৭.১ অনুপাত ও শতকরা হার পুনরালোচনা

আমরা জানি, অনুপাত মানে দুটি রাশির তুলনা।

একটি ঝুড়িতে দুই ধরনের ফল আছে, ধরা যাক, ২০টি আপেল এবং ৫টি কমলালেবু।

তাহলে, কমলালেবুর সংখ্যার সাথে আপেলের সংখ্যার অনুপাত $=5: 20$।

তুলনাটি ভগ্নাংশ ব্যবহার করে এভাবে করা যেতে পারে, $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

কমলালেবুর সংখ্যা আপেলের সংখ্যার $\frac{1}{4}$ অংশ। অনুপাতের ভাষায়, এটি $1: 4$, পড়া হয় “১ অনুপাত ৪”

$ \text{ অথবা } $

আপেলের সংখ্যার সাথে কমলালেবুর সংখ্যার অনুপাত $=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$ যার অর্থ, আপেলের সংখ্যা কমলালেবুর সংখ্যার ৪ গুণ। এই তুলনা শতকরার মাধ্যমেও করা যেতে পারে।

২৫টি ফলের মধ্যে ৫টি কমলালেবু আছে। সুতরাং কমলালেবুর শতকরা হার

$ \frac{5}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{100}=20 \% $

[হরকে ১০০ করা হয়েছে]। একক পদ্ধতিতে: ২৫টি ফলের মধ্যে, কমলালেবুর সংখ্যা ৫টি। সুতরাং ১০০টি ফলের মধ্যে, কমলালেবুর সংখ্যা

$ =\frac{5}{25} \times 100=20 \text{। } $

যেহেতু ঝুড়িতে শুধুমাত্র আপেল এবং কমলালেবু আছে,

সুতরাং, $\quad$ আপেলের শতকরা হার + কমলালেবুর শতকরা হার $=100$

বা আপেলের শতকরা হার $+20=100$

বা $\quad$ আপেলের শতকরা হার $=100-20=80$

এইভাবে ঝুড়িতে $20 \%$ কমলালেবু এবং $80 \%$ আপেল আছে।

উদাহরণ ১ : একটি বিদ্যালয়ে সপ্তম শ্রেণির জন্য একটি পিকনিকের পরিকল্পনা করা হচ্ছে। মোট শিক্ষার্থীর $60 \%$ অংশ মেয়ে এবং তাদের সংখ্যা ১৮ জন।

পিকনিকের স্থান বিদ্যালয় থেকে $55 km$ দূরে এবং পরিবহন কোম্পানি প্রতি কিলোমিটার ₹ ১২ হারে চার্জ করছে। জলখাবারের মোট খরচ হবে ₹ ৪২৮০।

তুমি বলতে পারো কি?

১. শ্রেণিতে মেয়েদের সংখ্যার সাথে ছেলেদের সংখ্যার অনুপাত কত?

২. যদি দুজন শিক্ষকও শ্রেণির সাথে যান তবে প্রতি জনের খরচ কত?

৩. যদি তাদের প্রথম যাত্রাবিরতি বিদ্যালয় থেকে $22 km$ দূরে একটি স্থানে হয়, তবে মোট $55 km$ দূরত্বের কত শতাংশ এটি? কত শতাংশ দূরত্ব এখনও অতিক্রম করতে বাকি আছে?

সমাধান:

১. মেয়েদের সাথে ছেলেদের অনুপাত বের করতে।

আশিমা এবং জন নিম্নলিখিত উত্তর নিয়ে আসলেন।

তাদের ছেলেদের সংখ্যা এবং মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা জানা প্রয়োজন ছিল।

আশিমা এভাবে করল

মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা ধরা যাক $x .60 \%$ এর $x$ অংশ মেয়ে। অতএব, $60 \%$ এর $x=18$ $\frac{60}{100} \times x=18$ বা, $x=\frac{18 \times 100}{60}=30$ শিক্ষার্থীর সংখ্যা $=30$।

জন একক পদ্ধতি ব্যবহার করল

১০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ৬০ জন মেয়ে।

$\frac{100}{60}$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১ জন মেয়ে।

সুতরাং, ১৮ জন মেয়ে কত জন শিক্ষার্থীর মধ্যে?

শিক্ষার্থীর সংখ্যা $=\frac{100}{60} \times 18$

$ =30 $

সুতরাং, ছেলেদের সংখ্যা $=30-18=12$।

অতএব, মেয়েদের সংখ্যার সাথে ছেলেদের সংখ্যার অনুপাত $18: 12$ বা $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$। $\frac{3}{2}$ কে $3: 2$ হিসেবে লেখা হয় এবং পড়া হয় ৩ অনুপাত ২।

২. প্রতি ব্যক্তির খরচ বের করতে।

পরিবহন খরচ $=$ উভয় পথের দূরত্ব $\times$ হার

$ \begin{aligned} & =₹(55 \times 2) \times 12 \\ & =₹ 110 \times 12=₹ 1320 \end{aligned} $

মোট ব্যয় $=$ জলখাবারের খরচ + পরিবহন খরচ

$ =₹ 4280+₹ 1320 $

$ =₹ 5600 $

মোট ব্যক্তির সংখ্যা $=18$ মেয়ে +১২ জন ছেলে +২ জন শিক্ষক

$ =32 \text{ জন } $

আশিমা এবং জন তারপর প্রতি জনের খরচ বের করতে একক পদ্ধতি ব্যবহার করল।

৩২ জনের জন্য, ব্যয়িত অর্থ হবে ₹ ৫৬০০।

১ জনের জন্য ব্যয়িত অর্থ $=₹ \frac{5600}{32}=₹ 175$।

৩. প্রথম যাত্রাবিরতি করা স্থানের দূরত্ব $=22 km$।

দূরত্বের শতাংশ বের করতে:

আশিমা এই পদ্ধতি ব্যবহার করল:

$\frac{22}{55} = \frac{22}{55} \times \frac{100}{100} = 40 \% $

সে অনুপাতকে
দ্বারা গুণ করছে এবং শতাংশে রূপান্তর করছে।

অথবা

জন একক পদ্ধতি ব্যবহার করল:
৫৫ কিমি এর মধ্যে, ২২ কিমি ভ্রমণ করা হয়েছে।
১ কিমি এর মধ্যে, $\frac{22}{55}$ কিমি ভ্রমণ করা হয়েছে
১০০ কিমি এর মধ্যে, $\frac{22}{55} \times 100$ কিমি ভ্রমণ করা হয়েছে।
অর্থাৎ মোট দূরত্বের ৪০% ভ্রমণ করা হয়েছে।

দুজনেই একই উত্তর নিয়ে এল যে, যে স্থানে তারা থেমেছিল সেটি তাদের বিদ্যালয় থেকে মোট যাত্রা দূরত্বের $40 \%$ অংশ ছিল।

অতএব, ভ্রমণ করতে বাকি থাকা দূরত্বের শতাংশ $=100 \%-40 \%=60 \%$।

চেষ্টা করো

একটি প্রাথমিক বিদ্যালয়ে, বাবা-মায়েদের জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল যে তারা প্রতিদিন কত ঘণ্টা তাদের সন্তানদের গৃহকাজে সাহায্য করেন। ৯০ জন বাবা-মা $\frac{1}{2}$ ঘণ্টা থেকে $1 \frac{1}{2}$ ঘণ্টা পর্যন্ত সাহায্য করতেন। তারা কতক্ষণ সাহায্য করেছেন তার ভিত্তিতে বাবা-মায়েদের বণ্টন সংলগ্ন চিত্রে দেওয়া আছে; $20 \%$ প্রতিদিন $1 \frac{1}{2}$ ঘণ্টার বেশি সময় সাহায্য করতেন;

$30 \%$ $\frac{1}{2}$ ঘণ্টা থেকে $1 \frac{1}{2}$ ঘণ্টা পর্যন্ত সাহায্য করতেন; $50 \%$ মোটেই সাহায্য করতেন না।

এটি ব্যবহার করে, নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

(i) কতজন বাবা-মায়ের উপর জরিপ করা হয়েছিল?

(ii) কতজন বলেছিলেন যে তারা সাহায্য করেননি?

(iii) কতজন বলেছিলেন যে তারা $1 \frac{1}{2}$ ঘণ্টার বেশি সময় সাহায্য করেন?

অনুশীলনী ৭.১

১. নিম্নলিখিতগুলোর অনুপাত নির্ণয় করো।

(ক) একটি সাইকেলের গতি $15 km$ প্রতি ঘণ্টায় এবং একটি স্কুটারের গতি $30 km$ প্রতি ঘণ্টায়।

(খ) $5 m$ থেকে $10 km$

(গ) ৫০ পয়সা থেকে ₹ ৫

২. নিম্নলিখিত অনুপাতগুলোকে শতাংশে রূপান্তর করো। (ক) $3: 4$ (খ) $2: 3$

৩. ২৫ জন শিক্ষার্থীর $72 \%$ অংশ গণিতে আগ্রহী। কতজন গণিতে আগ্রহী নয়?

৪. একটি ফুটবল দল মোট খেলা সংখ্যার ১০টি ম্যাচ জিতেছে। যদি তাদের জয়ের শতকরা হার ৪০ হয়, তবে তারা মোট কতটি ম্যাচ খেলেছিল?

৫. যদি চামেলি তার টাকার $75 \%$ অংশ খরচ করার পর ₹ ৬০০ বাকি থাকে, তবে তার শুরুতে কত টাকা ছিল?

৬. যদি একটি শহরের $60 \%$ জন ক্রিকেট পছন্দ করে, $30 \%$ জন ফুটবল পছন্দ করে এবং বাকিরা অন্যান্য খেলা পছন্দ করে, তবে কত শতাংশ লোক অন্যান্য খেলা পছন্দ করে? যদি মোট লোকসংখ্যা ৫০ লক্ষ হয়, তবে প্রতিটি ধরনের খেলা পছন্দ করে এমন লোকের সঠিক সংখ্যা নির্ণয় করো।

৭.২ ছাড় নির্ণয়

ছাড় হল একটি পণ্যের চিহ্নিত মূল্য (MP) এর উপর প্রদত্ত একটি হ্রাস।

এটি সাধারণত গ্রাহকদের পণ্য কিনতে আকৃষ্ট করতে বা পণ্যের বিক্রয় বাড়ানোর জন্য দেওয়া হয়। তুমি বিক্রয় মূল্যকে চিহ্নিত মূল্য থেকে বিয়োগ করে ছাড় বের করতে পারো।

সুতরাং, ছাড় $=$ চিহ্নিত মূল্য - বিক্রয় মূল্য

উদাহরণ ২ : ₹ ৮৪০ চিহ্নিত একটি পণ্য ₹ ৭১৪ এ বিক্রি করা হয়। ছাড় এবং

ছাড়ের শতকরা হার $ \% $ কত?

সমাধান:

ছাড় $=$ চিহ্নিত মূল্য - বিক্রয় মূল্য

$ \begin{aligned} & =₹ 840-₹ 714 \\ & =₹ 126 \end{aligned} $

যেহেতু ছাড় চিহ্নিত মূল্যের উপর গণনা করা হয়, তাই আমাদের ভিত্তি হিসেবে চিহ্নিত মূল্য ব্যবহার করতে হবে।

₹ ৮৪০ চিহ্নিত মূল্যের উপর, ছাড় হল ₹ ১২৬।

₹ ১০০ চিহ্নিত মূল্যের উপর, ছাড় কত হবে?

$ \text{ ছাড় }=\frac{126}{840} \times 100 \%=15 \% $

ছাড়ের শতকরা হার দেওয়া থাকলেও তুমি ছাড় বের করতে পারো।

উদাহরণ ৩ : একটি ফ্রকের তালিকা মূল্য ₹ ২২০। বিক্রয়ের সময় $20 \%$ ছাড় ঘোষণা করা হয়। এর উপর ছাড়ের পরিমাণ এবং বিক্রয় মূল্য কত?

সমাধান: চিহ্নিত মূল্য তালিকা মূল্যের সমান।

$20 \%$ ছাড়ের অর্থ হল ₹ ১০০ (চিহ্নিত মূল্য) এর উপর, ছাড় হল ₹ ২০।

একক পদ্ধতিতে, ₹ ১ এর উপর ছাড় হবে $₹ \frac{20}{100}$।

$₹ 220$ এর উপর, ছাড় $=₹ \frac{20}{100} \times 220=₹ 44$

বিক্রয় মূল্য $=(₹ 220-₹ 44)$ বা ₹ ১৭৬

রেহানা এভাবে বিক্রয় মূল্য বের করল -

$20 \%$ ছাড়ের অর্থ হল ₹ ১০০ চিহ্নিত মূল্যের জন্য, ছাড় হল ₹ ২০। সুতরাং বিক্রয় মূল্য হল $₹ 80$। একক পদ্ধতি ব্যবহার করে, যখন চিহ্নিত মূল্য ₹ ১০০, তখন বিক্রয় মূল্য ₹ ৮০;

যখন চিহ্নিত মূল্য ₹ ১, তখন বিক্রয় মূল্য ₹ $\frac{80}{100}$।

সুতরাং যখন চিহ্নিত মূল্য ₹ ২২০, তখন বিক্রয় মূল্য $=₹ \frac{80}{100} \times 220=₹ 176$।

যদিও ছাড় বের করা হয়নি, তবুও আমি সরাসরি বিক্রয় মূল্য বের করতে পেরেছি।

চেষ্টা করো

১. একটি দোকান $20 \%$ ছাড় দেয়। নিম্নলিখিত প্রতিটি পণ্যের বিক্রয় মূল্য কত হবে?

(ক) ₹ ১২০ চিহ্নিত একটি পোশাক

(খ) ₹ ৭৫০ চিহ্নিত এক জোড়া জুতা

(গ) ₹ ২৫০ চিহ্নিত একটি ব্যাগ

২. ₹ ১৫,০০০ চিহ্নিত একটি টেবিল ₹ ১৪,৪০০ এ পাওয়া যাচ্ছে। প্রদত্ত ছাড় এবং ছাড়ের শতকরা হার নির্ণয় করো।

৩. একটি আলমারি $5 \%$ ছাড় দিয়ে ₹ ৫,২২৫ এ বিক্রি করা হয়। এর চিহ্নিত মূল্য নির্ণয় করো।

৭.২.১ শতাংশে আনুমানিক হিসাব

দোকানে তোমার বিল ₹ ৫৭৭.৮০ এবং দোকানদার $15 \%$ ছাড় দেয়। তুমি কীভাবে প্রদেয় অর্থের আনুমানিক হিসাব করবে?

(i) বিলটিকে ₹ ৫৭৭.৮০ এর নিকটতম দশকে পূর্ণসংখ্যায়িত করো, অর্থাৎ ₹ ৫৮০।

(ii) এর $10 \%$ অংশ বের করো, অর্থাৎ ₹ $\frac{10}{100} \times 580=₹ 58$।

(iii) এর অর্ধেক নাও, অর্থাৎ $\frac{1}{2} \times 58=₹ 29$।

(iv) (ii) এবং (iii) এর পরিমাণ যোগ করে পাবে ₹ ৮৭।

সুতরাং তুমি তোমার বিলের পরিমাণ ₹ ৮৭ বা প্রায় ₹ ৮৫ কমাতে পারো, যা হবে প্রায় ₹ ৪৯৫।

১. একই বিলের পরিমাণের $20 \%$ অংশের আনুমানিক হিসাব করার চেষ্টা করো। ২। $₹ 375$ এর $15 \%$ অংশ বের করার চেষ্টা করো।

৭.৩ বিক্রয় কর/মূল্য সংযোজন কর/পণ্য ও পরিষেবা কর

শিক্ষক শ্রেণিতে একটি বিল দেখালেন যাতে নিম্নলিখিত শিরোনামগুলো লেখা ছিল।

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{বিক্রয় কর (ST) হল একটি পণ্য বিক্রয়ের উপর সরকার কর্তৃক আরোপিত কর। এটি দোকানদার}\\ \text{গ্রাহকের কাছ থেকে সংগ্রহ করে সরকারকে দেয়। এটি তাই সর্বদা একটি পণ্যের বিক্রয় মূল্যের উপর}\\ \text{আরোপিত হয় এবং বিলের মূল্যের সাথে যোগ করা হয়। আরেক ধরনের কর আছে যা মূল্যের মধ্যে}\\ \text{অন্তর্ভুক্ত থাকে যাকে মূল্য সংযোজন কর (VAT) বলে।} \\ \hline \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{১ জুলাই, ২০১৭ থেকে, ভারত সরকার জিএসটি চালু করেছে যা পণ্য ও পরিষেবা কর বোঝায়}\\ \text{এবং এটি পণ্য বা পরিষেবা বা উভয়ের সরবরাহের উপর আরোপিত হয়।} \\ \hline \end{array} $

উদাহরণ ৪ : (বিক্রয় কর নির্ণয়) একটি দোকানে এক জোড়া রোলার স্কেটের দাম ছিল ₹ ৪৫০। আরোপিত বিক্রয় কর ছিল $5 \%$। বিলের পরিমাণ নির্ণয় করো।

সমাধান: ₹ ১০০ এর উপর, প্রদত্ত কর ছিল ₹ ৫।

₹ ৪৫০ এর উপর, প্রদত্ত কর হবে $=₹ \frac{5}{100} \times 450$

$ =₹ 22.50 $

বিলের পরিমাণ $=$ পণ্যের মূল্য + বিক্রয় কর $=₹ 450+₹ 22.50=₹ 472.50$।

উদাহরণ ৫ : (মূল্য সংযোজন কর (VAT)) ওয়াহিদা একটি এয়ার কুলার কিনলেন ₹ ৩৩০০ এ যার মধ্যে $10 \%$ কর অন্তর্ভুক্ত ছিল। VAT যোগ করার আগে এয়ার কুলারের মূল্য কত ছিল?

সমাধান: মূল্যের মধ্যে VAT অন্তর্ভুক্ত আছে, অর্থাৎ মূল্য সংযোজন কর। সুতরাং, ১০% VAT এর অর্থ হল যদি VAT ছাড়া মূল্য ₹ ১০০ হয় তবে VAT সহ মূল্য ₹ ১১০।

এখন, যখন VAT সহ মূল্য ₹ ১১০, তখন প্রকৃত মূল্য ₹ ১০০।

সুতরাং যখন করসহ মূল্য $₹ 3300$, তখন প্রকৃত মূল্য $=₹ \frac{100}{110} \times 3300=₹ 3000$।

উদাহরণ ৬ : সালিম একটি পণ্য কিনলেন ₹ ৭৮৪ এ যার মধ্যে $12 \%$ GST অন্তর্ভুক্ত ছিল। GST যোগ করার আগে পণ্যের মূল্য কত ছিল?

সমাধান: ধরা যাক পণ্যের প্রকৃত মূল্য $₹ 100$। GST $=12 \%$।

GST অন্তর্ভুক্ত করার পর মূল্য $=₹(100+12)=₹ 112$

যখন বিক্রয় মূল্য $₹ 112$ তখন প্রকৃত মূল্য $=₹ 100$।

যখন বিক্রয় মূল্য $₹ 784$, তখন প্রকৃত মূল্য $=₹ \frac{100}{12} \times 784=₹ 700$

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লেখো

১. একটি সংখ্যার দ্বিগুণ হল সংখ্যাটির $100 \%$ বৃদ্ধি। যদি আমরা সংখ্যাটির অর্ধেক নিই তবে শতকরা হ্রাস কত হবে?

২. $₹ 2,000$, $₹ 2,400$ থেকে কত শতাংশ কম? এটি কি সেই শতাংশের সমান যত শতাংশ ₹ ২,৪০০, ₹ ২,০০০ থেকে বেশি?

অনুশীলনী ৭.২

১. একটি বিক্রয়ের সময়, একটি দোকান সমস্ত পণ্যের চিহ্নিত মূল্যের উপর $10 \%$ ছাড় দিচ্ছিল। একজন গ্রাহককে ₹ ১৪৫০ চিহ্নিত এক জোড়া জিন্স এবং ₹ ৮৫০ চিহ্নিত দুটি শার্টের জন্য কত টাকা দিতে হবে?

২. $a T V$ এর দাম $₹ 13,000$। এর উপর আরোপিত বিক্রয় করের হার $12 \%$। বিনোদ যদি এটি কিনে তবে তাকে কত টাকা দিতে হবে?

৩. অরুণ একটি জোড়া স্কেট একটি বিক্রয়ে কিনল যেখানে প্রদত্ত ছাড় ছিল $20 \%$। যদি সে যে পরিমাণ টাকা দেয় তা ₹ ১,৬০০ হয়, তবে চিহ্নিত মূল্য নির্ণয় করো।

৪. আমি একটি হেয়ার ড্রায়ার কিনলাম ₹ ৫,৪০০ এ যার মধ্যে $8 \%$ VAT অন্তর্ভুক্ত ছিল। VAT যোগ করার আগের মূল্য নির্ণয় করো।

৫. একটি পণ্য কেনা হয়েছিল ₹ ১২৩৯ এ যার মধ্যে $18 \%$ GST অন্তর্ভুক্ত ছিল। GST যোগ করার আগে পণ্যের মূল্য কত ছিল?

৭.৪ চক্রবৃদ্ধি সুদ

তুমি নিশ্চয়ই “ব্যাংকে স্থায়ী আমানতের উপর এক বছরের সুদ @ ৯% বার্ষিক” বা ‘সঞ্চয়ী হিসাবের সুদ @ ৫% বার্ষিক’ এর মতো বিবৃতি দেখেছ।

সুদ হল ব্যাংক বা ডাকঘরের মতো প্রতিষ্ঠান কর্তৃক জমা রাখা টাকার উপর প্রদত্ত অতিরিক্ত অর্থ। মানুষ যখন টাকা ধার করে তখনও সুদ প্রদান করে। আমরা সরল সুদ কীভাবে গণনা করতে হয় তা ইতিমধ্যেই জানি।

উদাহরণ ৭ : ₹ ১০,০০০ এর একটি অর্থ $15 \%$ বার্ষিক সুদের হারে ২ বছরের জন্য ধার করা হয়। এই অর্থের উপর সরল সুদ এবং ২ বছর শেষে প্রদেয় অর্থ নির্ণয় করো।

সমাধান: ₹ ১০০ এর উপর, ১ বছরের জন্য সুদ ধার্য হয় ₹ ১৫।

সুতরাং, ₹ ১০,০০০ এর উপর, সুদ ধার্য $=\frac{15}{100} \times 10000=₹ 1500$

$ \text{ ২ বছরের জন্য সুদ }=₹ 1500 \times 2=₹ 3000 $

২ বছর শেষে প্রদেয় অর্থ $=$ আসল + সুদ

$ =₹ 10000+₹ 3000=₹ 13000 $

চেষ্টা করো

₹ ১৫০০০ এর উপর $5 \%$ বার্ষিক হারে ২ বছর পর সুদ এবং প্রদেয় অর্থ নির্ণয় করো।

আমার বাবা ডাকঘরে কিছু টাকা ৩ বছরের জন্য রেখেছেন। প্রতি বছর টাকা আগের বছরের চেয়ে বেশি বৃদ্ধি পায়।

ব্যাংকে আমাদের কিছু টাকা আছে। প্রতি বছর কিছু সুদ যোগ হয়, যা পাসবুকে দেখানো হয়। এই সুদ প্রতি বছর একই থাকে না, এটি প্রতি বছর বৃদ্ধি পায়।

সাধারণত, প্রদত্ত বা ধার্য সুদ কখনই সরল সুদ হয় না। সুদ গণনা করা হয় পূর্ববর্তী বছরের অর্থের পরিমাণের উপর। এটি চক্রবৃদ্ধি সুদ বা Compound Interest (C.I.) নামে পরিচিত।

আসুন একটি উদাহরণ নিই এবং সুদকে বছরে বছরে বের করি। প্রতি বছর আমাদের অর্থ বা আসল পরিবর্তিত হয়।

চক্রবৃদ্ধি সুদ গণনা

হিনা ২ বছরের জন্য $8 \%$ বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে ₹ ২০,০০০ ধার নিয়েছে। চক্রবৃদ্ধি সুদ (C.I.) এবং ২ বছর শেষে তাকে যে অর্থ দিতে হবে তা নির্ণয় করো।

আসলাম শিক্ষককে জিজ্ঞাসা করল এটি কি বোঝায় যে তাদের বছরে বছরে সুদ বের করতে হবে। শিক্ষক বললেন ‘হ্যাঁ’, এবং তাকে নিম্নলিখিত ধাপগুলো ব্যবহার করতে বললেন:

১. এক বছরের জন্য সরল সুদ (S.I.) বের করো।

প্রথম বছরের আসল ধরা যাক $P_1$। এখানে, $P_1=₹ 20,000$

$ SI_1=SI \text{ ৮ \% বার্ষিক হারে ১ম বছরের জন্য }=₹ \frac{20000 \times 8}{100}=₹ 1600 $

২. তারপর সেই অর্থ বের করো যা প্রদান বা গ্রহণ করতে হবে। এটি পরবর্তী বছরের আসল হয়ে যায়।

১ম বছর শেষে অর্থ $=P_1+SI_1=₹ 20000+₹ 1600$

$ =₹ 21600=P_2(\text{ ২য় বছরের আসল }) $

৩. আবার এই অর্থের উপর আরেক বছরের সুদ বের করো।

$ \begin{aligned} SI_2=SI \text{ ৮ \% বার্ষিক হারে ২য় বছরের জন্য } & =₹ \frac{21600 \times 8}{100} \\ & =₹ 1728 \end{aligned} $

৪. দ্বিতীয় বছর শেষে প্রদেয় বা গ্রহণযোগ্য অর্থ বের করো।

$ \begin{aligned} \text{ ২য় বছর শেষে অর্থ } & =P_2+SI_2 \\ & =₹ 21600+₹ 1728 \\ & =₹ 23328 \\ \text{ প্রদত্ত মোট সুদ } & =₹ 1600+₹ 1728 \\ & =₹ 3328 \end{aligned} $

রীতা জিজ্ঞাসা করল সরল সুদের জন্য কি অর্থ ভিন্ন হবে। শিক্ষক তাকে দুই বছরের সুদ বের করে নিজে দেখতে বললেন।

$ \text{ ২ বছরের জন্য SI }=₹ \frac{20000 \times 8 \times 2}{100}=₹ 3200 $

রীতা বলল যখন চক্রবৃদ্ধি সুদ ব্যবহার করা হয় তখন হিনাকে ₹ ১২৮ বেশি দিতে হবে।

আসুন সরল সুদ এবং চক্রবৃদ্ধি সুদের মধ্যে পার্থক্য দেখি। আমরা শুরু করি ₹ ১০০ দিয়ে। চার্টটি সম্পূর্ণ করার চেষ্টা করো।

লক্ষ্য করো যে ৩ বছরে,

সরল সুদের দ্বারা অর্জিত সুদ $=₹(130-100)=₹ 30$, অন্যদিকে,

চক্রবৃদ্ধি সুদের দ্বারা অর্জিত সুদ $=₹(133.10-100)=₹ 33.10$

এটাও লক্ষ্য করো যে সরল সুদের অধীনে আসল একই থাকে, অন্যদিকে চক্রবৃদ্ধি সুদের অধীনে এটি বছরে বছরে পরিবর্তিত হয়।

৭.৫ চক্রবৃদ্ধি সুদের জন্য একটি সূত্র উদ্ভাবন

জুবেদা তার শিক্ষককে জিজ্ঞাসা করল, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ বের করার একটি সহজ উপায় আছে কি?’ শিক্ষক বললেন, ‘চক্রবৃদ্ধি সুদ বের করার একটি সংক্ষিপ্ত উপায় আছে। আসুন এটি বের করার চেষ্টা করি।’

ধরা যাক $P_1$ হল সেই অর্থ যার উপর সুদ বার্ষিক $R \%$ হারে চক্রবৃদ্ধি করা হয়।

ধরা যাক $P_1=₹ 5000$ এবং $R=5$। তাহলে উপরে উল্লিখিত ধাপ অনুসারে

১.

$ \begin{matrix} & SI_1=₹ \frac{5000 \times 5 \times 1}{100} & or & SI_1=₹ \frac{P_1 \times R \times 1}{100} \\ \\ so, & A_1=₹ 5000+\frac{5000 \times 5 \times 1}{100} & or & A_1=P_1+S_1=P_1+\frac{P_1 R}{100} \\ \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})=P_2 & & =P_1(1+\frac{R}{100})=P_2 \end{matrix} $

২.

$ \begin{matrix} & SI_2=₹ 5000(1+\frac{5}{100}) \times \frac{5 \times 1}{100} & or & SI_2=₹ \frac{P_2 \times R \times 1}{100} \\ \\ & =₹ \frac{5000 \times 5}{100}(1+\frac{5}{100}) & or & =P_1(1+\frac{R}{100}) \times \frac{R}{100} \\ \\ & & &=\frac{P_1 R}{100}(1+\frac{R}{100}) \end{matrix} $

$ \begin{aligned} A_2 & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})+₹ \frac{5000 \times 5}{100}(1+\frac{5}{100}) & A_2 & =P_2+SI_2 \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})(1+\frac{5}{100}) & & =P_1(1+\frac{1}{1}). \\ & =₹ 5000(1+\frac{5}{100})^{2}=P_3 & & =P_1(1+\frac{1}{1}). \end{aligned} $

$ \begin{aligned} SI_2 & =\frac{P_2 \times R \times 1}{100} \\ \\ & =\frac{P_1 R}{100}(1+\frac{R}{100}) \\ A_2 & =P_2+SI_2 \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})+P_1 \frac{R}{100}(1+\frac{R}{100}) \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})(1+\frac{R}{100}) \\ & =P_1(1+\frac{R}{100})^{2}=P_3 \end{aligned} $

এইভাবে এগিয়ে গেলে $n$ বছর শেষে অর্থ হবে

$ A_n=P_1(1+\frac{R}{100})^{n} $

অথবা, আমরা বলতে পারি

$ A=P(1+\frac{R}{100})^{n} $

সুতরাং, জুবেদা বলল, কিন্তু এটি ব্যবহার করে আমরা শুধুমাত্র $n$ বছর শেষে প্রদেয় অর্থের সূত্র পাই, এবং চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র পাই না।

অরুণা তখনই বলল যে আমরা জানি $CI=A-P$, তাই আমরা সহজেই চক্রবৃদ্ধি সুদও বের করতে পারি।

উদাহরণ ৮ : ₹ ১২৬০০ এর উপর ২ বছরের জন্য $10 \%$ বার্ষিক হারে চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করো। সমাধান: আমাদের আছে, $A=P(1+\frac{R}{100})^{n}$, যেখানে আসল $(P)=₹ 12600$, হার $(R)=10$,

বছরের সংখ্যা $(n)=2$

$ =₹ 12600(1+\frac{10}{100})^{2}=₹ 12600(\frac{11}{10})^{2} $

$ \begin{aligned} & =₹ 12600 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10}=₹ 15246 \\ C I=A-P & =₹ 15246-₹ 12600=₹ 2646 \end{aligned} $

চেষ্টা করো

১. $₹ 8000$ অর্থের উপর ২ বছরের জন্য $5 \%$ বার্ষিক হারে চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করো।

৭.৬ চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্রের প্রয়োগ

কিছু পরিস্থিতি আছে যেখানে আমরা চক্রবৃদ্ধি সুদে অর্থ গণনার সূত্র ব্যবহার করতে পারি। এখানে কয়েকটি দেওয়া হল।

(i) জনসংখ্যা বৃদ্ধি (বা হ্রাস)।

(ii) একটি ব্যাকটেরিয়ার বৃদ্ধি, যদি বৃদ্ধির হার জানা থাকে।

(iii) একটি জিনিসের মূল্য, যদি এর দাম মধ্যবর্তী বছরগুলোতে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়।

উদাহরণ ৯ : একটি শহরের জনসংখ্যা ১৯৯৭ সালে ২০,০০০ ছিল। এটি $5 \%$ বার্ষিক হারে বৃদ্ধি পেয়েছে। ২০০০ সালের শেষে জনসংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রতি বছর জনসংখ্যা ৫% বৃদ্ধি পায়, তাই প্রতি নতুন বছরে নতুন জনসংখ্যা হয়। সুতরাং, আমরা বলতে পারি এটি চক্রবৃদ্ধি আকারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

$1998=20000$ সালের শুরুতে জনসংখ্যা (আমরা এটিকে ১ম বছরের আসল হিসেবে বিবেচনা করি)

$ \text{ ৫ \% বৃদ্ধি }=\frac{5}{100} \times 20000=1000 $ $\quad$ $\quad$ $2000=21000+1050$ সালে জনসংখ্যা

$ =22050 $

বিবেচনা করো

$ \text{ ৫ \% বৃদ্ধি }=\frac{5}{100} \times 22050 $ $\quad$ ৩য় বছরের আসল হিসেবে।

$ =1102.5 $

২০০০ সালের শেষে জনসংখ্যা $=22050+1102.5=23152.5$

বা, $\quad$ $2000=20000(1+\frac{5}{100})^{3}$ সালের শেষে জনসংখ্যা

$ \begin{aligned} & =20000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \\ & =23152.5 \end{aligned} $

সুতরাং, আনুমানিক জনসংখ্যা $=23153$।

অরুণা জিজ্ঞাসা করল যদি হ্রাস পায় তবে কী করতে হবে। শিক্ষক তখন নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করলেন।

উদাহরণ ১০ : একটি টিভি কেনা হয়েছিল ₹ ২১,০০০ দামে। এক বছর পর টিভির মূল্য ৫% হ্রাস পেয়েছে (অবচয় বলতে ব্যবহার এবং বয়সের কারণে মূল্য হ্রাস বোঝায়)। এক বছর পর টিভির মূল্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

$ \begin{aligned} \text{ আসল } & =₹ 21,000 \\ \text{ হ্রাস } & =৫ \% \text{ of } ₹ 21000 \text{ প্রতি বছর } \\ & =₹ \frac{21000 \times 5 \times 1}{100}=₹ 1050 \end{aligned} $

১ বছর শেষে মূল্য $=₹ 21000-₹ 1050=₹ 19,950$

বিকল্পভাবে, আমরা সরাসরি এভাবে পেতে পারি:

১ বছর শেষে মূল্য $=₹ 21000(1-\frac{5}{100})$

$ =₹ 21000 \times \frac{19}{20}=₹ 19,950 $

চেষ্টা করো

১. একটি যন্ত্রপাতির মূল্য $₹ 10,500$ এবং এটি $5 \%$ হারে অবচয় হয়। এক বছর পর এর মূল্য নির্ণয় করো।

২. একটি শহরের বর্ত