क्रमचय और संचय
त्वरित सिद्धांत
क्रमचय (व्यवस्था) और संचय (चयन) यह तय करते हैं कि कोई कार्य “कितने तरीकों से” किया जा सकता है।
- क्रमचय – क्रम मायने रखता है; nPr = n!/(n–r)!
- संचय – क्रम मायने नहीं रखता; nCr = n!/(r!(n–r)!)
याद रखें:
- nCr = nC(n–r)
- nC0 = nCn = 1
- 0! = 1
समान वस्तुओं के लिए, दोहराव के फैक्टोरियल से भाग करें।
वृत्तीय व्यवस्था के लिए, एक स्थान स्थिर करें और बाकी की व्यवस्था करें → (n–1)!
अंतराल/प्रतिबंध समस्याओं के लिए, “अंतराल-विधि” या “बाँधो-फिर-व्यवस्थित करो” का प्रयोग करें।
अभ्यास सेट (25 MCQs)
आसान (1-8)
- “CAT” के अक्षरों से बिना पुनरावृत्ति के कितने 3-अक्षर के शब्द (अर्थपूर्ण या निरर्थक) बनाए जा सकते हैं?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 27
उत्तर
सही: **B. 6** 3P3 = 3! = 6.- 5 में से 2 विद्यार्थियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
A. 5
B. 10
C. 20
D. 25
उत्तर
सही: **B. 10** 5C2 = 10.- 6P2 का मान है
A. 12
B. 15
C. 30
D. 36
उत्तर
सही: **C. 30** 6×5 = 30.- nCr + nC(r+1) बराबर है
A. (n+1)Cr
B. (n+1)C(r+1)
C. nC(r+1)
D. (n+1)C(r+1)
उत्तर
सही: **B. (n+1)C(r+1)** पास्कल की पहचान।- एक पंचभुज में विकर्णों की संख्या है
A. 5
B. 6
C. 7
D. 10
उत्तर
सही: **A. 5** 5C2 – 5 = 5.- 0! बराबर है
A. 0
B. 1
C. अपरिभाषित
D. –1
Answer
Correct: **B. 1**- 4 अलग-अलग पुस्तकों को एक शेल्फ पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
A. 24
B. 12
C. 16
D. 256
Answer
Correct: **A. 24** 4! = 24.- 6 अ-संरेख बिंदुओं से कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं?
A. 15
B. 20
C. 30
D. 12
Answer
Correct: **B. 20** 6C3 = 20.मध्यम (9-18)
- 1-5 अंकों से 4-अंकीय संख्याएँ (बिना पुनरावृत्ति) कितनी बनाई जा सकती हैं?
A. 120
B. 60
C. 24
D. 625
Answer
Correct: **A. 120** 5P4 = 120.- 5 लड़कों और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जाए कि कोई दो लड़कियाँ साथ न बैठें?
A. 14400
B. 7200
C. 3600
D. 1800
Answer
Correct: **A. 14400** लड़कों को 5! तरीकों से (120); 6 खाली स्थान; 3 खाली चुनें 6C3=20; लड़कियों को 3!=6 → 120×20×6 = 14400.- “SUCCESS” के सभी अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
A. 420
B. 840
C. 1260
D. 2520
Answer
Correct: **A. 420** 7!/(3!2!1!1!) = 420.- 6 समान पेंसिलों को 4 बच्चों में इस प्रकार बाँटने के कितने तरीके हैं कि प्रत्येक को कम-से-कम एक मिले?
A. 10
B. 15
C. 20
D. 12
Answer
Correct: **A. 10** Stars & bars: 5C3 = 10.- 5 पुरुषों और 4 महिलाओं से 3 पुरुषों और 2 महिलाओं की समिति कितने तरीकों से बनाई जाए?
A. 60
B. 120
C. 40
D. 100
उत्तर
सही: **A. 60** 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60.- अंकों 1,2,3,4,5 से बिना पुनरावृत्ति के कितनी 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
A. 24
B. 30
C. 36
D. 48
उत्तर
सही: **A. 24** सम इकाई स्थान तय करें (2 या 4) → 2 विकल्प; शेष 4 अंकों से 4P2 = 12 → 2×12 = 24.- 5 लोगों को एक गोल मेज़ के चारों ओर कितनी तरह से बिठाया जा सकता है?
A. 120
B. 24
C. 60
D. 12
उत्तर
सही: **B. 24** (5–1)! = 24.- यदि 10C3 = 10Cx और x ≠ 3, तो x =
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
उत्तर
सही: **B. 7** nCr = nC(n–r) → x = 7.- एक वृत्त पर स्थित 8 बिंदुओं से कितनी सीधी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
A. 28
B. 56
C. 8
D. 16
उत्तर
सही: **A. 28** 8C2 = 28.- एक रेलगाड़ी में 4 जनरल और 3 स्लीपर डिब्बे हैं। निरीक्षण के लिए 2 जनरल और 1 स्लीपर डिब्बे कितनी तरह से चुने जा सकते हैं?
A. 12
B. 18
C. 24
D. 30
उत्तर
सही: **B. 18** 4C2 × 3C1 = 6×3 = 18.कठिन (19-25)
- “LETTER” से कोई अक्षर दोहराए बिना कितने 4-अक्षर के शब्द बनाए जा सकते हैं?
A. 360
B. 180
C. 240
D. 120
उत्तर
सही: **A. 360** विषम अक्षर L,E,T,R → 6P4 = 360.- 5 पुरस्कारों को 3 विद्यार्थियों में इस प्रकार बाँटने के कितने तरीके हैं कि प्रत्येक विद्यार्थी को कम-से-कम एक पुरस्कार मिले?
A. 150
B. 180
C. 240
D. 270
उत्तर
सही: **A. 150** सर्जेक्टिव मैपिंग: 3^5 – 3×2^5 + 3×1^5 = 243 – 96 + 3 = 150.- एक रेलवे डिब्बे में 6 सीटें हैं। 2 यात्री एक-दूसरे के बगल में बैठने से इनकार करते हैं। वैध व्यवस्थाओं की संख्या है
A. 480
B. 240
C. 360
D. 600
उत्तर
सही: **A. 480** कुल 6! = 720; दोनों को एक मानें → 5!×2 = 240; वैध = 720 – 240 = 480.- 1080 के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
उत्तर
सही: **B. 6** 1080 = 2³×3³×5¹; सम घातांक → (2×2×1) = 4 विकल्प, पर 0,2 के लिए 2 व 3; 5 के लिए 0 → 2×2×1 = 4; 5^0 के लिए 1 और → कुल 6.- 4 समान लाल, 3 समान नीले और 2 समान हरे झंडों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से लगाया जा सकता है?
A. 1260
B. 2520
C. 5040
D. 720
उत्तर
सही: **A. 1260** 9!/(4!3!2!) = 1260.- 10 स्टेशनों में से किन्हीं दो के बीच का टिकट अद्वितीय होता है। विभिन्न टिकटों की कुल संख्या है
A. 45
B. 90
C. 100
D. 80
उत्तर
सही: **B. 90** 10P2 = 90 (A→B ≠ B→A).- 0,1,2,3,4,5 अंकों का बिना पुनरावृत्ति प्रयोग करके कितनी 5-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो 3 से विभाज्य हों?
A. 216
B. 240
C. 288
D. 360
उत्तर
सही: **A. 216** छहों अंकों का योग = 15। एक अंक हटा दें ताकि बचा योग 3 से विभाज्य हो। 0 या 3 हटाएँ। स्थिति 1: 0 हटाया → अंक 1-5 (योग 15)। 5! = 120 संख्याएँ। स्थिति 2: 3 हटाया → अंक 0,1,2,4,5 (योग 12)। पहला अंक ≠ 0 → 4×4! = 4×24 = 96। कुल = 120 + 96 = 216।स्पीड टिप्स और शॉर्टकट
- nCr = nC(n–r) → तालिका का काम आधा करें।
- जब भी “कम से कम एक” आए, पूरक सोचें: कुल – कोई नहीं।
- समान वस्तुओं के लिए, हमेशा दोहराव के फैक्टोरियल से भाग दें।
- वृत्ताकार व्यवस्था: एक स्थिर → (n–1)!
- गैप विधि: पहले बिना प्रतिबंध वस्तुओं को व्यवस्थित करें, फिर प्रतिबंधित वस्तुओं को गैप में रखें।
- रेलवे परीक्षाओं के लिए 7! तक का फैक्टोरियल पर्याप्त है; 1!–7! = 1,2,6,24,120,720,5040 याद रखें।
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