روزمرہ کی زندگی میں، ہم کچھ اشیاء کو ساکن اور کچھ کو حرکت میں دیکھتے ہیں۔ پرندے اڑتے ہیں، مچھلیاں تیرتی ہیں، خون رگوں اور شریانوں میں بہتا ہے، اور کاریں چلتی ہیں۔ ایٹم، مالیکیول، سیارے، ستارے اور کہکشائیں سب حرکت میں ہیں۔ ہم اکثر کسی شے کو حرکت میں تب سمجھتے ہیں جب اس کی پوزیشن وقت کے ساتھ بدلتی ہے۔ تاہم، ایسی صورتیں بھی ہوتی ہیں جہاں حرکت کا اندازہ بالواسطہ شواہد سے لگایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم ہوا کی حرکت کا اندازہ دھول کی حرکت اور درختوں کے پتوں اور شاخوں کی حرکت کو دیکھ کر لگاتے ہیں۔ طلوع آفتاب، غروب آفتاب اور موسموں کے بدلنے کے مظاہر کی کیا وجہ ہے؟ کیا یہ زمین کی حرکت کی وجہ سے ہے؟ اگر یہ سچ ہے، تو ہم زمین کی حرکت کو براہ راست کیوں محسوس نہیں کرتے؟

ایک شے ایک شخص کے لیے حرکت کرتی ہوئی نظر آسکتی ہے اور کسی دوسرے کے لیے ساکن۔ چلتی ہوئی بس میں سوار مسافروں کے لیے، سڑک کنارے کے درخت پیچھے کی طرف بھاگتے ہوئے نظر آتے ہیں۔ سڑک کنارے کھڑا ایک شخص بس کو مسافروں سمیت حرکت کرتا ہوا محسوس کرتا ہے۔ تاہم، بس کے اندر بیٹھا مسافر اپنے ساتھی مسافروں کو ساکن دیکھتا ہے۔ یہ مشاہدات کیا ظاہر کرتے ہیں؟

زیادہ تر حرکتیں پیچیدہ ہوتی ہیں۔ کچھ اشیاء سیدھی لکیر میں حرکت کر سکتی ہیں، دوسری دائرے میں حرکت کر سکتی ہیں۔ کچھ گھوم سکتی ہیں اور کچھ کمپن کر سکتی ہیں۔ ان کے امتزاج والی صورتیں بھی ہو سکتی ہیں۔ اس باب میں، ہم پہلے اشیاء کی حرکت کو سیدھی لکیر کے ساتھ بیان کرنا سیکھیں گے۔ ہم ایسی حرکات کو سادہ مساوات اور گراف کے ذریعے ظاہر کرنا بھی سیکھیں گے۔ بعد میں، ہم دائرے میں حرکت کو بیان کرنے کے طریقوں پر بات کریں گے۔

سرگرمی 7.1

• بحث کریں کہ آیا آپ کی کلاس روم کی دیواریں ساکن ہیں یا حرکت میں ہیں۔

سرگرمی 7.2

• کیا آپ نے کبھی یہ تجربہ کیا ہے کہ جس ٹرین میں آپ بیٹھے ہیں وہ ساکن ہونے کے باوجود چلتی ہوئی محسوس ہوتی ہے؟

• اپنے تجربے پر بحث کریں اور شیئر کریں۔

سوچیں اور عمل کریں

ہم کبھی کبھار اپنے ارد گرد اشیاء کی حرکت سے خطرے میں پڑ جاتے ہیں، خاص طور پر اگر وہ حرکت بے قاعدہ اور بے کنٹرول ہو جیسا کہ سیلاب زدہ دریا، طوفان یا سونامی میں دیکھا جاتا ہے۔ دوسری طرف، کنٹرول شدہ حرکت انسانوں کے لیے فائدہ مند ہو سکتی ہے جیسے کہ ہائیڈرو الیکٹرک پاور کی پیداوار میں۔ کیا آپ کو کچھ اشیاء کی بے قاعدہ حرکت کا مطالعہ کرنے اور انہیں کنٹرول کرنا سیکھنے کی ضرورت محسوس ہوتی ہے؟

7.1 حرکت کی وضاحت

ہم کسی شے کے مقام کی وضاحت ایک حوالہ نقطہ بتا کر کرتے ہیں۔ آئیے اسے ایک مثال سے سمجھتے ہیں۔ فرض کریں کہ ایک گاؤں میں ایک اسکول ریلوے اسٹیشن کے $2 km$ شمال میں واقع ہے۔ ہم نے اسکول کی پوزیشن ریلوے اسٹیشن کے حوالے سے بتائی ہے۔ اس مثال میں، ریلوے اسٹیشن حوالہ نقطہ ہے۔ ہم اپنی سہولت کے مطابق دوسرے حوالہ نقاط بھی منتخب کر سکتے تھے۔ لہٰذا، کسی شے کی پوزیشن بیان کرنے کے لیے ہمیں ایک حوالہ نقطہ کی ضرورت ہوتی ہے جسے مبدا (origin) کہتے ہیں۔

7.1.1 سیدھی لکیر کے ساتھ حرکت

حرکت کی سب سے سادہ قسم سیدھی لکیر کے ساتھ حرکت ہے۔ ہم پہلے اسے ایک مثال سے بیان کرنا سیکھیں گے۔ ایک شے کی حرکت پر غور کریں جو سیدھے راستے پر چل رہی ہے۔ شے اپنا سفر $O$ سے شروع کرتی ہے جسے اس کا حوالہ نقطہ سمجھا جاتا ہے (شکل 7.1)۔ A، B اور C مختلف لمحات پر شے کی پوزیشن ظاہر کرتے ہیں۔ پہلے، شے $C$ اور $B$ سے گزرتی ہوئی $A$ تک پہنچتی ہے۔ پھر وہ اسی راستے پر واپس چلتی ہے اور $B$ سے گزرتی ہوئی $C$ تک پہنچتی ہے۔ شے کے ذریعے طے کی گئی کل راستہ کی لمبائی $OA+AC$ ہے، یعنی $60 km+35 km=95 km$۔ یہ شے کے ذریعے طے کی گئی دوری ہے۔ دوری بیان کرنے کے لیے ہمیں صرف عددی قدر بتانے کی ضرورت ہے، حرکت کی سمت نہیں۔ کچھ مقداریں ایسی ہیں جنہیں صرف ان کی عددی اقدار بتا کر بیان کیا جاتا ہے۔ کسی طبعی مقدار کی عددی قدر اس کا مقداریہ (magnitude) ہوتی ہے۔ اس مثال سے، کیا آپ شے کی آخری پوزیشن $C$ کی ابتدائی پوزیشن $O$ سے دوری معلوم کر سکتے ہیں؟ یہ فرق آپ کو شے کے $O$ سے $C$ تک $A$ سے گزرتے ہوئے جابجائی (displacement) کی عددی قدر دے گا۔ ابتدائی پوزیشن سے آخری پوزیشن تک ناپی گئی مختصر ترین دوری کو جابجائی کہتے ہیں۔

شکل 7.1: سیدھی لکیر کے راستے پر کسی شے کی پوزیشنیں

کیا جابجائی کا مقداریہ شے کے ذریعے طے کی گئی دوری کے برابر ہو سکتا ہے؟ شکل 7.1 میں دی گئی مثال پر غور کریں۔ شے کی $O$ سے $A$ تک حرکت کے لیے، طے شدہ دوری $60 km$ ہے اور جابجائی کا مقداریہ بھی $60 km$ ہے۔ اس کی $O$ سے $A$ اور پھر $B$ تک واپس آنے کی حرکت کے دوران، طے شدہ دوری $=60 km+25 km=85 km$ ہے جبکہ جابجائی کا مقداریہ $=35 km$ ہے۔ لہٰذا، جابجائی کا مقداریہ $(35 km)$ راستہ کی لمبائی $(85 km)$ کے برابر نہیں ہے۔ مزید، ہم دیکھیں گے کہ حرکت کے ایک سلسلے کے لیے جابجائی کا مقداریہ صفر ہو سکتا ہے لیکن اس کے مطابق طے شدہ دوری صفر نہیں ہوتی۔ اگر ہم شے کو $O$ تک واپس آنے پر غور کریں، تو آخری پوزیشن ابتدائی پوزیشن سے مل جاتی ہے، اور اس لیے جابجائی صفر ہے۔ تاہم، اس سفر میں طے شدہ دوری $OA+AO=60 km+$ $60 km=120 km$ ہے۔ لہٰذا، دو مختلف طبعی مقداریں - دوری اور جابجائی، کسی شے کی مجموعی حرکت کو بیان کرنے اور کسی دیے گئے وقت پر اس کی ابتدائی پوزیشن کے حوالے سے اس کی آخری پوزیشن کا تعین کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔

سرگرمی 7.3

• ایک میٹر اسکیل اور ایک لمبی رسی لیں۔ باسکٹ بال کورٹ کے ایک کونے سے اس کے مخالف کونے تک اس کی کناروں کے ساتھ چلیں۔

• آپ کے ذریعے طے کی گئی دوری اور جابجائی کے مقداریہ کو ناپیں۔

• اس صورت میں آپ دونوں میں کیا فرق محسوس کریں گے؟

سرگرمی 7.4

• موٹر گاڑیوں میں ایک ایسا آلہ لگا ہوتا ہے جو طے شدہ دوری دکھاتا ہے۔ ایسے آلے کو اوڈومیٹر (odometer) کہتے ہیں۔ ایک کار بھوبنیشور سے نئی دہلی تک چلائی جاتی ہے۔ اوڈومیٹر کی ابتدائی اور آخری ریڈنگ کا فرق $1850 km$ ہے۔

• بھارت کے روڈ میپ کا استعمال کرتے ہوئے بھوبنیشور اور نئی دہلی کے درمیان جابجائی کا مقداریہ معلوم کریں۔

7.1.2 یکساں حرکت اور غیر یکساں حرکت

ایک شے پر غور کریں جو سیدھی لکیر کے ساتھ حرکت کر رہی ہے۔ فرض کریں کہ وہ پہلے سیکنڈ میں $5 m$، اگلے سیکنڈ میں مزید $5 m$، تیسرے سیکنڈ میں $5 m$ اور چوتھے سیکنڈ میں $5 m$ سفر کرتی ہے۔ اس صورت میں، شے ہر سیکنڈ میں $5 m$ طے کرتی ہے۔ چونکہ شے وقت کے برابر وقفوں میں برابر فاصلے طے کرتی ہے، اسے یکساں حرکت میں کہا جاتا ہے۔ اس حرکت میں وقت کا وقفہ چھوٹا ہونا چاہیے۔ ہماری روزمرہ زندگی میں، ہم ایسی حرکات کا سامنا کرتے ہیں جہاں اشیاء وقت کے برابر وقفوں میں غیر برابر فاصلے طے کرتی ہیں، مثال کے طور پر، جب ایک کار کسی بھری ہوئی سڑک پر چل رہی ہو یا کوئی شخص کسی پارک میں جاگنگ کر رہا ہو۔ یہ غیر یکساں حرکت کی کچھ مثالیں ہیں۔

سرگرمی 7.5

• دو مختلف اشیاء A اور B کی حرکت سے متعلق ڈیٹا جدول 7.1 میں دیا گیا ہے۔

• انہیں غور سے دیکھیں اور بتائیں کہ آیا اشیاء کی حرکت یکساں ہے یا غیر یکساں۔

جدول 7.1

7.2 حرکت کی شرح کی پیمائش

شکل 7.2 (b)

شکل 7.2 میں دی گئی صورتحال دیکھیں۔ اگر بولنگ کی رفتار شکل 7.2 (a) میں $143 km h^{-1}$ ہے تو اس کا کیا مطلب ہے؟ شکل 7.2(b) میں سائن بورڈ سے آپ کیا سمجھتے ہیں؟

مختلف اشیاء کو ایک مخصوص فاصلہ طے کرنے میں مختلف وقت لگ سکتے ہیں۔ ان میں سے کچھ تیزی سے اور کچھ آہستگی سے حرکت کرتی ہیں۔ اشیاء کی حرکت کی شرح مختلف ہو سکتی ہے۔ نیز، مختلف اشیاء ایک ہی شرح سے حرکت کر سکتی ہیں۔ کسی شے کی حرکت کی شرح ناپنے کے ایک طریقے میں یہ معلوم کرنا شامل ہے کہ شے اکائی وقت میں کتنا فاصلہ طے کرتی ہے۔ اس مقدار کو رفتار (speed) کہتے ہیں۔ رفتار کی ایس آئی اکائی میٹر فی سیکنڈ ہے۔ اسے علامت $m s^{-1}$ یا $m / s$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ رفتار کی دیگر اکائیوں میں سینٹی میٹر فی سیکنڈ $(cm s^{-1})$ اور کلومیٹر فی گھنٹہ $(km h^{-1})$ شامل ہیں۔ کسی شے کی رفتار بتانے کے لیے، ہمیں صرف اس کے مقداریہ کی ضرورت ہوتی ہے۔ کسی شے کی رفتار مستقل نہیں ہو سکتی۔ زیادہ تر صورتوں میں، اشیاء غیر یکساں حرکت میں ہوں گی۔ لہٰذا، ہم ایسی اشیاء کی حرکت کی شرح کو ان کی اوسط رفتار کے لحاظ سے بیان کرتے ہیں۔ کسی شے کی اوسط رفتار کل طے شدہ دوری کو کل لگے وقت سے تقسیم کرکے حاصل کی جاتی ہے۔ یعنی،

$$ \text{ average speed }=\frac{\text{ Total distance travelled }}{\text{ Total time taken }} $$

اگر کوئی شے دوری $s$ کو وقت $t$ میں طے کرتی ہے تو اس کی رفتار $v$ ہے،

$$ \begin{equation*} V=\frac{s}{t} \tag{7.1} \end{equation*} $$

آئیے اسے ایک مثال سے سمجھتے ہیں۔ ایک کار $100 km$ کا فاصلہ $2 h$ میں طے کرتی ہے۔ اس کی اوسط رفتار $50 km h^{-1}$ ہے۔ کار نے شاید ہر وقت $50 km h^{-1}$ کی رفتار سے سفر نہ کیا ہو۔ کبھی اس نے اس سے تیز اور کبھی اس سے آہستہ سفر کیا ہو گا۔

مثال 7.1 ایک شے $16 m$ کو $4 s$ میں اور پھر مزید $16 m$ کو $2 s$ میں طے کرتی ہے۔ شے کی اوسط رفتار کیا ہے؟

حل:

شے کے ذریعے طے شدہ کل دوری $=$ $16 m+16 m=32 m$

کل لگا وقت $=4 s+2 s=6 s$

$ \begin{aligned} \text{ اوسط رفتار } & =\frac{\text{ کل طے شدہ دوری }}{\text{ کل لگا وقت }} \\ & =\frac{32 m}{6 s}=5.33 m s^{-1} \end{aligned} $

لہٰذا، شے کی اوسط رفتار $5.33 m s^{-1}$ ہے۔

7.2.1 سمت کے ساتھ رفتار

کسی شے کی حرکت کی شرح زیادہ جامع ہو سکتی ہے اگر ہم اس کی رفتار کے ساتھ ساتھ اس کی حرکت کی سمت بھی بتائیں۔ وہ مقدار جو ان دونوں پہلوؤں کو بتاتی ہے اسے سمتار (velocity) کہتے ہیں۔ سمتار ایک مخصوص سمت میں حرکت کرنے والی شے کی رفتار ہے۔ کسی شے کی سمتار یکساں یا متغیر ہو سکتی ہے۔ اسے شے کی رفتار، حرکت کی سمت یا دونوں کو بدل کر تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ جب کوئی شے سیدھی لکیر پر متغیر رفتار سے حرکت کر رہی ہو، تو ہم اس کی حرکت کی شرح کے مقداریہ کو اوسط سمتار کے لحاظ سے ظاہر کر سکتے ہیں۔ اس کا حساب اسی طرح کیا جاتا ہے جیسے ہم اوسط رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔

اگر شے کی سمتار یکساں شرح سے بدل رہی ہو، تو اوسط سمتار ابتدائی سمتار اور آخری سمتار کے حسابی اوسط سے دی جاتی ہے۔ یعنی،

اوسط سمتار $=\frac{\text{ initial velocity }+ \text{ final velocity }}{2}$

$V _{a v}=\frac{u+v}{2} \tag{7.2}$

جہاں $v_{a v}$ اوسط سمتار ہے، $u$ شے کی ابتدائی سمتار ہے اور $v$ شے کی آخری سمتار ہے۔

رفتار اور سمتار کی اکائیاں ایک جیسی ہیں، یعنی $m s^{-1}$ یا $m / s$۔

سرگرمی 7.6

• اپنے گھر سے بس اسٹاپ یا اسکول تک پیدل چلنے میں لگنے والا وقت ناپیں۔ اگر آپ سمجھتے ہیں کہ آپ کی اوسط پیدل چلنے کی رفتار $4 km h^{-1}$ ہے، تو اپنے گھر سے بس اسٹاپ یا اسکول کا فاصلہ تخمینہ لگائیں۔

سرگرمی 7.7

• جب بادل چھائے ہوں، تو بار بار گرج چمک ہو سکتی ہے۔ بجلی کی چمک دیکھنے کے بعد گرج کی آواز کو آپ تک پہنچنے میں کچھ وقت لگتا ہے۔

• کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ ایسا کیوں ہوتا ہے؟ اس وقت کے وقفہ کو ڈیجیٹل رِسٹ واچ یا اسٹاپ واچ سے ناپیں۔

• قریب ترین بجلی گرنے کے مقام کا فاصلہ حساب کریں۔ (ہوا میں آواز کی رفتار $=346 m s^{-1}$۔)

مثال 7.2 ایک کار کا اوڈومیٹر سفر کے شروع میں $2000 km$ اور سفر کے آخر میں $2400 km$ پڑھتا ہے۔ اگر سفر میں $8 h$ لگے، تو کار کی اوسط رفتار $km h^{-1}$ اور $m s^{-1}$ میں حساب کریں۔

حل:

کار کے ذریعے طے شدہ دوری، $s=2400 km-2000 km=400 km$ گزرا ہوا وقت، $t=8 h$

کار کی اوسط رفتار ہے،

$$ \begin{aligned} V _{a v} & =\frac{s}{t}=\frac{400 km}{8 h} \\ & =50 km h^{-1} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =50 \frac{km}{h} \times \frac{1000 m}{1 km} \times \frac{1 h}{3600 s} \\ & =13.9 m s^{-1} \end{aligned} $$

کار کی اوسط رفتار $50 km h^{-1}$ یا $13.9 m s^{-1}$ ہے۔

مثال 7.3 عوشا $90 m$ لمبے پول میں تیرتی ہے۔ وہ ایک منٹ میں ایک سرے سے دوسرے سرے تک اور واپس اسی سیدھے راستے پر تیر کر $180 m$ طے کرتی ہے۔ عوشا کی اوسط رفتار اور اوسط سمتار معلوم کریں۔

حل:

عوشا کے ذریعے $1 min$ میں طے شدہ کل دوری $180 m$ ہے۔

$1 min=0 m$ میں عوشا کی جابجائی

اوسط رفتار $=\frac{\text{ Total distance covered }}{\text{ Total time taken }}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{180 m}{1 min}=\frac{180 m}{1 min} \times \frac{1 min}{60 s} \\ & =3 m s^{-1} \end{aligned} $$

اوسط سمتار $=\frac{\text{ Displacement }}{\text{ Total timetaken }}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0 \mathrm{~m}}{60 \mathrm{~s}} \\ & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

عوشا کی اوسط رفتار $3 m s^{-1}$ ہے اور اس کی اوسط سمتار $0 m s^{-1}$ ہے۔

7.3 سمتار میں تبدیلی کی شرح

سیدھی لکیر کے ساتھ کسی شے کی یکساں حرکت کے دوران، سمتار وقت کے ساتھ مستقل رہتی ہے۔ اس صورت میں، شے کی سمتار میں کسی بھی وقت کے وقفے کے لیے تبدیلی صفر ہوتی ہے۔ تاہم، غیر یکساں حرکت میں، سمتار وقت کے ساتھ بدلتی ہے۔ اس کی مختلف اوقات اور راستے کے مختلف نقاط پر مختلف اقدار ہوتی ہیں۔ لہٰذا، شے کی سمتار میں کسی بھی وقت کے وقفے کے دوران تبدیلی صفر نہیں ہوتی۔ کیا اب ہم کسی شے کی سمتار میں تبدیلی کا اظہار کر سکتے ہیں؟

ایسے سوال کا جواب دینے کے لیے، ہمیں ایک اور طبعی مقدار متعارف کروانی ہوگی جسے اسراع (acceleration) کہتے ہیں، جو وقت کی اکائی میں کسی شے کی سمتار میں تبدیلی کی پیمائش ہے۔ یعنی،

$$ \text{ acceleration }=\frac{\text{ change in velocity }}{\text{ time taken }} $$

اگر کسی شے کی سمتار ابتدائی قدر $u$ سے آخری قدر $v$ میں وقت $t$ میں بدلتی ہے، تو اسراع $a$ ہے،

$$ \begin{equation*} a=\frac{v-u}{t} \tag{7.3} \end{equation*} $$

اس قسم کی حرکت کو تیز رفتار حرکت (accelerated motion) کہتے ہیں۔ اسراع کو مثبت لیا جاتا ہے اگر وہ سمتار کی سمت میں ہو اور منفی جب وہ سمتار کی سمت کے مخالف ہو۔ اسراع کی ایس آئی اکائی $m s^{-2}$ ہے۔

اگر کوئی شے سیدھی لکیر میں سفر کرتی ہے اور اس کی سمتار وقت کے برابر وقفوں میں برابر مقدار سے بڑھتی یا گھٹتی ہے، تو شے کا اسراع یکساں کہلاتا ہے۔ آزادانہ گرتے ہوئے جسم کی حرکت یکساں تیز رفتار حرکت کی ایک مثال ہے۔ دوسری طرف، کوئی شے غیر یکساں اسراع کے ساتھ سفر کر سکتی ہے اگر اس کی سمتار غیر یکساں شرح سے بدلتی ہو۔ مثال کے طور پر، اگر ایک کار سیدھی سڑک پر چلتے ہوئے وقت کے برابر وقفوں میں غیر برابر مقدار سے اپنی رفتار بڑھاتی ہے، تو کار غیر یکساں اسراع کے ساتھ حرکت کرتی ہوئی کہی جاتی ہے۔

سرگرمی 7.8

اپنی روزمرہ زندگی میں آپ حرکات کی ایک رینج کا سامنا کرتے ہیں جن میں

(الف) اسراع حرکت کی سمت میں ہوتا ہے،

(ب) اسراع حرکت کی سمت کے خلاف ہوتا ہے،

(ج) اسراع یکساں ہوتا ہے،

(د) اسراع غیر یکساں ہوتا ہے۔

• کیا آپ اوپر دی گئی ہر قسم کی حرکت کے لیے ایک ایک مثال شناخت کر سکتے ہیں؟

مثال 7.4 ساکن پوزیشن سے شروع کرتے ہوئے، رحول اپنی سائیکل کو $6 m s^{-1}$ کی سمتار حاصل کرنے کے لیے $30 s$ میں پڈل مارتا ہے۔ پھر وہ بریک لگاتا ہے جس سے سائیکل کی سمتار اگلے $5 s$ میں $4 m s^{-1}$ تک آ جاتی ہے۔ دونوں صورتوں میں سائیکل کا اسراع حساب کریں۔

حل:

پہلی صورت میں:

ابتدائی سمتار، $u=0$؛

آخری سمتار، $v=6 m s^{-1}$؛

وقت، $t=30 s$۔

مساوات (8.3) سے، ہمارے پاس ہے

$$ a=\frac{v-u}{t} $$

$u, v$ اور $t$ کی دی گئی اقدار کو اوپر والی مساوات میں رکھنے پر، ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{aligned} a & =\frac{(6 m s^{-1}-0 m s^{-1})}{30 s} \\ & =0.2 m s^{-2} \end{aligned} $$

دوسری صورت میں:

ابتدائی سمتار، $u=6 m s^{-1}$؛

آخری سمتار، $v=4 m s^{-1}$؛

وقت، $t=5 s$۔

پھر، $a=\frac{\left(4 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{5 \mathrm{~s}}$ $$ =-0.4 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \text {. } $$

سائیکل کا اسراع پہلی صورت میں $0.2 m s^{-2}$ ہے اور دوسری صورت میں، یہ $-0.4 m s^{-2}$ ہے۔

7.4 حرکت کی گرافیکی نمائندگی

گراف مختلف واقعات کے بارے میں بنیادی معلومات پیش کرنے کا ایک آسان طریقہ فراہم کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک روزہ کرکٹ میچ کے ٹیلی کاسٹ میں، عمودی بار گراف ہر اوور میں ٹیم کی رن ریٹ دکھاتے ہیں۔ جیسا کہ آپ نے ریاضی میں پڑھا ہے، ایک سیدھی لکیر کا گراف دو متغیرات والی لکیری مساوات کو حل کرنے میں مدد کرتا ہے۔

کسی شے کی حرکت بیان کرنے کے لیے، ہم لائن گراف استعمال کر سکتے ہیں۔ اس صورت میں، لائن گراف ایک طبعی مقدار، جیسے دوری یا سمتار، کی دوسری مقدار، جیسے وقت، پر انحصار دکھاتے ہیں۔

7.4.1 دوری-وقت گراف

کسی شے کی پوزیشن میں وقت کے ساتھ تبدیلی کو دوری-وقت گراف پر پسند کے ایک مناسب پیمانے کو اپنا کر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس گراف میں، وقت کو $x$-محور پر اور دوری کو $y$-محور پر لیا جاتا ہے۔ دوری-وقت گراف مختلف حالات میں استعمال کیے جا سکتے ہیں جہاں اشیاء یکساں رفتار، غیر یکساں رفتار سے حرکت کرتی ہیں، ساکن رہتی ہیں وغیرہ۔

شکل 7.3: یکساں رفتار سے حرکت کرنے والی شے کا دوری-وقت گراف

ہم جانتے ہیں کہ جب کوئی شے وقت کے برابر وقفوں میں برابر فاصلے طے کرتی ہے، تو وہ یکساں رفتار سے حرکت کرتی ہے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ شے کے ذریعے طے شدہ دوری لگے ہوئے وقت کے راست متناسب ہوتی ہے۔ لہٰذا، یکساں رفتار کے لیے، وقت کے خلاف طے شدہ دوری کا گراف ایک سیدھی لکیر ہوتا ہے، جیسا کہ شکل 7.3 میں دکھایا گیا ہے۔ گراف کا OB حصہ ظاہر کرتا ہے کہ دوری یکساں شرح سے بڑھ رہی ہے۔ نوٹ کریں، آپ یکساں سمتار کی اصطلاح بھی استعمال کر سکتے ہیں اگر آپ جابجائی کے مقداریہ کو شے کے ذریعے طے شدہ دوری کے برابر لیں۔

ہم دوری-وقت گراف سے کسی شے کی رفتار کا تعین کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے، دوری-وقت گراف کے ایک چھوٹے حصے $AB$ پر غور کریں جو شکل 7.3 میں دکھایا گیا ہے۔ نقطہ $A$ سے $x$-محور کے متوازی ایک لکیر کھینچیں اور نقطہ $B$ سے $y$-محور کے متوازی ایک اور لکیر کھینچیں۔ یہ دو لکیریں ایک دوسرے سے نقطہ $C$ پر ملتی ہیں اور ایک مثلث $ABC$ بناتی ہیں۔ اب، گراف پر، $AC$ وقت وقفہ $(t_2-t_1)$ ظاہر کرتا ہے جبکہ $BC$ دوری $(s_2-s_1)$ سے مطابقت رکھتا ہے۔ ہم گراف سے دیکھ سکتے ہیں کہ جب شے نقطہ A سے $B$ تک حرکت کرتی ہے، تو وہ وقت $(t_2-t_1)$ میں دوری $(s_2-s_1)$ طے کرتی ہے۔ لہٰذا، شے کی رفتار $v$ کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$$ V=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1} \tag{7.4} $$

ہم تیز رفتار حرکت کے لیے دوری-وقت گراف بھی پلاٹ کر سکتے ہیں۔ جدول 7.2 دو سیکنڈ کے وقت وقفے میں ایک کار کے ذریعے طے شدہ دوری دکھاتا ہے۔

جدول 7.2: باقاعدہ وقت وقفوں پر ایک کار کے ذریعے طے شدہ دوری

شکل 7.4: غیر یکساں رفتار سے حرکت کرنے والی کار کا دوری-وقت گراف

کار کی حرکت کے لیے دوری-وقت گراف شکل 7.4 میں دکھایا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ اس گراف کی شکل پہلے والے دوری-وقت گراف (شکل 7.3) سے مختلف ہے۔ اس گراف کی نوعیت کار کے ذریعے طے شدہ دوری میں وقت کے ساتھ غیر خطی تغیر ظاہر کرتی ہے۔ لہٰذا، شکل 7.4 میں دکھایا گیا گراف غیر یکساں رفتار کے ساتھ حرکت کی نمائندگی کرتا ہے۔

7.4.2 سمتار-وقت گراف

سیدھی لکیر میں حرکت کرنے والی شے کے لیے وقت کے ساتھ سمتار میں تغیر کو سمتار-وقت گراف سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس گراف میں، وقت کو $x$-محور پر اور سمتار کو $y$-محور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر شے یکساں سمتار سے حرکت کرتی ہے، تو اس کے سمتار-وقت گراف کی اونچائی وقت کے ساتھ نہیں بدلے گی (شکل 7.5)۔ یہ $x$-محور کے متوازی ایک سیدھی لکیر ہوگی۔ شکل 7.5 $40 km h^{-1}$ کی یکساں سمتار سے حرکت کرنے والی کار کے لیے سمتار-وقت گراف دکھاتی ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ سمتار اور وقت کا حاصل ضرب یکساں سمتار سے حرکت کرنے والی شے کی جابجائی دیتا ہے۔ سمتار-وقت گراف اور وقت محور کے درمیان گھیرا ہوا رقبہ جابجائی کے مقداریہ کے برابر ہوگا۔

شکل 7.5 کا استعمال کرتے ہوئے وقت $t_1$ اور $t_2$ کے درمیان کار کے ذریعے طے شدہ دوری معلوم کرنے کے لیے، گراف پر وقت $t_1$ اور $t_2$ کے مطابق نقاط سے عمودی لکیریں کھینچیں۔ $40 km h^{-1}$ کی سمتار اونچائی AC یا $BD$ سے ظاہر ہوتی ہے اور وقت $(t_2-t_1)$ لمبائی $AB$ سے ظاہر ہوتا ہے۔

لہٰذا، وقت $\left(t _{2}-t _{1}\right)$ میں کار کے ذریعے طے شدہ دوری $s$ کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$S= \mathrm{AC} \mathrm{CD} $

$= {\left[\left(40 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}\right) \quad\left(t _{2}-t _{1}\right) \mathrm{h}\right] } $

$= 40\left(t _{2}-t _{1}\right) \mathrm{km} $

$= \text { area of the rectangle ABDC } (\text {Fig. } 7.5 $

ہم یکساں تیز رفتار حرکت کا مطالعہ اس کا سمتار-وقت گراف پلاٹ کرکے بھی کر سکتے ہیں۔ ایک کار کو اس کے انجن کے ٹیسٹ کے لیے سیدھی سڑک پر چلاتے ہوئے غور کریں۔ فرض کریں ڈرائیور کے پ