दैनिक जीवन में, हम कुछ वस्तुओं को विरामावस्था में और कुछ को गति में देखते हैं। पक्षी उड़ते हैं, मछलियाँ तैरती हैं, रक्त धमनियों और शिराओं में बहता है, और कारें चलती हैं। परमाणु, अणु, ग्रह, तारे और आकाशगंगाएँ सभी गति में हैं। हम अक्सर किसी वस्तु को गतिशील तब मानते हैं जब उसकी स्थिति समय के साथ बदलती है। हालाँकि, ऐसी परिस्थितियाँ भी होती हैं जहाँ गति का अनुमान अप्रत्यक्ष साक्ष्यों के माध्यम से लगाया जाता है। उदाहरण के लिए, हवा की गति का अनुमान हम धूल के हिलने और पेड़ों की पत्तियों व शाखाओं के हिलने से लगाते हैं। सूर्योदय, सूर्यास्त और ऋतुओं के परिवर्तन का कारण क्या है? क्या यह पृथ्वी की गति के कारण है? यदि यह सच है, तो हमें पृथ्वी की गति का प्रत्यक्ष अनुभव क्यों नहीं होता?

कोई वस्तु एक व्यक्ति के लिए गतिशील प्रतीत हो सकती है और किसी अन्य के लिए स्थिर। चलती बस में सवार यात्रियों को सड़क किनारे के पेड़ पीछे की ओर जाते हुए दिखाई देते हैं। सड़क किनारे खड़ा व्यक्ति बस और उसमें सवार यात्रियों को गतिशील मानता है। हालाँकि, बस के अंदर बैठा यात्री अपने साथी यात्रियों को विरामावस्था में देखता है। ये प्रेक्षण क्या संकेत देते हैं?

अधिकांश गतियाँ जटिल होती हैं। कुछ वस्तुएँ सरल रेखा में चल सकती हैं, अन्य वृत्ताकार पथ पर चल सकती हैं। कुछ घूर्णन कर सकती हैं और कुछ अन्य कंपन कर सकती हैं। इनके संयोजन वाली परिस्थितियाँ भी हो सकती हैं। इस अध्याय में, हम सबसे पहले वस्तुओं की सरल रेखीय गति का वर्णन करना सीखेंगे। हम ऐसी गतियों को सरल समीकरणों और आलेखों के माध्यम से व्यक्त करना भी सीखेंगे। बाद में, हम वृत्तीय गति के वर्णन के तरीकों पर चर्चा करेंगे।

क्रियाकलाप 7.1

• चर्चा कीजिए कि आपकी कक्षा की दीवारें विरामावस्था में हैं या गति में।

क्रियाकलाप 7.2

• क्या आपने कभी अनुभव किया है कि जिस रेलगाड़ी में आप बैठे हैं, वह विरामावस्था में होते हुए भी चलती हुई प्रतीत होती है?

• चर्चा कीजिए और अपना अनुभव साझा कीजिए।

सोचिए और कार्य कीजिए

हम कभी-कभी हमारे चारों ओर की वस्तुओं की गति से खतरे में पड़ जाते हैं, खासकर यदि वह गति अनियमित और अनियंत्रित हो, जैसा कि बाढ़ग्रस्त नदी, चक्रवात या सुनामी में देखा जाता है। दूसरी ओर, नियंत्रित गति मनुष्यों के लिए लाभदायक हो सकती है, जैसे कि जल-विद्युत शक्ति उत्पादन में। क्या आपको कुछ वस्तुओं की अनियमित गति का अध्ययन करने और उन्हें नियंत्रित करना सीखने की आवश्यकता महसूस होती है?

7.1 गति का वर्णन

हम किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन एक संदर्भ बिंदु निर्दिष्ट करके करते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं। मान लीजिए किसी गाँव में एक विद्यालय रेलवे स्टेशन के $2 km$ उत्तर में स्थित है। हमने विद्यालय की स्थिति रेलवे स्टेशन के सापेक्ष बताई है। इस उदाहरण में, रेलवे स्टेशन संदर्भ बिंदु है। हम अपनी सुविधानुसार अन्य संदर्भ बिंदु भी चुन सकते थे। अतः, किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करने के लिए हमें एक संदर्भ बिंदु की आवश्यकता होती है, जिसे मूल बिंदु कहते हैं।

7.1.1 सरल रेखीय गति

गति का सबसे सरल प्रकार सरल रेखा के अनुदिश गति है। हम सबसे पहले इसे एक उदाहरण से वर्णित करना सीखेंगे। एक सरल रेखीय पथ पर गतिशील वस्तु की गति पर विचार कीजिए। वस्तु अपनी यात्रा $O$ से आरंभ करती है, जिसे इसका संदर्भ बिंदु माना जाता है (चित्र 7.1)। मान लीजिए A, B और C विभिन्न क्षणों पर वस्तु की स्थिति को दर्शाते हैं। सबसे पहले, वस्तु $C$ और $B$ से होकर गुजरती है और $A$ पर पहुँचती है। फिर यह उसी पथ पर वापस चलती है और $B$ से होकर $C$ पर पहुँचती है। वस्तु द्वारा तय किया गया कुल पथ लंबाई $OA+AC$ है, अर्थात $60 km+35 km=95 km$। यह वस्तु द्वारा तय की गई दूरी है। दूरी का वर्णन करने के लिए हमें केवल संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, गति की दिशा नहीं। कुछ राशियाँ ऐसी होती हैं जिनका वर्णन केवल उनके संख्यात्मक मान निर्दिष्ट करके किया जाता है। किसी भौतिक राशि का संख्यात्मक मान उसका परिमाण होता है। इस उदाहरण से, क्या आप वस्तु की अंतिम स्थिति $C$ की प्रारंभिक स्थिति $O$ से दूरी ज्ञात कर सकते हैं? यह अंतर आपको वस्तु का $O$ से $C$ तक $A$ से होकर विस्थापन का संख्यात्मक मान देगा। किसी वस्तु की प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक मापी गई न्यूनतम दूरी को विस्थापन कहते हैं।

चित्र 7.1: एक सरल रेखीय पथ पर वस्तु की स्थितियाँ

क्या विस्थापन का परिमाण वस्तु द्वारा तय की गई दूरी के बराबर हो सकता है? (चित्र 7.1) में दिए गए उदाहरण पर विचार कीजिए। वस्तु की $O$ से $A$ तक गति के लिए, तय की गई दूरी $60 km$ है और विस्थापन का परिमाण भी $60 km$ है। इसकी $O$ से $A$ और वापस $B$ तक गति के दौरान, तय की गई दूरी $=60 km+25 km=85 km$ है जबकि विस्थापन का परिमाण $=35 km$ है। इस प्रकार, विस्थापन का परिमाण $(35 km)$ पथ लंबाई $(85 km)$ के बराबर नहीं है। इसके अलावा, हम देखेंगे कि गति के एक चक्र के लिए विस्थापन का परिमाण शून्य हो सकता है लेकिन संगत तय की गई दूरी शून्य नहीं होती। यदि हम वस्तु को वापस $O$ तक यात्रा करने पर विचार करें, तो अंतिम स्थिति प्रारंभिक स्थिति के साथ मेल खाती है, और इसलिए, विस्थापन शून्य है। हालाँकि, इस यात्रा में तय की गई दूरी $OA+AO=60 km+$ $60 km=120 km$ है। इस प्रकार, वस्तु की समग्र गति का वर्णन करने और किसी दिए गए समय पर उसकी प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष उसकी अंतिम स्थिति ज्ञात करने के लिए दो भिन्न भौतिक राशियों - दूरी और विस्थापन का उपयोग किया जाता है।

क्रियाकलाप 7.3

• एक मीटर पैमाना और एक लंबी रस्सी लीजिए। बास्केटबॉल कोर्ट के एक कोने से उसके विपरीत कोने तक उसकी भुजाओं के साथ-साथ चलिए।

• आपके द्वारा तय की गई दूरी और विस्थापन के परिमाण को मापिए।

• इस मामले में आप दोनों के बीच क्या अंतर देखेंगे?

क्रियाकलाप 7.4

• स्वचालित वाहनों में एक ऐसा उपकरण लगा होता है जो तय की गई दूरी दर्शाता है। ऐसे उपकरण को ओडोमीटर कहते हैं। एक कार भुवनेश्वर से नई दिल्ली तक चलाई जाती है। ओडोमीटर के अंतिम और प्रारंभिक पाठ्यांक का अंतर $1850 km$ है।

• भारत के सड़क मानचित्र का उपयोग करके भुवनेश्वर और नई दिल्ली के बीच विस्थापन का परिमाण ज्ञात कीजिए।

7.1.2 एकसमान गति और असमान गति

एक सरल रेखा के अनुदिश गतिशील वस्तु पर विचार कीजिए। मान लीजिए यह पहले सेकंड में $5 m$, अगले सेकंड में $5 m$ अधिक, तीसरे सेकंड में $5 m$ और चौथे सेकंड में $5 m$ चलती है। इस मामले में, वस्तु प्रत्येक सेकंड में $5 m$ तय करती है। चूँकि वस्तु समान समय अंतरालों में समान दूरी तय करती है, इसे एकसमान गति में कहा जाता है। इस गति में समय अंतराल छोटा होना चाहिए। हमारे दैनिक जीवन में, हम ऐसी गतियों का सामना करते हैं जहाँ वस्तुएँ समान समय अंतरालों में असमान दूरी तय करती हैं, उदाहरण के लिए, जब कोई कार भीड़भाड़ वाली सड़क पर चल रही हो या कोई व्यक्ति पार्क में जॉगिंग कर रहा हो। ये असमान गति के कुछ उदाहरण हैं।

क्रियाकलाप 7.5

• दो भिन्न वस्तुओं A और B की गति से संबंधित आँकड़े सारणी 7.1 में दिए गए हैं।

• उन्हें ध्यान से जाँचिए और बताइए कि वस्तुओं की गति एकसमान है या असमान।

सारणी 7.1

7.2 गति की दर का मापन

चित्र 7.2 (b)

चित्र 7.2 में दी गई परिस्थितियों को देखिए। यदि चित्र 7.2 (a) में गेंदबाजी की गति $143 km h^{-1}$ है तो इसका क्या अर्थ है? चित्र 7.2(b) में साइनबोर्ड से आप क्या समझते हैं?

विभिन्न वस्तुओं को एक निश्चित दूरी तय करने में अलग-अलग समय लग सकता है। उनमें से कुछ तेज चलती हैं और कुछ धीमी। वस्तुओं की चलने की दर भिन्न हो सकती है। साथ ही, विभिन्न वस्तुएँ समान दर से भी चल सकती हैं। किसी वस्तु की गति की दर मापने के तरीकों में से एक यह है कि वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गई दूरी ज्ञात की जाए। इस राशि को चाल कहते हैं। चाल का SI मात्रक मीटर प्रति सेकंड है। इसे प्रतीक $m s^{-1}$ या $m / s$ द्वारा निरूपित किया जाता है। चाल के अन्य मात्रकों में सेंटीमीटर प्रति सेकंड $(cm s^{-1})$ और किलोमीटर प्रति घंटा $(km h^{-1})$ शामिल हैं। किसी वस्तु की चाल निर्दिष्ट करने के लिए, हमें केवल उसके परिमाण की आवश्यकता होती है। किसी वस्तु की चाल स्थिर नहीं होनी चाहिए। अधिकांश मामलों में, वस्तुएँ असमान गति में होती हैं। इसलिए, हम ऐसी वस्तुओं की गति की दर का वर्णन उनकी औसत चाल के पदों में करते हैं। किसी वस्तु की औसत चाल कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। अर्थात,

$$ \text{ average speed }=\frac{\text{ Total distance travelled }}{\text{ Total time taken }} $$

यदि कोई वस्तु दूरी $s$ को समय $t$ में तय करती है तो उसकी चाल $v$ है,

$$ \begin{equation*} V=\frac{s}{t} \tag{7.1} \end{equation*} $$

आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं। एक कार $2 h$ में $100 km$ की दूरी तय करती है। इसकी औसत चाल $50 km h^{-1}$ है। कार ने हर समय $50 km h^{-1}$ से यात्रा नहीं की होगी। कभी-कभी इसने इससे तेज और कभी-कभी इससे धीमी यात्रा की होगी।

उदाहरण 7 .1 एक वस्तु $4 s$ में $16 m$ और फिर अगले $2 s$ में $16 m$ चलती है। वस्तु की औसत चाल क्या है?

हल:

वस्तु द्वारा तय की गई कुल दूरी $=$ $16 m+16 m=32 m$

लिया गया कुल समय $=4 s+2 s=6 s$

$ \begin{aligned} \text{ औसत चाल } & =\frac{\text{ कुल तय की गई दूरी }}{\text{ कुल लिया गया समय }} \\ & =\frac{32 m}{6 s}=5.33 m s^{-1} \end{aligned} $

अतः, वस्तु की औसत चाल $5.33 m s^{-1}$ है।

7.2.1 दिशा सहित चाल

किसी वस्तु की गति की दर अधिक व्यापक हो सकती है यदि हम उसकी चाल के साथ-साथ गति की दिशा भी निर्दिष्ट करें। वह राशि जो इन दोनों पहलुओं को निर्दिष्ट करती है, वेग कहलाती है। वेग एक निश्चित दिशा में गतिशील वस्तु की चाल है। किसी वस्तु का वेग एकसमान या परिवर्ती हो सकता है। इसे वस्तु की चाल, गति की दिशा या दोनों को बदलकर बदला जा सकता है। जब कोई वस्तु परिवर्ती चाल से सरल रेखा के अनुदिश चल रही हो, तो हम उसकी गति की दर का परिमाण औसत वेग के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। इसकी गणना उसी तरह की जाती है जैसे हम औसत चाल की गणना करते हैं।

यदि वस्तु का वेग एकसमान दर से बदल रहा हो, तो औसत वेग, प्रारंभिक वेग और अंतिम वेग के समांतर माध्य द्वारा दिए गए समय अवधि के लिए दिया जाता है। अर्थात,

औसत वेग $=\frac{\text{ initial velocity }+ \text{ final velocity }}{2}$

$V _{a v}=\frac{u+v}{2} \tag{7.2}$

जहाँ $v_{a v}$ औसत वेग है, $u$ वस्तु का प्रारंभिक वेग है और $v$ वस्तु का अंतिम वेग है।

चाल और वेग के मात्रक समान होते हैं, अर्थात, $m s^{-1}$ या $m / s$।

क्रियाकलाप 7.6

• अपने घर से बस स्टॉप या स्कूल तक पैदल चलने में लगने वाले समय को मापिए। यदि आप मानते हैं कि आपकी औसत चालने की चाल $4 km h^{-1}$ है, तो बस स्टॉप या स्कूल की अपने घर से दूरी का आकलन कीजिए।

क्रियाकलाप 7.7

• जब आसमान में बादल छाए होते हैं, तो अक्सर गरज और बिजली चमकती है। बिजली चमकने के बाद गरज की आवाज आप तक पहुँचने में कुछ समय लेती है।

• क्या आप बता सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है? डिजिटल कलाई घड़ी या स्टॉपवॉच का उपयोग करके इस समय अंतराल को मापिए।

• निकटतम बिजली गिरने के बिंदु की दूरी की गणना कीजिए। (वायु में ध्वनि की चाल $=346 m s^{-1}$।)

उदाहरण 7.2 एक कार का ओडोमीटर यात्रा के आरंभ में $2000 km$ और अंत में $2400 km$ पढ़ता है। यदि यात्रा में $8 h$ लगे, तो कार की औसत चाल $km h^{-1}$ और $m s^{-1}$ में परिकलित कीजिए।

हल:

कार द्वारा तय की गई दूरी, $s=2400 km-2000 km=400 km$ लिया गया समय, $t=8 h$

कार की औसत चाल है,

$$ \begin{aligned} V _{a v} & =\frac{s}{t}=\frac{400 km}{8 h} \\ & =50 km h^{-1} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =50 \frac{km}{h} \times \frac{1000 m}{1 km} \times \frac{1 h}{3600 s} \\ & =13.9 m s^{-1} \end{aligned} $$

कार की औसत चाल $50 km h^{-1}$ या $13.9 m s^{-1}$ है।

उदाहरण 7.3 उषा एक $90 m$ लंबे पूल में तैरती है। वह एक सिरे से दूसरे सिरे तक और वापस उसी सरल रेखीय पथ पर तैरकर एक मिनट में $180 m$ तय करती है। उषा की औसत चाल और औसत वेग ज्ञात कीजिए।

हल:

उषा द्वारा $1 min$ में तय की गई कुल दूरी $180 m$ है।

$1 min=0 m$ में उषा का विस्थापन

औसत चाल $=\frac{\text{ Total distance covered }}{\text{ Total time taken }}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{180 m}{1 min}=\frac{180 m}{1 min} \times \frac{1 min}{60 s} \\ & =3 m s^{-1} \end{aligned} $$

औसत वेग $=\frac{\text{ Displacement }}{\text{ Total timetaken }}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{0 \mathrm{~m}}{60 \mathrm{~s}} \\ & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

उषा की औसत चाल $3 m s^{-1}$ है और उसका औसत वेग $0 m s^{-1}$ है।

7.3 वेग परिवर्तन की दर

एक सरल रेखा के अनुदिश वस्तु की एकसमान गति के दौरान, वेग समय के साथ स्थिर रहता है। इस मामले में, किसी भी समय अंतराल के लिए वस्तु के वेग में परिवर्तन शून्य होता है। हालाँकि, असमान गति में, वेग समय के साथ बदलता है। इसके विभिन्न क्षणों और पथ के विभिन्न बिंदुओं पर अलग-अलग मान होते हैं। इस प्रकार, किसी भी समय अंतराल के दौरान वस्तु के वेग में परिवर्तन शून्य नहीं होता। क्या अब हम किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन व्यक्त कर सकते हैं?

ऐसे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें एक अन्य भौतिक राशि, त्वरण का परिचय देना होगा, जो प्रति इकाई समय में किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन का माप है। अर्थात,

$$ \text{ acceleration }=\frac{\text{ change in velocity }}{\text{ time taken }} $$

यदि किसी वस्तु का वेग समय $t$ में प्रारंभिक मान $u$ से अंतिम मान $v$ में बदल जाता है, तो त्वरण $a$ है,

$$ \begin{equation*} a=\frac{v-u}{t} \tag{7.3} \end{equation*} $$

इस प्रकार की गति को त्वरित गति कहा जाता है। त्वरण को धनात्मक लिया जाता है यदि यह वेग की दिशा में है और ऋणात्मक जब यह वेग की दिशा के विपरीत है। त्वरण का SI मात्रक $m s^{-2}$ है।

यदि कोई वस्तु सरल रेखा में चलती है और उसका वेग समान समय अंतरालों में समान मात्रा से बढ़ता या घटता है, तो वस्तु का त्वरण एकसमान कहा जाता है। स्वतंत्र रूप से गिरते पिंड की गति एकसमान त्वरित गति का एक उदाहरण है। दूसरी ओर, कोई वस्तु असमान त्वरण के साथ यात्रा कर सकती है यदि उसका वेग असमान दर से बदलता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी सड़क पर चलती कार समान समय अंतरालों में असमान मात्रा से अपनी गति बढ़ाती है, तो कार असमान त्वरण के साथ चल रही है।

क्रियाकलाप 7.8

आपके दैनिक जीवन में आप गति की एक श्रृंखला का सामना करते हैं जिसमें

(क) त्वरण गति की दिशा में है,

(ख) त्वरण गति की दिशा के विरुद्ध है,

(ग) त्वरण एकसमान है,

(घ) त्वरण असमान है।

• क्या आप उपरोक्त प्रकार की गति के लिए एक-एक उदाहरण पहचान सकते हैं?

उदाहरण 7.4 स्थिर अवस्था से शुरू करते हुए, राहुल अपनी साइकिल को $30 s$ में $6 m s^{-1}$ के वेग तक पहुँचाने के लिए पेडल मारता है। फिर वह ब्रेक लगाता है जिससे साइकिल का वेग अगले $5 s$ में $4 m s^{-1}$ तक आ जाता है। दोनों मामलों में साइकिल के त्वरण की गणना कीजिए।

हल:

पहले मामले में:

प्रारंभिक वेग, $u=0$;

अंतिम वेग, $v=6 m s^{-1}$;

समय, $t=30 s$.

समीकरण (8.3) से, हमारे पास है

$$ a=\frac{v-u}{t} $$

$u, v$ और $t$ के दिए गए मानों को उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} a & =\frac{(6 m s^{-1}-0 m s^{-1})}{30 s} \\ & =0.2 m s^{-2} \end{aligned} $$

दूसरे मामले में:

प्रारंभिक वेग, $u=6 m s^{-1}$;

अंतिम वेग, $v=4 m s^{-1}$;

समय, $t=5 s$.

तब, $a=\frac{\left(4 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{5 \mathrm{~s}}$ $$ =-0.4 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \text {. } $$

पहले मामले में साइकिल का त्वरण $0.2 m s^{-2}$ है और दूसरे मामले में, यह $-0.4 m s^{-2}$ है।

7.4 गति का आलेखीय निरूपण

आलेख विभिन्न घटनाओं के बारे में बुनियादी जानकारी प्रस्तुत करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, एक दिवसीय क्रिकेट मैच के प्रसारण में, ऊर्ध्वाधर दंड आलेख प्रत्येक ओवर में टीम की रन रेट दर्शाते हैं। जैसा कि आपने गणित में पढ़ा है, एक सरल रेखा आलेख दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में मदद करता है।

किसी वस्तु की गति का वर्णन करने के लिए, हम रेखा आलेखों का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, रेखा आलेख एक भौतिक राशि, जैसे दूरी या वेग, की दूसरी राशि, जैसे समय, पर निर्भरता दर्शाते हैं।

7.4.1 दूरी-समय आलेख

समय के साथ किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन को दूरी-समय आलेख पर एक उपयुक्त पैमाना अपनाकर निरूपित किया जा सकता है। इस आलेख में, समय को $x$-अक्ष के अनुदिश और दूरी को $y$-अक्ष के अनुदिश लिया जाता है। दूरी-समय आलेखों का उपयोग विभिन्न परिस्थितियों में किया जा सकता है जहाँ वस्तुएँ एकसमान चाल, असमान चाल से चलती हैं, विरामावस्था में रहती हैं आदि।

चित्र 7.3: एकसमान चाल से गतिशील वस्तु का दूरी-समय आलेख

हम जानते हैं कि जब कोई वस्तु समान समय अंतरालों में समान दूरी तय करती है, तो वह एकसमान चाल से चलती है। यह दर्शाता है कि

वस्तु द्वारा तय की गई दूरी लिए गए समय के अनुक्रमानुपाती होती है। इस प्रकार, एकसमान चाल के लिए, समय के विरुद्ध तय की गई दूरी का आलेख एक सरल रेखा होता है, जैसा कि चित्र 7.3 में दिखाया गया है। आलेख का OB भाग दर्शाता है कि दूरी एकसमान दर से बढ़ रही है। ध्यान दें कि, आप एकसमान चाल के स्थान पर एकसमान वेग शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं यदि आप विस्थापन का परिमाण वस्तु द्वारा $y$-अक्ष के अनुदिश तय की गई दूरी के बराबर लेते हैं।

हम दूरी-समय आलेख का उपयोग किसी वस्तु की चाल निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, चित्र 7.3 में दिखाए गए दूरी-समय आलेख के एक छोटे भाग $AB$ पर विचार कीजिए। बिंदु $A$ से $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा खींचिए और बिंदु $B$ से $y$-अक्ष के समांतर एक अन्य रेखा खींचिए। ये दोनों रेखाएँ एक दूसरे से बिंदु $C$ पर मिलती हैं और एक त्रिभुज $ABC$ बनाती हैं। अब, आलेख पर, $AC$ समय अंतराल $(t_2-t_1)$ को दर्शाता है जबकि $BC$ दूरी $(s_2-s_1)$ के संगत है। हम आलेख से देख सकते हैं कि जैसे वस्तु बिंदु A से $B$ तक चलती है, यह समय $(t_2-t_1)$ में दूरी $(s_2-s_1)$ तय करती है। वस्तु की चाल, $v$, इसलिए इस प्रकार निरूपित की जा सकती है

$$ V=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1} \tag{7.4} $$

हम त्वरित गति के ल