८.१ बीजगणितीय राशींची बेरीज आणि वजाबाकी

मागील इयत्तांमध्ये, आपण बीजगणितीय राशी (किंवा फक्त राशी) म्हणजे काय याची ओळख करून घेतली आहे. राशींची उदाहरणे आहेत:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ इ. } $

मागील इयत्तांमध्ये, आपण बीजगणितीय राशी कशा जोडायच्या आणि वजा करायच्या हे देखील शिकलो आहोत. उदाहरणार्थ, $7 x^{2}-4 x+5$ आणि $9 x-10$ जोडण्यासाठी, आपण असे करतो

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

आपण बेरीज कशी करतो ते पहा. आपण जोडायची प्रत्येक राशी वेगळ्या ओळीत लिहितो. असे करताना आपण सजातीय पदे एकाखाली एक लिहितो आणि दाखवल्याप्रमाणे त्यांची बेरीज करतो. अशाप्रकारे $5+(-10)=5-10=-5$. त्याचप्रमाणे, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$. आणखी काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण १ : जोडा: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

उकल: तीन राशी वेगवेगळ्या ओळीत लिहिताना, सजातीय पदे एकाखाली एक ठेवून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(लक्षात ठेवा xz हे zx सारखेच आहे)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

उदाहरण २ : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ मधून $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ वजा करा.

उकल:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

लक्षात ठेवा, संख्येची वजाबाकी ही तिच्या संख्यात्मक विरुद्ध संख्येची बेरीज असते. अशाप्रकारे -३ ची वजाबाकी करणे म्हणजे +३ ची बेरीज करणे. त्याचप्रमाणे, $6 y$ ची वजाबाकी करणे म्हणजे $-6 y$ ची बेरीज करणे; $-4 y^{2}$ ची वजाबाकी करणे म्हणजे $4 y^{2}$ ची बेरीज करणे इत्यादी. दुसऱ्या ओळीतील प्रत्येक पदाखाली लिहिलेली तिसऱ्या ओळीतील चिन्हे कोणती क्रिया करायची आहे हे ओळखण्यास मदत करतात.

प्रश्नसंच ८.१

१. पुढील राशी जोडा.

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

२. (a) $4 a-7 a b+3 b+12$ मधून $12 a-9 a b+5 b-3$ वजा करा

(b) $3 x y+5 y z-7 z x$ मधून $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ वजा करा

(c) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ मधून वजा करा

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

८.२ बीजगणितीय राशींचा गुणाकार: परिचय

(i) खाली दिलेल्या बिंदूंच्या आकृत्या पहा.

(ii) आता तुम्ही अशाच इतर परिस्थितींचा विचार करू शकता का ज्यामध्ये दोन बीजगणितीय राशींचा गुणाकार करावा लागतो?

अमीना उठते. ती म्हणते, “आपण आयताच्या क्षेत्रफळाचा विचार करू शकतो.” आयताचे क्षेत्रफळ $l \times b$ आहे, जिथे $l$ लांबी आहे आणि $b$ रुंदी आहे. जर आयताची लांबी ५ एककांनी वाढवली, म्हणजेच $(l+5)$ आणि

(iii) तुम्ही घनफळाचा विचार करू शकता का? (इष्टिकाचितीचे घनफळ हे त्याची लांबी, रुंदी आणि उंची यांच्या गुणाकाराने दिले जाते).

(iv) सरिता सांगते की जेव्हा आपण वस्तू विकत घेतो, तेव्हा आपल्याला गुणाकार करावा लागतो. उदाहरणार्थ, जर

$ \text{ प्रति डझन केळ्यांची किंमत }=₹ p $

आणि शाळेच्या सहलीसाठी लागणारी केळी $=z$ डझन,

$ \text{ तर आपल्याला द्यावी लागणारी रक्कम }=₹ p \times z $

समजा, प्रति डझन किंमत $₹ 2$ ने कमी होती आणि लागणारी केळी ४ डझनांनी कमी होती.

तर, $\quad$ प्रति डझन केळ्यांची किंमत $=₹(p-2)$

आणि $\quad$ लागणारी केळी $=(z-4)$ डझन,

म्हणून, आपल्याला $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$ भरावे लागेल.

प्रयत्न करा

तुम्ही अशा आणखी दोन परिस्थितींचा विचार करू शकता का, जिथे आपल्याला बीजगणितीय राशींचा गुणाकार करावा लागेल?

[सूचना: $\bullet$ गती आणि वेळेचा विचार करा;

• द्यावयाचे सरळव्याज, मुद्दल आणि सरळव्याजाचा दर यांचा विचार करा; इत्यादी.]

वरील सर्व उदाहरणांमध्ये, आपल्याला दोन किंवा अधिक राशींचा गुणाकार करावा लागला. जर राशी बीजगणितीय राशींनी दिल्या असतील, तर आपल्याला त्यांचा गुणाकार काढणे आवश्यक आहे. याचा अर्थ आपल्याला हा गुणाकार कसा मिळवायचा हे माहित असले पाहिजे. आपण हे पद्धतशीरपणे करूया. सुरुवातीला आपण दोन एकपदींच्या गुणाकाराकडे पाहू.

८.३ एकपदीचा एकपदीने गुणाकार

फक्त एक पद असलेल्या राशीला एकपदी म्हणतात.

८.३.१ दोन एकपदींचा गुणाकार

आपण सुरुवात करूया

त्याचप्रमाणे, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

आता, पुढील गुणाकार पहा.

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

आणखी काही उपयुक्त उदाहरणे पुढे आहेत.

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

बीजगणितीय भागातील दोन एकपदींमधील भिन्न चलांच्या घातांक कसे एकत्रित करतो ते पहा. असे करताना, आपण घातांक आणि घातांचे नियम वापरतो.

लक्षात ठेवा $5 \times 4=20$

म्हणजे, गुणाकाराचा सहगुणक $=$ पहिल्या एकपदीचा सहगुणक $\times$ दुसऱ्या एकपदीचा सहगुणक;

आणि $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

म्हणजे, गुणाकाराचा बीजगणितीय गुणक $=$ पहिल्या एकपदीचा बीजगणितीय गुणक $\times$ दुसऱ्या एकपदीचा बीजगणितीय गुणक.

८.३.२ तीन किंवा अधिक एकपदींचा गुणाकार

पुढील उदाहरणे पहा.

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

हे स्पष्ट आहे की आपण प्रथम पहिल्या दोन एकपदींचा गुणाकार करतो आणि नंतर मिळालेल्या एकपदीचा तिसऱ्या एकपदीने गुणाकार करतो. ही पद्धत कोणत्याही संख्येच्या एकपदींच्या गुणाकारापर्यंत वाढवता येते.

प्रयत्न करा

$4 x \times 5 y \times 7 z$ शोधा

प्रथम $4 x \times 5 y$ शोधा आणि त्याचा $7 z$ ने गुणाकार करा; किंवा प्रथम $5 y \times 7 z$ शोधा आणि त्याचा $4 x$ ने गुणाकार करा. निकाल सारखाच आहे का? तुम्ही काय पाहता?

गुणाकार कोणत्या क्रमाने करता येईल त्याने काही फरक पडतो का?

उदाहरण ३ : दिलेल्या लांबी आणि रुंदीसाठी आयताचे क्षेत्रफळ पूर्ण करणारी सारणी भरा.

उकल:

उदाहरण ४ : दिलेली लांबी, रुंदी आणि उंची असलेल्या प्रत्येक इष्टिकाचितीचे घनफळ शोधा.

उकल: घनफळ $=$ लांबी $\times$ रुंदी $\times$ उंची

म्हणून,

(i) साठी घनफळ $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) साठी घनफळ $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) साठी घनफळ $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

प्रश्नसंच ८.२

१. पुढील एकपदी जोड्यांचा गुणाकार शोधा.

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

२. पुढील एकपदी जोड्या अनुक्रमे लांबी आणि रुंदी म्हणून घेऊन मिळणाऱ्या आयतांची क्षेत्रफळे शोधा.

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

३. गुणाकारांची सारणी पूर्ण करा.

४. पुढील लांबी, रुंदी आणि उंची असलेल्या इष्टिकाचितीची घनफळे शोधा.

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

५. पुढील राशींचा गुणाकार शोधा.

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

८.४ एकपदीचा बहुपदीने गुणाकार

दोन पदे असलेल्या राशीला द्विपदी म्हणतात. तीन पदे असलेल्या राशीला त्रिपदी म्हणतात आणि असेच. सर्वसाधारणपणे, एक किंवा अधिक पदे असलेल्या (शून्येतर सहगुणक असलेल्या आणि चलांचे घातांक ऋणेतर पूर्णांक असलेल्या) राशीला बहुपदी म्हणतात.

८.४.१ एकपदीचा द्विपदीने गुणाकार

आपण एकपदी $3 x$ चा द्विपदी $5 y+2$ ने गुणाकार करू, म्हणजेच $3 x \times(5 y+2)=$ शोधू?

आठवा की $3 x$ आणि $(5 y+2)$ संख्या दर्शवतात. म्हणून, वितरण नियम वापरून,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

आपण सामान्यतः आपल्या गणितांमध्ये वितरण नियम वापरतो. उदाहरणार्थ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

त्याचप्रमाणे, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

आणि $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

द्विपदी $\times$ एकपदीचा गुणाकार कसा? उदाहरणार्थ, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

आपण पुनर्रचना नियम वापरू शकतो: $7 \times 3=3 \times 7$; किंवा सर्वसाधारणपणे $a \times b=b \times a$

त्याचप्रमाणे, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ पूर्वीप्रमाणे.

प्रयत्न करा

गुणाकार शोधा

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

८.४.२ एकपदीचा त्रिपदीने गुणाकार

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ विचारात घ्या. पूर्वीप्रमाणे, आपण वितरण नियम वापरतो;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

त्रिपदीतील प्रत्येक पदाचा एकपदीने गुणाकार करा आणि गुणाकारांची बेरीज करा.

लक्षात ठेवा, वितरण नियम वापरून, आपण पद-by-पद गुणाकार करण्यास सक्षम आहोत.

प्रयत्न करा

गुणाकार शोधा:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

उदाहरण ५ : राशी सोप्या करा आणि दिलेल्या किमतीसाठी त्यांची किंमत काढा: (i) $x(x-3)+2$ साठी $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ साठी $y=-2$

उकल:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ साठी } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

साठी $y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

उदाहरण ६ : जोडा

(i) $5 m(3-m)$ आणि $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ आणि $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

उकल:

(i) पहिली राशी $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

आता त्यात दुसरी राशी जोडल्यास, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) पहिली राशी $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

दुसरी राशी $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

दोन्ही राशी जोडल्यास,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

उदाहरण ७ : $3 p q(p-q)$ मधून $2 p q(p+q)$ वजा करा.

उकल: आपल्याकडे $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ आणि

वजाबाकी करताना,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

प्रश्नसंच ८.३

१. पुढील प्रत्येक जोडीतील राशींचा गुणाकार करा. (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

२. सारणी पूर्ण करा.

३. गुणाकार शोधा.

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

४. (a) $3 x(4 x-5)+3$ सोपे करा आणि (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ साठी त्याची किंमत काढा.

(b) $a(a^{2}+a+1)+5$ सोपे करा आणि (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ साठी त्याची किंमत काढा.

५. (a) जोडा: $p(p-q), q(q-r)$ आणि $r(r-p)$

(b) जोडा: $2 x(z-x-y)$ आणि $2 y(z-y-x)$

(c) वजा करा: $3 l(l-4 m+5 n)$ मधून $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(d) वजा करा: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ मधून $4 c(-a+b+c)$

८.५ बहुपदीचा बहुपदीने गुणाकार

८.५.१ द्विपदीचा द्विपदीने गुणाकार

आपण एक द्विपदी $(2 a+3 b)$ चा दुसऱ्या द्विपदीने, म्हणजे $(3 a+4 b)$ ने गुणाकार करू. आपण हे पायरी-दर-पायरी, पूर्वीप्रमाणे, गुणाकाराचा वितरण नियम वापरून करू,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{लक्षात ठेवा, एका द्विपदीतील प्रत्येक} \\ \text{पदाचा दुसऱ्या द्विपदीतील प्रत्येक} \\ \text{पदाशी गुणाकार होतो.} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{कारण } ba=ab) \end{aligned} $

जेव्हा आपण पद-by-पद गुणाकार करतो, तेव्हा आपण $2 \times 2=4$ पदे असण्याची अपेक्षा करतो. परंतु यातील दोन पदे सजातीय आहेत, जी एकत्र केली जातात आणि म्हणून आपल्याला ३ पदे मिळतात. बहुपदींचा बहुपदींशी गुणाकार करताना, आपण नेहमी सजातीय पदे, असल्यास, शोधली पाहिजेत आणि ती एकत्र केली पाहिजेत.

उदाहरण ८ : गुणाकार करा

(i) $(x-4)$ आणि $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ आणि $(3 x+5 y)$

उकल:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (सजातीय पदे जोडून) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ सजातीय पदे जोडून }) \end{aligned} $

उदाहरण ९ : गुणाकार करा

(i) $(a+7)$ आणि $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ आणि $(5 a-3 b)$

उकल:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

लक्षात ठेवा, या गुणाकारात कोणतीही सजातीय पदे समाविष्ट नाहीत.

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

८.५.२ द्विपदीचा त्रिपदीने गुणाकार

या गुणाकारात, आपल्याला त्रिपदीतील तीनही पदांचा द्विपदीतील दोन्ही पदांशी गुणाकार करावा लागेल. आपल्याला एकूण $3 \times 2=6$ पदे मिळतील, जी ५ किंवा त्यापेक्षा कमी होऊ शकतात, जर पद-by-पद गुणाकारामुळे सजातीय पदे मिळाली तर. विचारात घ्या

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{द्विपदी }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{त्रिपदी }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (अंतिम निकालात फक्त } 4 \\ & \text{ पदेच का आहेत?) } \end{aligned} $

उदाहरण १० : $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$ सोपे करा.

उकल: आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(लक्षात ठेवा, $-3 a b$ आणि $2 a b$ ही सजातीय पदे आहेत)

आणि $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

म्हणून,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

प्रश्नसंच ८.४

१. द्विपदींचा गुणाकार करा.

(i) $(2 x+5)$ आणि $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ आणि $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ आणि $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ आणि $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ आणि $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ आणि $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

२. गुणाकार शोधा.

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

३. सोपे करा.

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$