7.1 నిష్పత్తులు మరియు శాతాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం

నిష్పత్తి అంటే రెండు పరిమాణాలను పోల్చడం అని మనకు తెలుసు.

ఒక బుట్టలో రెండు రకాల పండ్లు ఉన్నాయి అనుకోండి, 20 ఆపిల్లు మరియు 5 నారింజ పండ్లు.

అప్పుడు, నారింజ పండ్ల సంఖ్యకు ఆపిల్ల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి $=5: 20$.

ఈ పోలికను భిన్నాలను ఉపయోగించి ఈ విధంగా చేయవచ్చు, $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

నారింజ పండ్ల సంఖ్య ఆపిల్ల సంఖ్యలో $\frac{1}{4}$ వ వంతు. నిష్పత్తి పరంగా, ఇది $1: 4$, “1 కి 4” గా చదవబడుతుంది.

$ \text{ లేదా } $

ఆపిల్ల సంఖ్యకు నారింజ పండ్ల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి $=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$ అంటే, ఆపిల్ల సంఖ్య నారింజ పండ్ల సంఖ్యకు 4 రెట్లు. ఈ పోలికను శాతాలను ఉపయోగించి కూడా చేయవచ్చు.

25 పండ్లలో 5 నారింజ పండ్లు ఉన్నాయి. కాబట్టి నారింజ పండ్ల శాతం

$ \frac{5}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{100}=20 \% $

[హారం 100 చేయబడింది]. ఏకరీతి పద్ధతి ద్వారా: 25 పండ్లలో, నారింజ పండ్ల సంఖ్య 5. కాబట్టి 100 పండ్లలో, నారింజ పండ్ల సంఖ్య

$ =\frac{5}{25} \times 100=20 \text{. } $

బుట్టలో ఆపిల్లు మరియు నారింజ పండ్లు మాత్రమే ఉన్నందున,

కాబట్టి, $\quad$ ఆపిల్ల శాతం + నారింజ పండ్ల శాతం $=100$

లేదా ఆపిల్ల శాతం $+20=100$

లేదా $\quad$ ఆపిల్ల శాతం $=100-20=80$

అందువల్ల బుట్టలో $20 \%$ నారింజ పండ్లు మరియు $80 \%$ ఆపిల్లు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 1 : ఒక పాఠశాలలో తరగతి VII కోసం పిక్నిక్ ప్లాన్ చేయబడుతోంది. బాలికలు మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యలో $60 \%$ మరియు వారి సంఖ్య 18.

పిక్నిక్ సైట్ పాఠశాల నుండి $55 km$ దూరంలో ఉంది మరియు రవాణా కంపెనీ ప్రతి కి.మీ.కు ₹ 12 రేటు ప్రకారం ఛార్జీ విధిస్తోంది. రిఫ్రెష్మెంట్ల మొత్తం ఖర్చు ₹ 4280 అవుతుంది.

మీరు చెప్పగలరా.

1. తరగతిలో బాలికల సంఖ్యకు బాలుర సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి ఎంత?

2. తరగతితో పాటు ఇద్దరు ఉపాధ్యాయులు కూడా వెళ్తే, తలకు ఖర్చు ఎంత?

3. వారి మొదటి స్టాప్ పాఠశాల నుండి $22 km$ దూరంలో ఉన్న స్థలంలో ఉంటే, $55 km$ మొత్తం దూరంలో ఇది ఎంత శాతం? ఇంకా ప్రయాణించాల్సిన దూరం ఎంత శాతం?

సాధన:

1. బాలికలకు బాలుర నిష్పత్తిని కనుగొనడానికి.

అశిమ మరియు జాన్ ఈ క్రింది సమాధానాలతో ముందుకు వచ్చారు.

వారికి బాలుర సంఖ్య మరియు మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య తెలుసుకోవాల్సి ఉంది.

అశిమ ఇలా చేసింది

మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య $x .60 \%$ గా ఉండనివ్వండి. $x$ బాలికలు. అందువల్ల, $60 \%$ $x=18$ $\frac{60}{100} \times x=18$ లేదా, $x=\frac{18 \times 100}{60}=30$ విద్యార్థుల సంఖ్య $=30$.

జాన్ ఏకరీతి పద్ధతిని ఉపయోగించాడు

100 మంది విద్యార్థులలో 60 మంది బాలికలు ఉన్నారు.

$\frac{100}{60}$ మంది విద్యార్థులలో ఒక బాలిక ఉంది.

కాబట్టి, 18 మంది బాలికలు ఎన్ని మంది విద్యార్థులలో ఉన్నారు?

విద్యార్థుల సంఖ్య $=\frac{100}{60} \times 18$

$ =30 $

కాబట్టి, బాలుర సంఖ్య $=30-18=12$.

అందువల్ల, బాలికల సంఖ్యకు బాలుర సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి $18: 12$ లేదా $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$. $\frac{3}{2}$ ను $3: 2$ గా రాస్తారు మరియు 3 కి 2 గా చదువుతారు.

2. తలకు ఖర్చును కనుగొనడానికి.

రవాణా ఛార్జీ $=$ రెండు వైపుల దూరం $\times$ రేటు

$ \begin{aligned} & =₹(55 \times 2) \times 12 \\ & =₹ 110 \times 12=₹ 1320 \end{aligned} $

మొత్తం ఖర్చులు $=$ రిఫ్రెష్మెంట్ ఛార్జీ + రవాణా ఛార్జీ

$ =₹ 4280+₹ 1320 $

$ =₹ 5600 $

మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య $=18$ బాలికలు +12 బాలురు +2 ఉపాధ్యాయులు

$ =32 \text{ వ్యక్తులు } $

అశిమ మరియు జాన్ తర్వాత తలకు ఖర్చును కనుగొనడానికి ఏకరీతి పద్ధతిని ఉపయోగించారు.

32 మంది వ్యక్తులకు, ఖర్చు చేయబడిన మొత్తం ₹ 5600 అవుతుంది.

ఒక వ్యక్తికి ఖర్చు చేయబడిన మొత్తం $=₹ \frac{5600}{32}=₹ 175$.

3. మొదటి స్టాప్ చేసిన స్థలం యొక్క దూరం $=22 km$.

దూరం యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడానికి:

అశిమ ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించింది:

$\frac{22}{55} = \frac{22}{55} \times \frac{100}{100} = 40 \% $

ఆమె నిష్పత్తిని
తో గుణిస్తోంది మరియు శాతంగా మారుస్తోంది.

లేదా

జాన్ ఏకరీతి పద్ధతిని ఉపయోగించాడు:
55 కి.మీ.లలో, 22 కి.మీ. ప్రయాణించబడ్డాయి.
1 కి.మీ.లో, $\frac{22}{55}$ కి.మీ. ప్రయాణించబడ్డాయి
100 కి.మీ.లలో, $\frac{22}{55} \times 100$ కి.మీ. ప్రయాణించబడ్డాయి.
అంటే మొత్తం దూరంలో 40% ప్రయాణించబడింది.

ఇద్దరూ ఒకే సమాధానంతో బయటికి వచ్చారు, వారు ఆగిన స్థలం వారి పాఠశాల నుండి వారు ప్రయాణించాల్సిన మొత్తం దూరంలో $40 \%$ ఉంది.

అందువల్ల, ఇంకా ప్రయాణించాల్సిన శాతం దూరం $=100 \%-40 \%=60 \%$.

మీరే చేయండి

ఒక ప్రాథమిక పాఠశాలలో, తమ పిల్లల హోంవర్క్ చేయడంలో సహాయపడటానికి తల్లిదండ్రులు రోజుకు ఎన్ని గంటలు గడుపుతారనే దాని గురించి అడిగారు. $\frac{1}{2}$ గంట నుండి $1 \frac{1}{2}$ గంటల వరకు సహాయపడిన 90 మంది తల్లిదండ్రులు ఉన్నారు. వారు ఎంత సమయం పాటు సహాయపడ్డారని చెప్పారో దాని ప్రకారం తల్లిదండ్రుల పంపిణీ ప్రక్కనే ఉన్న పటంలో ఇవ్వబడింది; $20 \%$ మంది $1 \frac{1}{2}$ గంటల కంటే ఎక్కువ సమయం పాటు సహాయపడ్డారు;

$30 \%$ మంది $\frac{1}{2}$ గంట నుండి $1 \frac{1}{2}$ గంటల వరకు సహాయపడ్డారు; $50 \%$ మంది అస్సలు సహాయపడలేదు.

దీనిని ఉపయోగించి, క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

(i) ఎంత మంది తల్లిదండ్రులు సర్వే చేయబడ్డారు?

(ii) ఎంత మంది వారు సహాయపడలేదని చెప్పారు?

(iii) ఎంత మంది వారు $1 \frac{1}{2}$ గంటల కంటే ఎక్కువ సమయం పాటు సహాయపడ్డారని చెప్పారు?

అభ్యాసం 7.1

1. క్రింది వాటి నిష్పత్తిని కనుగొనండి.

(a) సైకిల్ వేగం $15 km$ ప్రతి గంటకు స్కూటర్ వేగం $30 km$ ప్రతి గంటకు.

(b) $5 m$ కు $10 km$

(c) 50 పైసలు నుండి ₹ 5

2. క్రింది నిష్పత్తులను శాతాలుగా మార్చండి. (a) $3: 4$ (b) $2: 3$

3. 25 మంది విద్యార్థులలో $72 \%$ మందికి గణితంపై ఆసక్తి ఉంది. గణితంపై ఆసక్తి లేని వారు ఎంత మంది?

4. ఒక ఫుట్బాల్ టీమ్ మొత్తం ఆడిన మ్యాచ్లలో 10 మ్యాచ్లు గెలిచింది. వారి గెలుపు శాతం 40 అయితే, వారు మొత్తం ఎన్ని మ్యాచ్లు ఆడారు?

5. చమేలి తన డబ్బులో $75 \%$ ఖర్చు చేసిన తర్వాత ₹ 600 మిగిలి ఉంటే, ఆమె ప్రారంభంలో ఎంత డబ్బు కలిగి ఉంది?

6. ఒక నగరంలో $60 \%$ మంది ప్రజలు క్రికెట్ ను ఇష్టపడితే, $30 \%$ మంది ఫుట్బాల్ ను ఇష్టపడతారు మరియు మిగిలినవారు ఇతర ఆటలను ఇష్టపడతారు, అప్పుడు ఇతర ఆటలను ఇష్టపడే వ్యక్తుల శాతం ఎంత? మొత్తం వ్యక్తుల సంఖ్య 50 లక్షలు అయితే, ప్రతి రకం ఆటను ఇష్టపడే వ్యక్తుల ఖచ్చితమైన సంఖ్యను కనుగొనండి.

7.2 తగ్గింపులను కనుగొనడం

తగ్గింపు అనేది వస్తువు యొక్క గుర్తించబడిన ధర (MP)పై ఇవ్వబడిన తగ్గుదల.

ఇది సాధారణంగా వినియోగదారులను ఆకర్షించడానికి లేదా వస్తువుల విక్రయాలను ప్రోత్సహించడానికి ఇవ్వబడుతుంది. మీరు దాని అమ్మకపు ధరను గుర్తించబడిన ధర నుండి తీసివేయడం ద్వారా తగ్గింపును కనుగొనవచ్చు.

కాబట్టి, తగ్గింపు $=$ గుర్తించబడిన ధర - అమ్మకపు ధర

ఉదాహరణ 2 : ₹ 840 కు గుర్తించబడిన వస్తువు ₹ 714 కు విక్రయించబడింది. తగ్గింపు మరియు

తగ్గింపు $ \% $ ఎంత?

సాధన:

తగ్గింపు $=$ గుర్తించబడిన ధర - అమ్మకపు ధర

$ \begin{aligned} & =₹ 840-₹ 714 \\ & =₹ 126 \end{aligned} $

తగ్గింపు గుర్తించబడిన ధరపై ఉన్నందున, మేము గుర్తించబడిన ధరను ఆధారంగా తీసుకోవలసి ఉంటుంది.

₹ 840 గుర్తించబడిన ధరపై, తగ్గింపు ₹ 126.

₹ 100 MPపై, తగ్గింపు ఎంత ఉంటుంది?

$ \text{ తగ్గింపు }=\frac{126}{840} \times 100 \%=15 \% $

తగ్గింపు $%$ ఇవ్వబడినప్పుడు కూడా మీరు తగ్గింపును కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 3 : ఒక ఫ్రాక్ యొక్క జాబితా ధర ₹ 220. అమ్మకాలపై $20 \%$ తగ్గింపు ప్రకటించబడింది. దానిపై తగ్గింపు మొత్తం మరియు దాని అమ్మకపు ధర ఎంత.

సాధన: గుర్తించబడిన ధర జాబితా ధరకు సమానం.

$20 \%$ తగ్గింపు అంటే ₹ 100 (MP)పై, తగ్గింపు ₹ 20.

ఏకరీతి పద్ధతి ద్వారా, ₹ 1 పై తగ్గింపు $₹ \frac{20}{100}$ ఉంటుంది.

$₹ 220$ పై, తగ్గింపు $=₹ \frac{20}{100} \times 220=₹ 44$

అమ్మకపు ధర $=(₹ 220-₹ 44)$ లేదా ₹ 176

రెహానా అమ్మకపు ధరను ఇలా కనుగొంది -

$20 \%$ తగ్గింపు అంటే ₹ 100 MP కోసం, తగ్గింపు ₹ 20. అందువల్ల అమ్మకపు ధర $₹ 80$. ఏకరీతి పద్ధతిని ఉపయోగించి, MP ₹ 100 అయినప్పుడు, అమ్మకపు ధర ₹ 80;

MP ₹ 1 అయినప్పుడు, అమ్మకపు ధర ₹ $\frac{80}{100}$.

అందువల్ల MP ₹ 220 అయినప్పుడు, అమ్మకపు ధర $=₹ \frac{80}{100} \times 220=₹ 176$.

తగ్గింపు కనుగొనబడనప్పటికీ, నేను నేరుగా అమ్మకపు ధరను కనుగొనగలిగాను.

మీరే చేయండి

1. ఒక దుకాణం $20 \%$ తగ్గింపు ఇస్తుంది. వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క అమ్మకపు ధర ఎంత ఉంటుంది?

(a) ₹ 120 కు గుర్తించబడిన ఒక డ్రెస్

(b) ₹ 750 కు గుర్తించబడిన ఒక జత షూలు

(c) ₹ 250 కు గుర్తించబడిన ఒక బ్యాగ్

2. ₹ 15,000 కు గుర్తించబడిన ఒక టేబుల్ ₹ 14,400 కు లభిస్తుంది. ఇవ్వబడిన తగ్గింపు మరియు తగ్గింపు శాతాన్ని కనుగొనండి.

3. ఒక అల్మారా $5 \%$ తగ్గింపు అనుమతించిన తర్వాత ₹ 5,225 కు విక్రయించబడుతుంది. దాని గుర్తించబడిన ధరను కనుగొనండి.

7.2.1 శాతాలలో అంచనా

మీ బిల్లు ఒక దుకాణంలో ₹ 577.80 మరియు దుకాణదారు $15 \%$ తగ్గింపు ఇస్తాడు. చెల్లించాల్సిన మొత్తాన్ని మీరు ఎలా అంచనా వేస్తారు?

(i) బిల్లును ₹ 577.80 యొక్క సమీప పదులకు రౌండ్ ఆఫ్ చేయండి, అంటే, ₹ 580 కు.

(ii) దీనిలో $10 \%$ కనుగొనండి, అంటే, ₹ $\frac{10}{100} \times 580=₹ 58$.

(iii) దీనిలో సగం తీసుకోండి, అంటే, $\frac{1}{2} \times 58=₹ 29$.

(iv) (ii) మరియు (iii)లోని మొత్తాలను జోడించి ₹ 87 పొందండి.

అందువల్ల మీరు మీ బిల్లు మొత్తాన్ని ₹ 87 లేదా సుమారు ₹ 85 తగ్గించవచ్చు, ఇది సుమారు ₹ 495 అవుతుంది.

1. అదే బిల్లు మొత్తంలో $20 \%$ ను అంచనా వేయడానికి ప్రయత్నించండి. 2 . $15 \%$ $₹ 375$ ను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

7.3 సేల్స్ టాక్స్/వాల్యూ యాడెడ్ టాక్స్/గుడ్స్ అండ్ సర్వీసెస్ టాక్స్

ఉపాధ్యాయుడు తరగతికి ఈ క్రింది శీర్షికలు వ్రాయబడిన బిల్లును చూపించాడు.

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{సేల్స్ టాక్స్ (ST) అనేది ఒక వస్తువు విక్రయంపై ప్రభుత్వం విధించే పన్ను. ఇది దుకాణదారు ద్వారా}\\ \text{వినియోగదారు నుండి వసూలు చేయబడి ప్రభుత్వానికి ఇవ్వబడుతుంది. ఇది, అందువల్ల, ఎల్లప్పుడూ} \\ \text{ఒక వస్తువు యొక్క అమ్మకపు ధరపై ఉంటుంది మరియు బిల్లు విలువకు జోడించబడుతుంది. మరొక రకమైన పన్ను} \\ \text{ఉంది, ఇది వాల్యూ యాడెడ్ టాక్స్ (VAT) అని పిలువబడే ధరలలో చేర్చబడుతుంది.} \\ \hline \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{జూలై 1, 2017 నుండి, భారత ప్రభుత్వం GST ను ప్రవేశపెట్టింది, ఇది గుడ్స్ అండ్ }\\ \text{సర్వీసెస్ టాక్స్ కు సూచిస్తుంది, ఇది వస్తువులు లేదా సేవలు లేదా రెండింటి సరఫరాపై విధించబడుతుంది.} \\ \hline \end{array} $

ఉదాహరణ 4 : (సేల్స్ టాక్స్ కనుగొనడం) ఒక దుకాణంలో ఒక జత రోలర్ స్కేట్ల ధర ₹ 450. విధించబడిన సేల్స్ టాక్స్ $5 \%$. బిల్లు మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

సాధన: ₹ 100 పై, చెల్లించిన పన్ను ₹ 5.

₹ 450 పై, చెల్లించే పన్ను $=₹ \frac{5}{100} \times 450$

$ =₹ 22.50 $

బిల్లు మొత్తం $=$ వస్తువు ధర + సేల్స్ టాక్స్ $=₹ 450+₹ 22.50=₹ 472.50$.

ఉదాహరణ 5 : (వాల్యూ యాడెడ్ టాక్స్ (VAT)) వహీదా $10 \%$ పన్ను సహా ₹ 3300 కు ఒక ఎయిర్ కూలర్ కొన్నాడు. VAT జోడించబడే ముందు ఎయిర్ కూలర్ ధరను కనుగొనండి.

సాధన: ధరలో VAT, అంటే వాల్యూ యాడెడ్ టాక్స్ చేర్చబడింది. అందువల్ల, 10% VAT అంటే VAT లేని ధర ₹ 100 అయితే VAT చేర్చిన ధర ₹ 110.

ఇప్పుడు, VAT చేర్చిన ధర ₹ 110 అయినప్పుడు, అసలు ధర ₹ 100.

అందువల్ల పన్ను చేర్చిన ధర $₹ 3300$ అయినప్పుడు, అసలు ధర $=₹ \frac{100}{110} \times 3300=₹ 3000$.

ఉదాహరణ 6 : సలీం $12 \%$ GST చేర్చి ₹ 784 కు ఒక వస్తువును కొన్నాడు. GST జోడించబడే ముందు వస్తువు ధర ఎంత?

సాధన: వస్తువు యొక్క అసలు ధర $₹ 100$ గా ఉండనివ్వండి. GST $=12 \%$.

GST చేర్చిన తర్వాత ధర $=₹(100+12)=₹ 112$

అమ్మకపు ధర $₹ 112$ అయినప్పుడు అసలు ధర $=₹ 100$.

అమ్మకపు ధర $₹ 784$ అయినప్పుడు, అసలు ధర $=₹ \frac{100}{12} \times 784=₹ 700$

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

1. ఒక సంఖ్యకు రెండు రెట్లు అనేది ఆ సంఖ్యలో $100 \%$ పెరుగుదల. మనం సంఖ్యలో సగం తీసుకుంటే శాతంలో ఎంత తగ్గుదల ఉంటుంది?

2. $₹ 2,000$ $₹ 2,400$ కంటే ఎంత శాతం తక్కువ? ఇది ₹ 2,400 ₹ 2,000 కంటే ఎంత శాతం ఎక్కువ అనే దానికి సమానమేనా?

అభ్యాసం 7.2

1. సేల్ సమయంలో, ఒక దుకాణం అన్ని వస్తువుల గుర్తించబడిన ధరలపై $10 \%$ తగ్గింపును అందించింది. ₹ 1450 కు గుర్తించబడిన ఒక జత జీన్స్ మరియు ₹ 850 చొప్పున గుర్తించబడిన రెండు చొక్కాల కోసం ఒక కస్టమర్ ఎంత చెల్లించాలి?

2. $a T V$ ధర $₹ 13,000$. దానిపై విధించే సేల్స్ టాక్స్ రేటు $12 \%$. వినోద్ దానిని కొనుగోలు చేస్తే అతను చెల్లించాల్సిన మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

3. అరుణ్ ఒక జత స్కేట్లను సేల్ వద్ద కొన్నాడు, అక్కడ ఇవ్వబడిన తగ్గింపు $20 \%$. అతను చెల్లించే మొత్తం ₹ 1,600 అయితే, గుర్తించబడిన ధరను కనుగొనండి.

4. నేను $8 \%$ VAT చేర్చి ₹ 5,400 కు ఒక హెయిర్-డ్రైయర్ కొన్నాను. VAT జోడించబడే ముందు ధరను కనుగొనండి.

5. ఒక వ్యాసం $18 \%$ GST చేర్చి ₹ 1239 కు కొనుగోలు చేయబడింది. GST జోడించబడే ముందు వ్యాసం ధర ఎంత?

7.4 చక్రవడ్డీ

మీరు “ఫిక్స్డ్ డిపాజిట్ కోసం బ్యాంకులో ఒక సంవత్సరానికి 9% వడ్డీ” లేదా ‘సంవత్సరానికి 5% వడ్డీతో పొదుపు ఖాతా’ వంటి ప్రకటనలను చూసి ఉండవచ్చు.

వడ్డీ అనేది బ్యాంకులు లేదా పోస్టాఫీసులు వంటి సంస్థలు వారి వద్ద జమ చేయబడిన (ఉంచబడిన) డబ్బుపై చెల్లించే అదనపు డబ్బు. ప్రజలు డబ్బు తీసుకున్నప్పుడు కూడా వడ్డీ చెల్లిస్తారు. సాధారణ వడ్డీని ఎలా లెక్కించాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు.

ఉదాహరణ 7 : ₹ 10,000 మొత్తం 2 సంవత్సరాల కాలానికి సంవత్సరానికి $15 \%$ వడ్డీ రేటుతో తీసుకోబడింది. ఈ మొత్తంపై సాధారణ వడ్డీని మరియు 2 సంవత్సరాల చివరిలో చెల్లించాల్సిన మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

సాధన: ₹ 100 పై, 1 సంవత్సరానికి విధించే వడ్డీ ₹ 15.

కాబట్టి, ₹ 10,000 పై, విధించే వడ్డీ $=\frac{15}{100} \times 10000=₹ 1500$

$ \text{ 2 సంవత్సరాలకు వడ్డీ }=₹