8.1 బీజీయ సమాసాల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం

మునుపటి తరగతులలో, బీజీయ సమాసాలు (లేదా కేవలం సమాసాలు) అంటే ఏమిటో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. సమాసాల ఉదాహరణలు:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ మొదలైనవి. } $

మునుపటి తరగతులలో, బీజీయ సమాసాలను ఎలా కూడాలి మరియు తీసివేయాలో కూడా మనం నేర్చుకున్నాము. ఉదాహరణకు, $7 x^{2}-4 x+5$ మరియు $9 x-10$ లను కూడాలంటే, మనం ఇలా చేస్తాం

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

మనం సంకలనం ఎలా చేస్తున్నామో గమనించండి. ప్రతి సమాసాన్ని కూడేందుకు వేరు వరుసలో రాస్తాము. ఇలా చేసేటప్పుడు, సజాతి పదాలను ఒకదాని క్రింద ఒకటి రాసి, చూపినట్లుగా వాటిని కూడతాము. అందువలన $5+(-10)=5-10=-5$. అదేవిధంగా, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. మరికొన్ని ఉదాహరణలు తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 1 : కూడండి: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

సాధన: మూడు సమాసాలను వేరు వేరు వరుసలలో రాస్తూ, సజాతి పదాలు ఒకదాని క్రింద ఒకటి ఉండేలా చేస్తే,

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(గమనిక xz అనేది zx తో సమానం)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

ఉదాహరణ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ నుండి $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ని తీసివేయండి.

సాధన:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ఒక సంఖ్యను వ్యవకలనం చేయడం అనేది దాని సంకలన విలోమాన్ని కూడడానికి సమానమని గమనించండి. అందువలన -3 ను తీసివేయడం అనేది +3 ను కూడడానికి సమానం. అదేవిధంగా, $6 y$ ను తీసివేయడం అనేది $-6 y$ ను కూడడానికి సమానం; $-4 y^{2}$ ను తీసివేయడం అనేది $4 y^{2}$ ను కూడడానికి సమానం మరియు ఇలాగే చేయవచ్చు. రెండవ వరుసలోని ప్రతి పదం క్రింద మూడవ వరుసలో రాయబడిన సంకేతాలు, ఏ కార్యకలాపం చేయాలో తెలుసుకోవడంలో మనకు సహాయపడతాయి.

అభ్యాసం 8.1

1. కింది వాటిని కూడండి.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ నుండి $12 a-9 a b+5 b-3$ ని తీసివేయండి

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ నుండి $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ని తీసివేయండి

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ నుండి తీసివేయండి

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

8.2 బీజీయ సమాసాల గుణకారం: పరిచయం

(i) చుక్కల కింది నమూనాలను చూడండి.

(ii) ఇప్పుడు మీరు ఇలాంటి ఇతర పరిస్థితుల గురించి ఆలోచించగలరా, దీనిలో రెండు బీజీయ సమాసాలను గుణించాల్సి ఉంటుంది?

అమీనా లేచి నిలబడింది. ఆమె చెప్పింది, “మనం దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం గురించి ఆలోచించవచ్చు.” దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం $l \times b$, ఇక్కడ $l$ అనేది పొడవు, మరియు $b$ అనేది వెడల్పు. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు 5 యూనిట్లు పెరిగితే, అంటే $(l+5)$ మరియు

(iii) మీరు ఘనపరిమాణం గురించి ఆలోచించగలరా? (ఒక దీర్ఘఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుల లబ్దంగా ఇవ్వబడుతుంది).

(iv) మనం వస్తువులను కొనుగోలు చేసేటప్పుడు, గుణకారం చేయాల్సి ఉంటుందని సరితా చూపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒకవేళ

$ \text{ ఒక డజను అరటిపండ్ల ధర }=₹ p $

మరియు పాఠశాల పిక్నిక్ కోసం అవసరమైన అరటిపండ్లు $=z$ డజన్లు,

$ \text{ అప్పుడు మనం చెల్లించాల్సిన మొత్తం }=₹ p \times z $

ఒకవేళ, డజనుకు ధర $₹ 2$ తక్కువగా ఉండి, అవసరమైన అరటిపండ్లు 4 డజన్లు తక్కువగా ఉంటే.

అప్పుడు, $\quad$ డజనుకు అరటిపండ్ల ధర $=₹(p-2)$

మరియు $\quad$ అవసరమైన అరటిపండ్లు $=(z-4)$ డజన్లు,

అందువలన, మనం చెల్లించాల్సి ఉంటుంది $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

మీరే చేసి చూడండి

మరో రెండు అలాంటి పరిస్థితుల గురించి మీరు ఆలోచించగలరా, ఇక్కడ మనం బీజీయ సమాసాలను గుణించాల్సి ఉంటుంది?

[సూచన: $\bullet$ వేగం మరియు సమయం గురించి ఆలోచించండి;

• చెల్లించాల్సిన బారు వడ్డీ, అసలు మరియు బారు వడ్డీ రేటు గురించి ఆలోచించండి; మొదలైనవి.]

పైన ఉన్న అన్ని ఉదాహరణలలో, మనం రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పరిమాణాల గుణకారం చేయాల్సి వచ్చింది. పరిమాణాలు బీజీయ సమాసాల ద్వారా ఇవ్వబడితే, మనం వాటి లబ్దాన్ని కనుగొనాలి. దీని అర్థం ఈ లబ్దాన్ని ఎలా పొందాలో మనకు తెలియాలి. దీన్ని క్రమబద్ధంగా చేద్దాం. ప్రారంభంలో మనం రెండు ఏకపదాల గుణకారాన్ని చూస్తాం.

8.3 ఒక ఏకపదాన్ని మరొక ఏకపదంతో గుణించడం

కేవలం ఒకే పదాన్ని కలిగి ఉన్న సమాసాన్ని ఏకపదం అంటారు.

8.3.1 రెండు ఏకపదాలను గుణించడం

మనం ఇలా ప్రారంభిస్తాం

అదేవిధంగా, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

ఇప్పుడు, కింది లబ్దాలను గమనించండి.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

మరికొన్ని ఉపయోగకరమైన ఉదాహరణలు కింద ఇవ్వబడ్డాయి.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

రెండు ఏకపదాల బీజీయ భాగాలలో వివిధ చరరాశుల ఘాతాంకాలను మనం ఎలా సేకరిస్తామో గమనించండి. ఇలా చేసేటప్పుడు, మనం ఘాతాంకాలు మరియు ఘాతాల నియమాలను ఉపయోగిస్తాం.

గమనించండి $5 \times 4=20$

అంటే, లబ్దం యొక్క గుణకం $=$ మొదటి ఏకపదం యొక్క గుణకం $\times$ రెండవ ఏకపదం యొక్క గుణకం;

మరియు $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

అంటే, లబ్దం యొక్క బీజీయ కారణాంకం $=$ మొదటి ఏకపదం యొక్క బీజీయ కారణాంకం $\times$ రెండవ ఏకపదం యొక్క బీజీయ కారణాంకం.

8.3.2 మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఏకపదాలను గుణించడం

కింది ఉదాహరణలను గమనించండి.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

మనం మొదట మొదటి రెండు ఏకపదాలను గుణించి, ఆపై వచ్చిన ఏకపదాన్ని మూడవ ఏకపదంతో గుణిస్తున్నామని స్పష్టంగా ఉంది. ఈ పద్ధతిని ఎన్ని ఏకపదాల లబ్దానికైనా విస్తరించవచ్చు.

మీరే చేసి చూడండి

$4 x \times 5 y \times 7 z$ కనుగొనండి

మొదట $4 x \times 5 y$ కనుగొని దాన్ని $7 z$ తో గుణించండి; లేదా మొదట $5 y \times 7 z$ కనుగొని దాన్ని $4 x$ తో గుణించండి. ఫలితం ఒకేలా ఉందా? మీరు ఏమి గమనించారు?

గుణకారం చేసే క్రమం ముఖ్యమా?

ఉదాహరణ 3 : ఇవ్వబడిన పొడవు మరియు వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం కోసం పట్టికను పూరించండి.

సాధన:

ఉదాహరణ 4 : ఇవ్వబడిన పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు ఉన్న ప్రతి దీర్ఘఘనపు పెట్టె యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనండి.

సాధన: ఘనపరిమాణం $=$ పొడవు $\times$ వెడల్పు $\times$ ఎత్తు

అందువలన,

(i) ఘనపరిమాణం $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) కోసం

ఘనపరిమాణం $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) కోసం

ఘనపరిమాణం $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

అభ్యాసం 8.2

1. కింది ఏకపదాల జతల లబ్దాన్ని కనుగొనండి.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. కింది ఏకపదాల జతలను వాటి పొడవులు మరియు వెడల్పులుగా కలిగి ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలను కనుగొనండి.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. లబ్దాల పట్టికను పూరించండి.

4. కింది పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు కలిగిన దీర్ఘఘనపు పెట్టెల ఘనపరిమాణాన్ని పొందండి.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. కింది వాటి లబ్దాన్ని పొందండి

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ఒక ఏకపదాన్ని బహుపదితో గుణించడం

రెండు పదాలను కలిగి ఉన్న సమాసాన్ని ద్విపది అంటారు. మూడు పదాలను కలిగి ఉన్న సమాసాన్ని త్రిపది అంటారు మరియు ఇలాగే చెబుతారు. సాధారణంగా, శూన్యేతర గుణకాలతో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలను కలిగి ఉన్న సమాసాన్ని (చరరాశులు ఋణేతర పూర్ణాంకాలను ఘాతాంకాలుగా కలిగి ఉంటే) బహుపది అంటారు.

8.4.1 ఒక ఏకపదాన్ని ద్విపదితో గుణించడం

ఏకపదం $3 x$ ను ద్విపది $5 y+2$ తో గుణిద్దాం, అంటే, $3 x \times(5 y+2)=$ కనుగొందాం?

$3 x$ మరియు $(5 y+2)$ లు సంఖ్యలను సూచిస్తాయని గుర్తుంచుకోండి. అందువలన, విభాగన్యాయం ఉపయోగించి,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

మనం సాధారణంగా మన లెక్కలలో విభాగన్యాయాన్ని ఉపయోగిస్తాం. ఉదాహరణకు:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

అదేవిధంగా, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

మరియు $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

ద్విపది $\times$ ఏకపదం గుణకారం గురించి ఏమిటి? ఉదాహరణకు, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

మనం వినిమయ న్యాయాన్ని ఇలా ఉపయోగించవచ్చు: $7 \times 3=3 \times 7$; లేదా సాధారణంగా $a \times b=b \times a$

అదేవిధంగా, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ మునుపటిలాగానే.

మీరే చేసి చూడండి

లబ్దాన్ని కనుగొనండి

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ఒక ఏకపదాన్ని త్రిపదితో గుణించడం

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ ను పరిగణించండి. మునుపటి విధంగానే, మనం విభాగన్యాయాన్ని ఉపయోగిస్తాం;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

త్రిపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని ఏకపదంతో గుణించి, లబ్దాలను కూడండి.

విభాగన్యాయాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, మనం పదం వారీగా గుణకారం చేయగలుగుతున్నామని గమనించండి.

మీరే చేసి చూడండి

లబ్దాన్ని కనుగొనండి:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

ఉదాహరణ 5 : సమాసాలను సూక్ష్మీకరించి, ఇవ్వబడిన విధంగా వాటి విలువలను కనుగొనండి: (i) $x(x-3)+2$ కోసం $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ కోసం $y=-2$

సాధన:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ కోసం } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ కోసం

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

ఉదాహరణ 6 : కూడండి

(i) $5 m(3-m)$ మరియు $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ మరియు $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

సాధన:

(i) మొదటి సమాసం $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

ఇప్పుడు దానికి రెండవ సమాసాన్ని కూడితే, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) మొదటి సమాసం $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

రెండవ సమాసం $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

రెండు సమాసాలను కూడితే,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

ఉదాహరణ 7 : $3 p q(p-q)$ నుండి $2 p q(p+q)$ ని తీసివేయండి.

సాధన: మనకు $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ మరియు

వ్యవకలనం చేస్తే,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

అభ్యాసం 8.3

1. కింది జతలలోని సమాసాల గుణకారాన్ని చేయండి. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. పట్టికను పూరించండి.

3. లబ్దాన్ని కనుగొనండి.

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ ను సూక్ష్మీకరించి (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ కోసం దాని విలువలను కనుగొనండి.

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ ను సూక్ష్మీకరించి (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ కోసం దాని విలువను కనుగొనండి.

5. (a) కూడండి: $p(p-q), q(q-r)$ మరియు $r(r-p)$

(b) కూడండి: $2 x(z-x-y)$ మరియు $2 y(z-y-x)$

(c) తీసివేయండి: $3 l(l-4 m+5 n)$ నుండి $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(d) తీసివేయండి: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ నుండి $4 c(-a+b+c)$

8.5 ఒక బహుపదిని మరొక బహుపదితో గుణించడం

8.5.1 ఒక ద్విపదిని మరొక ద్విపదితో గుణించడం

ఒక ద్విపది $(2 a+3 b)$ ని మరొక ద్విపదితో, $(3 a+4 b)$ తో గుణిద్దాం. మునుపటి సందర్భాలలో చేసినట్లుగా, గుణకార విభాగన్యాయాన్ని అనుసరించి, దీన్ని దశలవారీగా చేస్తాం,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{గమనించండి, ఒక ద్విపదిలోని ప్రతి} \\ \text{పదం, మరొక ద్విపదిలోని ప్రతి} \\ \text{పదాన్ని గుణిస్తుంది.} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{ఎందుకంటే } ba=ab) \end{aligned} $

మనం పదం వారీగా గుణకారం చేసేటప్పుడు, $2 \times 2=4$ పదాలు ఉంటాయని మనం ఊహిస్తాం. కానీ వీటిలో రెండు సజాతి పదాలు, వాటిని కలిపితే, మరియు అందువలన మనకు 3 పదాలు వస్తాయి. బహుపదులతో బహుపదుల గుణకారంలో, మనం ఎల్లప్పుడూ సజాతి పదాల కోసం చూడాలి, ఉంటే వాటిని కలపాలి.

ఉదాహరణ 8 : గుణించండి

(i) $(x-4)$ మరియు $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ మరియు $(3 x+5 y)$

సాధన:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times