8.1 ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନର ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନ (କେବଳ ପ୍ରକାଶନ) କ’ଣ ତାହା ସହିତ ପରିଚିତ ହୋଇସାରିଛୁ। ପ୍ରକାଶନର ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ଇତ୍ୟାଦି } $

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନ କିପରି ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ କରାଯାଏ ତାହା ମଧ୍ୟ ଶିଖିଛୁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $7 x^{2}-4 x+5$ ଏବଂ $9 x-10$ କୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ, ଆମେ ଏହା କରୁ:

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

ଆମେ ଯୋଗ କିପରି କରୁଛୁ ତାହା ଲକ୍ଷ୍ୟ କର। ଆମେ ଯୋଗ କରିବାକୁ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକାଶନକୁ ଏକ ଅଲଗା ଧାଡ଼ିରେ ଲେଖୁ। ଏହା କରିବାବେଳେ ଆମେ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟିଏ ତଳେ ଗୋଟିଏ ଲେଖୁ, ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରୁ, ଯେପରି ଦେଖାଯାଇଛି। ଏହିପରି $5+(-10)=5-10=-5$। ସେହିପରି, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। ଆସନ୍ତୁ ଆଉ କିଛି ଉଦାହରଣ ନେବା।

ଉଦାହରଣ 1 : ଯୋଗ କର: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$।

ସମାଧାନ: ତିନୋଟି ପ୍ରକାଶନକୁ ଅଲଗା ଧାଡ଼ିରେ ଲେଖି, ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଟିଏ ତଳେ ଗୋଟିଏ ରଖି, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି:

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(ଧ୍ୟାନ ଦିଅ xz ଏବଂ zx ସମାନ)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

ଉଦାହରଣ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ ରୁ $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ବିୟୋଗ କର।

ସମାଧାନ:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ବିୟୋଗ ତାହାର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିପରୀତର ଯୋଗ ସହିତ ସମାନ। ଏହିପରି -3 ର ବିୟୋଗ କରିବା +3 ଯୋଗ କରିବା ସହିତ ସମାନ। ସେହିପରି, $6 y$ ର ବିୟୋଗ କରିବା $-6 y$ ଯୋଗ କରିବା ସହିତ ସମାନ; $-4 y^{2}$ ର ବିୟୋଗ କରିବା $4 y^{2}$ ଯୋଗ କରିବା ସହିତ ସମାନ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ। ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ତଳେ ଲେଖାଯାଇଥିବା ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ିର ଚିହ୍ନଗୁଡ଼ିକ କେଉଁ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାକୁ ହେବ ତାହା ଜାଣିବାରେ ଆମକୁ ସାହାଯ୍ୟ କରେ।

ଅଭ୍ୟାସ 8.1

1. ନିମ୍ନଲିଖିତଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର।

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ ରୁ $12 a-9 a b+5 b-3$ ବିୟୋଗ କର

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ ରୁ $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ବିୟୋଗ କର

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ ରୁ ବିୟୋଗ କର

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

8.2 ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନର ଗୁଣନ: ପରିଚୟ

(i) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ନିମ୍ନଲିଖିତ ନମୁନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖ।

(ii) ତୁମେ ଏବେ ସେହିପରି ଅନ୍ୟ ପରିସ୍ଥିତି ଚିନ୍ତା କରିପାରିବ କି ଯେଉଁଠାରେ ଦୁଇଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନକୁ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ?

ଆମୀନା ଉଠିଛନ୍ତି। ସେ କହନ୍ତି, “ଆମେ ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଚିନ୍ତା କରିପାରିବା।” ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $l \times b$, ଯେଉଁଠାରେ $l$ ହେଉଛି ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ଏବଂ $b$ ହେଉଛି ପ୍ରସ୍ଥ। ଯଦି ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5 ଏକକ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ, ଅର୍ଥାତ୍, $(l+5)$ ଏବଂ

(iii) ତୁମେ ଆୟତନ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରିପାରିବ କି? (ଏକ ଆୟତାକାର ବାକ୍ସର ଆୟତନ ତାହାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତାର ଗୁଣଫଳ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ)।

(iv) ସରିତା ସୂଚାଇଛନ୍ତି ଯେ ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଜିନିଷ କିଣୁ, ଆମକୁ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼େ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି

$ \text{ ପ୍ରତି ଡଜନ କଦଳୀର ମୂଲ୍ୟ }=₹ p $

ଏବଂ ବିଦ୍ୟାଳୟ ପିକନିକ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ କଦଳୀ $=z$ ଡଜନ,

$ \text{ ତେବେ ଆମକୁ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିବ }=₹ p \times z $

ଧର, ପ୍ରତି ଡଜନ ମୂଲ୍ୟ $₹ 2$ କମ୍ ଥାଏ ଏବଂ ଆବଶ୍ୟକ କଦଳୀ 4 ଡଜନ କମ୍ ଥାଏ।

ତେବେ, $\quad$ ପ୍ରତି ଡଜନ କଦଳୀର ମୂଲ୍ୟ $=₹(p-2)$

ଏବଂ $\quad$ ଆବଶ୍ୟକ କଦଳୀ $=(z-4)$ ଡଜନ,

ତେଣୁ, ଆମକୁ $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ ଦେବାକୁ ପଡ଼ିବ

ଏହା ଚେଷ୍ଟା କର

ତୁମେ ଆଉ ଦୁଇଟି ସେହିପରି ପରିସ୍ଥିତି ଚିନ୍ତା କରିପାରିବ କି, ଯେଉଁଠାରେ ଆମକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନ ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିପାରେ?

[ସୂଚନା: $\bullet$ ଗତି ଏବଂ ସମୟ ଚିନ୍ତା କର;

• ଦେବାକୁ ଥିବା ସରଳ ସୁଧ, ମୂଳଧନ ଏବଂ ସରଳ ସୁଧର ହାର ଚିନ୍ତା କର; ଇତ୍ୟାଦି।]

ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ତ ଉଦାହରଣରେ, ଆମକୁ ଦୁଇ ବା ତହିଁରୁ ଅଧିକ ପରିମାଣର ଗୁଣନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିଥିଲା। ଯଦି ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ, ଆମକୁ ସେମାନଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଜାଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଆମେ ଏହି ଗୁଣଫଳ କିପରି ପାଇବୁ ତାହା ଜାଣିବା ଉଚିତ। ଆସନ୍ତୁ ଏହାକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଭାବରେ କରିବା। ଆରମ୍ଭରେ ଆମେ ଦୁଇଟି ଏକପଦୀର ଗୁଣନ ଦେଖିବା।

8.3 ଏକ ଏକପଦୀକୁ ଏକ ଏକପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଯେଉଁ ପ୍ରକାଶନରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ପଦ ଥାଏ ତାହାକୁ ଏକପଦୀ କୁହାଯାଏ।

8.3.1 ଦୁଇଟି ଏକପଦୀର ଗୁଣନ

ଆମେ ଏହା ଦ୍ୱାରା ଆରମ୍ଭ କରୁ:

ସେହିପରି, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

ଏବେ, ନିମ୍ନଲିଖିତ ଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

ଆଉ କିଛି ଉପଯୋଗୀ ଉଦାହରଣ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଗଲା।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଆମେ କିପରି ଦୁଇଟି ଏକପଦୀର ବୀଜଗାଣିତିକ ଅଂଶରେ ବିଭିନ୍ନ ଚଳର ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ସଂଗ୍ରହ କରୁ। ଏହା କରିବାବେଳେ, ଆମେ ଘାତାଙ୍କ ଏବଂ ଘାତର ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରୁ।

ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ $5 \times 4=20$

ଅର୍ଥାତ୍, ଗୁଣଫଳର ସହଗ $=$ ପ୍ରଥମ ଏକପଦୀର ସହଗ $\times$ ଦ୍ୱିତୀୟ ଏକପଦୀର ସହଗ;

ଏବଂ $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

ଅର୍ଥାତ୍, ଗୁଣଫଳର ବୀଜଗାଣିତିକ ଉପାଦାନ $=$ ପ୍ରଥମ ଏକପଦୀର ବୀଜଗାଣିତିକ ଉପାଦାନ $\times$ ଦ୍ୱିତୀୟ ଏକପଦୀର ବୀଜଗାଣିତିକ ଉପାଦାନ।

8.3.2 ତିନି ବା ତହିଁରୁ ଅଧିକ ଏକପଦୀର ଗୁଣନ

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଆମେ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଏକପଦୀକୁ ଗୁଣନ କରୁ ଏବଂ ତା’ପରେ ଫଳାଫଳ ଏକପଦୀକୁ ତୃତୀୟ ଏକପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରୁ। ଏହି ପଦ୍ଧତି ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟକ ଏକପଦୀର ଗୁଣଫଳ ପାଇଁ ବିସ୍ତାରିତ ହୋଇପାରିବ।

ଏହା ଚେଷ୍ଟା କର

$4 x \times 5 y \times 7 z$ କୁ ଖୋଜ।

ପ୍ରଥମେ $4 x \times 5 y$ କୁ ଖୋଜ ଏବଂ ଏହାକୁ $7 z$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର; କିମ୍ବା ପ୍ରଥମେ $5 y \times 7 z$ କୁ ଖୋଜ ଏବଂ ଏହାକୁ $4 x$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର। ଫଳାଫଳ ସମାନ କି? ତୁମେ କ’ଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛ?

ଗୁଣନ କରିବାର କ୍ରମ କ’ଣ ମହତ୍ତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ?

ଉଦାହରଣ 3 : ଦିଆଯାଇଥିବା ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ସହିତ ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇଁ ସାରଣୀକୁ ପୂରଣ କର।

ସମାଧାନ:

ଉଦାହରଣ 4 : ଦିଆଯାଇଥିବା ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ସହିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଆୟତାକାର ବାକ୍ସର ଆୟତନ ଖୋଜ।

ସମାଧାନ: ଆୟତନ $=$ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $\times$ ପ୍ରସ୍ଥ $\times$ ଉଚ୍ଚତା

ତେଣୁ, ପାଇଁ

(i) ଆୟତନ $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

ପାଇଁ

(ii) ଆୟତନ $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

ପାଇଁ

(iii) ଆୟତନ $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

ଅଭ୍ୟାସ 8.2

1. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଯୋଡ଼ା ଏକପଦୀର ଗୁଣଫଳ ଖୋଜ।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଯୋଡ଼ା ଏକପଦୀକୁ ସେମାନଙ୍କର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଭାବରେ ନେଇ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଖୋଜ।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. ଗୁଣଫଳର ସାରଣୀକୁ ପୂରଣ କର।

4. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ପ୍ରସ୍ଥ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ସହିତ ଆୟତାକାର ବାକ୍ସଗୁଡ଼ିକର ଆୟତନ ପ୍ରାପ୍ତ କର।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. ନିମ୍ନଲିଖିତର ଗୁଣଫଳ ପ୍ରାପ୍ତ କର

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

8.4 ଏକ ଏକପଦୀକୁ ଏକ ବହୁପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଯେଉଁ ପ୍ରକାଶନରେ ଦୁଇଟି ପଦ ଥାଏ ତାହାକୁ ଦ୍ୱିପଦୀ କୁହାଯାଏ। ଯେଉଁ ପ୍ରକାଶନରେ ତିନୋଟି ପଦ ଥାଏ ତାହା ଏକ ତ୍ରିପଦୀ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ। ସାଧାରଣତଃ, ଶୂନ୍ୟ ନୁହେଁ ଏହିପରି ସହଗ ସହିତ ଗୋଟିଏ ବା ତହିଁରୁ ଅଧିକ ପଦ ଥିବା ଏକ ପ୍ରକାଶନ (ଯେଉଁଥିରେ ଚଳଗୁଡ଼ିକର ଘାତ ଅଣ-ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ଥାଏ) କୁ ଏକ ବହୁପଦୀ କୁହାଯାଏ।

8.4.1 ଏକ ଏକପଦୀକୁ ଏକ ଦ୍ୱିପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଆସନ୍ତୁ ଏକପଦୀ $3 x$ କୁ ଦ୍ୱିପଦୀ $5 y+2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା, ଅର୍ଥାତ୍, $3 x \times(5 y+2)=$ କୁ ଖୋଜ?

ମନେରଖ ଯେ $3 x$ ଏବଂ $(5 y+2)$ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ତେଣୁ, ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

ଆମେ ସାଧାରଣତଃ ଆମର ଗଣନାରେ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

ସେହିପରି, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

ଏବଂ $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

ଏକ ଦ୍ୱିପଦୀ $\times$ ଏକପଦୀ ବିଷୟରେ କ’ଣ? ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

ଆମେ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା: $7 \times 3=3 \times 7$; କିମ୍ବା ସାଧାରଣତଃ $a \times b=b \times a$

ସେହିପରି, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ ପୂର୍ବ ପରି।

ଏହା ଚେଷ୍ଟା କର

ଗୁଣଫଳ ଖୋଜ

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

8.4.2 ଏକ ଏକପଦୀକୁ ଏକ ତ୍ରିପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ କୁ ବିଚାର କର। ପୂର୍ବ ପରି, ଆମେ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରୁ;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ତ୍ରିପଦୀର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକୁ ଏକପଦୀ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର ଏବଂ ଗୁଣଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କର।

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର, ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପଦ କ୍ରମେ ଗୁଣନ କରିବାରେ ସକ୍ଷମ ହେଉଛୁ।

ଏହା ଚେଷ୍ଟା କର

ଗୁଣଫଳ ଖୋଜ:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

ଉଦାହରଣ 5 : ପ୍ରକାଶନଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କର ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶ ଅନୁଯାୟୀ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର: (i) $x(x-3)+2$ ପାଇଁ $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ ପାଇଁ $y=-2$

ସମାଧାନ:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ ପାଇଁ } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y