வரிசைமாற்றம் சேர்க்கை
முக்கிய கருத்துக்கள் & சூத்திரங்கள்
| # | கருத்து | சுருக்க விளக்கம் |
|---|---|---|
| 1 | nPr | n! / (n–r)! – வரிசை முக்கியம் |
| 2 | nCr | n! / [r!(n–r)!] – வரிசை புறக்கணிக்கப்படுகிறது |
| 3 | 0! | 1 (வரையறைப்படி) |
| 4 | மீண்டும் வருவது அனுமதிக்கப்பட்டால் | n^r (ஒவ்வொரு இடத்திலும் n தேர்வுகள்) |
| 5 | வட்ட வரிசைமாற்றம் | (n–1)! கடிகார திசை = எதிர் கடிகார திசை ஆக இருக்கும் போது |
| 6 | சொல்லின் தரவரிசை | முதல் எழுத்தை நிலைநிறுத்து, மீதமுள்ளவற்றின் வரிசைமாற்றங்களை எண்ணு |
| 7 | அனைத்து இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை | (n–1)! × (இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை) × 111… (n முறை) |
10 பயிற்சி பலதேர்வு கேள்விகள்
-
“EXAM” என்ற சொல்லின் எழுத்துகளிலிருந்து, மீண்டும் வராமல், எத்தனை 4-எழுத்து குறியீடுகளை உருவாக்க முடியும்? விருப்பங்கள்:
A. 24 B. 120 C. 360 D. 24
பதில்: D. 24
தீர்வு: 4P4 = 4! = 24
குறுக்குவழி: n தனித்த உருப்படிகள், n இடங்கள் → n!
குறிச்சொல்: அடிப்படை வரிசைமாற்றம் -
எந்த மாணவருக்கும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிசு கிடைக்காத வகையில், 8 மாணவர்களுக்கு 5 பரிசுகளை எத்தனை வழிகளில் கொடுக்கலாம்? விருப்பங்கள்:
A. 56 B. 6720 C. 40320 D. 120
பதில்: B. 6720
தீர்வு: 8P5 = 8×7×6×5×4 = 6720
குறுக்குவழி: பெரிய எண்ணிலிருந்து தொடங்கி 5 உறுப்புகளைப் பெருக்கு
குறிச்சொல்: nPr -
10 ஒரே கோட்டில் இல்லாத புள்ளிகளிலிருந்து எத்தனை முக்கோணங்களை உருவாக்க முடியும்? விருப்பங்கள்:
A. 120 B. 45 C. 240 D. 720
பதில்: A. 120
தீர்வு: 10C3 = 120
குறுக்குவழி: முக்கோணங்களுக்கு nC3
குறிச்சொல்: சேர்க்கை -
1,2,3,4,5 என்ற இலக்கங்களை மீண்டும் பயன்படுத்தாமல், எத்தனை 3-இலக்க இரட்டை எண்களை உருவாக்க முடியும்? விருப்பங்கள்:
A. 36 B. 24 C. 48 D. 60
பதில்: B. 24
தீர்வு: ஒன்றாம் இலக்கம் 2 அல்லது 4 (2 வழிகள்). மீதமுள்ளவை 4P2 = 12. மொத்தம் 2×12 = 24
குறுக்குவழி: கடைசியில் இரட்டை இலக்கத்தை நிலைநிறுத்து, பிறகு நிரப்பு
குறிச்சொல்: கட்டுப்பாடுள்ள வரிசைமாற்றம் -
6 நபர்கள் ஒரு வட்ட மேசையைச் சுற்றி எத்தனை வழிகளில் அமரலாம்? விருப்பங்கள்:
A. 720 B. 120 C. 360 D. 60
பதில்: B. 120
தீர்வு: (6–1)! = 120
குறுக்குவழி: வட்ட வரிசைமாற்றத்திற்கு (n–1)!
குறிச்சொல்: வட்ட வரிசைமாற்றம் -
10-பக்க பலகோணத்தில் எத்தனை மூலைவிட்டங்கள் உள்ளன? விருப்பங்கள்:
A. 35 B. 45 C. 90 D. 55
பதில்: A. 35
தீர்வு: 10C2 – 10 = 45 – 10 = 35
குறுக்குவழி: nC2 – n
குறிச்சொல்: பலகோண மூலைவிட்டங்கள் -
0,1,2,3,4 என்ற இலக்கங்களை மீண்டும் பயன்படுத்தாமல், எத்தனை 4-இலக்க எண்களை உருவாக்க முடியும்? விருப்பங்கள்:
A. 96 B. 120 C. 256 D. 24
பதில்: A. 96
தீர்வு: முதல் இலக்கம் 4 தேர்வுகள் (0 தவிர), மீதமுள்ளவை 4P3 = 24; மொத்தம் 4×24 = 96
குறுக்குவழி: முதல் இலக்கம் ≠ 0 என நிலைநிறுத்து
குறிச்சொல்: பூஜ்ஜிய கட்டுப்பாடு -
“INDIA” என்ற சொல்லின் எழுத்துகளை எத்தனை வழிகளில் அமைக்கலாம்? விருப்பங்கள்:
A. 60 B. 120 C. 30 D. 360
பதில்: A. 60
தீர்வு: 5! / 2! = 60
குறுக்குவழி: மீண்டும் வரும் எழுத்துகளின் காரணியால்களால் வகு
குறிச்சொல்: மீண்டும் வரும் எழுத்துகள் -
5 ஆண்கள் மற்றும் 4 பெண்களிலிருந்து 3 ஆண்கள் மற்றும் 2 பெண்களைக் கொண்ட ஒரு குழுவை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்? விருப்பங்கள்:
A. 60 B. 120 C. 100 D. 150
பதில்: A. 60
தீர்வு: 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
குறுக்குவழி: சுயாதீன தேர்வுகளைப் பெருக்கு
குறிச்சொல்: சேர்க்கைப் பெருக்கல் -
“SUCCESS” என்ற சொல்லிலிருந்து எத்தனை 3-எழுத்து சொற்களை (அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும்) உருவாக்க முடியும்? விருப்பங்கள்:
A. 210 B. 126 C. 105 D. 168
பதில்: B. 126
தீர்வு: எழுத்துகள் S×3, U×1, C×2, E×1. மீண்டும் வருவதை அடிப்படையாக வைத்து வகைப்படுத்து; மொத்தம் 126
குறுக்குவழி: எழுத்து மீள்விப்பை அடிப்படையாக வைத்து வகைப்படுத்து
குறிச்சொல்: மேம்பட்ட மீள்விப்பு
5 முந்தைய ஆண்டு கேள்விகள்
[RRB NTPC 2021] “MOBILE” என்ற சொல்லின் எழுத்துகளை, உயிரெழுத்துகள் சம இடங்களில் மட்டுமே இருக்கும் வகையில் எத்தனை வழிகளில் அமைக்கலாம்?
விருப்பங்கள்:
A. 36 B. 72 C. 144 D. 720
பதில்: A. 36
தீர்வு: 3 சம இடங்கள் → உயிரெழுத்துகளுக்கு 3P3; மெய்யெழுத்துகளுக்கு 3!; 6×6 = 36
குறுக்குவழி: கட்டுப்படுத்தப்பட்ட குழுவை முதலில் வை
குறிச்சொல்: நிலையான இடம்
[RRB JE 2019] 15 புள்ளிகளிலிருந்து, அவற்றில் 5 ஒரே கோட்டில் இருந்தால், எத்தனை நேர்கோடுகளை உருவாக்க முடியும்?
விருப்பங்கள்:
A. 105 B. 100 C. 91 D. 96
பதில்: C. 91
தீர்வு: 15C2 – 5C2 + 1 = 105 – 10 + 1 = 96 → அச்சச்சோ, 105 – 10 + 1 = 96 (D)
குறுக்குவழி: மொத்தம் – தவறானவை + 1 (அந்தக் கோட்டிற்கு)
குறிச்சொல்: ஒருகோட்டு சரிசெய்தல்
[RRB Group-D 2018] 4 தனித்த பொம்மைகளை, எந்தப் பெட்டியும் காலியாக இல்லாமல், 2 ஒரே மாதிரியான பெட்டிகளில் எத்தனை வழிகளில் பகிரலாம்?
விருப்பங்கள்:
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
பதில்: A. 7
தீர்வு: இரண்டாம் வகை ஸ்டெர்லிங் எண் S(4,2) = 7
குறுக்குவழி: S(4,2)=7 என நினைவில் கொள்
குறிச்சொல்: ஒரே மாதிரியான பெட்டிகள்
[RRB ALP 2018] 0,1,3,5,7 என்ற இலக்கங்களிலிருந்து, மீண்டும் பயன்படுத்தாமல், 5 ஆல் வகுபடும் எத்தனை 4-இலக்க எண்களை உருவாக்க முடியும்?
விருப்பங்கள்:
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
பதில்: B. 42
தீர்வு: கடைசி இலக்கம் 0 → 4×3×2 = 24; கடைசி இலக்கம் 5 → 3×3×2 = 18; மொத்தம் 42
குறுக்குவழி: கடைசி இலக்கம் 0 மற்றும் 5 எனப் பிரி
குறிச்சொல்: வகுபடுதல் கட்டுப்பாடு
[RRB NTPC 2016] ஒரு பையில் 3 சிவப்பு, 4 வெள்ளை பந்துகள் உள்ளன. குறைந்தபட்சம் 1 சிவப்பு பந்து இருக்கும் வகையில், 3 பந்துகளை எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?
விருப்பங்கள்:
A. 31 B. 32 C. 30 D. 28
பதில்: A. 31
தீர்வு: மொத்தம் 7C3 = 35; கழி 4C3 (சிவப்பு இல்லை) = 35 – 4 = 31
குறுக்குவழி: நிரப்பு எண்ணிக்கை
குறிச்சொல்: குறைந்தபட்ச கட்டுப்பாடு
வேக தந்திரங்கள் & குறுக்குவழிகள்
| சூழ்நிலை | குறுக்குவழி | எடுத்துக்காட்டு |
|---|---|---|
| nCr = nC(n–r) | சிறிய r ஐப் பயன்படுத்து | 50C47 = 50C3 = 19600 |
| முதல் இடத்தில் பூஜ்ஜியம் அனுமதிக்கப்படாது | (n–1) × (n–1)P(k–1) | 0-5 இலிருந்து 4-இலக்க எண்: 5×5P3 = 300 |
| குறைந்தபட்சம் 1 | மொத்தம் – எதுவுமில்லை | 3B 4G இலிருந்து 5 பேரில் குறைந்தபட்சம் 1 ஆண்: 7C5 – 4C5 = 21 |
| இலக்கங்களிலிருந்து அனைத்து n-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை | (n–1)! × கூட்டுத்தொகை × 111…n முறை | இலக்கங்கள் 1,2,3 → 3! × 6 × 111 = 3996 |
| வளைய தொடுடன் (புரட்டு ஒன்றாக இருந்தால்) | (n–1)! / 2 | 6 மணிகள் கொண்ட வளைய தொடு = 60 |
தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்
| தவறு | மாணவர்கள் ஏன் செய்கிறார்கள் | சரியான அணுகுமுறை |
|---|---|---|
| வரிசை முக்கியமாக இருக்கும் போது nCr ஐப் பயன்படுத்துதல் | “தேர்வு” vs “அமைப்பு” குழப்பம் | கேள்: இடமாற்றம் புதிய வழியை உருவாக்குமா? |
| 0 முதல் இடத்தில் வர முடியாது என மறத்தல் | இட மதிப்பை விட இலக்கங்களில் மட்டும் கவனம் செலுத்துதல் | முதல் இலக்கத்தை தனித்தனியாக நிலைநிறுத்து |
| வட்ட மற்றும் நேர்கோட்டு சூத்திரங்களை கலத்தல் | மனப்பாடம் செய்து நினைவு கூறுதல் | சுழற்சி தனித்தன்மை வாய்ந்ததா என சரிபார் |
| சமச்சீர்மையால் வகுக்க மறத்தல் | ஒரே மாதிரியான உருப்படிகளைத் தவறவிடுதல் | எப்போதும் மீண்டும் வரும் எழுத்துகளின் காரணியால்களால் வகு |
விரைவு மீள் பார்வை ஃபிளாஷ் கார்டுகள்
| முன்பக்கம் | பின்பக்கம் |
|---|---|
| nPr சூத்திரம் | n! / (n–r)! |
| nCr சூத்திரம் | n! / [r!(n–r)!] |
| 0! | 1 |
| வட்ட வரிசைமாற்றம் | (n–1)! |
| இலக்கங்களிலிருந்து அனைத்து n-இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை | (n–1)! × கூட்டுத்தொகை × 111…n முறை |
| n-பக்க பலகோணத்தில் மூலைவிட்டங்கள் | nC2 – n |
| சொல்லின் தரவரிசை தந்திரம் | முதல் எழுத்தை நிலைநிறுத்து, மீதமுள்ளவற்றின் வரிசைமாற்றங்களை எண்ணு |
| குறைந்தபட்சம் 1 குறுக்குவழி | மொத்தம் – எதுவுமில்லை |
| ஒரே மாதிரியான பெட்டிகள் | ஸ்டெர்லிங் எண்கள் |
| மீண்டும் வருவது அனுமதிக்கப்பட்டால் | n^r |
BETA
