1.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਖੋਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤੀ ਸੀ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਸਾਹਮਣਾ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ ਆਪਣੀ ਚਰਚਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਭਾਗ 1.2 ਅਤੇ 1.3 ਵਿੱਚ ਹਨ, ਭਾਵ ਯੂਕਲਿਡ ਦਾ ਭਾਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ।

ਯੂਕਲਿਡ ਦੀ ਭਾਗ ਪ੍ਰਣਾਲੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵੰਡਯੋਗਤਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਸਰਲ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $a$ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $b$ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ੇਸ਼ $r$ ਛੱਡਦੀ ਹੈ ਜੋ $b$ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸ਼ਾਇਦ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਲੰਬੀ ਵੰਡ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋਵੋਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕਹਿਣ ਅਤੇ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਵੰਡਯੋਗਤਾ ਵਾਲੇ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ‘ਤੇ ਛੂਹਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਪਯੋਗ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. (HCF) ਗਿਣਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ, ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾ ਨਾਲ ਕੁਝ ਸੰਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਹਰ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ - ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੱਥ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਜਦੋਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ ਜੋ ਕਹਿਣ ਅਤੇ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਬਹੁਤ ਡੂੰਘੇ ਅਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਦੋ ਮੁੱਖ ਉਪਯੋਗਾਂ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਉਪਯੋਗ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਅਪਰਿਮੇਯਤਾ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ ਅਤੇ $\sqrt{5}$। ਦੂਜਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਇਹ ਪੜਚੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਪ੍ਰਸਾਰ, ਮੰਨ ਲਓ $\dfrac{p}{q}(q \neq 0)$, ਕਦੋਂ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਅਸਮਾਪਤ ਦੁਹਰਾਅ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ $\dfrac{p}{q}$ ਦੇ ਹਰ $q$ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਨੂੰ ਵੇਖ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ $q$ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ $\dfrac{p}{q}$ ਦੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੇਗਾ।

ਤਾਂ ਆਓ ਆਪਣੀ ਖੋਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।

1.2 ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ

ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਉਸਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2=2,4=2 \times 2,253=11 \times 23$, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਹੁਣ, ਆਓ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਵੇਖੀਏ। ਭਾਵ, ਕੀ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਆਓ ਦੇਖੀਏ।

ਕੋਈ ਵੀ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਲਓ, ਮੰਨ ਲਓ $2,3,7,11$ ਅਤੇ 23। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਜਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜਿੰਨੀ ਵਾਰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ)। ਆਓ ਕੁਝ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈਏ:

$ \begin{matrix} 7 \times 11 \times 23=1771 & 3 \times 7 \times 11 \times 23=5313 \\ 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=10626 & 2^{3} \times 3 \times 7^{3}=8232 \\ 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11 \times 23=21252 & \end{matrix} $

ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।

ਹੁਣ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਭਾਵਿਤ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਆਕਾਰ ਬਾਰੇ ਤੁਹਾਡਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ? ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਢੰਗਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਮਿਲੇਗਾ, ਸਾਰੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਗੁਣਨਫਲ। ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੈ - ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਾਰੀਆਂ ਰਲਵੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਸੋਚਦੇ ਹੋ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਹੀਂ ਹੈ?

ਇਸਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਕਰੀਏ, ਭਾਵ, ਉਲਟਾ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਤੱਕ ਕੀਤਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਉਸ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੁੱਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਜਾਣੂ ਹੋ। ਆਓ ਕੋਈ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਲਈਏ, ਮੰਨ ਲਓ, 32760, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਕਰੀਏ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ 32760 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ ਵਜੋਂ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ, ਭਾਵ, $32760=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ। ਆਓ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆ ਲੈ ਕੇ ਵੇਖੀਏ, ਮੰਨ ਲਓ, 123456789। ਇਸਨੂੰ $3^{2} \times 3803 \times 3607$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਬੇਸ਼ਕ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ ਕਿ 3803 ਅਤੇ 3607 ਅਭਾਜ ਹਨ! (ਇਸਨੂੰ ਕਈ ਹੋਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਆਪਣੇ ਆਪ ਅਜ਼ਮਾਓ।) ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਮਹੱਤਵ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਕਹੀਏ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 1.1 (ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ) : ਹਰ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ (ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਆਉਂਦੇ ਹਨ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 1.2 ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸੰਸਕਰਣ ਸ਼ਾਇਦ ਪਹਿਲਾਂ ਯੂਕਲਿਡ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਸ ਦੀ ਕਿਤਾਬ IX ਦੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵ 14 ਵਜੋਂ ਦਰਜ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਿ ਇਹ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਹਿਲਾ ਸਹੀ ਸਬੂਤ ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ ਨੇ ਆਪਣੀ ਡਿਸਕੁਇਜ਼ੀਸ਼ਨਜ਼ ਅਰਿਥਮੈਟੀਕੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਸੀ।

ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ‘ਗਣਿਤ ਦਾ ਰਾਜਕੁਮਾਰ’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਆਰਕੀਮਿਡੀਜ਼ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਾਲ ਸਾਰੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹਾਨ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦੋਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਇਆ ਹੈ।

ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ (1777 - 1855)

ਅੰਕਗਣਿਤ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇਸ ਤੋਂ ਵੀ ਵੱਧ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ‘ਵਿਲੱਖਣ’ ਢੰਗ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਭਾਵ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੀ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਕ੍ਰਮ ਬਾਰੇ ਖਾਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ $2 \times 3 \times 5 \times 7$ ਨੂੰ $3 \times 5 \times 7 \times 2$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਕ੍ਰਮ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਤੱਥ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਕਿਸੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਰਲਵੀਂ ਸੰਖਿਆ $x$ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ $x=p_1 p_2 \ldots p_n$ ਵਜੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ $p_1, p_2, \ldots, p_n$ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਚੜ੍ਹਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਭਾਵ, $p_1 \leq p_2$ $\leq \ldots \leq p_n$। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਮਿਲਣਗੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,

$32760=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 \times 13$

ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਤੈਅ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਤਾਂ ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਨਾਂ ਵਿੱਚ। ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵੇਖੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਸੰਖਿਆਵਾਂ $4^{n}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ $n$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ $n$ ਦਾ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ $4^{n}$ ਅੰਕ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੱਲ : ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆ $4^{n}$, ਕਿਸੇ ਵੀ $n$ ਲਈ, ਅੰਕ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੋਣੀ ਸੀ, ਤਾਂ ਇਹ 5 ਨਾਲ ਵੰਡਯੋਗ ਹੋਵੇਗੀ। ਭਾਵ, $4^{n}$ ਦੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ 5 ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਹ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $4^{n}=(2)^{2 n}$; ਇਸਲਈ $4^{n}$ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਇਕਲੌਤੀ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ 2 ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ $4^{n}$ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਹੋਰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਕੋਈ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ $n$ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ $4^{n}$ ਅੰਕ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹੋ ਕਿ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਕਗਣਿਤ ਦੇ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. ਅਤੇ ਲ.ਸ.ਵ. ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਮਝੇ ਬਿਨਾਂ! ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਧੀ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 : ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ 6 ਅਤੇ 20 ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. ਅਤੇ ਮ.ਸ.ਵ. ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ: $\quad 6=2^{1} \times 3^{1}$ ਅਤੇ $20=2 \times 2 \times 5=2^{2} \times 5^{1}$।

ਤੁਸੀਂ $HCF(6,20)=2$ ਅਤੇ $LCM(6,20)=2 \times 2 \times 3 \times 5=60$ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $HCF(6,20)=2^{1}=$ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਸਾਂਝੇ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਘਾਤ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ।

$LCM(6,20)=2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}=$ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਰੇਕ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ।

ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਣ ਤੋਂ, ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਇਹ ਨੋਟਿਸ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ $HCF(6,20) \times LCM(6,20)$ $=6 \times 20$। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\boldsymbol{{}a}$ ਅਤੇ $\boldsymbol{{}b}$ ਲਈ, $HCF(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b}) \times \mathbf{L C M}(\boldsymbol{{}a}, \boldsymbol{{}b})=\boldsymbol{{}a} \times \boldsymbol{{}b}$। ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. ਲੱਭ ਲਿਆ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 : ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ 96 ਅਤੇ 404 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. ਲੱਭੋ। ਇਸਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : 96 ਅਤੇ 404 ਦਾ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:

$ 96=2^{5} \times 3,404=2^{2} \times 101 $

ਇਸਲਈ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. $2^{2}=4$ ਹੈ।

$ \text {ਅਤੇ,}\qquad LCM(96,404)=\dfrac{96 \times 404}{HCF(96,404)}=\dfrac{96 \times 404}{4}=9696 $

ਉਦਾਹਰਣ 4 : ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡੀਕਰਣ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 6, 72 ਅਤੇ 120 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. ਅਤੇ ਲ.ਸ.ਵ. ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:

$ 6=2 \times 3,72=2^{3} \times 3^{2}, 120=2^{3} \times 3 \times 5 $

ਇੱਥੇ, $2^{1}$ ਅਤੇ $3^{1}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ 2 ਅਤੇ 3 ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ। ਇਸਲਈ,

$ HCF(6,72,120)=2^{1} \times 3^{1}=2 \times 3=6 $

$2^{3}, 3^{2}$, $5^{1}$ ਅਤੇ 5 ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਤਿੰਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ 2,3 ਅਤੇ 5 ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਹਨ।

$ \text{ਇਸਲਈ,}\qquad LCM(6,72,120)=2^{3} \times 3^{2} \times 5^{1}=360 $

ਟਿੱਪਣੀ : ਧਿਆਨ ਦਿਓ, $6 \times 72 \times 120 \neq HCF(6,72,120) \times LCM(6,72,120)$। ਇਸਲਈ, ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮ.ਸ.ਵ. ਅਤੇ ਲ.ਸ.ਵ. ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

1.3 ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਚਾਰ

ਕਲਾਸ ਨੌਵੀਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਕਰਵਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਸਤਿਤਵ ਅਤੇ ਇਸ ਬਾਰੇ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਮਿਲ ਕੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਕਿ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਹ ਅਪਰਿਮੇ