8.1 இயற்கணிதக் கோவைகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்

முந்தைய வகுப்புகளில், இயற்கணிதக் கோவைகள் (அல்லது வெறுமனே கோவைகள்) என்றால் என்ன என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம். கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ etc. } $

முந்தைய வகுப்புகளில், இயற்கணிதக் கோவைகளை எவ்வாறு கூட்டுவது மற்றும் கழிப்பது என்பதையும் நாம் கற்றுக்கொண்டோம். எடுத்துக்காட்டாக, $7 x^{2}-4 x+5$ மற்றும் $9 x-10$ ஐ கூட்ட, நாம் செய்வது

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

நாம் கூட்டலை எவ்வாறு செய்கிறோம் என்பதைக் கவனியுங்கள். கூட்டப்பட வேண்டிய ஒவ்வொரு கோவையையும் தனி வரிசையில் எழுதுகிறோம். அவ்வாறு செய்யும்போது, ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றுக்கு கீழே ஒன்றாக எழுதி, அவற்றைக் காட்டப்பட்டுள்ளபடி கூட்டுகிறோம். இவ்வாறு $5+(-10)=5-10=-5$. இதேபோல், $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. இன்னும் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக்கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : கூட்டுக: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

தீர்வு: மூன்று கோவைகளையும் தனி வரிசைகளில் எழுதி, ஒத்த உறுப்புகளை ஒன்றுக்கு கீழே ஒன்றாக வைத்தால்,

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(குறிப்பு: xz என்பது zx-க்கு சமம்)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

எடுத்துக்காட்டு 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ ஐ $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ இலிருந்து கழிக்க.

தீர்வு:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ஒரு எண்ணைக் கழிப்பது என்பது அதன் கூட்டல் நேர்மாறைக் கூட்டுவதற்குச் சமம் என்பதைக் கவனியுங்கள். எனவே, -3 ஐ கழிப்பது என்பது +3 ஐ கூட்டுவதற்குச் சமம். இதேபோல், $6 y$ ஐ கழிப்பது என்பது $-6 y$ ஐ கூட்டுவதற்குச் சமம்; $-4 y^{2}$ ஐ கழிப்பது என்பது $4 y^{2}$ ஐ கூட்டுவதற்குச் சமம் மற்றும் பல. இரண்டாவது வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் கீழே எழுதப்பட்டுள்ள மூன்றாவது வரிசையின் குறிகள், எந்தச் செயல்பாடு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை அறிய உதவுகின்றன.

பயிற்சி 8.1

1. பின்வருவனவற்றைக் கூட்டுக.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ ஐ $12 a-9 a b+5 b-3$ இலிருந்து கழிக்க

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ ஐ $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ இலிருந்து கழிக்க

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ ஐ

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ இலிருந்து கழிக்க

8.2 இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல்: அறிமுகம்

(i) புள்ளிகளின் பின்வரும் அமைப்புகளைப் பாருங்கள்.

(ii) இப்போது இதேபோன்ற வேறு சூழ்நிலைகளைப் பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க முடியுமா, அங்கு இரண்டு இயற்கணிதக் கோவைகளைப் பெருக்க வேண்டும்?

அமீனா எழுந்திருக்கிறாள். அவள் சொல்கிறாள், “நாம் ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவைப் பற்றி சிந்திக்கலாம்.” ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $l \times b$ ஆகும், இங்கு $l$ என்பது நீளம், மற்றும் $b$ என்பது அகலம். செவ்வகத்தின் நீளம் 5 அலகுகளால் அதிகரிக்கப்பட்டால், அதாவது $(l+5)$ மற்றும்

(iii) நீங்கள் கனஅளவைப் பற்றி சிந்திக்க முடியுமா? (ஒரு செவ்வகப் பெட்டியின் கனஅளவு அதன் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரத்தின் பெருக்கற்பலனால் வழங்கப்படுகிறது).

(iv) நாம் பொருட்களை வாங்கும்போது, பெருக்கலைச் செய்ய வேண்டும் என சரிதா சுட்டிக்காட்டுகிறாள். எடுத்துக்காட்டாக,

$ \text{ ஒரு டசன் வாழைப்பழங்களின் விலை }=₹ p $

மற்றும் பள்ளிப் பிக்னிக்கு தேவைப்படும் வாழைப்பழங்கள் $=z$ டசன்கள் எனில்,

$ \text{ நாம் செலுத்த வேண்டிய தொகை }=₹ p \times z $

விலை ஒரு டசனுக்கு $₹ 2$ குறைவாகவும், தேவைப்படும் வாழைப்பழங்கள் 4 டசன்கள் குறைவாகவும் இருந்ததாக வைத்துக்கொள்வோம்.

அப்போது, $\quad$ ஒரு டசன் வாழைப்பழங்களின் விலை $=₹(p-2)$

மற்றும் $\quad$ தேவைப்படும் வாழைப்பழங்கள் $=(z-4)$ டசன்கள்,

எனவே, நாம் செலுத்த வேண்டிய தொகை $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

முயன்று பாருங்கள்

இன்னும் இரண்டு அத்தகைய சூழ்நிலைகளைப் பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க முடியுமா, அங்கு நாம் இயற்கணிதக் கோவைகளைப் பெருக்க வேண்டியிருக்கும்?

[குறிப்பு: $\bullet$ வேகம் மற்றும் நேரத்தைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்;

• செலுத்த வேண்டிய தனிவட்டி, அசல் மற்றும் தனிவட்டி விகிதம் பற்றி சிந்தியுங்கள்; முதலியன.]

மேலே உள்ள அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகளைப் பெருக்க வேண்டியிருந்தது. அளவுகள் இயற்கணிதக் கோவைகளால் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், அவற்றின் பெருக்கற்பலனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதன் பொருள், இந்தப் பெருக்கற்பலனை எவ்வாறு பெறுவது என்பதை நாம் அறிந்திருக்க வேண்டும். இதை முறையாகச் செய்வோம். தொடக்கத்தில், இரண்டு ஒருபடிகளின் பெருக்கலைப் பார்ப்போம்.

8.3 ஒரு ஒருபடியை ஒரு ஒருபடியால் பெருக்குதல்

ஒரே ஒரு உறுப்பை மட்டும் கொண்ட கோவை ஒருபடி எனப்படும்.

8.3.1 இரண்டு ஒருபடிகளைப் பெருக்குதல்

நாம் தொடங்குவது

இதேபோல், $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

இப்போது, பின்வரும் பெருக்கற்பலன்களைக் கவனியுங்கள்.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

இன்னும் சில பயனுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

இரண்டு ஒருபடிகளின் இயற்கணிதப் பகுதிகளில் வெவ்வேறு மாறிகளின் அடுக்குகளை நாம் எவ்வாறு சேகரிக்கிறோம் என்பதைக் கவனியுங்கள். அவ்வாறு செய்யும்போது, அடுக்குகள் மற்றும் அடுக்குகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

$5 \times 4=20$ என்பதைக் கவனியுங்கள்

அதாவது, பெருக்கற்பலனின் கெழு $=$ முதல் ஒருபடியின் கெழு $\times$ இரண்டாவது ஒருபடியின் கெழு;

மற்றும் $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

அதாவது, பெருக்கற்பலனின் இயற்கணிதக் காரணி $=$ முதல் ஒருபடியின் இயற்கணிதக் காரணி $\times$ இரண்டாவது ஒருபடியின் இயற்கணிதக் காரணி.

8.3.2 மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட ஒருபடிகளைப் பெருக்குதல்

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

முதலில் முதல் இரண்டு ஒருபடிகளைப் பெருக்கி, பின்னர் வரும் ஒருபடியை மூன்றாவது ஒருபடியால் பெருக்குகிறோம் என்பது தெளிவாகிறது. எத்தனை ஒருபடிகளின் பெருக்கற்பலனுக்கும் இந்த முறையை நீட்டிக்கலாம்.

முயன்று பாருங்கள்

$4 x \times 5 y \times 7 z$ ஐக் கண்டுபிடி

முதலில் $4 x \times 5 y$ ஐக் கண்டுபிடித்து, அதை $7 z$ ஆல் பெருக்க; அல்லது முதலில் $5 y \times 7 z$ ஐக் கண்டுபிடித்து, அதை $4 x$ ஆல் பெருக்க. முடிவு ஒன்றுதானா? நீங்கள் என்ன கவனிக்கிறீர்கள்?

பெருக்கலை எந்த வரிசையில் செய்கிறீர்கள் என்பது முக்கியமா?

எடுத்துக்காட்டு 3 : கொடுக்கப்பட்ட நீளம் மற்றும் அகலம் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்கான அட்டவணையை நிறைவு செய்க.

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 4 : கொடுக்கப்பட்ட நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் கொண்ட ஒவ்வொரு செவ்வகப் பெட்டியின் கனஅளவையும் கண்டுபிடி.

தீர்வு: கனஅளவு $=$ நீளம் $\times$ அகலம் $\times$ உயரம்

எனவே,

(i) கனஅளவு $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) கனஅளவு $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) கனஅளவு $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

பயிற்சி 8.2

1. பின்வரும் ஒருபடி இணைகளின் பெருக்கற்பலனைக் கண்டுபிடி.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. பின்வரும் ஒருபடி இணைகளை முறையே நீளம் மற்றும் அகலமாகக் கொண்ட செவ்வகங்களின் பரப்பளவுகளைக் கண்டுபிடி.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. பெருக்கற்பலன்களின் அட்டவணையை நிறைவு செய்க.

4. பின்வரும் நீளம், அகலம் மற்றும் உயரம் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டிகளின் கனஅளவைப் பெறுக.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. பின்வருவனவற்றின் பெருக்கற்பலனைப் பெறுக

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ஒரு ஒருபடியை ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் பெருக்குதல்

இரண்டு உறுப்புகளைக் கொண்ட கோவை ஈருறுப்பு எனப்படும். மூன்று உறுப்புகளைக் கொண்ட கோவை மூவுறுப்பு எனப்படும். பொதுவாக, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்ட (மாறிகள் எதிர்மில்லா முழு எண்களை அடுக்குகளாகக் கொண்டிருக்கும்) பூச்சியமற்ற கெழு கொண்ட கோவை பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும்.

8.4.1 ஒரு ஒருபடியை ஒரு ஈருறுப்பால் பெருக்குதல்

ஒருபடி $3 x$ ஐ ஈருறுப்பு $5 y+2$ ஆல் பெருக்குவோம், அதாவது $3 x \times(5 y+2)=$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்?

$3 x$ மற்றும் $(5 y+2)$ ஆகியவை எண்களைக் குறிக்கின்றன என்பதை நினைவுகூருங்கள். எனவே, பங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்தி,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

பங்கீட்டு விதியை நாம் பொதுவாக நமது கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்துகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

இதேபோல், $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

மற்றும் $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

ஒரு ஈருறுப்பு $\times$ ஒருபடி என்ன? எடுத்துக்காட்டாக, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

நாம் பரிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்தலாம்: $7 \times 3=3 \times 7$; அல்லது பொதுவாக $a \times b=b \times a$

இதேபோல், $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ முன்பு போலவே.

முயன்று பாருங்கள்

பெருக்கற்பலனைக் கண்டுபிடி

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ஒரு ஒருபடியை ஒரு மூவுறுப்பால் பெருக்குதல்

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ ஐக் கவனியுங்கள். முன்பு போலவே, நாம் பங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

மூவுறுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் ஒருபடியால் பெருக்கி, பெருக்கற்பலன்களைக் கூட்டுக.

பங்கீட்டு விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், உறுப்பு வாரியாக பெருக்கலைச் செய்ய முடிகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்.

முயன்று பாருங்கள்

பெருக்கற்பலனைக் கண்டுபிடி:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

எடுத்துக்காட்டு 5 : கோவைகளை எளிமைப்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி மதிப்பிடுக: (i) $x(x-3)+2$, $x=1$ எனும்போது, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$, $y=-2$ எனும்போது

தீர்வு:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ எனும்போது } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ எனும்போது

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 6 : கூட்டுக

(i) $5 m(3-m)$ மற்றும் $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ மற்றும் $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

தீர்வு:

(i) முதல் கோவை $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

இப்போது இரண்டாவது கோவையை அதனுடன் கூட்ட, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) முதல் கோவை $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

இரண்டாவது கோவை $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

இரண்டு கோவைகளையும் கூட்ட,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

எடுத்துக்காட்டு 7 : $3 p q(p-q)$ ஐ $2 p q(p+q)$ இலிருந்து கழிக்க.

தீர்வு: நம்மிடம் $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ மற்றும்

கழிக்க,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

பயிற்சி 8.3

1. பின்வரும் இணைகளில் உள்ள கோவைகளின் பெருக்கலைச் செய்க. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. அட்டவணையை நிறைவு செய்க.

3. பெருக்கற்பலனைக் கண்டுபிடி.

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ ஐ எளிமைப்படுத்தி, (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ எனும்போது அதன் மதிப்பைக் கண்டுபிடி.

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ ஐ எளிமைப்படுத்தி, (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ எனும்போது அதன் மதிப்பைக் கண்டுபிடி.

5. (a) கூட்டுக: $p(p-q), q(q-r)$ மற்றும் $r(r-p)$

(b) கூட்டுக: $2 x(z-x-y)$ மற்றும் $2 y(z-y-x)$

(c) கழிக்க: $3 l(l-4 m+5 n)$ ஐ $4 l(10 n-3 m+2 l)$ இலிருந்து

(d) கழிக்க: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ ஐ $4 c(-a+b+c)$ இலிருந்து

8.5 ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் பெருக்குதல்

8.5.1 ஒரு ஈருறுப்பை ஒரு ஈருறுப்பால் பெருக்குதல்

ஒரு ஈருறுப்பை $(2 a+3 b)$ மற்றொரு ஈருறுப்பால், $(3 a+4 b)$ என்பதால் பெருக்குவோம். முன்பு செய்ததைப் போல, படிப்படியாக, பெருக்கலின் பங்கீட்டு விதியைப் பின்பற்றி இதைச் செய்கிறோம்,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{கவனியுங்கள், ஒரு ஈருறுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு} \\ \text{உறுப்பும் மற்ற ஈருறுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு} \\ \text{உறுப்பையும் பெருக்குகிறது.} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{ஏனெனில் } ba=ab) \end{aligned} $

உறுப்பு வாரியாகப் பெருக்கும்போது, $2 \times 2=4$ உறுப்புகள் இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கிறோம். ஆனால் இவற்றில் இரண்டு ஒத்த உறுப்புகள், அவை இணைக்கப்படுகின்றன, எனவே நமக்கு 3 உறுப்புகள் கிடைக்கின்றன. பல்லுறுப்புக் கோவைகளைப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளால் பெருக்கும்போது, ஒத்த உறுப்புகள் இருந்தால், அவற்றை எப்போதும் தேடி இணைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 8 : பெருக்குக

(i) $(x-4)$ மற்றும் $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ மற்றும் $(3 x+5 y)$

தீர்வு:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (ஒத்த உறுப்புகளைக் கூட்டுதல்) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ ஒத்த உறுப்புகளைக் கூட்டுதல் }) \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 9 : பெருக்குக

(i) $(a+7)$ மற்றும் $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ மற்றும் $(5 a-3 b)$

தீர்வு:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

இந்த பெருக்கலில் ஒத்த உறுப்புகள் ஈடுபடவில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள்.

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

8.5.2 ஒரு ஈருறுப்பை ஒரு மூவுறுப்பால் பெருக்குதல்

இந்த பெருக்கலில், மூவுறுப்பில் உள்ள மூன்று உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் ஈருறுப்பில் உள்ள இரண்டு உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றாலும் பெருக்க வேண்டும். மொத்தம் $3 \times 2=6$ உறுப்புகள் கிடைக்கும், உறுப்பு வாரியான பெருக்கல் ஒத்த உறுப்புகளைத் தந்தால், அவை 5 அல்லது அதற்கும் குறைவாகக் குறையலாம். கவனியுங்கள்

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{ஈருறுப்பு }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{மூவுறுப்பு }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (இறுதி முடிவில் ஏன் 4 } \\ & \text{ உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ளன?) } \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 10 : $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$ ஐ எளிமைப்படுத்துக.

தீர்வு: நம்மிடம்

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(குறிப்பு, $-3 a b$ மற்றும் $2 a b$ ஒத்த உறுப்புகள்)

மற்றும் $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

எனவே,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ &