8.1 الجبرائی اظہار کا جمع اور تفریق

پچھلی کلاسوں میں، ہم پہلے ہی یہ جان چکے ہیں کہ الجبرائی اظہار (یا صرف اظہار) کیا ہوتے ہیں۔ اظہار کی مثالیں ہیں:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ وغیرہ } $

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے یہ بھی سیکھا ہے کہ الجبرائی اظہار کو کیسے جمع اور منفی کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، $7 x^{2}-4 x+5$ اور $9 x-10$ کو جمع کرنے کے لیے، ہم یہ کرتے ہیں

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

غور کریں کہ ہم جمع کیسے کرتے ہیں۔ ہم ہر اظہار کو جمع کرنے کے لیے ایک الگ قطار میں لکھتے ہیں۔ ایسا کرتے ہوئے ہم ایک جیسے اصطلاحات کو ایک کے نیچے ایک لکھتے ہیں، اور انہیں جمع کرتے ہیں، جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ اس طرح $5+(-10)=5-10=-5$۔ اسی طرح، $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$۔ آئیے کچھ اور مثالیں لیتے ہیں۔

مثال 1 : جمع کریں: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$۔

حل: تینوں اظہار کو الگ الگ قطاروں میں لکھتے ہوئے، ایک جیسے اصطلاحات کو ایک کے نیچے ایک رکھتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(نوٹ کریں xz اور zx ایک ہی ہیں)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

مثال 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ کو $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ سے منفی کریں۔

حل:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

نوٹ کریں کہ کسی عدد کا تفریق اس کے اضافی معکوس کے جمع کے برابر ہوتا ہے۔ اس طرح -3 کو منفی کرنا +3 جمع کرنے کے برابر ہے۔ اسی طرح، $6 y$ کو منفی کرنا $-6 y$ جمع کرنے کے برابر ہے؛ $-4 y^{2}$ کو منفی کرنا $4 y^{2}$ جمع کرنے کے برابر ہے اور اسی طرح۔ دوسری قطار میں ہر اصطلاح کے نیچے لکھے گئے تیسری قطار کے نشانات ہمیں یہ سمجھنے میں مدد کرتے ہیں کہ کون سا عمل انجام دینا ہے۔

مشق 8.1

1. مندرجہ ذیل کو جمع کریں۔

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ کو $12 a-9 a b+5 b-3$ سے منفی کریں

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ کو $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ سے منفی کریں

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ کو مندرجہ ذیل سے منفی کریں

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

8.2 الجبرائی اظہار کا ضرب: تعارف

(i) نقطوں کی مندرجہ ذیل پیٹرن دیکھیں۔

(ii) کیا آپ اب ایسی ہی دوسری صورتیں سوچ سکتے ہیں جن میں دو الجبرائی اظہار کو ضرب دینا پڑتا ہو؟

امینہ اٹھتی ہے۔ وہ کہتی ہے، “ہم مستطیل کے رقبے کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔” مستطیل کا رقبہ $l \times b$ ہوتا ہے، جہاں $l$ لمبائی ہے، اور $b$ چوڑائی ہے۔ اگر مستطیل کی لمبائی 5 یونٹ بڑھا دی جائے، یعنی $(l+5)$ اور

(iii) کیا آپ حجم کے بارے میں سوچ سکتے ہیں؟ (مستطیل ڈبے کا حجم اس کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی کے حاصل ضرب سے دیا جاتا ہے)۔

(iv) ساریتا اشارہ کرتی ہے کہ جب ہم چیزیں خریدتے ہیں، تو ہمیں ضرب انجام دینی پڑتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر

$ \text{ کیلوں کی فی درجن قیمت }=₹ p $

اور اسکول کے پکنک کے لیے درکار کیلے $=z$ درجن،

$ \text{ تو ہمیں ادا کرنا ہوگا }=₹ p \times z $

فرض کریں، فی درجن قیمت $₹ 2$ کم تھی اور درکار کیلے 4 درجن کم تھے۔

تو، $\quad$ کیلوں کی فی درجن قیمت $=₹(p-2)$

اور $\quad$ درکار کیلے $=(z-4)$ درجن،

لہذا، ہمیں $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ ادا کرنا پڑتا

کوشش کریں یہ

کیا آپ دو مزید ایسی صورتیں سوچ سکتے ہیں، جہاں ہمیں الجبرائی اظہار کو ضرب دینے کی ضرورت پڑ سکتی ہے؟

[اشارہ: $\bullet$ رفتار اور وقت کے بارے میں سوچیں؛

• سادہ سود جو ادا کرنا ہو، اصل رقم اور سود کی شرح کے بارے میں سوچیں؛ وغیرہ۔]

مندرجہ بالا تمام مثالوں میں، ہمیں دو یا زیادہ مقداروں کا ضرب انجام دینا پڑا۔ اگر مقداروں کو الجبرائی اظہار سے دیا گیا ہے، تو ہمیں ان کا حاصل ضرب معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ہمیں یہ جاننا چاہیے کہ یہ حاصل ضرب کیسے حاصل کیا جائے۔ آئیے اسے منظم طریقے سے کریں۔ شروع میں ہم دو یک رقمی (monomial) کے ضرب پر نظر ڈالیں گے۔

8.3 ایک یک رقمی کو ایک یک رقمی سے ضرب دینا

وہ اظہار جس میں صرف ایک اصطلاح ہو، یک رقمی کہلاتا ہے۔

8.3.1 دو یک رقمیوں کو ضرب دینا

ہم اس سے شروع کرتے ہیں

اسی طرح، $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

اب، مندرجہ ذیل حاصل ضربوں پر غور کریں۔

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

کچھ اور مفید مثالیں درج ذیل ہیں۔

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

غور کریں کہ ہم دو یک رقمیوں کے الجبرائی حصوں میں مختلف متغیرات کی طاقتوں کو کیسے جمع کرتے ہیں۔ ایسا کرتے ہوئے، ہم اُسّی (exponents) اور طاقتوں کے قواعد استعمال کرتے ہیں۔

نوٹ کریں کہ $5 \times 4=20$

یعنی، حاصل ضرب کا عددی سر (coefficient) $=$ پہلی یک رقمی کا عددی سر $\times$ دوسری یک رقمی کا عددی سر؛

اور $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

یعنی، حاصل ضرب کا الجبرائی عامل $=$ پہلی یک رقمی کا الجبرائی عامل $\times$ دوسری یک رقمی کا الجبرائی عامل۔

8.3.2 تین یا زیادہ یک رقمیوں کو ضرب دینا

مندرجہ ذیل مثالوں پر غور کریں۔

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

یہ واضح ہے کہ ہم پہلے پہلی دو یک رقمیوں کو ضرب دیتے ہیں اور پھر حاصل ہونے والی یک رقمی کو تیسری یک رقمی سے ضرب دیتے ہیں۔ اس طریقہ کو کسی بھی تعداد میں یک رقمیوں کے حاصل ضرب تک بڑھایا جا سکتا ہے۔

کوشش کریں یہ

$4 x \times 5 y \times 7 z$ معلوم کریں

پہلے $4 x \times 5 y$ معلوم کریں اور اسے $7 z$ سے ضرب دیں؛ یا پہلے $5 y \times 7 z$ معلوم کریں اور اسے $4 x$ سے ضرب دیں۔ کیا نتیجہ ایک جیسا ہے؟ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

کیا ضرب انجام دینے کا ترتیب اہمیت رکھتا ہے؟

مثال 3 : دی گئی لمبائی اور چوڑائی کے ساتھ مستطیل کے رقبے کے لیے جدول مکمل کریں۔

حل:

مثال 4 : دی گئی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی کے ساتھ ہر مستطیل ڈبے کا حجم معلوم کریں۔

حل: حجم $=$ لمبائی $\times$ چوڑائی $\times$ اونچائی

لہذا، کے لیے

(i) حجم $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

کے لیے

(ii) حجم $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

کے لیے

(iii) حجم $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

مشق 8.2

1. مندرجہ ذیل جوڑوں میں یک رقمیوں کا حاصل ضرب معلوم کریں۔

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. مندرجہ ذیل جوڑوں میں یک رقمیوں کو ان کی لمبائی اور چوڑائی کے طور پر رکھتے ہوئے مستطیلوں کے رقبے معلوم کریں۔

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. حاصل ضربوں کی جدول مکمل کریں۔

4. مندرجہ ذیل لمبائی، چوڑائی اور اونچائی کے ساتھ مستطیل ڈبوں کا حجم معلوم کریں۔

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. مندرجہ ذیل کا حاصل ضرب معلوم کریں

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ایک یک رقمی کو کثیر رقمی سے ضرب دینا

وہ اظہار جس میں دو اصطلاحیں ہوں، دو رقمی (binomial) کہلاتا ہے۔ تین اصطلاحوں پر مشتمل اظہار تین رقمی (trinomial) کہلاتا ہے اور اسی طرح۔ عام طور پر، ایک یا زیادہ اصطلاحوں پر مشتمل اظہار جس کا عددی سر غیر صفر ہو (جس کے متغیرات کے اُسّی غیر منفی صحیح اعداد ہوں) کثیر رقمی (polynomial) کہلاتا ہے۔

8.4.1 ایک یک رقمی کو دو رقمی سے ضرب دینا

آئیے یک رقمی $3 x$ کو دو رقمی $5 y+2$ سے ضرب دیں، یعنی $3 x \times(5 y+2)=$ معلوم کریں؟

یاد رکھیں کہ $3 x$ اور $(5 y+2)$ اعداد کی نمائندگی کرتے ہیں۔ لہذا، تقسیمی قانون (distributive law) استعمال کرتے ہوئے،

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

ہم عام طور پر اپنے حساب میں تقسیمی قانون استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

اسی طرح، $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

اور $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

دو رقمی $\times$ یک رقمی کے بارے میں کیا خیال ہے؟ مثال کے طور پر، $(5 y+2) \times 3 x=$ ؟

ہم مبادلہ قانون (commutative law) استعمال کر سکتے ہیں جیسے: $7 \times 3=3 \times 7$؛ یا عام طور پر $a \times b=b \times a$

اسی طرح، $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ جیسا کہ پہلے۔

کوشش کریں یہ

حاصل ضرب معلوم کریں

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ایک یک رقمی کو تین رقمی سے ضرب دینا

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ پر غور کریں۔ پچھلے معاملے کی طرح، ہم تقسیمی قانون استعمال کرتے ہیں؛

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

تین رقمی کی ہر اصطلاح کو یک رقمی سے ضرب دیں اور حاصل ضرب جمع کریں۔

غور کریں، تقسیمی قانون استعمال کر کے، ہم اصطلاح بہ اصطلاح ضرب انجام دینے کے قابل ہیں۔

کوشش کریں یہ

حاصل ضرب معلوم کریں:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

مثال 5 : اظہار کو سادہ کریں اور ان کی قدر دیے گئے مقام پر معلوم کریں: (i) $x(x-3)+2$ کے لیے $x=1$، (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ کے لیے $y=-2$

حل:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ کے لیے } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

کے لیے $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

مثال 6 : جمع کریں

(i) $5 m(3-m)$ اور $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ اور $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

حل:

(i) پہلا اظہار $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

اب اس میں دوسرا اظہار جمع کرتے ہوئے، $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) پہلا اظہار $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

دوسرا اظہار $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

دونوں اظہار جمع کرتے ہوئے،

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

مثال 7 : $3 p q(p-q)$ کو $2 p q(p+q)$ سے منفی کریں۔

حل: ہمارے پاس $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ اور

منفی کرتے ہوئے،

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

مشق 8.3

1. مندرجہ ذیل جوڑوں میں اظہار کا ضرب انجام دیں۔ (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. جدول مکمل کریں۔

3. حاصل ضرب معلوم کریں۔

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ کو سادہ کریں اور اس کی قدر (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ کے لیے معلوم کریں۔

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ کو سادہ کریں اور اس کی قدر (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ کے لیے معلوم کریں۔

5. (a) جمع کریں: $p(p-q), q(q-r)$ اور $r(r-p)$

(b) جمع کریں: $2 x(z-x-y)$ اور $2 y(z-y-x)$

(c) منفی کریں: $3 l(l-4 m+5 n)$ کو $4 l(10 n-3 m+2 l)$ سے

(d) منفی کریں: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ کو $4 c(-a+b+c)$ سے

8.5 ایک کثیر رقمی کو ایک کثیر رقمی سے ضرب دینا

8.5.1 ایک دو رقمی کو ایک دو رقمی سے ضرب دینا

آئیے ایک دو رقمی $(2 a+3 b)$ کو دوسری دو رقمی، فرض کریں $(3 a+4 b)$ سے ضرب دیں۔ ہم یہ قدم بہ قدم کرتے ہیں، جیسا کہ ہم نے پچھلے معاملات میں کیا تھا، ضرب کے تقسیمی قانون کی پیروی کرتے ہوئے،

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{غور کریں، ایک دو رقمی میں ہر} \\ \text{اصطلاح دوسری دو رقمی کی ہر} \\ \text{اصطلاح کو ضرب دیتی ہے۔} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{چونکہ } ba=ab) \end{aligned} $

جب ہم اصطلاح بہ اصطلاح ضرب انجام دیتے ہیں، تو ہم توقع کرتے ہیں کہ $2 \times 2=4$ اصطلاحیں موجود ہوں گی۔ لیکن ان میں سے دو ایک جیسی اصطلاحیں ہیں، جو ملا دی جاتی ہیں، اور اس طرح ہمیں 3 اصطلاحیں ملتی ہیں۔ کثیر رقمیوں کو کثیر رقمیوں سے ضرب دیتے ہوئے، ہمیں ہمیشہ ایک جیسی اصطلاحوں کو تلاش کرنا چاہیے، اگر کوئی ہوں، اور انہیں ملا دینا چاہیے۔

مثال 8 : ضرب دیں

(i) $(x-4)$ اور $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ اور $(3 x+5 y)$

حل:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (ایک جیسی اصطلاحیں جمع کرتے ہوئے) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ ایک جیسی اصطلاحیں جمع کرتے ہوئے }) \end{aligned} $

مثال 9 : ضرب دیں

(i) $(a+7)$ اور $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ اور $(5 a-3 b)$

حل:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

نوٹ کریں کہ اس ضرب میں کوئی ایک جیسی اصطلاحیں شامل نہیں ہیں۔

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

8.5.2 ایک دو رقمی کو تین رقمی سے ضرب دینا

اس ضرب میں، ہمیں تین رقمی کی تینوں اصطلاحوں میں سے ہر ایک کو دو رقمی کی دو اصطلاحوں میں سے ہر ایک سے ضرب دینا ہوگا۔ ہمیں کل $3 \times 2=6$ اصطلاحیں ملیں گی، جو 5 یا اس سے کم ہو سکتی ہیں، اگر اصطلاح بہ اصطلاح ضرب کے نتیجے میں ایک جیسی اصطلاحیں بنیں۔ غور کریں

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{دو رقمی }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{تین رقمی }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (حتمی نتیجے میں صرف } 4 \\ & \text{ اصطلاحیں کیوں ہیں؟) } \end{aligned} $

مثال 10 : $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$ کو سادہ کریں۔

حل: ہمارے پاس

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(نوٹ، $-3 a b$ اور $2 a b$ ایک جیسی اصطلاحیں ہیں)

اور $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

لہذا،

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

مشق 8.4

1. دو رقمیوں کو ضرب دیں۔

(i) $(2 x+5)$ اور $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ اور $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ اور $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ اور $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ اور $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ اور $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

2. حاصل ضرب معلوم کریں۔

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

3. سادہ کریں۔

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

ہم نے کیا بحث کیا؟؟

1. اظہار متغیرات اور مستقلات سے بنتے ہیں۔

2. اصطلاحیں جمع کر کے اظہار بنتے ہیں۔ اصطلاحیں خود عوامل کے حاصل ضرب کے طور پر بنتی ہیں۔

3. وہ اظہار جو بالکل ایک، دو اور تین اصطلاحوں پر مشتمل ہوں، بالترتیب یک رقمی، دو رقمی اور تین رقمی کہلاتے ہیں۔ عام طور پر، کوئی بھی اظہار جو ایک یا زیادہ اصطلاحوں پر مشتمل ہو جن کے عددی سر غیر صفر ہوں (اور جن کے متغیرات کے اُسّی غیر منفی صحیح اعداد ہوں) کثیر رقمی کہلاتا ہے۔

4. ایک جیسی اصطلاحیں ایک ہی متغیرات سے بنتی ہیں اور ان متغیرات کی طاقتیں بھی ایک جیسی ہوتی ہیں۔ ایک جیسی اصطلاحوں کے عددی سر ایک جیسے ہونے ضروری نہیں ہیں۔

5. کثیر رقمیوں کو جمع (یا منفی) کرتے ہوئے، پہلے ایک جیسی اصطلاحوں کو تلاش کریں اور انہیں جمع (یا منفی) کریں؛ پھر غیر ایک جیسی اصطلاحوں کو نمٹائیں۔

6. ایسی کئی صورتیں ہیں جن میں ہمیں الجبرائی اظہار کو ضرب دینے کی ضرورت پڑتی ہے: مثال کے طور پر، مستطیل کا رقبہ معلوم کرنے میں، جس کی اضلاع اظہار کے طور پر دی گئی ہوں۔

7. ایک یک رقمی کو ایک یک رقمی سے ضرب دینے پر ہمیشہ ایک یک رقمی ملتا ہے۔

8. ایک کثیر رقمی کو ایک یک رقمی سے ضرب دیتے ہوئے، ہم کثیر رقمی کی ہر اصطلاح کو یک رقمی سے ضرب دیتے