1.1 પરિચય

કક્ષા IX માં, તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની દુનિયાની શોધખોળ શરૂ કરી હતી અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સામનો કર્યો હતો. આ પ્રકરણમાં આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પરની ચર્ચા ચાલુ રાખીએ છીએ. આપણે ધન પૂર્ણાંકોના બે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોથી શરૂઆત કરીએ છીએ, જે વિભાગ 1.2 અને 1.3 માં છે, એટલે કે યુક્લિડની ભાગાકાર પ્રવિધિ અને અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય.

યુક્લિડની ભાગાકાર પ્રવિધિ, જેમ કે નામ સૂચવે છે, તે પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતા સાથે સંબંધિત છે. સરળ રીતે કહીએ તો, તે કહે છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ ને બીજા ધન પૂર્ણાંક $b$ વડે એવી રીતે ભાગી શકાય છે કે જેથી શેષ $r$ રહે જે $b$ કરતાં નાનો હોય. તમારામાંથી ઘણા લોકો આને સામાન્ય લાંબા ભાગાકારની પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખતા હશો. જોકે આ પરિણામ કહેવામાં અને સમજવામાં ખૂબ સરળ છે, તે પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતાના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત ઘણી એપ્લિકેશનો ધરાવે છે. આપણે તેમાંથી થોડીકને સ્પર્શીએ છીએ, અને તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. ગણવા માટે કરીએ છીએ.

અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય, બીજી બાજુ, ધન પૂર્ણાંકોના ગુણાકાર સાથે સંબંધિત છે. તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે દરેક ભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે - આ મહત્વપૂર્ણ તથ્ય અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય છે. ફરીથી, જ્યારે તે એક એવું પરિણામ છે જે કહેવામાં અને સમજવામાં સરળ છે, તે ગણિતના ક્ષેત્રમાં કેટલીક ખૂબ જ ઊંડી અને મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશનો ધરાવે છે. આપણે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ બે મુખ્ય એપ્લિકેશનો માટે કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે તેનો ઉપયોગ કક્ષા IX માં તમે અભ્યાસ કરેલી ઘણી સંખ્યાઓની અતાર્કિકતા સાબિત કરવા માટે કરીએ છીએ, જેમ કે $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$. બીજું, આપણે આ પ્રમેયનો ઉપયોગ એ સમજવા માટે કરીએ છીએ કે તર્કસંગત સંખ્યાનું દશાંશ વિસ્તરણ, ઉદાહરણ તરીકે $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, ક્યારે સાંત હોય છે અને ક્યારે અનંત આવૃત્ત હોય છે. આપણે આવું છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણને જોઈને કરીએ છીએ. તમે જોશો કે $q$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $\dfrac{p}{q}$ ના દશાંશ વિસ્તરણની પ્રકૃતિને સંપૂર્ણપણે ઉઘાડી પાડશે.

તો ચાલો આપણી શોધખોળ શરૂ કરીએ.

1.2 અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય

તમારી અગાઉની કક્ષાઓમાં, તમે જોયું છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, અને તેથી આગળ. હવે, ચાલો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને બીજી દિશાથી જોવાનો પ્રયાસ કરીએ. એટલે કે, શું કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને મેળવી શકાય? ચાલો જોઈએ.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો કોઈપણ સંગ્રહ લો, ઉદાહરણ તરીકે $2,3,7,11$ અને 23. જો આપણે આ સંખ્યાઓમાંથી કેટલીક અથવા બધીનો ગુણાકાર કરીએ, તેમને જેટલી વાર ઇચ્છીએ તેટલી વાર પુનરાવર્તિત થવા દઈએ, તો આપણે ધન પૂર્ણાંકોનો એક મોટો સંગ્રહ ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ (હકીકતમાં, અનંત રીતે ઘણા). ચાલો થોડા યાદી કરીએ:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

અને તેથી આગળ.

હવે, ચાલો ધારીએ કે તમારો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સંગ્રહ બધા સંભવિત અવિભાજ્યોને શામેલ કરે છે. આ સંગ્રહના કદ વિશે તમારો અંદાજ શું છે? શું તેમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં પૂર્ણાંકો છે, કે અનંત રીતે ઘણા છે? હકીકતમાં, અનંત રીતે ઘણા અવિભાજ્યો છે. તેથી, જો આપણે આ બધા અવિભાજ્યોને બધી સંભવિત રીતે જોડીએ, તો આપણને સંખ્યાઓનો એક અનંત સંગ્રહ મળશે, બધા અવિભાજ્યો અને અવિભાજ્યોના તમામ સંભવિત ગુણાકાર. પ્રશ્ન એ છે કે - શું આપણે આ રીતે બધી ભાજ્ય સંખ્યાઓ ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ? તમે શું વિચારો છો? શું તમને લાગે છે કે કોઈ ભાજ્ય સંખ્યા હોઈ શકે છે જે અવિભાજ્યોની ઘાતોનો ગુણાકાર નથી?

આપણે આનો જવાબ આપીએ તે પહેલાં, ચાલો ધન પૂર્ણાંકોનું અવયવીકરણ કરીએ, એટલે કે, અત્યાર સુધી આપણે જે કર્યું છે તેનાથી વિરુદ્ધ કરીએ.

આપણે અવયવ વૃક્ષનો ઉપયોગ કરવાના છીએ જેનાથી તમે બધા પરિચિત છો. ચાલો કોઈ મોટી સંખ્યા લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 32760, અને તેને બતાવ્યા પ્રમાણે અવયવીકરણ કરીએ.

તેથી આપણે 32760 નું અવયવીકરણ $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ તરીકે કર્યું છે, અવિભાજ્યોના ગુણાકાર તરીકે, એટલે કે, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ અવિભાજ્યોની ઘાતોના ગુણાકાર તરીકે. ચાલો બીજી સંખ્યા લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, 123456789. આને $3^{2} \times 3803 \times 3607$ તરીકે લખી શકાય. અલબત્ત, તમારે તપાસવું પડશે કે 3803 અને 3607 અવિભાજ્યો છે! (તમારા માટે કેટલીક અન્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પોતે જ પ્રયાસ કરો.) આ આપણને એક અનુમાન તરફ દોરી જાય છે કે દરેક ભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્યોની ઘાતોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. હકીકતમાં, આ વિધાન સાચું છે, અને તેને અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પૂર્ણાંકોના અભ્યાસ માટેનું મૂળભૂત નિર્ણાયક મહત્વ ધરાવે છે. ચાલો હવે આ પ્રમેયને ઔપચારિક રીતે જણાવીએ.

પ્રમેય 1.1 (અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય) : દરેક ભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર તરીકે વ્યક્ત (અવયવીકરણ) કરી શકાય છે, અને આ અવયવીકરણ અનન્ય છે, અવિભાજ્ય અવયવો જે ક્રમમાં આવે છે તેના સિવાય.

પ્રમેય 1.2 નું સમતુલ્ય સંસ્કરણ સંભવત: પ્રથમ યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સમાં બુક IX ના પ્રસ્તાવના 14 તરીકે રેકોર્ડ કરવામાં આવ્યું હતું, તે પહેલાં તે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે ઓળખાયું. જોકે, પ્રથમ સાચો પુરાવો કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે તેમના ડિસ્ક્વિઝિશન્સ અરિથમેટિકામાં આપ્યો હતો.

કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસને ઘણીવાર ‘પ્રિન્સ ઓફ મેથેમેટિશિયન્સ’ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેમને આર્કિમિડીઝ અને ન્યૂટન સાથે તમામ સમયના ત્રણ સૌથી મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક માનવામાં આવે છે. તેમણે ગણિત અને વિજ્ઞાન બંનેમાં મૂળભૂત યોગદાન આપ્યું છે.

કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ (1777 - 1855)

અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય કહે છે કે દરેક ભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર તરીકે અવયવીકરણ કરી શકાય છે. હકીકતમાં તે વધુ કહે છે. તે કહે છે કે કોઈપણ ભાજ્ય સંખ્યા આપવામાં આવે તો તેને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે ‘અનન્ય’ રીતે અવયવીકરણ કરી શકાય છે, અવિભાજ્યો જે ક્રમમાં આવે છે તેના સિવાય. એટલે કે, કોઈપણ ભાજ્ય સંખ્યા આપવામાં આવે તો તેને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર તરીકે લખવાની એક અને માત્ર એક જ રીત છે, જ્યાં સુધી આપણે અવિભાજ્યો જે ક્રમમાં આવે છે તે વિશે ચોક્કસ નથી. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, આપણે $2 \times 3 \times 5 \times 7$ ને $3 \times 5 \times 7 \times 2$ જેટલું જ માનીએ છીએ, અથવા આ અવિભાજ્યો લખાયેલા કોઈપણ અન્ય સંભવિત ક્રમને. આ તથ્ય નીચેના સ્વરૂપમાં પણ જણાવવામાં આવ્યું છે:

પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ અનન્ય છે, તેના અવયવોના ક્રમ સિવાય.

સામાન્ય રીતે, ભાજ્ય સંખ્યા $x$ આપવામાં આવે, આપણે તેનું અવયવીકરણ $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ તરીકે કરીએ છીએ, જ્યાં $p_1, p_2, \ldots, p_n$ અવિભાજ્યો છે અને ચડતા ક્રમમાં લખાયેલા છે, એટલે કે, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$. જો આપણે સમાન અવિભાજ્યોને જોડીએ, તો આપણને અવિભાજ્યોની ઘાતો મળશે. ઉદાહરણ તરીકે,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

એકવાર આપણે નક્કી કરી લીધું કે ક્રમ ચડતો હશે, તો સંખ્યાનું અવયવીકરણ જે રીતે થાય છે તે અનન્ય છે.

અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની ઘણી એપ્લિકેશનો છે, ગણિતની અંદર અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં બંનેમાં. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1 : સંખ્યાઓ $4^{n}$ ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $n$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. તપાસો કે શું $n$ નું કોઈ મૂલ્ય છે જેના માટે $4^{n}$ અંક શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે.

ઉકેલ : જો સંખ્યા $4^{n}$, કોઈપણ $n$ માટે, અંક શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય, તો તે 5 વડે વિભાજ્ય હશે. એટલે કે, $4^{n}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય 5 હશે. આ શક્ય નથી કારણ કે $4^{n}=(2)^{2 n}$; તેથી $4^{n}$ ના અવયવીકરણમાં એકમાત્ર અવિભાજ્ય 2 છે. તેથી, અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની અનન્યતા ખાતરી આપે છે કે $4^{n}$ ના અવયવીકરણમાં કોઈ અન્ય અવિભાજ્યો નથી. તેથી, કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ નથી જેના માટે $4^{n}$ અંક શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય.

તમે પહેલેથી જ અગાઉની કક્ષાઓમાં, અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. કેવી રીતે શોધવો તે શીખ્યા છો, તેનો ખ્યાલ લીધા વિના! આ પદ્ધતિને અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. ચાલો એક ઉદાહરણ દ્વારા આ પદ્ધતિ યાદ કરીએ.

ઉદાહરણ 2 : અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા 6 અને 20 નો લ.સા.અ. અને ગુ.સા.અ. શોધો.

ઉકેલ : આપણી પાસે છે: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ અને $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$.

તમે $HCF(6,20)=2$ અને $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ શોધી શકો છો, જેમ કે તમારી અગાઉની કક્ષાઓમાં કર્યું હતું.

નોંધ કરો કે $HCF(6,20)=2^{1}=$ સંખ્યાઓમાં દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની નાનામાં નાની ઘાતનો ગુણાકાર.

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ સંખ્યાઓમાં સામેલ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મોટામાં મોટી ઘાતનો ગુણાકાર.

ઉપરના ઉદાહરણ પરથી, તમે નોંધ્યું હશે કે $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$. હકીકતમાં, આપણે ચકાસી શકીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $\boldsymbol{{}a}$ અને $\boldsymbol{{}b}$ માટે, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$. જો આપણે બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. પહેલેથી શોધી લીધો હોય, તો આપણે આ પરિણામનો ઉપયોગ બે ધન પૂર્ણાંકોનો લ.સા.અ. શોધવા માટે કરી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 3 : અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પદ્ધતિ દ્વારા 96 અને 404 નો ગુ.સા.અ. શોધો. તેથી, તેમનો લ.સા.અ. શોધો.

ઉકેલ : 96 અને 404 નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ આપે છે:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

તેથી, આ બે પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. $2^{2}=4$ છે.

$ \text {અને,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

ઉદાહરણ 4 : અવિભાજ્ય અવયવીકરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 6, 72 અને 120 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.

ઉકેલ : આપણી પાસે છે:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

અહીં, $2^{1}$ અને $3^{1}$ અનુક્રમે સામાન્ય અવયવો 2 અને 3 ની નાનામાં નાની ઘાતો છે. તેથી,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ અને 5 અનુક્રમે ત્રણેય સંખ્યાઓમાં સામેલ અવિભાજ્ય અવયવો 2,3 અને 5 ની મોટામાં મોટી ઘાતો છે.

$ \text{તેથી,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

ટિપ્પણી : નોંધ કરો, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$. તેથી, ત્રણ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના ગુણાકાર જેટલો નથી.

1.3 અતાર્કિક સંખ્યાઓની પુનરાવર્તિત ચર્ચા

કક્ષા IX માં, તમે અતાર્કિક સંખ્યાઓ અને તેમના ઘણા ગુણધર્મોનો પરિચય કર્યો હતો. તમે તેમના અસ્તિત્વ અને કેવી રીતે તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ મળીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ બનાવે છે તેનો અભ્યાસ કર્યો હતો. તમે અતાર્કિક સંખ્યાઓને સંખ્યા રેખા પર કેવી રીતે સ્થિત કરવી તે પણ અભ્યાસ કર્યું હતું. જોકે, આપણે તે સાબિત કર્યું ન હતું કે તે અતાર્કિક છે. આ વિભાગમાં, આપણે સાબિત કરીશું કે $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ અને, સામાન્ય રીતે, $\sqrt{p}$ અતાર્કિક છે, જ્યાં $p$ એક અવિભાજ્ય છે. આપણા પુરાવામાં આપણે જે પ્રમેયોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેમાંનો એક અંકગણિતનો મૂળભૂત પ્રમેય છે.

યાદ કરો, એક સંખ્યા ‘$s$’ ને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે જો તેને $\dfrac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાતી નથી, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$. અતાર્કિક સંખ્યાઓના કેટલાક ઉદાહરણો, જેનાથી તમે પહેલેથી જ પરિચિત છો, તે છે:

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ વગેરે. } $

આપણે સાબિત કરીએ કે $\sqrt{2}$ અતાર્કિક છે તે પહેલાં, આપણને નીચેના પ્રમેયની જરૂર છે, જેનો પુરાવો અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય પર આધારિત છે.

પ્રમેય 1.2 : ધારો કે $p$ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. જો $p$, $a^{2}$ ને વિભાજિત કરે, તો $p$, $a$ ને વિભાજિત કરે છે, જ્યાં a એક ધન પૂર્ણાંક છે.

[^0]પુરાવો : ધારો કે $a$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે પ્રમાણે છે:

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$, જ્યાં $p_1, p_2, \ldots, p_n$ અવિભાજ્યો છે, જરૂરી નથી કે અલગ અલગ હોય.

તેથી, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$.

હવે, આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે $p$, $a^{2}$ ને વિભાજિત કરે છે. તેથી, અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય પરથી, તે અનુસરે છે કે $p$ એ $a^{2}$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાંનો એક છે. જોકે, અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયના અનન્યતા ભાગનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમજીએ છીએ કે $a^{2}$ ના એકમાત્ર અવિભાજ્ય અવયવો $p_1, p_2, \ldots, p_n$ છે. તેથી $p$ એ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ માંનો એક છે.

હવે, કારણ કે $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$, $a$ ને વિભાજિત કરે છે.

હવે આપણે એ સાબિત કરવા માટે તૈયાર છીએ કે $\sqrt{2}$ અતાર્કિક છે.

પુરાવો એક ટેકનિક પર આધારિત છે જેને ‘વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવો’ કહેવામાં આવે છે. (આ ટેકનિક પરિશિષ્ટ 1 માં કેટલીક વિગતમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે).

પ્રમેય 1.3: $\sqrt{2}$ અતાર્કિક છે.

પુરાવો : ધારો કે, વિરોધમાં, $\sqrt{2}$ તર્કસંગત છે.

તેથી, આપણે પૂર્ણાંકો $r$ અને $s(\neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેમ કે $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$.

ધારો કે $r$ અને $s$ નો 1 સિવાયનો સામાન્ય અ