അദ്ധ്യായം 08 ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളും ഐഡന്റിറ്റികളും
8.1 ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും
മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി പ്രയോഗങ്ങൾ) എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം പരിചയമുണ്ട്. പ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:
$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ എന്നിവയാണ്. } $
മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ എങ്ങനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കാമെന്നും കുറയ്ക്കാമെന്നും നമ്മൾ പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $7 x^{2}-4 x+5$ ഉം $9 x-10$ ഉം കൂട്ടാൻ, നമ്മൾ ഇങ്ങനെ ചെയ്യുന്നു:
$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $
കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൂട്ടാൻ ഉള്ള ഓരോ പ്രയോഗവും ഒരു പ്രത്യേക വരിയിൽ എഴുതുന്നു. അങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോൾ, സമാന പദങ്ങൾ ഒന്നിന് കീഴിൽ ഒന്നായി എഴുതി, കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അവ കൂട്ടുന്നു. അങ്ങനെ $5+(-10)=5-10=-5$. അതുപോലെ, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. കുറച്ച് കൂടി ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.
ഉദാഹരണം 1 : കൂട്ടുക: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.
പരിഹാരം: മൂന്ന് പ്രയോഗങ്ങളും വെവ്വേറെ വരികളിൽ എഴുതുക, സമാന പദങ്ങൾ ഒന്നിന് കീഴിൽ ഒന്നായി:
$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(xz ഉം zx ഉം ഒന്നുതന്നെ എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $
ഉദാഹരണം 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ നെ $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.
പരിഹാരം:
$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $
ഒരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് അതിന്റെ യോജക വിപരീത സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, -3 കുറയ്ക്കുന്നത് +3 കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെ, $6 y$ കുറയ്ക്കുന്നത് $-6 y$ കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്; $-4 y^{2}$ കുറയ്ക്കുന്നത് $4 y^{2}$ കൂട്ടുന്നതിന് തുല്യമാണ്, ഇത്യാദി. രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ ഓരോ പദത്തിനും താഴെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന മൂന്നാമത്തെ വരിയിലെ ചിഹ്നങ്ങൾ ഏത് പ്രവർത്തനം ചെയ്യണമെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു.
അഭ്യാസം 8.1
1. താഴെ കൊടുത്തവ കൂട്ടുക.
(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$
(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$
2. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ നെ $12 a-9 a b+5 b-3$ ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക
(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ നെ $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക
(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ നെ ഇതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക
$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$
8.2 ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനം: ആമുഖം
(i) താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ക്രമങ്ങൾ നോക്കുക.
(ii) രണ്ട് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിക്കേണ്ട സമാനമായ മറ്റ് സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ?
അമീന എഴുന്നേറ്റു നിൽക്കുന്നു. അവൾ പറയുന്നു, “ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം.” ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $l \times b$ ആണ്, ഇവിടെ $l$ എന്നത് നീളവും $b$ എന്നത് വീതിയുമാണ്. ചതുരത്തിന്റെ നീളം 5 യൂണിറ്റ് വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ, അതായത് $(l+5)$ ഉം
വീതി 3 യൂണിറ്റ് കുറച്ചാൽ, അതായത് $(b-3)$ യൂണിറ്റുകൾ, പുതിയ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $(l+5) \times(b-3)$ ആയിരിക്കും.
(iii) വ്യാപ്തിയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ? (ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പെട്ടിയുടെ വ്യാപ്തി അതിന്റെ നീളം, വീതി, ഉയരം എന്നിവയുടെ ഗുണനഫലമായി ലഭിക്കുന്നു).
(iv) വസ്തുക്കൾ വാങ്ങുമ്പോൾ നമ്മൾ ഗുണനം നടത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് സരിത ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്,
$ \text{ ഒരു ഡസൻ വാഴപ്പഴത്തിന്റെ വില }=₹ p $
സ്കൂൾ പിക്നിക്ക് ആവശ്യമായ വാഴപ്പഴങ്ങൾ $=z$ ഡസൻ ആണെങ്കിൽ,
$ \text{ അപ്പോൾ നമ്മൾ നൽകേണ്ട തുക }=₹ p \times z $
വാഴപ്പഴത്തിന്റെ ഡസൻ വില $₹ 2$ കുറവായിരുന്നുവെന്നും ആവശ്യമായ വാഴപ്പഴങ്ങൾ 4 ഡസൻ കുറവായിരുന്നുവെന്നും കരുതുക.
അപ്പോൾ, $\quad$ വാഴപ്പഴത്തിന്റെ ഡസൻ വില $=₹(p-2)$
ഒപ്പം $\quad$ ആവശ്യമായ വാഴപ്പഴങ്ങൾ $=(z-4)$ ഡസൻ,
അതിനാൽ, നമ്മൾ നൽകേണ്ട തുക $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ ആയിരിക്കും.
ശ്രമിക്കുക
രണ്ട് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ടാകുന്ന രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാമോ?
[സൂചന: $\bullet$ വേഗതയും സമയവും ചിന്തിക്കുക;
- നൽകേണ്ട പലിശ, മുതൽ, സാധാരണ പലിശ നിരക്ക് എന്നിവ ചിന്തിക്കുക; മറ്റുള്ളവ.]
മുകളിലെ എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളിലും, രണ്ടോ അതിലധികമോ അളവുകളുടെ ഗുണനം നമ്മൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. അളവുകൾ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളാൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ ഗുണനഫലം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം ഈ ഗുണനഫലം എങ്ങനെ ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് അറിയേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഇത് ക്രമപ്രകാരം നോക്കാം. തുടക്കത്തിൽ, രണ്ട് ഏകപദങ്ങളുടെ ഗുണനം നോക്കാം.
8.3 ഒരു ഏകപദത്തെ ഒരു ഏകപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
ഒരു പദം മാത്രം അടങ്ങിയ പദപ്രയോഗത്തെ ഏകപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
8.3.1 രണ്ട് ഏകപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുക
നമുക്ക് ഇത് ആരംഭിക്കാം:
അതുപോലെ, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$
ഇപ്പോൾ, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഗുണനഫലങ്ങൾ നോക്കുക.
(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $
(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $
(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$
$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $
കുറച്ച് കൂടി ഉപയോഗപ്രദമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $
(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$
$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $
രണ്ട് ഏകപദങ്ങളുടെ ബീജഗണിത ഭാഗങ്ങളിൽ വിവിധ ചരങ്ങളുടെ ഘാതങ്ങൾ എങ്ങനെ ശേഖരിക്കുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. അങ്ങനെ ചെയ്യുമ്പോൾ, നമ്മൾ ഘാതാങ്കങ്ങളുടെയും ഘാതങ്ങളുടെയും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
$5 \times 4=20$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക
അതായത്, ഗുണനഫലത്തിന്റെ ഗുണകം $=$ ആദ്യ ഏകപദത്തിന്റെ ഗുണകം $\times$ രണ്ടാമത്തെ ഏകപദത്തിന്റെ ഗുണകം;
ഒപ്പം $\quad x \times x^{2}=x^{3}$
അതായത്, ഗുണനഫലത്തിന്റെ ബീജഗണിത ഘടകം $=$ ആദ്യ ഏകപദത്തിന്റെ ബീജഗണിത ഘടകം $\times$ രണ്ടാമത്തെ ഏകപദത്തിന്റെ ബീജഗണിത ഘടകം.
8.3.2 മൂന്നോ അതിലധികമോ ഏകപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുക
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.
$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $
ആദ്യം രണ്ട് ഏകപദങ്ങളെ ഗുണിച്ച്, തുടർന്ന് ലഭിച്ച ഏകപദത്തെ മൂന്നാമത്തെ ഏകപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഏത് എണ്ണം ഏകപദങ്ങളുടെയും ഗുണനഫലത്തിന് ഈ രീതി വ്യാപിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.
ശ്രമിക്കുക
$4 x \times 5 y \times 7 z$ കണ്ടെത്തുക
ആദ്യം $4 x \times 5 y$ കണ്ടെത്തി അതിനെ $7 z$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക; അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം $5 y \times 7 z$ കണ്ടെത്തി അതിനെ $4 x$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണോ? നിങ്ങൾ എന്താണ് നിരീക്ഷിക്കുന്നത്?
ഗുണനം നടത്തുന്ന ക്രമം പ്രശ്നമാണോ?
ഉദാഹരണം 3 : നൽകിയ നീളവും വീതിയും ഉള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായി പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കുക.
പരിഹാരം:
| നീളം | വീതി | വിസ്തീർണ്ണം |
|---|---|---|
| $3 x$ | $5 y$ | $3 x \times 5 y=15 x y$ |
| $9 y$ | $4 y^{2}$ | $\ldots \ldots \ldots \ldots$. |
| $4 a b$ | $5 b c$ | $\ldots \ldots \ldots \ldots .$. |
| $2 l^{2} m$ | $3 l m^{2}$ | $\ldots \ldots \ldots \ldots .$. |
ഉദാഹരണം 4 : നൽകിയ നീളം, വീതി, ഉയരം ഉള്ള ഓരോ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പെട്ടിയുടെയും വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തുക.
| നീളം | വീതി | ഉയരം | |
|---|---|---|---|
| (i) | $2 a x$ | $3 b y$ | $5 c z$ |
| (ii) | $m^{2} n$ | $n^{2} p$ | $p^{2} m$ |
| (iii) | $2 q$ | $4 q^{2}$ | $8 q^{3}$ |
പരിഹാരം: വ്യാപ്തി $=$ നീളം $\times$ വീതി $\times$ ഉയരം
അതിനാൽ,
(i) വ്യാപ്തി $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$
$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $
(ii) വ്യാപ്തി $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$
$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $
(iii) വ്യാപ്തി $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$
$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $
അഭ്യാസം 8.2
1. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജോഡി ഏകപദങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുക.
(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$
2. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജോഡി ഏകപദങ്ങളെ അവയുടെ നീളവും വീതിയുമായി ഉള്ള ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$
3. ഗുണനഫലങ്ങളുടെ പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കുക.
| $\frac{\text{ First monomial } \to}{\text{ Second monomial } \downarrow}$ | $2 x$ | $-5 y$ | $3 x^{2}$ | $-4 x y$ | $7 x^{2} y$ | $-9 x^{2} y^{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $2 x$ | $4 x^{2}$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $-5 y$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $-15 x^{2} y$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $3 x^{2}$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $-4 x y$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $7 x^{2} y$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $-9 x^{2} y^{2}$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
4. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന നീളം, വീതി, ഉയരം ഉള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പെട്ടികളുടെ വ്യാപ്തി നേടുക.
(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$
5. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയുടെ ഗുണനഫലം നേടുക.
(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$
8.4 ഒരു ഏകപദത്തെ ഒരു ബഹുപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
രണ്ട് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ പദപ്രയോഗത്തെ ദ്വിപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പദപ്രയോഗം ത്രിപദം എന്നാണ്, ഇതുപോലെ തുടരുന്നു. പൊതുവേ, ഒന്നോ അതിലധികമോ പദങ്ങൾ അടങ്ങിയ (ചരങ്ങൾക്ക് നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഘാതങ്ങളായി ഉള്ള) പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തെ ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
8.4.1 ഒരു ഏകപദത്തെ ഒരു ദ്വിപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
$3 x$ എന്ന ഏകപദത്തെ $5 y+2$ എന്ന ദ്വിപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, അതായത്, $3 x \times(5 y+2)=$ കണ്ടെത്തുക?
$3 x$ ഉം $(5 y+2)$ ഉം സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ, വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്,
$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$
നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നമ്മൾ സാധാരണയായി വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:
$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$
അതുപോലെ, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$
ഒപ്പം $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.
ഒരു ദ്വിപദം $\times$ ഏകപദം എങ്ങനെ? ഉദാഹരണത്തിന്, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?
നമുക്ക് കമ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം ഉപയോഗിക്കാം: $7 \times 3=3 \times 7$; അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവേ $a \times b=b \times a$
അതുപോലെ, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ മുമ്പത്തെപ്പോലെ.
ശ്രമിക്കുക
ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുക
(i) $2 x(3 x+5 x y)$
(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$
8.4.2 ഒരു ഏകപദത്തെ ഒരു ത്രിപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ പരിഗണിക്കുക. മുമ്പത്തെ കേസിലെപ്പോലെ, നമ്മൾ വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു;
$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $
ത്രിപദത്തിന്റെ ഓരോ പദത്തെയും ഏകപദം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഗുണനഫലങ്ങൾ കൂട്ടുക.
വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, പദം തോറും ഗുണനം നടത്താൻ നമുക്ക് കഴിയുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ശ്രമിക്കുക
ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുക:
$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$
ഉദാഹരണം 5 : പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലഘൂകരിച്ച് നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അവയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: (i) $x(x-3)+2$, $x=1$ ആകുമ്പോൾ, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$, $y=-2$ ആകുമ്പോൾ
പരിഹാരം:
(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$
$ \text{ എന്നതിന്, } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $
(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$
$ =6 y^{2}-24 y-51 $
$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ ആകുമ്പോൾ
$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $
ഉദാഹരണം 6 : കൂട്ടുക
(i) $5 m(3-m)$ ഉം $6 m^{2}-13 m$ ഉം (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ ഉം $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$ ഉം
പരിഹാരം:
(i) ആദ്യ പദപ്രയോഗം $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$
ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം ഇതിലേക്ക് കൂട്ടുമ്പോൾ, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$
(ii) ആദ്യ പദപ്രയോഗം $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$
$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $
രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$
$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $
രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളും കൂട്ടുമ്പോൾ,
$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $
ഉദാഹരണം 7 : $3 p q(p-q)$ നെ $2 p q(p+q)$ ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.
പരിഹാരം: നമുക്ക് $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ ഉണ്ട് ഒപ്പം
കുറയ്ക്കുമ്പോൾ,
$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $
$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $
അഭ്യാസം 8.3
1. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജോഡികളിൽ ഓരോന്നിലെയും പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനം നടത്തുക. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$
2. പട്ടിക പൂർത്തിയാക്കുക.
| ആദ്യ പദപ്രയോഗം | രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം | ഗുണനഫലം | |
|---|---|---|---|
| (i) | $a$ | $b+c+d$ | $\ldots$ |
| (ii) | $x+y-5$ | $5 x y$ | $\ldots$ |
| (iii) | $p$ | $6 p^{2}-7 p+5$ | $\ldots$ |
| (iv) | $4 p^{2} q^{2}$ | $p^{2}-q^{2}$ | $\ldots$ |
| (v) | $a+b+c$ | $a b c$ | $\ldots$ |
3. ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുക.
(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$
(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$
(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$
(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$
4. (a) $3 x(4 x-5)+3$ ലഘൂകരിച്ച് (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ ആകുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ ലഘൂകരിച്ച് (i) $a=0$, (ii) $a=1$
(iii) $a=-1$ ആകുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
5. (a) കൂട്ടുക: $p(p-q), q(q-r)$ ഉം $r(r-p)$ ഉം
(b) കൂട്ടുക: $2 x(z-x-y)$ ഉം $2 y(z-y-x)$ ഉം
(c) കുറയ്ക്കുക: $3 l(l-4 m+5 n)$ നെ $4 l(10 n-3 m+2 l)$ ൽ നിന്ന്
(d) കുറയ്ക്കുക: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ നെ $4 c(-a+b+c)$ ൽ നിന്ന്
BETA
