ప్రస్తారణ సంయోగం
కీలక అంశాలు & సూత్రాలు
| # | అంశం | త్వరిత వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | nPr | n! / (n–r)! – క్రమం ముఖ్యం |
| 2 | nCr | n! / [r!(n–r)!] – క్రమం పట్టించుకోలేదు |
| 3 | 0! | 1 (నిర్వచనం ప్రకారం) |
| 4 | పునరావృతం అనుమతించబడినది | n^r (ప్రతి స్థానానికి n ఎంపికలు) |
| 5 | వృత్తాకార ప్రస్తారణ | (n–1)! సవ్యదిశ = అపసవ్యదిశ అయినప్పుడు |
| 6 | పదం యొక్క ర్యాంక్ | మొదటి అక్షరాన్ని స్థిరీకరించండి, మిగిలిన వాటి ప్రస్తారణలను లెక్కించండి |
| 7 | అన్ని అంకెల మొత్తం | (n–1)! × (అంకెల మొత్తం) × 111… (n సార్లు) |
10 అభ్యాస బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
“EXAM” అక్షరాల నుండి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4-అక్షరాల కోడ్లు తయారు చేయవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 24 B. 120 C. 360 D. 24
సమాధానం: D. 24
పరిష్కారం: 4P4 = 4! = 24
త్వరిత మార్గం: n విభిన్న వస్తువులు, n స్థానాలు → n!
ట్యాగ్: ప్రాథమిక ప్రస్తారణ -
ఒక విద్యార్థికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ బహుమతులు రాకుండా 5 బహుమతులను 8 మంది విద్యార్థులకు ఎన్ని రకాలుగా ఇవ్వవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 56 B. 6720 C. 40320 D. 120
సమాధానం: B. 6720
పరిష్కారం: 8P5 = 8×7×6×5×4 = 6720
త్వరిత మార్గం: పెద్ద సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి 5 పదాలను గుణించండి
ట్యాగ్: nPr -
10 అసరేఖీయ బిందువుల నుండి ఎన్ని త్రిభుజాలు ఏర్పరచవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 120 B. 45 C. 240 D. 720
సమాధానం: A. 120
పరిష్కారం: 10C3 = 120
త్వరిత మార్గం: త్రిభుజాల కోసం nC3
ట్యాగ్: సంయోగం -
1,2,3,4,5 అంకెలను ఉపయోగించి పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 3-అంకెల సరి సంఖ్యలు ఏర్పరచవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 36 B. 24 C. 48 D. 60
సమాధానం: B. 24
పరిష్కారం: ఒకట్ల స్థానంలో 2 లేదా 4 (2 మార్గాలు). మిగిలిన 4P2 = 12. మొత్తం 2×12 = 24
త్వరిత మార్గం: చివర సరి అంకెను స్థిరీకరించి, తర్వాత నింపండి
ట్యాగ్: నియమబద్ధ ప్రస్తారణ -
6 మంది వ్యక్తులు ఒక గుండ్రని బల్ల చుట్టూ ఎన్ని రకాలుగా కూర్చోవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 720 B. 120 C. 360 D. 60
సమాధానం: B. 120
పరిష్కారం: (6–1)! = 120
త్వరిత మార్గం: వృత్తాకారానికి (n–1)!
ట్యాగ్: వృత్తాకార ప్రస్తారణ -
10-భుజాలు గల బహుభుజిలో ఎన్ని కర్ణాలు ఉంటాయి? ఎంపికలు:
A. 35 B. 45 C. 90 D. 55
సమాధానం: A. 35
పరిష్కారం: 10C2 – 10 = 45 – 10 = 35
త్వరిత మార్గం: nC2 – n
ట్యాగ్: బహుభుజి కర్ణాలు -
0,1,2,3,4 అంకెలతో పునరావృతం లేకుండా ఎన్ని 4-అంకెల సంఖ్యలు ఏర్పరచవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 96 B. 120 C. 256 D. 24
సమాధానం: A. 96
పరిష్కారం: మొదటి అంకె 4 ఎంపికలు (0 తప్ప), మిగిలిన 4P3 = 24; మొత్తం 4×24 = 96
త్వరిత మార్గం: మొదటి అంకె ≠ 0 అని స్థిరీకరించండి
ట్యాగ్: సున్నా నియమం -
“INDIA” అక్షరాలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 60 B. 120 C. 30 D. 360
సమాధానం: A. 60
పరిష్కారం: 5! / 2! = 60
త్వరిత మార్గం: పునరావృతాల క్రమఫలితంతో భాగించండి
ట్యాగ్: పునరావృత అక్షరాలు -
5 మంది పురుషులు & 4 మంది మహిళల నుండి 3 పురుషులు & 2 మహిళల కమిటీని ఎన్ని రకాలుగా ఎంపిక చేయవచ్చు? ఎంపికలు:
A. 60 B. 120 C. 100 D. 150
సమాధానం: A. 60
పరిష్కారం: 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
త్వరిత మార్గం: స్వతంత్ర ఎంపికలను గుణించండి
ట్యాగ్: సంయోగం లబ్ధం -
“SUCCESS” నుండి ఎన్ని 3-అక్షరాల పదాలు (అర్థవంతమైనవి కానివి) ఉంటాయి? ఎంపికలు:
A. 210 B. 126 C. 105 D. 168
సమాధానం: B. 126
పరిష్కారం: అక్షరాలు S×3, U×1, C×2, E×1. పునరావృతాల ఆధారంగా సందర్భాలు; మొత్తం 126
త్వరిత మార్గం: అక్షర పునరావృతం ఆధారంగా వర్గీకరించండి
ట్యాగ్: అధునాతన పునరావృతం
5 మునుపటి సంవత్సర ప్రశ్నలు
[RRB NTPC 2021] “MOBILE” అక్షరాలను ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు, తద్వారా స్వరాలు సరి స్థానాల్లో మాత్రమే ఉంటాయి?
ఎంపికలు:
A. 36 B. 72 C. 144 D. 720
సమాధానం: A. 36
పరిష్కారం: 3 సరి స్థానాలు → స్వరాలకు 3P3; హల్లులకు 3!; 6×6 = 36
త్వరిత మార్గం: నియమబద్ధ సమూహాన్ని ముందుగా ఉంచండి
ట్యాగ్: స్థిర స్థానం
[RRB JE 2019] 15 బిందువుల నుండి సరళ రేఖల సంఖ్య, వాటిలో 5 సరేఖీయాలు?
ఎంపికలు:
A. 105 B. 100 C. 91 D. 96
సమాధానం: C. 91
పరిష్కారం: 15C2 – 5C2 + 1 = 105 – 10 + 1 = 96 → అయ్యో, 105 – 10 + 1 = 96 (D)
త్వరిత మార్గం: మొత్తం – తప్పు + 1 (ఆ రేఖ కోసం)
ట్యాగ్: సరేఖీయ సర్దుబాటు
[RRB Group-D 2018] ఏ పెట్టె ఖాళీగా లేకుండా 4 విభిన్న బొమ్మలను 2 సరూప పెట్టెల్లో ఎన్ని రకాలుగా పంపిణీ చేయవచ్చు?
ఎంపికలు:
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
సమాధానం: A. 7
పరిష్కారం: స్టర్లింగ్ రెండవ రకం S(4,2) = 7
త్వరిత మార్గం: S(4,2)=7 గుర్తుంచుకోండి
ట్యాగ్: సరూప పెట్టెలు
[RRB ALP 2018] 0,1,3,5,7 అంకెల నుండి పునరావృతం లేకుండా 5తో భాగించబడే ఎన్ని 4-అంకెల సంఖ్యలు ఏర్పరచవచ్చు?
ఎంపికలు:
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
సమాధానం: B. 42
పరిష్కారం: చివరి అంకె 0 → 4×3×2 = 24; చివరి అంకె 5 → 3×3×2 = 18; మొత్తం 42
త్వరిత మార్గం: చివరి అంకె 0 vs 5 ఆధారంగా విభజించండి
ట్యాగ్: భాజ్యత నియమం
[RRB NTPC 2016] ఒక సంచిలో 3 ఎరుపు, 4 తెలుపు బంతులు ఉన్నాయి. కనీసం 1 ఎరుపు బంతి ఉండేలా 3 బంతులను ఎన్ని రకాలుగా ఎంపిక చేయవచ్చు?
ఎంపికలు:
A. 31 B. 32 C. 30 D. 28
సమాధానం: A. 31
పరిష్కారం: మొత్తం 7C3 = 35; మైనస్ 4C3 (ఎరుపు లేదు) = 35 – 4 = 31
త్వరిత మార్గం: పూరక గణన
ట్యాగ్: కనీసం నియమం
వేగ ట్రిక్స్ & త్వరిత మార్గాలు
| పరిస్థితి | త్వరిత మార్గం | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| nCr = nC(n–r) | చిన్న r ని ఉపయోగించండి | 50C47 = 50C3 = 19600 |
| మొదటి స్థానంలో సున్నా అనుమతించబడదు | (n–1) × (n–1)P(k–1) | 0-5 నుండి 4-అంకెలు: 5×5P3 = 300 |
| కనీసం 1 | మొత్తం – ఏదీ లేదు | 3B 4G నుండి 5లో కనీసం 1 బాలుడు: 7C5 – 4C5 = 21 |
| అంకెల నుండి అన్ని n-అంకెల సంఖ్యల మొత్తం | (n–1)! × మొత్తం × 111…n సార్లు | అంకెలు 1,2,3 → 3! × 6 × 111 = 3996 |
| కంకణంతో వృత్తాకార (ఫ్లిప్ సమానం) | (n–1)! / 2 | 6 మణులు కంకణం = 60 |
తప్పు చేయకుండా ఉండటానికి సాధారణ తప్పులు
| తప్పు | విద్యార్థులు ఎందుకు చేస్తారు | సరైన విధానం |
|---|---|---|
| క్రమం ముఖ్యమైనప్పుడు nCr ని ఉపయోగించడం | “ఎంపిక” vs “జోడణ” గందరగోళం | ప్రశ్నించండి: మార్పిడి కొత్త సందర్భాన్ని సృష్టిస్తుందా? |
| 0 ముందు రాకూడదని మరచిపోవడం | స్థాన విలువపై కాకుండా అంకెలపై మాత్రమే దృష్టి | మొదటి అంకెను విడిగా స్థిరీకరించండి |
| వృత్తాకార vs సరళ సూత్రం మిశ్రమం | రోట్ గుర్తింపు | భ్రమణం విభిన్నమైనదా అని తనిఖీ చేయండి |
| సౌష్ఠవం ద్వారా భాగించకపోవడం | సరూప వస్తువులను కోల్పోవడం | ఎల్లప్పుడూ పునరావృతాల క్రమఫలితంతో భాగించండి |
త్వరిత రివిజన్ ఫ్లాష్ కార్డులు
| ముందు వైపు | వెనుక వైపు |
|---|---|
| nPr సూత్రం | n! / (n–r)! |
| nCr సూత్రం | n! / [r!(n–r)!] |
| 0! | 1 |
| వృత్తాకార ప్రస్తారణ | (n–1)! |
| అంకెల నుండి అన్ని n-అంకెల సంఖ్యల మొత్తం | (n–1)! × మొత్తం × 111…n సార్లు |
| n-బహుభుజిలో కర్ణాలు | nC2 – n |
| పదం ర్యాంక్ ట్రిక్ | మొదటి అక్షరాన్ని స్థిరీకరించండి, మిగిలిన వాటి ప్రస్తారణను లెక్కించండి |
| కనీసం 1 త్వరిత మార్గం | మొత్తం – ఏదీ లేదు |
| సరూప పెట్టెలు | స్టర్లింగ్ సంఖ్యలు |
| పునరావృతం అనుమతించబడినది | n^r |
BETA
