১.১ ভূমিকা

নবম শ্রেণীতে, তোমরা বাস্তব সংখ্যার জগতের অনুসন্ধান শুরু করেছিলে এবং অমূলদ সংখ্যার সাথে পরিচিত হয়েছিলে। আমরা এই অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা নিয়ে আমাদের আলোচনা অব্যাহত রাখব। আমরা ১.২ এবং ১.৩ অংশে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা শুরু করব, যথা ইউক্লিডের বিভাজন অ্যালগরিদম এবং পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য।

ইউক্লিডের বিভাজন অ্যালগরিদম, নাম থেকেই বোঝা যায়, এর সম্পর্ক পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতার সাথে। সরলভাবে বলতে গেলে, এটি বলে যে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $a$ কে অন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $b$ দ্বারা এমনভাবে ভাগ করা যায় যাতে একটি ভাগশেষ $r$ থাকে যা $b$ এর চেয়ে ছোট। তোমাদের মধ্যে অনেকেই সম্ভবত এটিকে স্বাভাবিক দীর্ঘ বিভাজন প্রক্রিয়া হিসেবে চিনে থাকবে। যদিও এই ফলাফলটি বলা ও বোঝা বেশ সহজ, এর পূর্ণসংখ্যার বিভাজ্যতা সংক্রান্ত বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত অনেক প্রয়োগ রয়েছে। আমরা তাদের মধ্যে কয়েকটির উপর স্পর্শ করব, এবং প্রধানত দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গ.সা.গু. নির্ণয় করতে এটি ব্যবহার করব।

অন্যদিকে, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটির সম্পর্ক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণনের সাথে। তোমরা ইতিমধ্যেই জানো যে প্রতিটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে একটি অনন্য উপায়ে প্রকাশ করা যায় - এই গুরুত্বপূর্ণ তথ্যটিই হল পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য। আবার, যদিও এটি একটি ফলাফল যা বলা ও বোঝা সহজ, গণিতের ক্ষেত্রে এর কিছু অত্যন্ত গভীর ও তাৎপর্যপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। আমরা পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে দুটি প্রধান প্রয়োগের জন্য ব্যবহার করি। প্রথমত, আমরা নবম শ্রেণীতে তোমরা যে অনেক সংখ্যা পড়েছো, যেমন $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ এবং $\sqrt{5}$, তাদের অমূলদতা প্রমাণ করতে এটি ব্যবহার করি। দ্বিতীয়ত, আমরা এই উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে অনুসন্ধান করি যে একটি মূলদ সংখ্যা, ধরা যাক $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, এর দশমিক বিস্তার কখন সসীম এবং কখন অসীম ও পৌনঃপুনিক হয়। আমরা $\dfrac{p}{q}$ এর হর $q$ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ দেখে তা করি। তুমি দেখবে যে $q$ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ $\dfrac{p}{q}$ এর দশমিক বিস্তারের প্রকৃতি সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করবে।

সুতরাং, আসো আমরা আমাদের অনুসন্ধান শুরু করি।

১.২ পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

তোমার পূর্ববর্তী শ্রেণীতে, তুমি দেখেছ যে যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যাকে তার মৌলিক উৎপাদকের গুণফল হিসেবে লেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, ইত্যাদি। এখন, আসো আমরা স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোকে অন্য দিক থেকে দেখার চেষ্টা করি। অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যাগুলোকে গুণ করে কি কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা পাওয়া যায়? দেখা যাক।

কয়েকটি মৌলিক সংখ্যার সংগ্রহ নাও, ধরা যাক $2,3,7,11$ এবং 23। যদি আমরা এই সংখ্যাগুলোর কিছু বা সবগুলোকে গুণ করি, তাদের যতবার ইচ্ছা পুনরাবৃত্তি করতে দিয়ে, আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি বড় সংগ্রহ তৈরি করতে পারি (আসলে, অসীম অনেক)। আসো আমরা কয়েকটি তালিকাভুক্ত করি:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

ইত্যাদি।

এখন, ধরা যাক তোমার মৌলিক সংখ্যার সংগ্রহে সমস্ত সম্ভাব্য মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এই সংগ্রহের আকার সম্পর্কে তোমার অনুমান কী? এতে কি শুধুমাত্র একটি সসীম সংখ্যক পূর্ণসংখ্যা থাকে, নাকি অসীম অনেক? প্রকৃতপক্ষে, অসীম অনেক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। সুতরাং, যদি আমরা এই সমস্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোকে সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে একত্রিত করি, আমরা সংখ্যার একটি অসীম সংগ্রহ পাব, সমস্ত মৌলিক সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যার সমস্ত সম্ভাব্য গুণফল। প্রশ্ন হল - আমরা কি এইভাবে সমস্ত যৌগিক সংখ্যা উৎপাদন করতে পারি? তুমি কী মনে কর? তুমি কি মনে কর যে এমন একটি যৌগিক সংখ্যা থাকতে পারে যা মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফল নয়?

এটার উত্তর দেওয়ার আগে, আসো আমরা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি, অর্থাৎ, এতক্ষণ আমরা যা করেছি তার বিপরীত কাজ করি।

আমরা সেই ফ্যাক্টর ট্রি ব্যবহার করতে যাচ্ছি যার সাথে তোমরা সবাই পরিচিত। আসো আমরা একটি বড় সংখ্যা নিই, ধরা যাক, 32760, এবং নিচের মত করে এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।

সুতরাং আমরা 32760 কে $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ হিসেবে মৌলিক সংখ্যার গুণফল রূপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি, অর্থাৎ, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ কে মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফল হিসেবে। আসো আমরা আরেকটি সংখ্যা চেষ্টা করি, ধরা যাক, 123456789। এটিকে $3^{2} \times 3803 \times 3607$ হিসেবে লেখা যায়। অবশ্যই, তোমাকে পরীক্ষা করতে হবে যে 3803 এবং 3607 মৌলিক সংখ্যা! (নিজে কয়েকটি অন্যান্য স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য এটি চেষ্টা করো।) এটি আমাদের একটি অনুমানের দিকে নিয়ে যায় যে প্রতিটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফল হিসেবে লেখা যায়। প্রকৃতপক্ষে, এই বিবৃতিটি সত্য, এবং এটি পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য নামে পরিচিত কারণ পূর্ণসংখ্যার অধ্যয়নে এর মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রয়েছে। আসো আমরা এখন আনুষ্ঠানিকভাবে এই উপপাদ্যটি বিবৃত করি।

উপপাদ্য ১.১ (পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য) : প্রতিটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) করা যায়, এবং মৌলিক উৎপাদকগুলো যে ক্রমে উপস্থিত হয় তা ছাড়া এই উৎপাদকে বিশ্লেষণটি অনন্য।

উপপাদ্য ১.২ এর একটি সমতুল্য সংস্করণ সম্ভবত প্রথমে ইউক্লিডের এলিমেন্টসের নবম বইয়ের প্রস্তাবনা ১৪ হিসেবে রেকর্ড করা হয়েছিল, তারপর এটি পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য হিসেবে পরিচিতি পায়। তবে, প্রথম সঠিক প্রমাণ দিয়েছিলেন কার্ল ফ্রিডরিখ গাউস তার ডিসকুইজিশনস অ্যারিথমেটিকায়।

কার্ল ফ্রিডরিখ গাউসকে প্রায়শই ‘গণিতের রাজপুত্র’ বলা হয় এবং তাকে আর্কিমিডিস ও নিউটনের পাশাপাশি সর্বকালের তিনজন সর্বশ্রেষ্ঠ গণিতবিদের একজন হিসেবে বিবেচনা করা হয়। গণিত ও বিজ্ঞান উভয় ক্ষেত্রেই তার মৌলিক অবদান রয়েছে।

কার্ল ফ্রিডরিখ গাউস (১৭৭৭ - ১৮৫৫)

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য বলে যে প্রতিটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। আসলে এটি আরও বেশি বলে। এটি বলে যে, যেকোনো যৌগিক সংখ্যা দেওয়া থাকলে, মৌলিক সংখ্যাগুলো যে ক্রমে উপস্থিত হয় তা ছাড়া, এটিকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে একটি ‘অনন্য’ উপায়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। অর্থাৎ, যেকোনো যৌগিক সংখ্যা দেওয়া থাকলে, মৌলিক সংখ্যাগুলোর ক্রম সম্পর্কে আমরা সুনির্দিষ্ট না হলে, এটিকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখার এক এবং শুধুমাত্র একটি উপায় আছে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আমরা $2 \times 3 \times 5 \times 7$ কে $3 \times 5 \times 7 \times 2$ এর সমান বিবেচনা করি, বা এই মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখার অন্য যেকোনো সম্ভাব্য ক্রমকে। এই তথ্যটি নিম্নলিখিত আকারেও বিবৃত:

একটি স্বাভাবিক সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ তার উৎপাদকগুলোর ক্রম ছাড়া অনন্য।

সাধারণভাবে, একটি যৌগিক সংখ্যা $x$ দেওয়া থাকলে, আমরা এটিকে $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ হিসেবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি, যেখানে $p_1, p_2, \ldots, p_n$ হল মৌলিক সংখ্যা এবং ঊর্ধ্বক্রমে লেখা, অর্থাৎ, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$। যদি আমরা একই মৌলিক সংখ্যাগুলো একত্রিত করি, আমরা মৌলিক সংখ্যার ঘাত পাব। উদাহরণস্বরূপ,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

একবার আমরা ঊর্ধ্বক্রমে সাজানোর সিদ্ধান্ত নিলে, তখন সংখ্যাটি কীভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষিত হয়, তা অনন্য।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের গণিতের ভিতরে এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে অনেক প্রয়োগ রয়েছে। আসো আমরা কিছু উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ ১ : $4^{n}$ সংখ্যাগুলো বিবেচনা কর, যেখানে $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। পরীক্ষা করো যে $n$ এর কোনো মানের জন্য $4^{n}$ শূন্য অঙ্কে শেষ হয় কিনা।

সমাধান : যদি সংখ্যাটি $4^{n}$, যেকোনো $n$ এর জন্য, শূন্য অঙ্কে শেষ হয়, তবে এটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ, $4^{n}$ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে মৌলিক সংখ্যা ৫ থাকবে। এটি সম্ভব নয় কারণ $4^{n}=(2)^{2 n}$; সুতরাং $4^{n}$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণে একমাত্র মৌলিক সংখ্যা হল ২। সুতরাং, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের অনন্যতা নিশ্চিত করে যে $4^{n}$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণে অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই। সুতরাং, এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ নেই যার জন্য $4^{n}$ শূন্য অঙ্কে শেষ হয়।

তুমি ইতিমধ্যেই শিখেছ কীভাবে পূর্ববর্তী শ্রেণীতে, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. বের করতে হয়, বুঝতে না পারলেও! এই পদ্ধতিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিও বলা হয়। আসো আমরা একটি উদাহরণের মাধ্যমে এই পদ্ধতিটি স্মরণ করি।

উদাহরণ ২ : মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি দ্বারা ৬ এবং ২০ এর ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : আমাদের আছে: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ এবং $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$।

তুমি $HCF(6,20)=2$ এবং $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ বের করতে পারো, যেমনটি তোমার পূর্ববর্তী শ্রেণীতে করা হয়েছিল।

লক্ষ্য করো যে $HCF(6,20)=2^{1}=$ সংখ্যাগুলোর প্রতিটি সাধারণ মৌলিক উৎপাদকের ক্ষুদ্রতম ঘাতের গুণফল।

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ সংখ্যাগুলোতে জড়িত প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের বৃহত্তম ঘাতের গুণফল।

উপরের উদাহরণ থেকে, তুমি সম্ভবত লক্ষ্য করেছ যে $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$। প্রকৃতপক্ষে, আমরা যাচাই করতে পারি যে যেকোনো দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\boldsymbol{{}a}$ এবং $\boldsymbol{{}b}$ এর জন্য, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$। আমরা দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গ.সা.গু. ইতিমধ্যেই বের করে থাকলে, তাদের ল.সা.গু. নির্ণয় করতে এই ফলাফলটি ব্যবহার করতে পারি।

উদাহরণ ৩ : মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি দ্বারা ৯৬ এবং ৪০৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর। অতঃপর, তাদের ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : ৯৬ এবং ৪০৪ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ দেয়:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

অতএব, এই দুটি পূর্ণসংখ্যার গ.সা.গু. হল $2^{2}=4$।

$ \text {এছাড়াও,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

উদাহরণ ৪ : মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে ৬, ৭২ এবং ১২০ এর গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : আমাদের আছে:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

এখানে, $2^{1}$ এবং $3^{1}$ হল যথাক্রমে সাধারণ উৎপাদক ২ এবং ৩ এর ক্ষুদ্রতম ঘাত। সুতরাং,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$ এবং $5^{1}$ হল তিনটি সংখ্যায় জড়িত মৌলিক উৎপাদক ২,৩ এবং ৫ এর বৃহত্তম ঘাত।

$ \text{সুতরাং,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

মন্তব্য : লক্ষ্য করো, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$। সুতরাং, তিনটি সংখ্যার গুণফল তাদের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. এর গুণফলের সমান নয়।

১.৩ অমূলদ সংখ্যার পুনরালোচনা

নবম শ্রেণীতে, তোমাদের অমূলদ সংখ্যা এবং তাদের অনেক বৈশিষ্ট্যের সাথে পরিচয় করানো হয়েছিল। তুমি তাদের অস্তিত্ব এবং কীভাবে মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাগুলো একত্রে বাস্তব সংখ্যা গঠন করে সে সম্পর্কে পড়েছ। তুমি এমনকি সংখ্যারেখায় অমূলদ সংখ্যাগুলো কীভাবে অবস্থান করানো যায় তা নিয়েও পড়েছ। তবে, আমরা প্রমাণ করিনি যে সেগুলো অমূলদ। এই অংশে, আমরা প্রমাণ করব যে $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ এবং, সাধারণভাবে, $\sqrt{p}$ অমূলদ, যেখানে $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা। আমরা আমাদের প্রমাণে যে উপপাদ্যগুলো ব্যবহার করি, তার মধ্যে একটি হল পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য।

স্মরণ করো, একটি সংখ্যা ‘$s$’ কে অমূলদ বলা হয় যদি এটিকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে লেখা না যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ হল পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। অমূলদ সংখ্যার কিছু উদাহরণ, যেগুলোর সাথে তুমি ইতিমধ্যেই পরিচিত, সেগুলো হল:

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi,-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, 0.10110111011110 \cdots, \text{ ইত্যাদি। } $

আমরা প্রমাণ করার আগে যে $\sqrt{2}$ অমূলদ, আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্যটির প্রয়োজন, যার প্রমাণ পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে।

উপপাদ্য ১.২ : ধরা যাক $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা। যদি $p$, $a^{2}$ কে ভাগ করে, তবে $p$, $a$ কে ভাগ করে, যেখানে a একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

[^0]প্রমাণ : ধরা যাক $a$ এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:

$a=p_1 p_2 \ldots p_n$, যেখানে $p_1, p_2, \ldots, p_n$ হল মৌলিক সংখ্যা, অগত্যা ভিন্ন নয়।

অতএব, $a^{2}=(p_1 p_2 \ldots p_n)(p_1 p_2 \ldots p_n)=p_1^{2} p_2^{2} \ldots p_n^{2}$।

এখন, আমাদের দেওয়া আছে যে $p$, $a^{2}$ কে ভাগ করে। সুতরাং, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে $p$ হল $a^{2}$ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর একটি। তবে, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের অনন্যতার অংশ ব্যবহার করে, আমরা উপলব্ধি করি যে $a^{2}$ এর একমাত্র মৌলিক উৎপাদকগুলি হল $p_1, p_2, \ldots, p_n$। সুতরাং $p$ হল $p_1, p_2, \ldots, p_n$ এর একটি।

এখন, যেহেতু $a=p_1 p_2 \ldots p_n, p$, $a$ কে ভাগ করে।

আমরা এখন প্রস্তুত যে $\sqrt{2}$ অমূলদ তা প্রমাণ করার জন্য।

প্রমাণটি ‘প্রতিবাদ দ্বারা প্রমাণ’ নামক একটি কৌশলের উপর ভিত্তি করে। (এই কৌশলটি পরিশিষ্ট ১ এ কিছু বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে)।

উপপাদ্য ১.৩: $\sqrt{2}$ অমূলদ।

প্রমাণ : ধরা যাক, বিপরীতভাবে, যে $\sqrt{2}$ মূলদ।

সুতরাং, আমরা পূর্ণসংখ্যা $r$ এবং $s(\neq 0)$ খুঁজে পেতে পারি যাতে $\sqrt{2}=\dfrac{r}{s}$।

ধরা যাক $r$ এবং $s$ এর ১ ছাড়া অন্য একটি সাধারণ উৎপাদক রয়েছে। তাহলে, আমরা সাধারণ উৎপাদক দ্বারা ভাগ করে পাই $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$, যেখানে $a$ এবং $b$ সহমৌলিক।

সুতরাং, $b \sqrt{2}=a$।

উভয় পাশে বর্গ করে এবং পুনর্বিন্যাস করে, আমরা পাই $2 b^{2}=a^{2}$। অতএব, ২ $a^{2}$ কে ভাগ করে।

এখন, উপপাদ্য ১.৩ অনুসারে, এটি অনুসরণ করে যে ২ $a$ কে ভাগ করে।

সুতরাং, আমরা $a=2 c$ লিখতে পারি কিছু পূর্ণসংখ্যা $c$ এর জন্য।

$a$ এর জন্য প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই $2 b^{2}=4 c^{2}$, অর্থাৎ, $b^{2}=2 c^{2}$।

এর মানে হল যে ২ $b^{2}$ কে ভাগ করে, এবং তাই ২ $b$ কে ভাগ করে (আবার উপপাদ্য ১.৩ ব্যবহার করে $p=2$ সহ)।

অতএব, $a$ এবং $b$ এর অন্তত ২ একটি সাধারণ উৎপাদক হিসেবে রয়েছে।

কিন্তু এটি এই সত্যের সাথে সাংঘর্ষিক যে $a$ এবং $b$ এর ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।

এই স্ববিরোধিতা এসেছে আমাদের ভুল ধারণা থেকে যে $\sqrt{2}$ মূলদ।

সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে $\sqrt{2}$ অমূলদ।

উদাহরণ ৫ : প্রমাণ কর যে $\sqrt{3}$ অমূলদ।

সমাধান : ধরা যাক, বিপরীতভাবে, যে $\sqrt{3}$ মূলদ।

অর্থাৎ, আমরা পূর্ণসংখ্যা $a$ এবং $b(\neq 0)$ খুঁজে পেতে পারি যাতে $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

ধরা যাক $a$ এবং $b$ এর ১ ছাড়া অন্য একটি সাধারণ উৎপাদক রয়েছে, তাহলে আমরা সাধারণ উৎপাদক দ্বারা ভাগ করতে পারি, এবং ধরে নিতে পারি যে $a$ এবং $b$ সহমৌলিক।

সুতরাং, $b \sqrt{3}=a$।

উভয় পাশে বর্গ করে, এবং পুনর্বিন্যাস করে, আমরা পাই $3 b^{2}=a^{2}$।

অতএব, $a^{2}$ ৩ দ্বারা বিভাজ্য, এবং উপপাদ্য ১.৩ অনুসারে, এটি অনুসরণ করে যে $a$ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, আমরা $a=3 c$ লিখতে পারি কিছু পূর্ণসংখ্যা $c$ এর জন্য।

$a$ এর জন্য প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই $3 b^{2}=9 c^{2}$, অর্থাৎ, $b^{2}=3 c^{2}$।

এর মানে হল যে $b^{2}$ ৩ দ্বারা বিভাজ্য, এবং তাই $b$ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য (উপপাদ্য ১.৩ ব্যবহার করে $p=3$ সহ)।

অতএব, $a$ এবং $b$ এর অন্তত ৩ একটি সাধারণ উৎপাদক হিসেবে রয়েছে।

কিন্তু এটি এই সত্যের সাথে সাংঘর্ষিক যে $a$ এবং $b$ সহমৌলিক।

এই স্ববিরোধিতা এসেছে আমাদের ভুল ধারণা থেকে যে $\sqrt{3}$ মূলদ। সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে $\sqrt{3}$ অমূলদ।

নবম শ্রেণীতে, আমরা উল্লেখ করেছিলাম যে:

• একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল বা বিয়োগফল অমূলদ হয় এবং
• একটি অশূন্য মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার গুণফল ও ভাগফল অমূলদ হয়।

আমরা এখানে কিছু নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে প্রমাণ করি।

উদাহরণ ৬ : দেখাও যে $5-\sqrt{3}$ অমূলদ।

সমাধান : ধরা যাক, বিপরীতভাবে, যে $5-\sqrt{3}$ মূলদ।

অর্থাৎ, আমরা সহমৌলিক $a$ এবং $b(b \neq 0)$ খুঁজে পেতে পারি যাতে $5-\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$।

অতএব, $5-\dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$।

এই সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করে, আমরা পাই $\sqrt{3}=5-\dfrac{a}{b}=\dfrac{5 b-a}{b}$।

যেহেতু $a$ এবং $b$ পূর্ণসংখ্যা, আমরা পাই $5-\dfrac{a}{b}$ মূলদ, এবং তাই $\sqrt{3}$ মূলদ।

কিন্তু এটি এই সত্যের সাথে সাংঘর্ষিক যে $\sqrt{3}$ অমূলদ।

এই স্ববিরোধিতা এসেছে আমাদের ভুল ধারণা থেকে যে $5-\sqrt{3}$ মূলদ।

সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে $5-\sqrt{3}$ অমূলদ।

উদাহরণ ৭ : দেখাও যে $3 \sqrt{2}$ অমূলদ।

সমাধান : ধরা যাক, বিপরীতভাবে, যে $3 \sqrt{2}$ মূলদ।

অর্থাৎ, আমরা সহমৌলিক $a$ এবং $b(b \neq 0)$ খুঁজে পেতে পারি যাতে $3 \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$।

পুনর্বিন্যাস করে, আমরা পাই $\sqrt{2}=\dfrac{a}{3 b}$।

যেহেতু ৩, $a$ এবং $b$ পূর্ণসংখ্যা, $\dfrac{a}{3 b}$ মূলদ, এবং তাই $\sqrt{2}$ মূলদ।

কিন্তু এটি এই সত্যের সাথে সাংঘর্ষিক যে $\sqrt{2}$ অমূলদ।

সুতরাং, আমরা সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে $3 \sqrt{2}$ অমূলদ।

১.৪ সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে, তুমি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি অধ্যয়ন করেছ:

১. পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য:

প্রতিটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) করা যায়, এবং মৌলিক উৎপাদকগুলো যে ক্রমে উপস্থিত হয় তা ছাড়া এই উৎপাদকে বিশ্লেষণটি অনন্য।

২. যদি $p$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং $p$, $a^{2}$ কে ভাগ করে, তবে $p$, $a$ কে ভাগ করে, যেখানে $a$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

৩. প্রমাণ করা যে $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ অমূলদ।

পাঠকদের জন্য একটি নোট

তুমি দেখেছ যে:

$HCF(p, q, r) \times LCM(p, q, r) \neq p \times q \times r$, যেখানে $p, q, r$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (দেখ উদাহরণ ৮ )। তবে, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি তিনটি সংখ্যা $p, q$ এবং $r$ এর জন্য সত্য:

$ \begin{aligned} LCM(p, q, r) & =\dfrac{p \cdot q \cdot r \cdot HCF(p, q, r)}{HCF(p, q) \cdot HCF(q, r) \cdot HCF(p, r)} \\ HCF(p, q, r) & =\dfrac{p \cdot q \cdot r \cdot LCM(p, q, r)}{LCM(p, q) \cdot LCM(q, r) \cdot LCM(p, r)} \end{aligned} $