ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ
ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು
| # | ಪರಿಕಲ್ಪನೆ | ತ್ವರಿತ ವಿವರಣೆ |
|---|---|---|
| 1 | nPr | n! / (n–r)! – ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯ |
| 2 | nCr | n! / [r!(n–r)!] – ಕ್ರಮ ಅಲಕ್ಷ್ಯ |
| 3 | 0! | 1 (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ) |
| 4 | ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ | n^r (ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ n ಆಯ್ಕೆಗಳು) |
| 5 | ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ | (n–1)! ಯಾವಾಗ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ = ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾ |
| 6 | ಪದದ ಶ್ರೇಣಿ | ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ, ಉಳಿದವುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿ |
| 7 | ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ | (n–1)! × (ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ) × 111… (n ಬಾರಿ) |
10 ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹು ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
“EXAM” ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಷ್ಟು 4-ಅಕ್ಷರದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 24 B. 120 C. 360 D. 24
ಉತ್ತರ: D. 24
ಪರಿಹಾರ: 4P4 = 4! = 24
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: n ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳು, n ಸ್ಥಾನಗಳು → n!
ಟ್ಯಾಗ್: ಮೂಲ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ -
ಯಾವುದೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಹುಮಾನ ಸಿಗದಂತೆ 5 ಬಹುಮಾನಗಳನ್ನು 8 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 56 B. 6720 C. 40320 D. 120
ಉತ್ತರ: B. 6720
ಪರಿಹಾರ: 8P5 = 8×7×6×5×4 = 6720
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು 5 ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: nPr -
10 ಅಸರಳ ರೇಖೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 120 B. 45 C. 240 D. 720
ಉತ್ತರ: A. 120
ಪರಿಹಾರ: 10C3 = 120
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ nC3
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಂಯೋಜನೆ -
1,2,3,4,5 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಷ್ಟು 3-ಅಂಕಿಯ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 36 B. 24 C. 48 D. 60
ಉತ್ತರ: B. 24
ಪರಿಹಾರ: ಏಕಮ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ 2 ಅಥವಾ 4 (2 ರೀತಿಗಳು). ಉಳಿದ 4P2 = 12. ಒಟ್ಟು 2×12 = 24
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಮ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ, ನಂತರ ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ -
6 ಜನರು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮೇಜಿನ ಸುತ್ತ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 720 B. 120 C. 360 D. 60
ಉತ್ತರ: B. 120
ಪರಿಹಾರ: (6–1)! = 120
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ವೃತ್ತಾಕಾರಕ್ಕೆ (n–1)!
ಟ್ಯಾಗ್: ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ -
10-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಕರ್ಣಗಳಿವೆ? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 35 B. 45 C. 90 D. 55
ಉತ್ತರ: A. 35
ಪರಿಹಾರ: 10C2 – 10 = 45 – 10 = 35
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: nC2 – n
ಟ್ಯಾಗ್: ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳು -
0,1,2,3,4 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಎಷ್ಟು 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 96 B. 120 C. 256 D. 24
ಉತ್ತರ: A. 96
ಪರಿಹಾರ: 1ನೇ ಅಂಕೆಗೆ 4 ಆಯ್ಕೆಗಳು (0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಉಳಿದ 4P3 = 24; ಒಟ್ಟು 4×24 = 96
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: 1ನೇ ಅಂಕೆ ≠ 0 ಎಂದು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಶೂನ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧ -
“INDIA” ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 60 B. 120 C. 30 D. 360
ಉತ್ತರ: A. 60
ಪರಿಹಾರ: 5! / 2! = 60
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಕ್ಷರಗಳು -
5 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 4 ಮಹಿಳೆಯರಿಂದ 3 ಪುರುಷರು ಮತ್ತು 2 ಮಹಿಳೆಯರ ಸಮಿತಿಯನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 60 B. 120 C. 100 D. 150
ಉತ್ತರ: A. 60
ಪರಿಹಾರ: 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಸಂಯೋಜನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧ -
“SUCCESS” ಪದದಿಂದ ಎಷ್ಟು 3-ಅಕ್ಷರದ ಪದಗಳನ್ನು (ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಅಲ್ಲ) ರಚಿಸಬಹುದು? ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 210 B. 126 C. 105 D. 168
ಉತ್ತರ: B. 126
ಪರಿಹಾರ: ಅಕ್ಷರಗಳು S×3, U×1, C×2, E×1. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕರಣಗಳು; ಒಟ್ಟು 126
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಅಕ್ಷರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಸುಧಾರಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆ
5 ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
[RRB NTPC 2021] “MOBILE” ಪದದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸ್ವರಗಳು ಕೇವಲ ಸಮ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವಂತೆ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು?
ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 36 B. 72 C. 144 D. 720
ಉತ್ತರ: A. 36
ಪರಿಹಾರ: 3 ಸಮ ಸ್ಥಾನಗಳು → ಸ್ವರಗಳಿಗೆ 3P3; ವ್ಯಂಜನಗಳಿಗೆ 3!; 6×6 = 36
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಮೊದಲು ಇರಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಾನ
[RRB JE 2019] 15 ಬಿಂದುಗಳಿಂದ, ಅದರಲ್ಲಿ 5 ಸರಳ ರೇಖೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು?
ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 105 B. 100 C. 91 D. 96
ಉತ್ತರ: C. 91
ಪರಿಹಾರ: 15C2 – 5C2 + 1 = 105 – 10 + 1 = 96 → ಓಹ್, 105 – 10 + 1 = 96 (D)
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಒಟ್ಟು – ದೋಷಯುಕ್ತ + 1 (ರೇಖೆಗಾಗಿ)
ಟ್ಯಾಗ್: ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ
[RRB Group-D 2018] ಯಾವುದೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದಂತೆ 4 ವಿಭಿನ್ನ ಆಟಿಕೆಗಳನ್ನು 2 ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಬಹುದು?
ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
ಉತ್ತರ: A. 7
ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ 2ನೇ ರೀತಿ S(4,2) = 7
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: S(4,2)=7 ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು
[RRB ALP 2018] 0,1,3,5,7 ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಇಲ್ಲದೆ 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಎಷ್ಟು 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು?
ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
ಉತ್ತರ: B. 42
ಪರಿಹಾರ: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 0 → 4×3×2 = 24; ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 5 → 3×3×2 = 18; ಒಟ್ಟು 42
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಕೊನೆಯ ಅಂಕೆ 0 vs 5 ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಭಜಿಸಿ
ಟ್ಯಾಗ್: ಭಾಜ್ಯತೆ ನಿರ್ಬಂಧ
[RRB NTPC 2016] ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ 3 ಕೆಂಪು, 4 ಬಿಳಿ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ. ಕನಿಷ್ಠ 1 ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು ಇರುವಂತೆ 3 ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು?
ಆಯ್ಕೆಗಳು:
A. 31 B. 32 C. 30 D. 28
ಉತ್ತರ: A. 31
ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು 7C3 = 35; ಮೈನಸ್ 4C3 (ಕೆಂಪು ಇಲ್ಲ) = 35 – 4 = 31
ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್: ಪೂರಕ ಎಣಿಕೆ
ಟ್ಯಾಗ್: ಕನಿಷ್ಠ ನಿರ್ಬಂಧ
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ಗಳು
| ಪರಿಸ್ಥಿತಿ | ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಉದಾಹರಣೆ |
|---|---|---|
| nCr = nC(n–r) | ಚಿಕ್ಕ r ಬಳಸಿ | 50C47 = 50C3 = 19600 |
| ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಅನುಮತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ | (n–1) × (n–1)P(k–1) | 0-5 ರಿಂದ 4-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ: 5×5P3 = 300 |
| ಕನಿಷ್ಠ 1 | ಒಟ್ಟು – ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ | 3B 4G ರಿಂದ 5 ರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 1 ಹುಡುಗ: 7C5 – 4C5 = 21 |
| ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ n-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ | (n–1)! × ಮೊತ್ತ × 111…n ಬಾರಿ | ಅಂಕೆಗಳು 1,2,3 → 3! × 6 × 111 = 3996 |
| ಕಂಕಣದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತಾಕಾರ (ಮಗ್ಗುಲು ಒಂದೇ) | (n–1)! / 2 | 6 ಮಣಿಗಳ ಕಂಕಣ = 60 |
ತಪ್ಪು ಮಾಡದಿರಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪುಗಳು
| ತಪ್ಪು | ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ | ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ |
|---|---|---|
| ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಾದಾಗ nCr ಬಳಸುವುದು | “ಆಯ್ಕೆ” vs “ವ್ಯವಸ್ಥೆ” ಗೊಂದಲ | ಕೇಳಿ: ವಿನಿಮಯ ಹೊಸ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಯೇ? |
| 0 ಮುಂದೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮರೆತುಹೋಗುವುದು | ಕೇವಲ ಅಂಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಗಮನ, ಸ್ಥಾನ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ | ಮೊದಲ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ |
| ವೃತ್ತಾಕಾರ vs ರೇಖೀಯ ಸೂತ್ರ ಮಿಶ್ರಣ | ರೋಟ್ ನೆನಪು | ತಿರುಗುವಿಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ |
| ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸದಿರುವುದು | ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು | ಯಾವಾಗಲೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ |
ತ್ವರಿತ ಪುನರಾವಲೋಕನ ಫ್ಲ್ಯಾಶ್ ಕಾರ್ಡ್ಗಳು
| ಮುಂಭಾಗ | ಹಿಂಭಾಗ |
|---|---|
| nPr ಸೂತ್ರ | n! / (n–r)! |
| nCr ಸೂತ್ರ | n! / [r!(n–r)!] |
| 0! | 1 |
| ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ | (n–1)! |
| ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಎಲ್ಲಾ n-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ | (n–1)! × ಮೊತ್ತ × 111…n ಬಾರಿ |
| n-ಬದಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು | nC2 – n |
| ಪದದ ಶ್ರೇಣಿ ತಂತ್ರ | ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ, ಉಳಿದವುಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಿ |
| ಕನಿಷ್ಠ 1 ಶಾರ್ಟ್ಕಟ್ | ಒಟ್ಟು – ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ |
| ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು | ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು |
| ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ | n^r |
BETA
