৮.১ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ যোগ আৰু বিয়োগ

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি বীজগণিতীয় ৰাশি (বা কেৱল ৰাশি) কি তাকেই জনা পাওঁ। ৰাশিৰ উদাহৰণ হ’ল:

$ x+3,2 y-5,3 x^{2}, 4 x y+7 \text{ ইত্যাদি } $

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আমি বীজগণিতীয় ৰাশি কেনেকৈ যোগ আৰু বিয়োগ কৰিব লাগে তাও শিকিছো। উদাহৰণস্বৰূপে, $7 x^{2}-4 x+5$ আৰু $9 x-10$ যোগ কৰিবলৈ, আমি এনেকৈ কৰো

$ \begin{matrix} 7 x^{2}-4 x+5 \\ +\quad 9 x-10 \\ \hline 7 x^{2}+5 x-5 \end{matrix} $

কিদৰে আমি যোগটো কৰিছো লক্ষ্য কৰক। আমি যোগ কৰিবলগীয়া প্ৰতিটো ৰাশি পৃথক শাৰীত লিখো। এনেকৈ কৰোতে আমি একে পদবোৰ এটাতকৈ আনটোৰ তলত লিখো, আৰু দেখুওৱাৰ দৰে সিহঁতক যোগ কৰো। এতেকে $5+(-10)=5-10=-5$। একেদৰে, $-4 x+9 x=(-4+9) x=5 x$। আৰু কেইটামান উদাহৰণ লওঁ আহক।

উদাহৰণ ১ : যোগ কৰক: $7 x y+5 y z-3 z x, 4 y z+9 z x-4 y,-3 x z+5 x-2 x y$.

সমাধান: তিনিটা ৰাশি পৃথক শাৰীত লিখি, একে পদবোৰ এটাতকৈ আনটোৰ তলত ৰাখি, আমি পাওঁ

$ \begin{matrix}& 7xy + 5yz –3zx \\ + & \hspace{18 mm} 4yz + 9zx – 4y \\ + & –2xy \hspace{18 mm} – 3zx + 5x & \text{(লক্ষ্য কৰক xz আৰু zx একেই)} \\ \hline \\ & 5xy + 9yz +3zx + 5x – 4y \end{matrix} $

উদাহৰণ ২ : $5 x^{2}-4 y^{2}+6 y-3$ ৰ পৰা $7 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+5 x-3 y$ বিয়োগ কৰক।

সমাধান:

$ \begin{matrix}& 7x^2 - 4xy + 8y^2 + 5x -3y \\ & 5x^2 - 4y^2 \hspace{6 mm} y+ 6y-3 \\ \hline \\ & (-) \hspace{6 mm} (+)\hspace{6 mm}(-) \hspace{6 mm} (+) \\ & 2x^2-4xy+12y^2+5x-9y+3 \end{matrix} $

লক্ষ্য কৰক যে এটা সংখ্যা বিয়োগ কৰাটো তাৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা যোগ কৰাৰ সৈতে একেই। এতেকে -3 বিয়োগ কৰাটো +3 যোগ কৰাৰ সৈতে একেই। একেদৰে, $6 y$ বিয়োগ কৰাটো $-6 y$ যোগ কৰাৰ সৈতে একেই; $-4 y^{2}$ বিয়োগ কৰাটো $4 y^{2}$ যোগ কৰাৰ সৈতে একেই ইত্যাদি। দ্বিতীয় শাৰীৰ প্ৰতিটো পদৰ তলত লিখা তৃতীয় শাৰীৰ চিনবোৰে আমাক কোনটো ক্ৰিয়া কৰিব লাগে বুজাত সহায় কৰে।

অনুশীলনী ৮.১

১. তলৰবোৰ যোগ কৰক।

(i) $a b-b c, b c-c a, c a-a b$ $\quad$ (ii) $a-b+a b, b-c+b c, c-a+a c$

(iii) $2 p^{2} q^{2}-3 p q+4,5+7 p q-3 p^{2} q^{2}$ $\quad$ (iv) $l^{2}+m^{2}, m^{2}+n^{2}, n^{2}+l^{2}$ $2 l m+2 m n+2 n l$

২. (ক) $4 a-7 a b+3 b+12$ ৰ পৰা $12 a-9 a b+5 b-3$ বিয়োগ কৰক

(খ) $3 x y+5 y z-7 z x$ ৰ পৰা $5 x y-2 y z-2 z x+10 x y z$ বিয়োগ কৰক

(গ) $4 p^{2} q-3 p q+5 p q^{2}-8 p+7 q-10$ ৰ পৰা

$18-3 p-11 q+5 p q-2 p q^{2}+5 p^{2} q$ বিয়োগ কৰক

৮.২ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ পূৰণ: পৰিচয়

(i) তলৰ বিন্দুৰ নমুনাবোৰলৈ চাওক।

(ii) আপুনি এতিয়া আন একেধৰণৰ পৰিস্থিতিৰ কথা ভাবিব পাৰেনে য’ত দুটা বীজগণিতীয় ৰাশিক পূৰণ কৰিব লাগিব?

আমিনা উঠি আহিল। তাই ক’লে, “আমি আয়তক্ষেত্ৰৰ কালিৰ কথা ভাবিব পাৰো।” আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি হ’ল $l \times b$, য’ত $l$ হৈছে দৈৰ্ঘ্য, আৰু $b$ হৈছে প্ৰস্থ। যদি আয়তক্ষেত্ৰটোৰ দৈৰ্ঘ্য ৫ একক বঢ়োৱা হয়, অৰ্থাৎ $(l+5)$ আৰু

(iii) আপুনি আয়তনৰ কথা ভাবিব পাৰেনে? (আয়তাকাৰ বাকচ এটাৰ আয়তন ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতাৰ পূৰণফলৰ দ্বাৰা দিয়া হয়)।

(iv) ছাৰিতাই দেখুৱাই দিলে যে যেতিয়া আমি বস্তু কিনো, তেতিয়া আমাক পূৰণ কৰিবলগীয়া হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি

$ \text{ ডজনমূলীয় কলৰ দাম }=₹ p $

আৰু বিদ্যালয়ৰ বনভোজনৰ বাবে লাগে $=z$ ডজন কল,

$ \text{ তেতিয়া আমাক দিবলগীয়া হ’ব }=₹ p \times z $

ধৰি লওক, প্ৰতি ডজনৰ দাম $₹ 2$ কম আছিল আৰু লাগতিয়াল কলৰ সংখ্যা ৪ ডজন কম আছিল।

তেতিয়া, $\quad$ প্ৰতি ডজন কলৰ দাম $=₹(p-2)$

আৰু $\quad$ লাগতিয়াল কলৰ সংখ্যা $=(z-4)$ ডজন,

সেয়েহে, আমাক দিবলগীয়া হ’ব $\quad=₹(p-2) \times(z-4)$

চেষ্টা কৰক

আপুনি আন দুটা এনে পৰিস্থিতিৰ কথা ভাবিব পাৰেনে, য’ত আমাক বীজগণিতীয় ৰাশি পূৰণ কৰাৰ প্ৰয়োজন হ’ব পাৰে?

[ইংগিত: $\bullet$ বেগ আৰু সময়ৰ কথা ভাবক;

• দিয়াৰ লগত সুদ, আসল আৰু সৰল সুদৰ হাৰৰ কথা ভাবক; ইত্যাদি]

ওপৰৰ সকলো উদাহৰণত, আমাক দুটা বা ততোধিক ৰাশিৰ পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰিবলগীয়া হৈছিল। যদি ৰাশিবোৰ বীজগণিতীয় ৰাশিৰ দ্বাৰা দিয়া থাকে, তেন্তে আমাক সিহঁতৰ পূৰণফল উলিয়াব লাগিব। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যে এই পূৰণফল কেনেকৈ পোৱা যায় আমি জানিব লাগিব। আহক ইয়াক ক্ৰমবদ্ধভাৱে কৰো। আৰম্ভণিতে আমি দুটা একপদ ৰাশিৰ পূৰণফললৈ চাম।

৮.৩ এটা একপদ ৰাশিৰে আন এটা একপদ ৰাশিৰ পূৰণ

যি ৰাশিত কেৱল এটা পদ থাকে তাক একপদ ৰাশি বোলে।

৮.৩.১ দুটা একপদ ৰাশিৰ পূৰণ

আমি আৰম্ভ কৰো

একেদৰে, $4 \times(3 x)=3 x+3 x+3 x+3 x=12 x$

এতিয়া, তলৰ পূৰণফলবোৰ লক্ষ্য কৰক।

(i) $ x \times 3 y=x \times 3 \times y=3 \times x \times y=3 x y $

(ii) $ 5 x \times 3 y=5 \times x \times 3 \times y=5 \times 3 \times x \times y=15 x y $

(iii) $5 x \times(-3 y)=5 \times x \times(-3) \times y$

$ =5 \times(-3) \times x \times y=-15 x y $

আৰু কেইটামান উপযোগী উদাহৰণ দিয়া হ’ল।

$ \text{ (iv) } \quad \begin{aligned} 5 x \times 4 x^{2} & =(5 \times 4) \times(x \times x^{2}) \\ & =20 \times x^{3}=20 x^{3} \end{aligned} $

(v) $5 x \times(-4 x y z)=(5 \times-4) \times(x \times x y z)$

$ =-20 \times(x \times x \times y z)=-20 x^{2} y z $

কিদৰে আমি দুটা একপদ ৰাশিৰ বীজগণিতীয় অংশত থকা বিভিন্ন চলকৰ ঘাতবোৰ সংগ্ৰহ কৰিছো লক্ষ্য কৰক। এনেকৈ কৰোতে আমি ঘাত আৰু ঘাতাংকৰ নিয়ম ব্যৱহাৰ কৰো।

লক্ষ্য কৰক যে $5 \times 4=20$

অৰ্থাৎ, পূৰণফলৰ সহগ $=$ প্ৰথম একপদ ৰাশিৰ সহগ $\times$ দ্বিতীয় একপদ ৰাশিৰ সহগ;

আৰু $\quad x \times x^{2}=x^{3}$

অৰ্থাৎ, পূৰণফলৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক $=$ প্ৰথম একপদ ৰাশিৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক $\times$ দ্বিতীয় একপদ ৰাশিৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক।

৮.৩.২ তিনিটা বা ততোধিক একপদ ৰাশিৰ পূৰণ

তলৰ উদাহৰণবোৰ লক্ষ্য কৰক।

$ \begin{aligned} & 2 x \times 5 y \times 7 z=(2 x \times 5 y) \times 7 z=10 x y \times 7 z=70 x y z \\ & \text{ (ii) } 4 x y \times 5 x^{2} y^{2} \times 6 x^{3} y^{3}=(4 x y \times 5 x^{2} y^{2}) \times 6 x^{3} y^{3}=20 x^{3} y^{3} \times 6 x^{3} y^{3}=120 x^{3} y^{3} \times x^{3} y^{3} \\ & =120(x^{3} \times x^{3}) \times(y^{3} \times y^{3})=120 x^{6} \times y^{6}=120 x^{6} y^{6} \end{aligned} $

স্পষ্ট যে আমি প্ৰথমে প্ৰথম দুটা একপদ ৰাশি পূৰণ কৰো আৰু তাৰ পিছত পোৱা একপদ ৰাশিটো তৃতীয় একপদ ৰাশিৰে পূৰণ কৰো। এই পদ্ধতিক যিকোনো সংখ্যক একপদ ৰাশিৰ পূৰণফললৈ বঢ়াব পাৰি।

চেষ্টা কৰক

$4 x \times 5 y \times 7 z$ নিৰ্ণয় কৰক

প্ৰথমে $4 x \times 5 y$ নিৰ্ণয় কৰি ইয়াক $7 z$ ৰে পূৰণ কৰক; বা প্ৰথমে $5 y \times 7 z$ নিৰ্ণয় কৰি ইয়াক $4 x$ ৰে পূৰণ কৰক। ফলাফল একে নেকি? আপুনি কি লক্ষ্য কৰে?

পূৰণটো ক্ৰমে কৰাটো গুৰুত্বপূৰ্ণ নেকি?

উদাহৰণ ৩ : দিয়া দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থৰে আয়তক্ষেত্ৰৰ কালিৰ তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰক।

সমাধান:

উদাহৰণ ৪ : দিয়া দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতাৰে প্ৰতিটো আয়তাকাৰ বাকচৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰক।

সমাধান: আয়তন $=$ দৈৰ্ঘ্য $\times$ প্ৰস্থ $\times$ উচ্চতা

সেয়েহে,

(i) ৰ বাবে আয়তন $=(2 a x) \times(3 b y) \times(5 c z)$

$ =2 \times 3 \times 5 \times(a x) \times(b y) \times(c z)=30 a b c x y z $

(ii) ৰ বাবে আয়তন $=m^{2} n \times n^{2} p \times p^{2} m$

$ =(m^{2} \times m) \times(n \times n^{2}) \times(p \times p^{2})=m^{3} n^{3} p^{3} $

(iii) ৰ বাবে আয়তন $=2 q \times 4 q^{2} \times 8 q^{3}$

$ =2 \times 4 \times 8 \times q \times q^{2} \times q^{3}=64 q^{6} $

অনুশীলনী ৮.২

১. তলৰ একপদ ৰাশিৰ যোৰবোৰৰ পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক।

(i) $4,7 p$ $\quad$ (ii) $-4 p, 7 p$ $\quad$ (iii) $-4 p, 7 p q$ $\quad$ (iv) $4 p^{3},-3 p$ $\quad$ (v) $4 p, 0$

২. তলৰ একপদ ৰাশিৰ যোৰবোৰক ক্ৰমে দৈৰ্ঘ্য আৰু প্ৰস্থ হিচাপে লৈ আয়তক্ষেত্ৰবোৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰক।

$(p, q) ;(10 m, 5 n) ;(20 x^{2}, 5 y^{2}) ;(4 x, 3 x^{2}) ;(3 m n, 4 n p)$

৩. পূৰণফলৰ তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰক।

৪. তলৰ দৈৰ্ঘ্য, প্ৰস্থ আৰু উচ্চতাৰে আয়তাকাৰ বাকচবোৰৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰক।

(i) $5 a, 3 a^{2}, 7 a^{4}$ $\quad$ (ii) $2 p, 4 q, 8 r$ $\quad$ (iii) $x y, 2 x^{2} y, 2 x y^{2}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c$

৫. পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক

(i) $x y, y z, z x$ $\quad$ (ii) $a,-a^{2}, a^{3}$ $\quad$ (iii) $2,4 y, 8 y^{2}, 16 y^{3}$ $\quad$ (iv) $a, 2 b, 3 c, 6 a b c$ $\quad$ (v) $m,-m n, m n p$

৮.৪ এটা একপদ ৰাশিৰে এটা বহুপদ ৰাশিৰ পূৰণ

যি ৰাশিত দুটা পদ থাকে তাক দ্বিপদ ৰাশি বোলে। তিনিটা পদ থকা ৰাশি এটা ত্ৰিপদ ৰাশি ইত্যাদি। সাধাৰণতে, এটা অশূন্য সহগ (চলকবোৰৰ ঘাত হিচাপে অঋণাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা থকা) থকা এটা বা ততোধিক পদ থকা ৰাশিক বহুপদ ৰাশি বোলে।

৮.৪.১ এটা একপদ ৰাশিৰে এটা দ্বিপদ ৰাশিৰ পূৰণ

আহক আমি একপদ ৰাশি $3 x$ ক দ্বিপদ ৰাশি $5 y+2$ ৰে পূৰণ কৰো, অৰ্থাৎ $3 x \times(5 y+2)=$ নিৰ্ণয় কৰো?

মনত ৰাখিব যে $3 x$ আৰু $(5 y+2)$ ৱ সংখ্যা সূচায়। সেয়েহে, বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি,

$(5 y+2)=(3 x \times 5 y)+(3 x \times 2)=15 x y+6 x$

আমি সাধাৰণতে আমাৰ গণনাত বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰো। উদাহৰণস্বৰূপে:

$$ \begin{aligned} 7 \times 106 & =7 \times(100+6) \\ & =7 \times 100+7 \times 6 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =700+42=742\\ 7 \times 38 & =7 \times(40-2) \\ & =7 \times 40-7 \times 2 & \text{(Here, we used distributive law)} \\ & =280-14=266 \end{aligned} $$

একেদৰে, $(-3 x) \times(-5 y+2)=(-3 x) \times(-5 y)+(-3 x) \times(2)=15 x y-6 x$

আৰু $5 x y \times(y^{2}+3)=(5 x y \times y^{2})+(5 x y \times 3)=5 x y^{3}+15 x y$.

এটা দ্বিপদ ৰাশি $\times$ একপদ ৰাশিৰে পূৰণ কৰিলে কি হয়? উদাহৰণস্বৰূপে, $(5 y+2) \times 3 x=$ ?

আমি পৰিবৰ্তন বিধি ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰো: $7 \times 3=3 \times 7$; বা সাধাৰণতে $a \times b=b \times a$

একেদৰে, $(5 y+2) \times 3 x=3 x \times(5 y+2)=15 x y+6 x$ আগৰ দৰেই।

চেষ্টা কৰক

পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক

(i) $2 x(3 x+5 x y)$

(ii) $a^{2}(2 a b-5 c)$

৮.৪.২ এটা একপদ ৰাশিৰে এটা ত্ৰিপদ ৰাশিৰ পূৰণ

$3 p \times(4 p^{2}+5 p+7)$ বিবেচনা কৰক। আগৰ দৰেই, আমি বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰো;

$ \begin{aligned} 3 p \times(4 p^{2}+5 p+7) & =(3 p \times 4 p^{2})+(3 p \times 5 p)+(3 p \times 7) \\ & =12 p^{3}+15 p^{2}+21 p \end{aligned} $

ত্ৰিপদ ৰাশিৰ প্ৰতিটো পদক একপদ ৰাশিৰে পূৰণ কৰি পূৰণফলবোৰ যোগ কৰক।

লক্ষ্য কৰক, বিতৰণ বিধি ব্যৱহাৰ কৰি আমি পদে পদে পূৰণ কৰিবলৈ সক্ষম হৈছো।

চেষ্টা কৰক

পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক:

$(4 p^{2}+5 p+7) \times 3 p$

উদাহৰণ ৫ : ৰাশিবোৰ সৰল কৰি দিয়া নিৰ্দেশ অনুসৰি ইয়াৰ মান নিৰ্ণয় কৰক: (i) $x(x-3)+2$ ৰ বাবে $x=1$, (ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63$ ৰ বাবে $y=-2$

সমাধান:

(i) $x(x-3)+2=x^{2}-3 x+2$

$ \text{ ৰ বাবে } \quad \begin{aligned} x=1, x^{2}-3 x+2 & =(1)^{2}-3(1)+2 \\ & =1-3+2=3-3=0 \end{aligned} $

(ii) $3 y(2 y-7)-3(y-4)-63=6 y^{2}-21 y-3 y+12-63$

$ =6 y^{2}-24 y-51 $

$y=-2,6 y^{2}-24 y-51=6(-2)^{2}-24(-2)-51$ ৰ বাবে

$ \begin{aligned} & =6 \times 4+24 \times 2-51 \\ & =24+48-51=72-51=21 \end{aligned} $

উদাহৰণ ৬ : যোগ কৰক

(i) $5 m(3-m)$ আৰু $6 m^{2}-13 m$ (ii) $4 y(3 y^{2}+5 y-7)$ আৰু $2(y^{3}-4 y^{2}+5)$

সমাধান:

(i) প্ৰথম ৰাশি $=5 m(3-m)=(5 m \times 3)-(5 m \times m)=15 m-5 m^{2}$

এতিয়া ইয়াত দ্বিতীয় ৰাশিটো যোগ কৰিলে, $15 m-5 m^{2}+6 m^{2}-13 m=m^{2}+2 m$

(ii) প্ৰথম ৰাশি $=4 y(3 y^{2}+5 y-7)=(4 y \times 3 y^{2})+(4 y \times 5 y)+(4 y \times(-7))$

$ =12 y^{3}+20 y^{2}-28 y $

দ্বিতীয় ৰাশি $=2(y^{3}-4 y^{2}+5)=2 y^{3}+2 \times(-4 y^{2})+2 \times 5$

$ =2 y^{3}-8 y^{2}+10 $

দুয়োটা ৰাশি যোগ কৰিলে,

$ \begin{matrix} 12 y^{3} & +20 y^{2}-28 y & \\ +\quad 2 y^{3} & -8 y^{2} & +10 \\ \hline 14 y^{3} & +12 y^{2}-28 y & +10 \end{matrix} $

উদাহৰণ ৭ : $3 p q(p-q)$ ৰ পৰা $2 p q(p+q)$ বিয়োগ কৰক।

সমাধান: আমি পাওঁ $\quad 3 p q(p-q)=3 p^{2} q-3 p q^{2}$ আৰু

বিয়োগ কৰিলে,

$ 2 p q(p+q)=2 p^{2} q+2 p q^{2} $

$ \begin{aligned} 2 p^{2} q & +2 p q^{2} \\ 3 p^{2} q & -3 p q^{2} \\ - & + \\hline-p^{2} q & +5 p q^{2} \end{aligned} $

অনুশীলনী ৮.৩

১. তলৰ যোৰবোৰৰ ৰাশিসমূহৰ পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক। (i) $4 p, q+r$ (ii) $a b, a-b$ (iii) $a+b, 7 a^{2} b^{2}$ (iv) $a^{2}-9,4 a$ (v) $p q+q r+r p, 0$

২. তালিকাখন সম্পূৰ্ণ কৰক।

৩. পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক।

(i) $(a^{2}) \times(2 a^{22}) \times(4 a^{26})$

(ii) $(\frac{2}{3} x y) \times(\frac{-9}{10} x^{2} y^{2})$

(iii) $(-\frac{10}{3} p q^{3}) \times(\frac{6}{5} p^{3} q)$

(iv) $x \times x^{2} \times x^{3} \times x^{4}$

৪. (ক) $3 x(4 x-5)+3$ সৰল কৰি (i) $x=3$ (ii) $x=\frac{1}{2}$ ৰ বাবে ইয়াৰ মান নিৰ্ণয় কৰক।

(খ) $a(a^{2}+a+1)+5$ সৰল কৰি (i) $a=0$, (ii) $a=1$

(iii) $a=-1$ ৰ বাবে ইয়াৰ মান নিৰ্ণয় কৰক।

৫. (ক) যোগ কৰক: $p(p-q), q(q-r)$ আৰু $r(r-p)$

(খ) যোগ কৰক: $2 x(z-x-y)$ আৰু $2 y(z-y-x)$

(গ) বিয়োগ কৰক: $3 l(l-4 m+5 n)$ ৰ পৰা $4 l(10 n-3 m+2 l)$

(ঘ) বিয়োগ কৰক: $3 a(a+b+c)-2 b(a-b+c)$ ৰ পৰা $4 c(-a+b+c)$

৮.৫ এটা বহুপদ ৰাশিৰে আন এটা বহুপদ ৰাশিৰ পূৰণ

৮.৫.১ এটা দ্বিপদ ৰাশিৰে আন এটা দ্বিপদ ৰাশিৰ পূৰণ

আহক আমি এটা দ্বিপদ ৰাশি $(2 a+3 b)$ ক আন এটা দ্বিপদ ৰাশিৰে, ধৰক $(3 a+4 b)$ ৰে পূৰণ কৰো। আমি আগৰ দৰেই ক্ৰমে ক্ৰমে কৰো, পূৰণৰ বিতৰণ বিধি অনুসৰি,

$ (3 a+4 b) \times(2 a+3 b)=3 a \times(2 a+3 b)+4 b \times(2 a+3 b) $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{লক্ষ্য কৰক, এটা দ্বিপদ ৰাশিৰ} \\ \text{প্ৰতিটো পদে আনটো দ্বিপদ ৰাশিৰ} \\ \text{প্ৰতিটো পদক পূৰণ কৰে।} \\ \hline \end{array} $ $\to$ $ \begin{aligned} &= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b) \\ &= 6a^2 + 9ab + 8ba + 12b^2 \\ &= 6a^2 + 17ab + 12b^2 & (\text{কাৰণ } ba=ab) \end{aligned} $

যেতিয়া আমি পদে পদে পূৰণ কৰো, তেতিয়া আমি $2 \times 2=4$টা পদ থকাৰ আশা কৰো। কিন্তু ইয়াৰে দুটা একে পদ, যিবোৰ সংযুক্ত কৰা হয়, আৰু সেয়েহে আমি ৩টা পদ পাওঁ। বহুপদ ৰাশিৰ সৈতে বহুপদ ৰাশিৰ পূৰণত, আমি সদায় একে পদবোৰ বিচাৰিব লাগিব, যদি থাকে, আৰু সিহঁতক সংযুক্ত কৰিব লাগিব।

উদাহৰণ ৮ : পূৰণ কৰক

(i) $(x-4)$ আৰু $(2 x+3)$ $\quad$ (ii) $\quad(x-y)$ আৰু $(3 x+5 y)$

সমাধান:

(i) $(x-4) \times(2 x+3)=x \times(2 x+3)-4 \times(2 x+3)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 2 x)+(x \times 3)-(4 \times 2 x)-(4 \times 3)=2 x^{2}+3 x-8 x-12 \\ & =2 x^{2}-5 x-12 \quad \text{ (একে পদবোৰ যোগ কৰি) } \end{aligned} $

(ii) $(x-y) \times(3 x+5 y)=x \times(3 x+5 y)-y \times(3 x+5 y)$

$ \begin{aligned} & =(x \times 3 x)+(x \times 5 y)-(y \times 3 x)-(y \times 5 y) \\ & =3 x^{2}+5 x y-3 y x-5 y^{2}=3 x^{2}+2 x y-5 y^{2} \quad(\text{ একে পদবোৰ যোগ কৰি }) \end{aligned} $

উদাহৰণ ৯ : পূৰণ কৰক

(i) $(a+7)$ আৰু $(b-5)$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+2 b^{2})$ আৰু $(5 a-3 b)$

সমাধান:

(i) $(a+7) \times(b-5)=a \times(b-5)+7 \times(b-5)$

$ =a b-5 a+7 b-35 $

লক্ষ্য কৰক যে এই পূৰণত কোনো একে পদ জড়িত নাই।

(ii) $(a^{2}+2 b^{2}) \times(5 a-3 b)=a^{2}(5 a-3 b)+2 b^{2} \times(5 a-3 b)$

$ =5 a^{3}-3 a^{2} b+10 a b^{2}-6 b^{3} $

৮.৫.২ এটা দ্বিপদ ৰাশিৰে এটা ত্ৰিপদ ৰাশিৰ পূৰণ

এই পূৰণত, আমাক ত্ৰিপদ ৰাশিৰ তিনিটা পদৰ প্ৰতিটোকে দ্বিপদ ৰাশিৰ দুটা পদৰ প্ৰতিটোৰে পূৰণ কৰিবলগীয়া হ’ব। আমি মুঠতে $3 \times 2=6$টা পদ পাম, যিবোৰ ৫টা বা তাতকৈ কমলৈ হ্ৰাস পাব পাৰে, যদি পদে পদে পূৰণৰ ফলত একে পদ ওলায়। বিবেচনা কৰক

$ \begin{aligned} & \underbrace{(a+7)} _{\text{দ্বিপদ }} \times \underbrace{(a^{2}+3 a+5)} _{\text{ত্ৰিপদ }}=a \times(a^{2}+3 a+5)+7 \times(a^{2}+3 a+5) \\ &=a^{3}+3 a^{2}+5 a+7 a^{2}+21 a+35 \\ &=a^{3}+(3 a^{2}+7 a^{2})+(5 a+21 a)+35 \\ &=a^{3}+10 a^{2}+26 a+35 \quad \text{ (চূড়ান্ত ফলাফলত কেৱল } 4 \\ & \text{টা পদ কিয় আছে?) } \end{aligned} $

উদাহৰণ ১০ : $(a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c$ সৰল কৰক।

সমাধান: আমি পাওঁ

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c) & =a(2 a-3 b+c)+b(2 a-3 b+c) \\ & =2 a^{2}-3 a b+a c+2 a b-3 b^{2}+b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c \end{aligned} $

(লক্ষ্য কৰক, $-3 a b$ আৰু $2 a b$ একে পদ)

আৰু $\quad(2 a-3 b) c=2 a c-3 b c$

সেয়েহে,

$ \begin{aligned} (a+b)(2 a-3 b+c)-(2 a-3 b) c & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-(2 a c-3 b c) \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+b c+a c-2 a c+3 b c \\ & =2 a^{2}-a b-3 b^{2}+(b c+3 b c)+(a c-2 a c) \\ & =2 a^{2}-3 b^{2}-a b+4 b c-a c \end{aligned} $

অনুশীলনী ৮.৪

১. দ্বিপদ ৰাশিবোৰ পূৰণ কৰক।

(i) $(2 x+5)$ আৰু $(4 x-3)$ $\quad$ (ii) $(y-8)$ আৰু $(3 y-4)$ $\quad$ (iii) $(2.5 l-0.5 m)$ আৰু $(2.5 l+0.5 m)$ $\quad$ (v) $(2 p q+3 q^{2})$ আৰু $(3 p q-2 q^{2})$

(iv) $(a+3 b)$ আৰু $(x+5)$ $\quad$ (vi) $(\frac{3}{4} a^{2}+3 b^{2})$ আৰু $4(a^{2}-\frac{2}{3} b^{2})$

২. পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰক।

(i) $(5-2 x)(3+x)$ $\quad$ (ii) $(x+7 y)(7 x-y)$ $\quad$ (iii) $(a^{2}+b)(a+b^{2})$ $\quad$ (iv) $(p^{2}-q^{2})(2 p+q)$

৩. সৰল কৰক।

(i) $(x^{2}-5)(x+5)+25$ $\quad$ (ii) $(a^{2}+5)(b^{3}+3)+5$ $\quad$

(iii) $(t+s^{2})(t^{2}-s)$ $\quad$ (iv) $(a+b)(c-d)+(a-b)(c+d)+2(a c+b d)$

(v) $(x+y)(2 x+y)+(x+2 y)(x-y) \quad$ (vi) $\quad(x+y)(x^{2}-x y+y^{2})$ $\quad$

(vii) $(1.5 x-4 y)(1.5 x+4 y+3)-4.5 x+12 y$ $\quad$ (viii) $(a+b+c)(a+b-c)$

আমি কি আলোচনা কৰিলো??

১. ৰাশিবোৰ চলক আৰু ধ্ৰুৱকৰ পৰা গঠন কৰা হয়।

২. পদবোৰ যোগ কৰি ৰাশি গঠন কৰা হয়। পদবোৰ নিজেই উৎপাদকৰ পূৰণফল হিচাপে গঠন কৰা হয়।

৩. যিবোৰ ৰাশিত কেৱল এটা, দুটা আৰু তিনিটা পদ থাকে তাক ক্ৰমে একপদ ৰাশি, দ্বিপদ ৰাশি আৰু ত্ৰিপদ ৰাশি বোলে। সাধাৰণতে, এটা অশূন্য সহগ (চলকবোৰৰ ঘাত হিচাপে অঋণাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা থকা) থকা এটা বা ততোধিক পদ থকা যিকোনো ৰাশিক বহুপদ ৰাশি বোলে।

৪. একে পদবোৰ একে চলকৰ পৰা গঠন কৰা হয় আৰু এই চলকবোৰৰ ঘাতবোৰো একে হয়। একে পদবোৰৰ সহগ একে হ’ব নালাগে।

৫.