7.1 ગુણોત્તર અને ટકાવારીની યાદ

આપણે જાણીએ છીએ કે, ગુણોત્તરનો અર્થ બે જથ્થાની સરખામણી કરવી.

એક ટોપલીમાં બે પ્રકારના ફળ છે, ધારો કે, 20 સફરજન અને 5 મોસંબી.

તો, મોસંબીની સંખ્યાનો સફરજનની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $=5: 20$.

સરખામણી અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને આ રીતે કરી શકાય, $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$

મોસંબીની સંખ્યા સફરજનની સંખ્યા કરતાં $\frac{1}{4}$ ગણી છે. ગુણોત્તરના સંદર્ભમાં, આ $1: 4$ છે, જે “1 એ 4 ને” તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

$ \text{ અથવા } $

સફરજનની સંખ્યાનો મોસંબીની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$ જેનો અર્થ છે, સફરજનની સંખ્યા મોસંબીની સંખ્યા કરતાં 4 ગણી છે. આ સરખામણી ટકાવારીનો ઉપયોગ કરીને પણ કરી શકાય.

25 ફળોમાંથી 5 મોસંબી છે. તેથી મોસંબીની ટકાવારી છે

$ \frac{5}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{100}=20 \% $

[છેદને 100 બનાવ્યો]. એકમ પદ્ધતિ દ્વારા: 25 ફળોમાંથી, મોસંબીની સંખ્યા 5 છે. તેથી 100 ફળોમાંથી, મોસંબીની સંખ્યા

$ =\frac{5}{25} \times 100=20 \text{. } $

કારણ કે ટોપલીમાં ફક્ત સફરજન અને મોસંબી છે,

તેથી, $\quad$ સફરજનની ટકાવારી + મોસંબીની ટકાવારી $=100$

અથવા સફરજનની ટકાવારી $+20=100$

અથવા $\quad$ સફરજનની ટકાવારી $=100-20=80$

આમ ટોપલીમાં $20 \%$ મોસંબી અને $80 \%$ સફરજન છે.

ઉદાહરણ 1 : એક શાળામાં સાતમા ધોરણ માટે પિકનિકની યોજના બનાવવામાં આવી છે. છોકરીઓ કુલ વિદ્યાર્થીઓની $60 \%$ છે અને તેમની સંખ્યા 18 છે.

પિકનિકનું સ્થળ શાળાથી $55 km$ દૂર છે અને પરિવહન કંપની ₹ 12 પ્રતિ કિમીના દરે ચાર્જ કરે છે. તાજગીકરણ (રીફ્રેશમેન્ટ)નો કુલ ખર્ચ ₹ 4280 થશે.

શું તમે કહી શકો છો.

1. વર્ગમાં છોકરીઓની સંખ્યાનો છોકરાઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર?

2. જો બે શિક્ષકો પણ વર્ગ સાથે જતા હોય તો દરેક વ્યક્તિ દીઠ ખર્ચ?

3. જો તેમનું પ્રથમ સ્ટોપ શાળાથી $22 km$ દૂરના સ્થળે હોય, તો $55 km$ ના કુલ અંતરનો કેટલા ટકા આ છે? કેટલા ટકા અંતર કાપવાનું બાકી છે?

ઉકેલ:

1. છોકરીઓ અને છોકરાઓનો ગુણોત્તર શોધવા.

અશિમા અને જ્હોન નીચેના જવાબો સાથે આવ્યા.

તેમને છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા જાણવાની જરૂર હતી.

અશિમાએ આ કર્યું

કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x .60 \%$ ધારો. $x$ છોકરીઓ છે. તેથી, $60 \%$ $x=18$ $\frac{60}{100} \times x=18$ અથવા, $x=\frac{18 \times 100}{60}=30$ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $=30$.

જ્હોને એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો

100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 60 છોકરીઓ છે.

$\frac{100}{60}$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક છોકરી છે.

તો, 18 છોકરીઓ કેટલા વિદ્યાર્થીઓમાંથી છે?

વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $=\frac{100}{60} \times 18$

$ =30 $

તેથી, છોકરાઓની સંખ્યા $=30-18=12$.

આથી, છોકરીઓની સંખ્યાનો છોકરાઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર $18: 12$ અથવા $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$ છે. $\frac{3}{2}$ ને $3: 2$ તરીકે લખવામાં આવે છે અને 3 એ 2 ને તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

2. દરેક વ્યક્તિ દીઠ ખર્ચ શોધવા.

પરિવહન ચાર્જ $=$ અંતર બંને માર્ગે $\times$ દર

$ \begin{aligned} & =₹(55 \times 2) \times 12 \\ & =₹ 110 \times 12=₹ 1320 \end{aligned} $

કુલ ખર્ચ $=$ તાજગીકરણ ચાર્જ + પરિવહન ચાર્જ

$ =₹ 4280+₹ 1320 $

$ =₹ 5600 $

કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $=18$ છોકરીઓ +12 છોકરાઓ +2 શિક્ષકો

$ =32 \text{ વ્યક્તિઓ } $

અશિમા અને જ્હોને પછી દરેક વ્યક્તિ દીઠ ખર્ચ શોધવા માટે એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો.

32 વ્યક્તિઓ માટે, ખર્ચ થયેલી રકમ ₹ 5600 હશે.

1 વ્યક્તિ માટે ખર્ચ થયેલી રકમ $=₹ \frac{5600}{32}=₹ 175$.

3. જ્યાં પ્રથમ સ્ટોપ કરવામાં આવ્યું હતું તે સ્થળનું અંતર $=22 km$.

અંતરની ટકાવારી શોધવા:

અશિમાએ આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો:

$\frac{22}{55} = \frac{22}{55} \times \frac{100}{100} = 40 \% $

તેણી ગુણોત્તરને
વડે ગુણાકાર કરી રહી છે અને ટકાવારીમાં રૂપાંતરિત કરી રહી છે.

અથવા

જ્હોને એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો:
55 કિમી માંથી, 22 કિમીનો પ્રવાસ કરવામાં આવ્યો.
1 કિમી માંથી, $\frac{22}{55}$ કિમીનો પ્રવાસ કરવામાં આવ્યો
100 કિમી માંથી, $\frac{22}{55} \times 100$ કિમીનો પ્રવાસ કરવામાં આવ્યો.
એટલે કે કુલ અંતરના 40 % નો પ્રવાસ કરવામાં આવ્યો.

બંને એક જ જવાબ સાથે આવ્યા કે જ્યાં તેઓએ સ્ટોપ કર્યું હતું તે સ્થળનું તેમની શાળાથીનું અંતર તેઓએ કાપવાનું હતું તે કુલ અંતરનું $40 \%$ હતું.

તેથી, કાપવાનું બાકી રહેલું અંતર ટકામાં $=100 \%-40 \%=60 \%$.

આ પ્રયાસ કરો

એક પ્રાથમિક શાળામાં, માતાપિતાઓને તેમના બાળકોને હોમવર્ક કરવામાં મદદ કરવા માટે દરરોજ કેટલા કલાક ખર્ચે છે તે વિશે પૂછવામાં આવ્યું હતું. 90 માતાપિતા હતા જેઓ $\frac{1}{2}$ કલાકથી $1 \frac{1}{2}$ કલાક સુધી મદદ કરતા હતા. જે સમય માટે તેઓએ મદદ કરી હોવાનું કહ્યું હતું તે મુજબ માતાપિતાઓનું વિતરણ આગળની આકૃતિમાં આપેલું છે; $20 \%$ $1 \frac{1}{2}$ કલાકથી વધુ સમય માટે મદદ કરતા હતા;

$30 \%$ $\frac{1}{2}$ કલાકથી $1 \frac{1}{2}$ કલાક સુધી મદદ કરતા હતા; $50 \%$ બિલકુલ મદદ કરતા ન હતા.

આનો ઉપયોગ કરીને, નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

(i) કેટલા માતાપિતાઓનો સર્વે લેવામાં આવ્યો હતો?

(ii) કેટલાએ કહ્યું કે તેઓએ મદદ કરી ન હતી?

(iii) કેટલાએ કહ્યું કે તેઓએ $1 \frac{1}{2}$ કલાકથી વધુ સમય માટે મદદ કરી હતી?

કસરત 7.1

1. નીચેનાનો ગુણોત્તર શોધો.

(a) સાઇકલની ઝડપ $15 km$ પ્રતિ કલાકનો સ્કૂટરની ઝડપ $30 km$ પ્રતિ કલાક સાથેનો ગુણોત્તર.

(b) $5 m$ નો $10 km$ સાથેનો ગુણોત્તર

(c) 50 પૈસાનો ₹ 5 સાથેનો ગુણોત્તર

2. નીચેના ગુણોત્તરોને ટકાવારીમાં રૂપાંતરિત કરો. (a) $3: 4$ (b) $2: 3$

3. 25 વિદ્યાર્થીઓમાંથી $72 \%$ ગણિતમાં રસ ધરાવે છે. કેટલા ગણિતમાં રસ ધરાવતા નથી?

4. એક ફૂટબોલ ટીમે તેમણે ખેલેલી કુલ મેચોમાંથી 10 મેચ જીતી. જો તેમની જીતની ટકાવારી 40 હતી, તો તેમણે કુલ કેટલી મેચો ખેલી?

5. જો ચમેલી પાસે તેનો પૈસો $75 \%$ ખર્ચ્યા પછી ₹ 600 બાકી હોય, તો શરૂઆતમાં તેની પાસે કેટલા પૈસા હતા?

6. જો એક શહેરમાં $60 \%$ લોકોને ક્રિકેટ ગમે છે, $30 \%$ લોકોને ફૂટબોલ ગમે છે અને બાકીના લોકોને અન્ય રમતો ગમે છે, તો કેટલા ટકા લોકોને અન્ય રમતો ગમે છે? જો કુલ લોકોની સંખ્યા 50 લાખ છે, તો દરેક પ્રકારની રમત ગમતી લોકોની ચોક્કસ સંખ્યા શોધો.

7.2 વટાળ શોધવો

વટાળ એ ચીજવસ્તુના છાપેલા ભાવ (MP) પર આપવામાં આવતી ઘટાડો છે.

આ સામાન્ય રીતે ગ્રાહકોને માલ ખરીદવા આકર્ષિત કરવા અથવા માલની વેચાણ વધારવા માટે આપવામાં આવે છે. તમે તેના વેચાણ ભાવને છાપેલા ભાવમાંથી બાદ કરીને વટાળ શોધી શકો છો.

તેથી, વટાળ $=$ છાપેલો ભાવ - વેચાણ ભાવ

ઉદાહરણ 2 : ₹ 840 પર છાપેલી એક વસ્તુ ₹ 714 માં વેચવામાં આવે છે. વટાળ અને

વટાળ $ \% $ શું છે?

ઉકેલ:

વટાળ $=$ છાપેલો ભાવ - વેચાણ ભાવ

$ \begin{aligned} & =₹ 840-₹ 714 \\ & =₹ 126 \end{aligned} $

કારણ કે વટાળ છાપેલા ભાવ પર છે, આપણે છાપેલા ભાવને આધાર તરીકે ઉપયોગ કરવો પડશે.

₹ 840 ના છાપેલા ભાવ પર, વટાળ ₹ 126 છે.

₹ 100 ના MP પર, વટાળ કેટલો હશે?

$ \text{ વટાળ }=\frac{126}{840} \times 100 \%=15 \% $

તમે વટાળ $%$ આપેલ હોય ત્યારે પણ વટાળ શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3 : એક ફ્રોકની યાદી ભાવ ₹ 220 છે. વેચાણ પર $20 \%$ નો વટાળ જાહેર કરવામાં આવ્યો છે. તેના પર વટાળની રકમ અને તેનો વેચાણ ભાવ શું છે.

ઉકેલ: છાપેલો ભાવ યાદી ભાવ જેટલો જ છે.

$20 \%$ વટાળનો અર્થ છે કે ₹ 100 (MP) પર, વટાળ ₹ 20 છે.

એકમ પદ્ધતિ દ્વારા, ₹ 1 પર વટાળ $₹ \frac{20}{100}$ હશે.

$₹ 220$ પર, વટાળ $=₹ \frac{20}{100} \times 220=₹ 44$

વેચાણ ભાવ $=(₹ 220-₹ 44)$ અથવા ₹ 176

રેહાનાએ વેચાણ ભાવ આ રીતે શોધ્યો -

$20 \%$ નો વટાળ એટલે ₹ 100 ના MP માટે, વટાળ ₹ 20 છે. તેથી વેચાણ ભાવ $₹ 80$ છે. એકમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, જ્યારે MP ₹ 100 હોય, ત્યારે વેચાણ ભાવ ₹ 80 છે;

જ્યારે MP ₹ 1 હોય, ત્યારે વેચાણ ભાવ ₹ $\frac{80}{100}$ છે.

તેથી જ્યારે MP ₹ 220 હોય, ત્યારે વેચાણ ભાવ $=₹ \frac{80}{100} \times 220=₹ 176$.

ભલે વટાળ ન મળ્યો હોય, પણ હું વેચાણ ભાવ સીધો શોધી શકી.

આ પ્રયાસ કરો

1. એક દુકાન $20 \%$ વટાળ આપે છે. આ દરેકનો વેચાણ ભાવ શું હશે?

(a) ₹ 120 પર છાપેલું એક ડ્રેસ

(b) ₹ 750 પર છાપેલી એક જોડી જૂતા

(c) ₹ 250 પર છાપેલો એક બેગ

2. ₹ 15,000 પર છાપેલું એક ટેબલ ₹ 14,400 માં ઉપલબ્ધ છે. આપેલ વટાળ અને વટાળ ટકા શોધો.

3. એક અલમારી $5 \%$ નો વટાળ મંજૂર કર્યા પછી ₹ 5,225 માં વેચવામાં આવે છે. તેનો છાપેલો ભાવ શોધો.

7.2.1 ટકાવારીમાં અંદાજ

દુકાનમાં તમારો બિલ ₹ 577.80 છે અને દુકાનદાર $15 \%$ નો વટાળ આપે છે. તમે ચૂકવવાની રકમનો અંદાજ કેવી રીતે કરશો?

(i) બિલને નજીકના દસના સ્થાને ગોળ કરો ₹ 577.80 નો, એટલે કે, ₹ 580 સુધી.

(ii) આનો $10 \%$ શોધો, એટલે કે, ₹ $\frac{10}{100} \times 580=₹ 58$.

(iii) આનો અડધો ભાગ લો, એટલે કે, $\frac{1}{2} \times 58=₹ 29$.

(iv) (ii) અને (iii) માં રકમો ઉમેરો ₹ 87 મેળવો.

તેથી તમે તમારી બિલ રકમમાં ₹ 87 અથવા લગભગ ₹ 85 ઘટાડો કરી શકો છો, જે લગભગ ₹ 495 થશે.

1. સમાન બિલ રકમના $20 \%$ નો અંદાજ કરવાનો પ્રયાસ કરો. 2 . $15 \%$ $₹ 375$ નો શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

7.3 વેચાણ કર / મૂલ્યવર્ધિત કર / માલ અને સેવાઓ કર

શિક્ષકે વર્ગમાં એક બિલ બતાવ્યું જેમાં નીચેના હેડ લખેલા હતા.

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{વેચાણ કર (ST) એ સરકાર દ્વારા વસ્તુની વેચાણ પર લગાડવામાં આવે છે. તે દુકાનદાર દ્વારા ગ્રાહક પાસેથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે અને સરકારને આપવામાં આવે છે. આ, તેથી, હંમેશા} \\ \text{વસ્તુના વેચાણ ભાવ પર હોય છે અને બિલના મૂલ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે. બીજા પ્રકારનો કર પણ હોય છે} \\ \text{જે ભાવમાં સમાવિષ્ટ હોય છે જેને મૂલ્યવર્ધિત કર (VAT) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.} \\ \hline \end{array} $

$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{1 જુલાઈ, 2017 થી, ભારત સરકારે GST શરૂ કર્યું છે જે માલ અને સેવાઓ કર માટે ઉભું છે જે માલ અથવા સેવાઓ અથવા બંનેની પુરવઠા પર લગાડવામાં આવે છે.} \\ \hline \end{array} $

ઉદાહરણ 4 : (વેચાણ કર શોધવો) એક દુકાનમાં રોલર સ્કેટ્સની જોડીની કિંમત ₹ 450 હતી. લગાડેલો વેચાણ કર $5 \%$ હતો. બિલ રકમ શોધો.

ઉકેલ: ₹ 100 પર, ચૂકવેલ કર ₹ 5 હતો.

₹ 450 પર, ચૂકવેલ કર $=₹ \frac{5}{100} \times 450$ હશે

$ =₹ 22.50 $

બિલ રકમ $=$ વસ્તુની કિંમત + વેચાણ કર $=₹ 450+₹ 22.50=₹ 472.50$.

ઉદાહરણ 5 : (મૂલ્યવર્ધિત કર (VAT)) વહીદાએ એક એર કૂલર $10 \%$ કર સહિત ₹ 3300 માં ખરીદ્યો. VAT ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં એર કૂલરની કિંમત શોધો.

ઉકેલ: કિંમતમાં VAT, એટલે કે, મૂલ્યવર્ધિત કર સમાવિષ્ટ છે. આમ, 10% VAT એટલે જો VAT વગરની કિંમત ₹ 100 હોય તો VAT સહિત કિંમત ₹ 110 છે.

હવે, જ્યારે VAT સહિત કિંમત ₹ 110 હોય, ત્યારે મૂળ કિંમત ₹ 100 હોય.

તેથી જ્યારે કર સહિત કિંમત $₹ 3300$ હોય, ત્યારે મૂળ કિંમત $=₹ \frac{100}{110} \times 3300=₹ 3000$ હોય.

ઉદાહરણ 6 : સલીમે એક વસ્તુ $12 \%$ GST સહિત ₹ 784 માં ખરીદી. GST ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં વસ્તુની કિંમત શું હતી?

ઉકેલ: વસ્તુની મૂળ કિંમત $₹ 100$ ધારો. GST $=12 \%$.

GST ઉમેર્યા પછીની કિંમત $=₹(100+12)=₹ 112$

જ્યારે વેચાણ ભાવ $₹ 112$ હોય ત્યારે મૂળ કિંમત $=₹ 100$ હોય.

જ્યારે વેચાણ ભાવ $₹ 784$ હોય, ત્યારે મૂળ કિંમત $=₹ \frac{100}{12} \times 784=₹ 700$ હોય

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. સંખ્યાના બે ગણા એ સંખ્યામાં $100 \%$ વધારો છે. જો આપણે સંખ્યાનો અડધો ભાગ લઈએ તો ટકામાં કેટલો ઘટાડો થશે?

2. $₹ 2,000$ $₹ 2,400$ કરતાં કેટલા ટકા ઓછું છે? શું તે ટકા જેટલો જ છે જેટલો ₹ 2,400 ₹ 2,000 કરતાં વધુ છે?

કસરત 7.2

1. વેચાણ દરમિયાન, એક દુકાને તમામ વસ્તુઓના છાપેલા ભાવ પર $10 \%$ નો વટાળ ઓફર કર્યો. એક ગ્રાહકને ₹ 1450 પર છાપેલી જીન્સની જોડી અને ₹ 850 દરેક પર છાપેલી બે શર્ટ માટે કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે?

2. $a T V$ ની કિંમત $₹ 13,000$ છે. તેના પર લગાડેલો વેચાણ કર $12 \%$ ના દરે છે. જો વિનોદ તે ખરીદે તો તેને કેટલી રકમ ચૂકવવી પડશે તે શોધો.

3. અરુણે સ્કેટ્સની જોડી એક વેચાણ પર ખરીદી જ્યાં આપેલો વટાળ $20 \%$ હતો. જો તે ચૂકવે છે તે રકમ ₹ 1,600 છે, તો છાપેલો ભાવ શોધો.

4. મેં એક હેર-ડ્રાયર $8 \%$ VAT સહિત ₹ 5,400 માં ખરીદ્યો. VAT ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાંની કિંમત શોધો.

5. એક વસ્તુ $18 \%$ GST સહિત ₹ 1239 માં ખરીદવામાં આવી હતી. GST ઉમેરવામાં આવ્યો તે પહેલાં વસ્તુની કિંમત શોધો?

7.4 ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ

તમે “બેંકમાં એફડી (ફિક્સ્ડ ડિપોઝિટ) માટે વાર્ષિક 9% પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ” અથવા ‘વાર્ષિક 5% પ્રતિ વર્ષ વ્યાજ સાથે બચત ખાતું’ જેવા નિવેદનો સામે આવ્યા હશો.

વ્યાજ એ બેંકો અથવા પોસ્ટ ઓફિસ જેવી સંસ્થાઓ દ્વારા તેમની પાસે રાખેલા પૈસા (જમા) પર ચૂકવવામાં આવતો વધારાનો પૈસો છે. જ્યારે લોકો પૈસા ઉધાર લે છે ત્યારે પણ વ્યાજ ચૂકવવામાં આવે છે. સાદું વ્યાજ કેવી રીતે ગણવું તે આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ.

ઉદાહરણ 7 : ₹ 10,000 ની રકમ વ્યાજની દર $15 \%$ પ્રતિ વર્ષે 2 વર્ષ માટે ઉધાર લેવામાં આવે છે. આ રકમ પર સાદું વ્યાજ અને 2 વર્ષના અંતે ચૂકવવાની રકમ શોધો.

ઉકેલ: ₹ 100 પર, 1 વર્ષ માટે લગાડેલું વ્યાજ ₹ 15 છે.

તેથી, ₹ 10,000 પર, લગાડેલું વ્યાજ $=\frac{15}{100} \times 10000=₹ 1500$

$ 2 \text{ વર્ષ માટે વ