्गिक संख्यांकडे दुसऱ्या दिशेने पाहण्याचा प्रयत्न करूया. म्हणजे, अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार करून कोणतीही नैसर्गिक संख्या मिळवता येते का? चला पाहूया.

अविभाज्य संख्यांचा कोणताही संच घ्या, म्हणा $2,3,7,11$ आणि 23. जर आपण या संख्यांपैकी काही किंवा सर्व संख्यांचा गुणाकार केला, आणि त्यांना आपल्याला पाहिजे तितक्या वेळा पुनरावृत्ती करू दिली, तर आपण धन पूर्णांकांचा एक मोठा संच तयार करू शकतो (खरेतर, अनंत संख्या). चला काही यादी करूया:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

आणि असेच पुढे.

आता, समजा तुमच्या अविभाज्य संख्यांच्या संचामध्ये सर्व संभाव्य अविभाज्य संख्या समाविष्ट आहेत. या संचाच्या आकाराबद्दल तुमचा अंदाज काय आहे? यात फक्त मर्यादित संख्येने पूर्णांक आहेत की अनंत संख्या आहेत? खरेतर, अविभाज्य संख्या अनंत आहेत. तर, जर आपण या सर्व अविभाज्य संख्यांना सर्व संभाव्य प्रकारे एकत्र केले, तर आपल्याला संख्यांचा एक अनंत संच मिळेल, सर्व अविभाज्य संख्या आणि अविभाज्य संख्यांचे सर्व संभाव्य गुणाकार. प्रश्न असा आहे - आपण सर्व संयुक्त संख्या अशा प्रकारे तयार करू शकतो का? तुम्हाला काय वाटते? तुम्हाला असे वाटते का की एखादी अशी संयुक्त संख्या असू शकते जी अविभाज्य संख्यांच्या घातांचा गुणाकार नाही?

याचे उत्तर देण्यापूर्वी, धन पूर्णांकांचे घटक पाडूया, म्हणजे आतापर्यंत आपण जे केले त्याच्या उलट करू.

आपण त्या घटक वृक्षाचा वापर करणार आहोत ज्याची तुम्हाला सर्वांना ओळख आहे. चला, एक मोठी संख्या घेऊ, म्हणा, 32760, आणि दाखवल्याप्रमाणे तिचे घटक पाडू.

तर आपण 32760 चे $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ असे घटक पाडले आहेत, म्हणजेच, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ अविभाज्य संख्यांच्या घातांचा गुणाकार म्हणून. चला आणखी एक संख्या पाहू, म्हणा, 123456789. हे $3^{2} \times 3803 \times 3607$ असे लिहिता येते. नक्कीच, 3803 आणि 3607 ह्या अविभाज्य संख्या आहेत हे तुम्हाला तपासावे लागेल! (ते स्वतः अनेक इतर नैसर्गिक संख्यांसाठी करून पहा.) यामुळे आपल्याला एक अनुमान काढता येते की प्रत्येक संयुक्त संख्या अविभाज्य संख्यांच्या घातांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते. खरेतर, हे विधान सत्य आहे, आणि त्याला अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय म्हणतात कारण पूर्णांकांच्या अभ्यासासाठी त्याचे मूलभूत महत्त्व आहे. चला आता हा प्रमेय औपचारिकपणे मांडूया.

प्रमेय १.१ (अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय) : प्रत्येक संयुक्त संख्या अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार म्हणून व्यक्त (घटकीकृत) केली जाऊ शकते, आणि अविभाज्य घटक ज्या क्रमाने येतात त्याच्या अपवादाने हे घटकीकरण विशिष्ट असते.

प्रमेय १.२ च्या समतुल्य आवृत्तीची नोंद युक्लिडच्या एलिमेंट्समधील बुक IX च्या प्रस्तावना १४ म्हणून प्रथम झाली असावी, त्यानंतर ती अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय म्हणून ओळखली जाऊ लागली. तथापि, पहिला योग्य पुरावा कार्ल फ्राइडरिक गॉस यांनी त्यांच्या डिस्क्विझिशन्स अरिथमेटिकामध्ये दिला.

कार्ल फ्राइडरिक गॉस यांना अनेकदा ‘गणिताचे राजकुमार’ म्हटले जाते आणि आर्किमिडीज आणि न्यूटन यांच्यासह ते सर्व काळातील तीन महान गणितज्ञांपैकी एक मानले जातात. त्यांनी गणित आणि विज्ञान या दोन्ही क्षेत्रांमध्ये मूलभूत योगदान दिले आहे.

कार्ल फ्राइडरिक गॉस (१७७७ - १८५५)

अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय सांगतो की प्रत्येक संयुक्त संख्या अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार म्हणून घटकीकृत केली जाऊ शकते. प्रत्यक्षात ते आणखी काही सांगते. ते असे सांगते की कोणतीही संयुक्त संख्या दिल्यास, ती अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार म्हणून ‘विशिष्ट’ पद्धतीने घटकीकृत केली जाऊ शकते, फक्त अविभाज्य संख्या ज्या क्रमाने येतात त्याचा अपवाद वगळता. म्हणजे, कोणतीही संयुक्त संख्या दिल्यास, ती अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहिण्याचा एक आणि फक्त एक मार्ग आहे, जोपर्यंत आपण अविभाज्य संख्या ज्या क्रमाने लिहिल्या जातात त्याबद्दल विशिष्ट नसतो. म्हणून, उदाहरणार्थ, आपण $2 \times 3 \times 5 \times 7$ ला $3 \times 5 \times 7 \times 2$ सारखेच किंवा या अविभाज्य संख्या लिहिल्या जाणाऱ्या इतर कोणत्याही संभाव्य क्रमाप्रमाणेच मानतो. हा तथ्य खालील स्वरूपात देखील सांगितला जातो:

नैसर्गिक संख्येचे अविभाज्य घटकीकरण त्याच्या घटकांच्या क्रमाच्या अपवादाने विशिष्ट असते.

सर्वसाधारणपणे, एक संयुक्त संख्या $x$ दिल्यास, आपण तिचे $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ असे घटकीकरण करतो, जिथे $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अविभाज्य संख्या आहेत आणि चढत्या क्रमाने लिहिल्या आहेत, म्हणजे, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$. जर आपण समान अविभाज्य संख्या एकत्र केल्या, तर आपल्याला अविभाज्य संख्यांच्या घात मिळतील. उदाहरणार्थ,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

एकदा आपण हा क्रम चढता ठेवण्याचा निर्णय घेतला की, मग संख्येचे घटकीकरण कसे केले जाते ते विशिष्ट असते.

अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाचे गणिताच्या आत आणि इतर क्षेत्रांमध्ये अनेक उपयोग आहेत. चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १ : $4^{n}$ या संख्या विचारात घ्या, जिथे $n$ ही एक नैसर्गिक संख्या आहे. $n$ च्या कोणत्याही मूल्यासाठी $4^{n}$ शून्य अंकाने संपते का ते तपासा.

उपाय : जर $4^{n}$ ही संख्या, कोणत्याही $n$ साठी, शून्य अंकाने संपली, तर ती ५ ने विभाज्य असेल. म्हणजे, $4^{n}$ च्या अविभाज्य घटकांमध्ये अविभाज्य संख्या ५ असेल. हे शक्य नाही कारण $4^{n}=(2)^{2 n}$; म्हणून $4^{n}$ च्या घटकांमध्ये एकमेव अविभाज्य संख्या २ आहे. तर, अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाची विशिष्टता हमी देते की $4^{n}$ च्या घटकांमध्ये इतर कोणत्याही अविभाज्य संख्या नाहीत. म्हणून, $n$ च्या कोणत्याही नैसर्गिक संख्येसाठी $4^{n}$ शून्य अंकाने संपत नाही.

तुम्ही आधीच शिकलात की दोन धन पूर्णांकांचा मसावि आणि लसावि अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाचा वापर करून आधीच्या वर्गांमध्ये कसा शोधायचा, ते जाणून न घेता! या पद्धतीला अविभाज्य घटकीकरण पद्धत असेही म्हणतात. चला एका उदाहरणाद्वारे ही पद्धत आठवूया.

उदाहरण २ : ६ आणि २० चे लसावि आणि मसावि अविभाज्य घटकीकरण पद्धतीने शोधा.

उपाय : आपल्याकडे आहे : $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ आणि $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$.

तुम्ही $HCF(6,20)=2$ आणि $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ शोधू शकता, जसे तुम्ही आधीच्या वर्गांमध्ये केले होते.

लक्षात घ्या की $HCF(6,20)=2^{1}=$ संख्यांमधील प्रत्येक सामाईक अविभाज्य घटकाच्या सर्वात लहान घाताचा गुणाकार.

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ संख्यांमध्ये समाविष्ट असलेल्या प्रत्येक अविभाज्य घटकाच्या सर्वात मोठ्या घाताचा गुणाकार.

वरील उदाहरणावरून, तुमच्या लक्षात आले असेल की $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$. खरेतर, आपण हे सत्यापित करू शकतो की कोणत्याही दोन धन पूर्णांक $\boldsymbol{{}a}$ आणि $\boldsymbol{{}b}$ साठी, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$. दोन धन पूर्णांकांचा मसावि आधीच काढल्यास, त्यांचा लसावि शोधण्यासाठी आपण हा निकाल वापरू शकतो.

उदाहरण ३ : ९६ आणि ४०४ चा मसावि अविभाज्य घटकीकरण पद्धतीने शोधा. त्यानंतर, त्यांचा लसावि शोधा.

उपाय : ९६ आणि ४०४ चे अविभाज्य घटकीकरण देते :

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

म्हणून, या दोन पूर्णांकांचा मसावि $2^{2}=4$ आहे.

$ \text {तसेच,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

उदाहरण ४ : ६, ७२ आणि १२० चा मसावि आणि लसावि, अविभाज्य घटकीकरण पद्धतीने शोधा.

उपाय : आपल्याकडे आहे :

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

येथे, $2^{1}$ आणि $3^{1}$ हे अनुक्रमे सामाईक घटक २ आणि ३ च्या सर्वात लहान घात आहेत. म्हणून,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ आणि ५¹ हे तीनही संख्यांमध्ये समाविष्ट असलेल्या अविभाज्य घटक २, ३ आणि ५ चे सर्वात मोठे घात आहेत.

$ \text{म्हणून,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

शेरा : लक्षात घ्या, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$. म्हणून, तीन संख्यांचा गुणाकार त्यांच्या मसावि आणि लसाविच्या गुणाकाराइतका नसतो.

१.३ अपरिमेय संख्यांचा पुनर्विचार

इयत्ता नववी मध्ये, तुमचा परिचय अपरिमेय संख्या आणि त्यांचे अनेक गुणधर्म यांच्याशी झाला होता. तुम्ही त्यांच्या अस्तित्वाबद्दल आणि परिमेय आणि अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या कशा बनतात याबद्दल अभ्यास केला होता. तुम्ही अपरिमेय संख्या संख्या रेषेवर कशा स्थानांकित करायच्या याचाही अभ्यास केला होता. तथापि, त्या अपरिमेय आहेत हे आपण सिद्ध केले नव्हते. या विभागात, आपण $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ आणि सर्वसाधारणपणे, $\sqrt{p}$ ही अपरिमेय आहे हे सिद्ध करू, जिथे $p$ ही एक अविभाज्य संख्या आहे. आपण आपल्या पुराव्यात वापरत असलेल्या एका प्रमेयाला अंकगणिताचा मूलभूत प्रमेय म्हणतात.

आठवा, एक संख्या ‘$s$’ जर ती $\dfrac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येत नसेल तर तिला अपरिमेय म्हणतात, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$. अपरिमेय संख्यांची काही उदाहरणे, ज्यांच्याशी तुम्ही आधीच परिचित आहात, ती आहेत :

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ इत्यादी. } $

$\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यापूर्वी, आपल्याला खालील प्रमेयाची आवश्यकता आहे, ज्याचा पुरावा अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयावर आधारित आहे.

प्रमेय १.२ : समजा $p$ ही एक अविभाज्य संख्या आहे. जर $p$ ने $a^{2}$ ला भागले, तर $p$ ने $a$ ला भागेल, जिथे a हा एक धन पूर्णांक आहे.

[^0]पुरावा : समजा $a$ चे अविभाज्य घटकीकरण खालीलप्रमाणे आहे :

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$, जिथे $p_1, p_2, \ldots, p_n$ अविभाज्य संख्या आहेत, आवश्यक नाही की भिन्न असतील.

म्हणून, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$.

आता, आपल्याला दिले आहे की $p$ ने $a^{2}$ ला भागले. म्हणून, अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयावरून असे दिसून येते की $p$ हा $a^{2}$ च्या अविभाज्य घटकांपैकी एक आहे. तथापि, अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाच्या विशिष्टतेचा भाग वापरून, आपल्याला कळते की $a^{2}$ चे एकमेव अविभाज्य घटक $p_1, p_2, \ldots, p_n$ आहेत. म्हणून $p$ हा $p_1, p_2, \ldots, p_n$ पैकी एक आहे.

आता, $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$ ने $a$ ला भागले पासून.

आता आपण $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे हे सिद्ध करण्यासाठी तयार आहोत.

पुरावा ‘विरोधाभासाने पुरावा’ या तंत्रावर आधारित आहे. (हे तंत्र परिशिष्ट १ मध्ये काही तपशिलांसह चर्चा केले आहे).

प्रमेय १.३: $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे.

पुरावा : समजा, विरुद्धपणे, $\sqrt{2}$ ही परिमेय आहे.

म्हणून, आपण $r$ आणि $s(\neq 0)$ असे पूर्णांक शोधू शकतो की $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$.

समजा $r$ आणि $s$ यांचा १ व्यतिरिक्त इतर सामाईक घटक आहे. मग, आपण सामाईक घटकाने भागून $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ मिळवतो, जिथे $a$ आणि $b$ परस्पर अविभाज्य आहेत.

म्हणून, $b \sqrt{2}=a$.

दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून आणि पुनर्रचना करून, आपल्याला $2 b^{2}=a^{2}$ मिळते. म्हणून, २ ने $a^{2}$ ला भागते.

आता, प्रमेय १.३ नुसार, असे दिसून येते की २ ने $a$ ला भागते.

म्हणून, आपण $a=2 c$ असे काही पूर्णांक $c$ साठी लिहू शकतो.

$a$ साठी बदलून, आपल्याला $2 b^{2}=4 c^{2}$ मिळते, म्हणजेच, $b^{2}=2 c^{2}$.

याचा अर्थ २ ने $b^{2}$ ला भागते, आणि म्हणून २ ने $b$ ला भागते (पुन्हा प्रमेय १.३ चा $p=2$ सह वापर करून).

म्हणून, $a$ आणि $b$ यांचा किमान २ हा सामाईक घटक आहे.

परंतु हे $a$ आणि $b$ यांचा १ व्यतिरिक्त इतर कोणताही सामाईक घटक नाही या तथ्याचा विरोध करते.

$\sqrt{2}$ ही परिमेय आहे हे आपले चुकीचे गृहीतक असल्यामुळे हा विरोधाभास निर्माण झाला आहे.

म्हणून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे.

उदाहरण ५ : $\sqrt{3}$ ही अपरिमेय आहे हे सिद्ध करा.

उपाय : समजा, विरुद्धपणे, $\sqrt{3}$ ही परिमेय आहे.

म्हणजे, आपण $a$ आणि $b(\neq 0)$ असे पूर्णांक शोधू शकतो की $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$.

समजा $a$ आणि $b$ यांचा १ व्यतिरिक्त इतर सामाईक घटक आहे, तर आपण सामाईक घटकाने भागू शकतो, आणि असे गृहीत धरू शकतो की $a$ आणि $b$ परस्पर अविभाज्य आहेत.

म्हणून, $b \sqrt{3}=a$.

दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून आणि पुनर्रचना करून, आपल्याला $3 b^{2}=a^{2}$ मिळते.

म्हणून, $a^{2}$ हा ३ ने विभाज्य आहे, आणि प्रमेय १.३ नुसार, असे दिसून येते की $a$ हा देखील ३ ने विभाज्य आहे.

म्हणून, आपण $a=3 c$ असे काही पूर्णांक $c$ साठी लिहू शकतो.

$a$ साठी बदलून, आपल्याला $3 b^{2}=9 c^{2}$ मिळते, म्हणजेच, $b^{2}=3 c^{2}$.

याचा अर्थ $b^{2}$ हा ३ ने विभाज्य आहे, आणि म्हणून $b$ हा देखील ३ ने विभाज्य आहे (प्रमेय १.३ चा $p=3$ सह वापर करून).

म्हणून, $a$ आणि $b$ यांचा किमान ३ हा सामाईक घटक आहे.

परंतु हे $a$ आणि $b$ परस्पर अविभाज्य आहेत या तथ्याचा विरोध करते.

$\sqrt{3}$ ही परिमेय आहे हे आपले चुकीचे गृहीतक असल्यामुळे हा विरोधाभास निर्माण झाला आहे. म्हणून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $\sqrt{3}$ ही अपरिमेय आहे.

इयत्ता नववी मध्ये, आपण नमूद केले होते की :

• परिमेय आणि अपरिमेय संख्येची बेरीज किंवा फरक अपरिमेय असतो आणि
• शून्येतर परिमेय आणि अपरिमेय संख्येचा गुणाकार आणि भागाकार अपरिमेय असतो.

आपण येथे काही विशिष्ट प्रकरणे सिद्ध करतो.

उदाहरण ६ : $5-\sqrt{3}$ ही अपरिमेय आहे हे दाखवा.

उपाय : समजा, विरुद्धपणे, $5-\sqrt{3}$ ही परिमेय आहे.

म्हणजे, आपण $a$ आणि $b(b \neq 0)$ असे परस्पर अविभाज्य शोधू शकतो की $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$.

म्हणून, $5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$.

ही समीकरण पुनर्रचना करून, आपल्याला $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5 b-a}{b}$ मिळते.

$a$ आणि $b$ हे पूर्णांक असल्यामुळे, आपल्याला $5-\dfrac{a}{b}$ ही परिमेय आहे, आणि म्हणून $\sqrt{3}$ ही परिमेय आहे.

परंतु हे $\sqrt{3}$ ही अपरिमेय आहे या तथ्याचा विरोध करते.

$5-\sqrt{3}$ ही परिमेय आहे हे आपले चुकीचे गृहीतक असल्यामुळे हा विरोधाभास निर्माण झाला आहे.

म्हणून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $5-\sqrt{3}$ ही अपरिमेय आहे.

उदाहरण ७ : $3 \sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे हे दाखवा.

उपाय : समजा, विरुद्धपणे, $3 \sqrt{2}$ ही परिमेय आहे.

म्हणजे, आपण $a$ आणि $b(b \neq 0)$ असे परस्पर अविभाज्य शोधू शकतो की $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$.

पुनर्रचना करून, आपल्याला $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$ मिळते.

३, $a$ आणि $b$ हे पूर्णांक असल्यामुळे, $\dfrac{a}{3 b}$ ही परिमेय आहे, आणि म्हणून $\sqrt{2}$ ही परिमेय आहे.

परंतु हे $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे या त