৮.১ বীজগাণিতিক রাশির যোগ ও বিয়োগ

আগের ক্লাসে, আমরা ইতিমধ্যেই বীজগাণিতিক রাশি (বা সহজভাবে রাশি) কী তা নিয়ে পরিচিত হয়েছি। রাশির উদাহরণ হল:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ইত্যাদি } $

আগের ক্লাসে, আমরা বীজগাণিতিক রাশি কীভাবে যোগ ও বিয়োগ করতে হয় তাও শিখেছি। উদাহরণস্বরূপ, $7 x^{2}-4 x+5$ এবং $9 x-10$ যোগ করতে, আমরা করি

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

লক্ষ্য করুন আমরা কীভাবে যোগ করি। আমরা যোগ করার জন্য প্রতিটি রাশি একটি আলাদা সারিতে লিখি। এমনটি করার সময় আমরা একই ধরনের পদগুলো একের নিচে এক লিখি এবং দেখানো মতো সেগুলো যোগ করি। সুতরাং $5+(-10)=5-10=-5$। একইভাবে, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ নেওয়া যাক।

উদাহরণ 1 : যোগ করুন: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$।

সমাধান: তিনটি রাশি আলাদা আলাদা সারিতে লিখে, একই ধরনের পদগুলো একের নিচে এক রেখে, আমরা পাই

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(লক্ষ্য করুন xz এবং zx একই)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

উদাহরণ 2 : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ থেকে $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ বিয়োগ করুন।

সমাধান:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

লক্ষ্য করুন, একটি সংখ্যার বিয়োগ হল তার যোগাত্মক বিপরীতের যোগের সমান। সুতরাং -3 বিয়োগ করা হল +3 যোগ করার সমান। একইভাবে, $6 y$ বিয়োগ করা হল $-6 y$ যোগ করার সমান; $-4 y^{2}$ বিয়োগ করা হল $4 y^{2}$ যোগ করার সমান ইত্যাদি। দ্বিতীয় সারির প্রতিটি পদের নিচে লেখা তৃতীয় সারির চিহ্নগুলো আমাদের বুঝতে সাহায্য করে কোন অপারেশনটি করতে হবে।

অনুশীলনী ৮.১

1. নিম্নলিখিতগুলো যোগ করুন।

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

2. (ক) $4 a-7 a b+3 b+12$ থেকে $12 a-9 a b+5 b-3$ বিয়োগ করুন

(খ) $3 x y+5 y z-7 z x$ থেকে $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ বিয়োগ করুন

(গ) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ থেকে বিয়োগ করুন

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$

৮.২ বীজগাণিতিক রাশির গুণ: ভূমিকা

(i) বিন্দুর নিম্নলিখিত নকশাগুলো দেখুন।

(ii) এখন আপনি কি অনুরূপ অন্য পরিস্থিতির কথা ভাবতে পারেন যেখানে দুটি বীজগাণিতিক রাশিকে গুণ করতে হয়?

আমিনা উঠে দাঁড়াল। সে বলল, “আমরা একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কথা ভাবতে পারি।” আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল $l \times b$, যেখানে $l$ হল দৈর্ঘ্য, এবং $b$ হল প্রস্থ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 একক বাড়ানো হয়, অর্থাৎ $(l+5)$ এবং

(iii) আপনি কি আয়তনের কথা ভাবতে পারেন? (একটি আয়তাকার বাক্সের আয়তন তার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতার গুণফল দ্বারা দেওয়া হয়)।

(iv) সরিতা ইঙ্গিত করে যে যখন আমরা জিনিস কিনি, তখন আমাদের গুণ করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি

$ \text{ প্রতি ডজন কলার মূল্য }=₹ p $

এবং স্কুল পিকনিকের জন্য প্রয়োজনীয় কলা $=z$ ডজন,

$ \text{ তাহলে আমাদের দিতে হবে }=₹ p \times z $

ধরুন, প্রতি ডজনের মূল্য $₹ 2$ কম ছিল এবং প্রয়োজনীয় কলা 4 ডজন কম ছিল।

তাহলে, $\quad$ প্রতি ডজন কলার মূল্য $=₹(p-2)$

এবং $\quad$ প্রয়োজনীয় কলা $=(z-4)$ ডজন,

সুতরাং, আমাদের দিতে হবে $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

চেষ্টা করুন

আপনি কি আরও দুটি এমন পরিস্থিতির কথা ভাবতে পারেন, যেখানে আমাদের বীজগাণিতিক রাশি গুণ করার প্রয়োজন হতে পারে?

[ইঙ্গিত: $\bullet$ গতি এবং সময়ের কথা ভাবুন;

• প্রদেয় সুদ, আসল এবং সরল সুদের হারের কথা ভাবুন; ইত্যাদি।]

উপরের সব উদাহরণে, আমাদের দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল বের করতে হয়েছিল। যদি রাশিগুলো বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা দেওয়া থাকে, আমাদের তাদের গুণফল বের করতে হবে। এর অর্থ হল আমাদের জানা উচিত কীভাবে এই গুণফল পাওয়া যায়। আসুন এটি পদ্ধতিগতভাবে করি। শুরুতে আমরা দুটি একপদীর গুণ দেখব।

৮.৩ একটি একপদীকে একটি একপদী দ্বারা গুণ করা

যে রাশিতে শুধুমাত্র একটি পদ থাকে তাকে একপদী বলে।

৮.৩.১ দুটি একপদী গুণ করা

আমরা শুরু করি

একইভাবে, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

এখন, নিম্নলিখিত গুণফলগুলো লক্ষ্য করুন।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

আরও কিছু দরকারী উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

লক্ষ্য করুন কীভাবে আমরা দুটি একপদীর বীজগাণিতিক অংশে বিভিন্ন চলকের ঘাত সংগ্রহ করি। এমনটি করার সময়, আমরা সূচক ও ঘাতের নিয়ম ব্যবহার করি।

লক্ষ্য করুন যে $5 \times 4=20$

অর্থাৎ, গুণফলের সহগ $=$ প্রথম একপদীর সহগ $\times$ দ্বিতীয় একপদীর সহগ;

এবং $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

অর্থাৎ, গুণফলের বীজগাণিতিক উৎপাদক $=$ প্রথম একপদীর বীজগাণিতিক উৎপাদক $\times$ দ্বিতীয় একপদীর বীজগাণিতিক উৎপাদক।

৮.৩.২ তিন বা ততোধিক একপদী গুণ করা

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলো লক্ষ্য করুন।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

এটা স্পষ্ট যে আমরা প্রথমে প্রথম দুটি একপদী গুণ করি এবং তারপর প্রাপ্ত একপদীকে তৃতীয় একপদী দ্বারা গুণ করি। এই পদ্ধতি যেকোনো সংখ্যক একপদীর গুণফলের জন্য বর্ধিত করা যেতে পারে।

চেষ্টা করুন

$4 x \times 5 y \times 7 z$ নির্ণয় করুন

প্রথমে $4 x \times 5 y$ নির্ণয় করুন এবং এটিকে $7 z$ দ্বারা গুণ করুন; অথবা প্রথমে $5 y \times 7 z$ নির্ণয় করুন এবং এটিকে $4 x$ দ্বারা গুণ করুন। ফলাফল কি একই? আপনি কী লক্ষ্য করেন?

গুণ আপনি কোন ক্রমে করছেন সেটা কি গুরুত্বপূর্ণ?

উদাহরণ 3 : প্রদত্ত দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য সারণিটি সম্পূর্ণ করুন।

সমাধান:

উদাহরণ 4 : প্রদত্ত দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বিশিষ্ট প্রতিটি আয়তাকার বাক্সের আয়তন নির্ণয় করুন।

সমাধান: আয়তন $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা

সুতরাং, এর জন্য

(i) আয়তন $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

এর জন্য

(ii) আয়তন $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

এর জন্য

(iii) আয়তন $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

অনুশীলনী ৮.২

1. নিম্নলিখিত একপদী জোড়াগুলোর গুণফল নির্ণয় করুন।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

2. নিম্নলিখিত একপদী জোড়াগুলোকে যথাক্রমে তাদের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসেবে ধরে আয়তক্ষেত্রগুলোর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

3. গুণফলের সারণিটি সম্পূর্ণ করুন।

4. নিম্নলিখিত দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বিশিষ্ট আয়তাকার বাক্সগুলোর আয়তন নির্ণয় করুন।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

5. নিম্নলিখিতগুলোর গুণফল নির্ণয় করুন

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

৮.৪ একটি একপদীকে একটি বহুপদী দ্বারা গুণ করা

যে রাশিতে দুটি পদ থাকে তাকে দ্বিপদী বলে। তিনটি পদ বিশিষ্ট রাশিকে ত্রিপদী বলে ইত্যাদি। সাধারণভাবে, শূন্য নয় এমন সহগ (যেখানে চলকের সূচক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা) সহ এক বা একাধিক পদ বিশিষ্ট রাশিকে বহুপদী বলে।

৮.৪.১ একটি একপদীকে একটি দ্বিপদী দ্বারা গুণ করা

আসুন একপদী $3 x$ কে দ্বিপদী $5 y+2$ দ্বারা গুণ করি, অর্থাৎ $3 x \times(5 y+2)=$ নির্ণয় করি?

মনে রাখবেন $3 x$ এবং $(5 y+2)$ সংখ্যা নির্দেশ করে। সুতরাং, বণ্টন বিধি ব্যবহার করে,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

আমরা সাধারণত আমাদের গণনায় বণ্টন বিধি ব্যবহার করি। উদাহরণস্বরূপ:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

একইভাবে, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

এবং $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

একটি দ্বিপদী $\times$ একপদী সম্পর্কে কী? উদাহরণস্বরূপ, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

আমরা পরিবর্তন বিধি ব্যবহার করতে পারি: $7 \times 3=3 \times 7$; অথবা সাধারণভাবে $a \times b=b \times a$

একইভাবে, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ আগের মতো।

চেষ্টা করুন

গুণফল নির্ণয় করুন

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

৮.৪.২ একটি একপদীকে একটি ত্রিপদী দ্বারা গুণ করা

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ বিবেচনা করুন। আগের ক্ষেত্রের মতো, আমরা বণ্টন বিধি ব্যবহার করি;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ত্রিপদীর প্রতিটি পদকে একপদী দ্বারা গুণ করুন এবং গুণফল যোগ করুন।

লক্ষ্য করুন, বণ্টন বিধি ব্যবহার করে, আমরা পদে পদে গুণ সম্পাদন করতে সক্ষম হচ্ছি।

চেষ্টা করুন

গুণফল নির্ণয় করুন:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

উদাহরণ 5 : রাশিগুলো সরলীকরণ করুন এবং নির্দেশ অনুযায়ী তাদের মান নির্ণয় করুন: (i) $x(x-3)+2$ এর জন্য $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ এর জন্য $y=-2$

সমাধান:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ এর জন্য } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ এর জন্য

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

উদাহরণ 6 : যোগ করুন

(i) $5 m(3-m)$ এবং $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ এবং $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

সমাধান:

(i) প্রথম রাশি $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

এখন দ্বিতীয় রাশিটি এতে যোগ করলে, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) প্রথম রাশি $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

দ্বিতীয় রাশি $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

দুটি রাশি যোগ করলে,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

উদাহরণ 7 : $3 p q(p-q)$ থেকে $2 p q(p+q)$ বিয়োগ করুন।

সমাধান: আমাদের আছে $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ এবং

বিয়োগ করলে,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

অনুশীলনী ৮.৩

1. নিম্নলিখিত প্রতিটি জোড়ার রাশির গুণ সম্পাদন করুন। (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

2. সারণিটি সম্পূর্ণ করুন।

3. গুণফল নির্ণয় করুন।

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

4. (ক) $3 x(4 x-5)+3$ সরলীকরণ করুন এবং (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ এর জন্য এর মান নির্ণয় করুন।

(খ) $a(a^{2}+a+1)+5$ সরলীকরণ করুন এবং (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ এর জন্য এর মান নির্ণয় করুন।

5. (ক) যোগ করুন: $p(p-q), q(q-r)$ এবং $r(r-p)$

(খ) যোগ করুন: $2 x(z-x-y)$ এবং $2 y(z-y-x)$

(গ) বিয়োগ করুন: $3 l(l-4 m+5 n)$ থেকে $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(ঘ) বিয়োগ করুন: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ থেকে $4 c(-a+b+c)$

৮.৫ একটি বহুপদীকে একটি বহুপদী দ্বারা গুণ করা

৮.৫.১ একটি দ্বিপদীকে একটি দ্বিপদী দ্বারা গুণ করা

আসুন একটি দ্বিপদী $(2 a+3 b)$ কে অন্য একটি দ্বিপদী, ধরি $(3 a+4 b)$ দ্বারা গুণ করি। আমরা এটি ধাপে ধাপে করি, যেমন আমরা আগের ক্ষেত্রে করেছি, গুণের বণ্টন বিধি অনুসরণ করে,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{লক্ষ্য করুন, একটি দ্বিপদীর} \\ \text{প্রতিটি পদ অন্য দ্বিপদীর} \\ \text{প্রতিটি পদকে গুণ করে।} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{যেহেতু } ba=ab) \end{aligned} $

যখন আমরা পদে পদে গুণ সম্পাদন করি, আমরা আশা করি $2 \times 2=4$ পদ উপস্থিত থাকবে। কিন্তু এর মধ্যে দুটি একজাতীয় পদ, যা একত্রিত হয়, এবং তাই আমরা 3টি পদ পাই। বহুপদীকে বহুপদী দ্বারা গুণ করার সময়, আমাদের সর্বদা একজাতীয় পদ, যদি থাকে, খুঁজে বের করতে হবে এবং সেগুলো একত্রিত করতে হবে।

উদাহরণ 8 : গুণ করুন

(i) $(x-4)$ এবং $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ এবং $(3 x+5 y)$

সমাধান:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (একজাতীয় পদ যোগ করে) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ একজাতীয় পদ যোগ করে }) \end{aligned} $

উদাহরণ 9 : গুণ করুন

(i) $(a+7)$ এবং $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ এবং $(5 a-3 b)$

সমাধান:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

লক্ষ্য করুন, এই গুণে কোনো একজাতীয় পদ জড়িত নেই।

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

৮.৫.২ একটি দ্বিপদীকে একটি ত্রিপদী দ্বারা গুণ করা

এই গুণে, আমাদের ত্রিপদীর তিনটি পদ প্রতিটিকে দ্বিপদীর দুটি পদ প্রতিটি দ্বারা গুণ করতে হবে। আমরা মোট $3 \times 2=6$ পদ পাব, যা 5 বা তার কম হতে পারে, যদি পদে পদে গুণের ফলে একজাতীয় পদ পাওয়া যায়। বিবেচনা করুন

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{দ্বিপদী }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{ত্রিপদী }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (চূড়ান্ত ফলাফলে কেন শুধু } 4 \\ & \text{টি পদ আছে?) } \end{aligned} $

উদাহরণ 10 : সরলীকরণ করুন $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$।

সমাধান: আমাদের আছে

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(লক্ষ্য করুন, $-3 a b$ এবং $2 a b$ একজাতীয় পদ)

এবং $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

সুতরাং,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

অনুশীলনী ৮.৪

1. দ্বিপদীগুলো গুণ করুন।

(i) $(2 x+5)$ এবং $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ এবং $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ এবং $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ এবং $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ এবং $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ এবং $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

2. গুণফল নির্ণয় করুন।

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

3. সরলীকরণ করুন।

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

আমরা কী আলোচনা করলাম??

1. রাশি গঠিত হয় চলক ও ধ্রুবক থেকে।

2. পদ যোগ করে রাশি গঠিত হয়। পদ নিজেই উৎপাদকের গুণফল হিসেবে গঠিত হয়।

3. যেসব রাশিতে যথাক্রমে ঠিক একটি, দুটি এবং তিনটি পদ থাকে তাদেরকে একপদী, দ্বিপদী এবং ত্রিপদী বলে। সাধারণভাবে, শূন্য নয় এমন সহগ (এবং যেখানে চলকের সূচক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা) সহ এক বা একাধিক পদ বিশিষ্ট যেকোনো রাশিকে বহুপদী বলে।

4. একজাতীয় পদ একই চলক থেকে গঠিত হয় এবং এই চলকগুলোর ঘাতও একই হয়। একজাতীয় পদের সহগ একই হওয়ার প্রয়োজন নেই।

5. বহুপদী যোগ (বা বিয়োগ) করার সময়, প্রথমে একজাতীয় পদ খুঁজে বের করুন এবং সেগুলো যোগ (বা বিয়োগ) করুন; তারপর ভিন্নজাতীয় পদগুলো নিয়ে কাজ করুন।

6. অনেক পরিস্থিতিতে আমাদের বীজগাণিতিক রাশি গুণ করার প্রয়োজন হয়: উদাহরণস্বরূপ, একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে, যার বাহুগুলো রাশি হিসেবে দেওয়া আছে।

7. একটি একপদীকে একটি একপদী দ্বারা গুণ করলে সর্বদা একটি একপদী পাওয়া যায়।

8. একটি বহুপদীকে একটি একপদী দ্বারা গুণ করার সময়, আমরা বহুপদীর প্রতিটি পদকে একপদী দ্বারা গুণ করি।

9. একটি বহুপদীকে একটি দ্বিপদী (বা ত্রিপদী) দ্বারা গুণ করার সময়, আমরা পদে পদে গুণ করি, অর্থাৎ, বহুপদীর প্রতিটি পদকে দ্বিপদী (বা ত্রিপদী) এর প্রতিটি পদ দ্বারা গুণ করি। লক্ষ্য করুন যে এমন গুণে, আমরা গুণফলে এমন পদ পেতে পারি যা একজাতীয় এবং সেগুলোকে একত্রিত করতে হয়।